Euclid空間 $\R^{n}$ の閉集合上で定義された関数がある意味で「滑らか」であれば $\R^{n}$ 全体で定義された通常の意味で滑らかな関数に拡張するというWhitneyの拡張定理について解説・証明します。

最初にここで使う記号をいくつか書いておきます。(多重指数の扱いについてはどこかでざっと書く予定ですが、まだ書けていないので、そこは慣れている前提としておきます。)

まずは一般の部分集合上で定義された関数に対する滑らかさの概念を定式化します。

Whitneyの拡張定理は正確には次で述べられます。

最初に非負整数 $r$ を固定し、$C^{r}$ 級関数に関する拡張定理を証明します。以下、$\R^{n}$ の閉集合 $A$、関数 $f : A\to \R$、関数の族 $\{f_{\alpha} : A\to \R\}_{\alpha\in\mathcal{I}_{n, r}}$ であって関数 $f$ が族 $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathcal{I}_{n, r}}$ に関してWhitneyの意味で $C^{r}$ 級となるものを固定し、各 $\alpha\in \mathcal{I}_{n, r}$ に対して関数 $R_{\alpha}^{r} : A\times A\to \R$ を定義B.1.1で定めたものに取り、また、関数 $P_{\alpha}^{r} : \R^{n}\times A\to \R$ を\[P_{\alpha}^{r}(x; a) := \sum_{|\beta|\leq r - |\alpha|}\dfrac{f_{\alpha + \beta}(a)}{\beta!}(x - a)^{\beta}\]により定めます。明らかに $A\times A$ 上 $f_{\alpha}(x) = P_{\alpha}^{r}(x; a) + R_{\alpha}^{r}(x; a)$ が成立しています。

そして、以下のようにして関数 $g : \R^{n}\to \R$ を構成します。

この関数 $g$ は明らかに $\R^{n}\setminus A$ 上 $C^{\infty}$ 級です。事実としてはこの構成中の $1$ の分割 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ と点 $a_{v}\in A$ たちを上手く取ることで目的の $C^{r}$ 級拡張になるのですが、ここではそこの細かい議論は後回しにするとして、上手く構成していれば成立する事実を用いながら残りの部分の証明を行います。

また、証明は、ある $\alpha\in \mathcal{I}_{n, r}$ に対して $($連続かどうかはまだ分かっていない$)$ 偏導関数 $\partial^{\alpha}g$ が存在して $\partial^{\alpha}g|_{A} = f_{\alpha}$ が成立していると仮定して、次のことが分かれば完結しますもちろん階数に関する帰納法で、$s$ 階の各偏導関数 $\partial^{\alpha}g$ が存在していずれも $\partial^{\alpha}g|_{A} = f_{\alpha}$ を満たしているなら、$s + 1$ 階についても同じことが分かり、最後の $r$ 階については連続性だけ確認して完了というわけです。$1$ つ注意なのは、各 $s$ 階偏導関数 $\partial^{\alpha}g$ の全微分可能性から $s + 1$ 階偏導関数 $\partial^{e_{i}}(\partial^{\alpha}g)$ たちは定まるものの、連続性の確認を後回しにしているせいで偏微分の順序によらないことを確認する必要が生じていることです。しかし、これは $g$ が $\R^{n}\setminus A$ において $C^{\infty}$ 級であることと各制限 $\partial^{e_{i}}(\partial^{\alpha}g)|_{A}$ が与えられた関数 $f_{\alpha + e_{i}}$ に一致することから分かり、問題ありません。。ただし、$e_{i} := (0, \dots, 0, \overset{i}{\check{1}}, 0, \dots, 0)\in \mathcal{I}_{n}$ と記号を定めておきます。

先程定めた関数 $P_{\alpha}^{r}, R_{\alpha}^{r}$ に関する基本事実として以下が成立します。

関数 $\partial^{\alpha}g$ の点 $a\in A$ における全微分可能性および連続性の確認としてはそれぞれ極限\[\lim_{x\to a}\dfrac{|\partial^{\alpha}g(x) - \partial^{\alpha}g(a) - \sum_{i = 1}^{n}f_{\alpha + e_{i}}(a)(x_{i} - a_{i})|}{|x - a|} = 0,\]\[\lim_{x\to a}|\partial^{\alpha}g(x) - \partial^{\alpha}g(a)| = 0\]を確認すればよいですが、関数 $g$ を $A$ と $\R^{n}\setminus A$ で分けて定義しているため、それぞれについて $($$a$ が集積点である場合に$)$ その中から $x$ を $a$ に近づけた極限を調べます。

