$B:=\mathrm{Img}f$ として逆写像 $g:B\to A\subset \mathbb{R}$ の連続性を示せばよいです。$y_0\in B$ を取り、その点における連続性を確かめます。任意に正実数 $\epsilon >0$ を取ります。実数 $s\in \mathbb{R}$ を $y_0\in B$ が最小元であれば $s:=y_0-1$ に取り、最小元でなければ $g(y_0)-\epsilon <x<g(y_0)$ である $x\in A$ を取って $s:=f(x)$ と定めますここで $x$ を取るために閉包 $\bar{A}$ が区間になること $($この範囲で $A$ が稠密であること$)$ を使用。。また、実数 $t\in \mathbb{R}$ を $y_0\in B$ が最大元であれば $t:=y_0+1$ に取り、最大元でなければ $g(y_0)<x<g(y_0)+\epsilon$ である $x\in A$ を取って $t:=f(x)$ と定めます。$\delta :=min\{|s-y_0|,|t-y_0|\}$ とすれば $|y-y_0|<\delta$ である任意の $y\in B$ に対して $|g(y)-g(y_0)|<\epsilon$ であるので $g$ は $y_0$ において連続です。よって、$g$ は連続であり、$f$ は埋め込みです。

(1) 閉包 $\bar{A}$ は明らかに単位区間です。$f$ が狭義単調増加であることも明らか。あとは $f$ が連続であることを示せば補題B.2.1よりこれが同相写像と分かります。点 $x=0.x_1{x}_2{x}_3\cdots \in A$ における連続性を確かめます。正実数 $\epsilon >0$ を取ります。$A$ の取り方からあるところから先の $x_n$ が全て $0$ になることも全て $1$ になることも無く、つまり、列 $x_1,x_2,x_3,\dots$ には $0,1$ がそれぞれ無数に現れます。そこで、正整数 $m$ を $x_m=1$ かつ $x_{m+1}=0$ かつ $2^{-m}<\epsilon$ に取ります。正実数 $\delta :=2^{-(m+1)}$ を取れば、$|y-x|<\delta$ を満たす任意の $y=0.y_1{y}_2{y}_3\cdots \in A$ に対し、$y_n\ne x_n$ となるのが $n\ge m$ に限ることに注意して、$$|f(y)-f(x)|\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{3}^{-n}|y_n-x_n|\le \sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{3}^{-n}=2^{-1}{3}^{-(m-1)}\le 2^{-m}<\epsilon$$が成立します。よって、$f$ は $x$ において連続です。

(2) 全単射 $g$ が $C^0$ 級として矛盾を導きます。点 $x_0\in A$ を取り、その開近傍 $U$ への連続拡張 $h:U\to \mathbb{R}$ を取ります。ただし、$U$ は開区間とします。$(\mathrm{Int}{B}^c)\cap \mathrm{Img}h\ne \varnothing$ を示します。もしこれが示されれば、$h(x)\in \mathrm{Int}{B}^c$ となる点 $x\in U$ が存在し、その点おいて $h$ の不連続性が従い$x\in U$ のいくらでも近くに $A$ の点が取れるが、その $h$ による像は $B$ に属すため、$h(x)\in \mathrm{Int}{B}^c$ とは一定の差があり不連続。、矛盾が導かれます。

適当に $A\cap U$ の相異なる $2$ 点 $p,q$ を取ります。$h(p)=g(p)\ne g(q)=h(q)$ であり、中間値の定理より $\mathrm{Img}h$ は $B$ の相異なる $2$ 点 $s<t$ を端点とする閉区間 $J$ を含みます。$(\mathrm{Int}{B}^c)\cap J\ne \varnothing$ を示せばよいです。$s$ は無数に $0$ が現れる $0,1$ の列 $x_1,x_2,\dots$ を用いて $s=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{3}^{-n}{x}_n$ と表すことができ、$s<t$ よりある正整数 $N$ が存在して $x_N=0$ かつ$$s<\sum _{n=1}^{N-1}{3}^{-n}{x}_n+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{3}^{-n}<\sum _{n=1}^{N-1}{3}^{-n}{x}_n+3^{-N}<t$$です。ここで、$\sum _{n=1}^{N-1}{3}^{-n}{x}_n+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{3}^{-n}$ から $\sum _{n=1}^{N-1}{3}^{-n}{x}_n+3^{-N}$ までの開区間は $B$ と交わりを持たずかつ $J$ に含まれます。これは $(\mathrm{Int}{B}^c)\cap J\ne \varnothing$ を意味します。