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数学ノートについて
B.2 同相だが C0 級同相でない例
B.2.1 前提

[田村 微分位相幾何学]ではEuclid空間の一般の部分集合 ARn 上で定義された実ベクトル値写像 f:ARmCr 級であることを、各 xA に対してその Rn における開近傍 Ux 上定義された (通常の意味の) Cr 級写像 gx:UxRm であって gx|AUx=f|AUx を満たすものが存在することと定め、部分集合 ARnBRmCr 級同相であることを互いに逆を与える Cr 級写像 f:AB, g:BA が存在することで定義しています。

そして、解説の中で「 C0 同相とは同相のことである」と書いてあるのですが、それには反例があるので紹介します。

B.2.2 補題

1 つ補題を用意します。

補題B.2.1

閉包が区間になる部分集合 AR 上で定義された狭義単調増加な連続写像 f:AR(位相的な) 埋め込みである。

証明

B:=Imgf として逆写像 g:BAR の連続性を示せばよいです。y0B を取り、その点における連続性を確かめます。任意に正実数 ε>0 を取ります。実数 sRy0B が最小元であれば s:=y01 に取り、最小元でなければ g(y0)ε<x<g(y0) である xA を取って s:=f(x) と定めますここで x を取るために閉包 A が区間になること (この範囲で A が稠密であること) を使用。。また、実数 tRy0B が最大元であれば t:=y0+1 に取り、最大元でなければ g(y0)<x<g(y0)+ε である xA を取って t:=f(x) と定めます。δ:=min{|sy0|,|ty0|} とすれば |yy0|<δ である任意の yB に対して |g(y)g(y0)|<ε であるので gy0 において連続です。よって、g は連続であり、f は埋め込みです。

B.2.3 反例の構成

反例を構成します。

定理B.2.2
(同相だが C0 級同相でない部分集合)

開区間 (0,1) から正整数 p,q を用いて p2q の形で表される有理数全てを取り除いた集合を A と定め、写像 f:AR を二進展開を用いてf(0.x1x2x3):=n=13nxnと定める。また、B:=Imgf と定める。次が成立する。

(1) 制限 f:AB は同相写像である。つまり、AB は同相である。
(2) 任意の全単射 g:ABC0 級写像ではない。よって、ABC0 級同相ではない。
証明

(1) 閉包 A は明らかに単位区間です。f が狭義単調増加であることも明らか。あとは f が連続であることを示せば補題B.2.1よりこれが同相写像と分かります。点 x=0.x1x2x3A における連続性を確かめます。正実数 ε>0 を取ります。A の取り方からあるところから先の xn が全て 0 になることも全て 1 になることも無く、つまり、列 x1,x2,x3, には 0,1 がそれぞれ無数に現れます。そこで、正整数 mxm=1 かつ xm+1=0 かつ 2m<ε に取ります。正実数 δ:=2(m+1) を取れば、|yx|<δ を満たす任意の y=0.y1y2y3A に対し、ynxn となるのが nm に限ることに注意して、|f(y)f(x)|n=13n|ynxn|n=m3n=213(m1)2m<εが成立します。よって、fx において連続です。

(2) 全単射 gC0 級として矛盾を導きます。点 x0A を取り、その開近傍 U への連続拡張 h:UR を取ります。ただし、U は開区間とします。(IntBc)Imgh を示します。もしこれが示されれば、h(x)IntBc となる点 xU が存在し、その点おいて h の不連続性が従いxU のいくらでも近くに A の点が取れるが、その h による像は B に属すため、h(x)IntBc とは一定の差があり不連続。、矛盾が導かれます。

適当に AU の相異なる 2p,q を取ります。h(p)=g(p)g(q)=h(q) であり、中間値の定理より ImghB の相異なる 2s<t を端点とする閉区間 J を含みます。(IntBc)J を示せばよいです。s は無数に 0 が現れる 0,1 の列 x1,x2, を用いて s=n=13nxn と表すことができ、s<t よりある正整数 N が存在して xN=0 かつs<n=1N13nxn+n=N+13n<n=1N13nxn+3N<tです。ここで、n=1N13nxn+n=N+13n から n=1N13nxn+3N までの開区間は B と交わりを持たずかつ J に含まれます。これは (IntBc)J を意味します。

以上です。

メモ

特になし。

参考文献

[1] 田村一郎 微分位相幾何学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 岩波書店 (1977-1978)
[2] John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds Second Edition, Springer-Verlag, New York, GTM 218 (2012)

更新履歴

2024/11/02
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