$A$ の中から $x$ を $a$ を近づけた極限についてはWhitneyの意味で $C^{r}$ 級であることの定義からただちに確かめられ、実際、$|\alpha| < r$ の場合は\begin{eqnarray*}\left|f_{\alpha}(x) - f_{\alpha}(a) - \sum_{i = 1}^{n}f_{\alpha + e_{i}}(a)(x_{i} - a_{i})\right| & = & \left|\sum_{2\leq |\beta|\leq r - |\alpha|}\dfrac{f_{\alpha + \beta}(a)}{\beta!}(x - a)^{\beta} + R_{\alpha}^{r}(x; a)\right| \\& \leq & \sum_{2\leq |\beta|\leq r - |\alpha|}|f_{\alpha + \beta}(a)||x - a|^{|\beta|} + |R_{\alpha}^{r}(x; a)|\end{eqnarray*}と評価できることと極限\[\lim_{x\to a, \ x\in A}\dfrac{R_{\alpha}^{r}(x; a)}{|x - a|^{r - |\alpha|}} = 0\]からよく、$|\alpha| = r$ の場合は $f_{\alpha}(x) = f_{\alpha}(a) + R_{\alpha}^{r}(x; a)$ と極限 $\underset{x\to a, \ x\in A}{\lim}R_{\alpha}^{r}(x; a) = 0$ からよいです。

あとは $\R^{n}\setminus A$ の中から $x$ を $a$ に近づけた極限について考えればよいでが、そのためにまず、$\R^{n}\setminus A$ における $\partial^{\alpha}g$ の扱いやすい表示を与えます。単に定義式の偏導関数を計算しても複数の $($形式的な$)$ Taylor多項式たちが現れていて扱いづらいので、一度\[g(x) = \sum_{v\in V}h_{v}(x)P_{0}^{r}(x; a_{\lambda}) = P_{0}^{r}(x; a) + \sum_{v\in V}h_{v}(x)(P_{0}^{r}(x; a_{\lambda}) - P_{0}^{r}(x; a))\]と変形してから補題B.1.4と補題B.1.5を用いて\begin{eqnarray*}\partial^{\alpha}g(x) & = & P_{\alpha}^{r}(x; a) + \sum_{v\in V}\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\partial^{\beta}h_{v})(x)(P_{\alpha - \beta}^{r}(x; a_{v}) - P_{\alpha - \beta}^{r}(x; a)) \\& = & P_{\alpha}^{r}(x; a) + \sum_{v\in V}\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\partial^{\beta}h_{v})(x)\sum_{|\gamma|\leq r - |\alpha - \beta|}\dfrac{R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{v}; a)}{\gamma!}(x - a_{v})^{\gamma} \\\end{eqnarray*}と変形します。ここで、第 $2$ 項を $S_{\alpha}^{r}(x; a)$ とおくことにします。明らかに\[DP_{\alpha}^{r}(a; a) = \left[\begin{array}{c}f_{\alpha + e_{1}}(a) \\\vdots \\f_{\alpha + e_{n}}(a)\end{array}\right]\]であり、$|\alpha| < r$ の場合は極限\[\lim_{x\to a}\dfrac{S_{\alpha}^{r}(x; a)}{|x - a|} = 0\]を、$|\alpha| = r$ の場合は極限\[\lim_{x\to a}S_{\alpha}^{r}(x; a) = 0\]を示すことが目標になります。

また、各 $x\in \R^{n}\setminus A$ に対して $V_{x} := \{v\in V\mid (\partial^{\beta}h_{v})(x) > 0 \ ({}^{\forall}\beta\in \mathcal{I}_{n})\}$ と定めておけば\[S_{\alpha}^{r}(x; a) = \sum_{v\in V_{x}}\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\partial^{\beta}h_{v})(x)\sum_{|\gamma|\leq r - |\alpha - \beta|}\dfrac{R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{v}; a)}{\gamma!}(x - a_{v})^{\gamma}\]と和を取る範囲を減らせることに注意します。

さて、$1$ の分割 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ と点 $a_{v}\in A$ たちを上手く構成することで次のことを成立させられます。

以下ではこれら事実を用いて証明を進めます。各 $x\in \R^{n}\setminus A$ に対して $d(x, a_{x}) = d(x, A)$ となる点 $a_{x}\in A$ を取ります。$S_{\alpha}^{r}(x; a_{x})$ を $S_{\alpha}^{r}(x; a)$ と同様に取ったとして、\[P_{\alpha}^{r}(x; a) + S_{\alpha}^{r}(x; a) = \partial^{\alpha}g(x) = P_{\alpha}^{r}(x; a_{x}) + S_{\alpha}^{r}(x; a_{x})\]より\[|S_{\alpha}^{r}(x; a)| \leq |P_{\alpha}^{r}(x; a_{x}) - P_{\alpha}^{r}(x; a)| + |S_{\alpha}^{r}(x; a_{x})|\]であり、第 $1$ 項については\begin{eqnarray*}|P_{\alpha}^{r}(x; a_{x}) - P_{\alpha}^{r}(x; a)| & = & \left|\sum_{|\beta|\leq r - |\alpha|}\dfrac{R_{\alpha + \beta}^{r}(a_{x}; a)}{\beta!}(x - a_{x})^{\beta}\right| \\& \leq & \sum_{|\beta|\leq r - |\alpha|}|R_{\alpha + \beta}^{r}(a_{x}; a)|\cdot |x - a_{x}|^{|\beta|}\end{eqnarray*}と評価でき、第 $2$ 項については\begin{eqnarray*}|S_{\alpha}^{r}(x; a_{x})| & = & \left|\sum_{v\in V_{x}}\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\partial^{\beta}h_{v})(x)\sum_{|\gamma|\leq r - |\alpha - \beta|}\dfrac{R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{v}; a_{x})}{\gamma!}(x - a_{v})^{\gamma}\right| \\& \leq & N\sum_{\beta\leq \alpha}r!\cdot |x - a_{x}|^{-|\beta|}\cdot H_{r}\sum_{|\gamma|\leq r - |\alpha - \beta|}|R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{v}; a_{x})||x - a_{v}|^{|\gamma|} \\& \leq & NH_{r}r!\sum_{\beta\leq \alpha}\sum_{|\gamma|\leq r - |\alpha - \beta|}|R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{v}; a_{x})|\cdot |x - a_{x}|^{-|\beta|}\cdot |x - a_{v}|^{|\gamma|}\end{eqnarray*}と評価できます。Whitneyの意味での $C^{r}$ 級の定義から、任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $a$ の十分近くで\begin{eqnarray*}|R_{\alpha + \beta}^{r}(a_{x}; a)|\cdot |x - a_{x}|^{|\beta|} & \leq & |a_{x} - a|^{r - |\alpha + \beta|}\varepsilon\cdot |x - a_{x}|^{|\beta|} \\& \leq & (|x - a_{x}| +|x - a|)^{r - |\alpha + \beta|}\varepsilon\cdot |x - a_{x}|^{|\beta|} \\&\leq & 2^{r - |\alpha + \beta|}|x - a|^{r - |\alpha|}\varepsilon \\& \leq & 2^{r}|x - a|^{r - |\alpha|}\varepsilon\end{eqnarray*}および\begin{eqnarray*}|R_{\alpha - \beta + \gamma}^{r}(a_{x}; a_{v})|\cdot |x - a_{x}|^{-|\beta|}\cdot |x - a_{v}|^{|\gamma|} & \leq & |a_{x} - a_{v}|^{r - |\alpha - \beta + \gamma|}\varepsilon\cdot |x - a_{x}|^{-|\beta|}\cdot |x - a_{v}|^{|\gamma|} \\& \leq & (|x - a_{x}| + |x - a_{v}|)^{r - |\alpha - \beta + \gamma|}\varepsilon\cdot |x - a_{x}|^{-|\beta|}\cdot |x - a_{v}|^{|\gamma|} \\& \leq & (T + 1)^{r - |\alpha - \beta + \gamma|}|x - a_{x}|^{r - |\alpha + \gamma|}\varepsilon\cdot |x - a_{v}|^{|\gamma|} \\& \leq & (T + 1)^{r - |\alpha - \beta + \gamma|}|x - a_{v}|^{r - |\alpha|}\varepsilon \\& \leq & (T + 1)^{r}|x - a|^{r - |\alpha|}\varepsilon \\\end{eqnarray*}という評価が得られ、よって、ある正実数 $M_{r} > 0$ を用いて\[|S_{\alpha}^{r}(x; a)|\leq M_{r}|x - a|^{r - |\alpha|}\varepsilon\]と評価できます。これからだたちに目的の極限が確かめられ、証明が完結します。

ということで、あとは保留していた $1$ の分割 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ と点 $a_{v}\in A$ たちの構成を済ませればよいです。これにはWhitney分割と呼ばれる超立方体による $\R^{n}\setminus A$ の分割を用いますWhitney被覆とも。構成中の評価はテキストによって異なるようなので注意。ここでもH. Whitneyによる原論文とはちょっと変えています。。以下のようにして一辺 $2^{-k}$ の超立方体の族 $\mathcal{Q}_{k}$ を帰納的に構成します。ただし、超立方体は境界も含むとします。

さらに、以下の設定を行います。

これらについて次のことが分かります。

では、$1$ の分割を構成します。$C^{\infty}$ 級関数 $\varphi : \R^{n}\to [0, +\infty)$ であって\[\{x\in \R^{n}\mid \varphi(x) > 0\} = (-1, 1)^{n}\]を満たすものを任意に固定し、各 $v\in V$ に対して $C^{\infty}$ 級関数 $\varphi_{v} : \R^{n}\to [0, +\infty)$ を\[\varphi_{v}(x) := \varphi(2^{k_{v}}(x - v))\]により定めます。これは $\{x\in \R^{n}\mid \varphi_{v}(x) > 0\} = \Int K_{v}$ を満たしています。よって、各 $v\in V$ に対して $C^{\infty}$ 級関数 $h_{v} : \R^{n}\to [0, 1]$ を\[h_{v}(x) := \dfrac{\varphi_{v}(x)}{\sum_{w\in V}\varphi_{w}(x)}\]により定めることができ、族 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ は $1$ の分割です。さらに、各 $v\in V$ に対して\[\{x\in \R^{n}\mid (\partial^{\beta}h_{v})(x) > 0 \ ({}^{\forall}\beta\in \mathcal{I}_{n})\} = \Int K_{v}\]が成立しています。

各偏導関数 $\partial^{\alpha}h_{v}$ について次の評価が示されます。

あとは各 $v\in V$ に対する点 $a_{v}\in A$ ですが、これは $d(v, a_{v}) = d(v, A)$ を満たすように取るだけです。次が成立します。既に $1$ の分割 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ を取っていることから各 $x\in \R^{n}\setminus A$ ごと $V$ の部分集合\[V_{x} := \{v\in V\mid (\partial^{\beta}h_{v})(x) > 0 \ ({}^{\forall}\beta\in \mathcal{I}_{n})\} \ (= \{v\in V\mid x\in \Int K_{v}\})\]も定義できていることには注意。

以上が保留していた構成ですが、証明の計算パートで用いた事実について、(a)は補題B.1.7から、(b)は補題B.1.8から、(c)は補題B.1.6からよく、これで証明が完結しています。

$C^{\infty}$ 級関数に関する拡張定理を証明します。関数 $f : A\to \R$ が与えられ、族 $\{f_{\alpha} : A\to \R\}_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}$ に関してWhitneyの意味で $C^{\infty}$ 級であるとします。$1$ の分割 $\{h_{v}\}_{v\in V}$ と点 $a_{v}\in A$ たちは $C^{r}$ 級の場合に構成したものとし、各 $v\in V$ に対して上手く非負整数 $r_{v}\in \N$ を与え、関数 $g : \R^{n}\to \R$ を\[g(x) := \left\{\begin{array}{ll}\sum_{v\in V}h_{\lambda}(x)P_{0}^{r_{v}}(x; a_{v}) & (x\in \R^{n}\setminus A) \\f_{0}(x) & (x\in A)\end{array}\right.\]と定めます。この $g$ について $r$ 次以下の偏導関数 $\partial^{\alpha}g$ が存在してそれぞれ $\partial^{\alpha}g|_{A} = f_{\alpha}$ を満たしているためには各 $a\in A$ ごと

というようになっていて欲しく、そこで、全ての $r\in \N$ に対してそうなるように各 $r_{v}$ を取ることを考えます。

まず、各 $v\in V$ と非負整数 $r, s\in \N$ に対して関数 $u_{v, s, r} : \R^{n}\setminus A\to \R$ を\[u_{v, s, r}(x) := h_{v}(x)(P_{0}^{s}(x; a_{v}) - P_{0}^{r}(x; a_{v}))\]により定めます。この $u_{v, s, r}$ の偏導関数は適当な条件下で次のように評価できます。

そこで、各 $r_{v}$ を次の条件を満たす非負整数 $s$ のうちで最大のものに取ります。

次のことが確かめられます。

証明を終わらせます。

以上です。

参考文献

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