$\R$ の標準的な $1$ 次微分形式を $dt$ とすれば $df = f^{*}dt$ であり例えば、座標近傍を取って直接計算することで分かります。、\[(f^{*}dt)_{p} = 0 \Leftrightarrow {}^{\forall}v\in T_{p}M, \, dt(f_{*}v) = 0 \Leftrightarrow {}^{\forall}v\in T_{p}M, \, f_{*}v = 0 \Leftrightarrow (f_{*})_{p} = 0\]なので分かります。

内点であるような正則点 $p\in \Reg f$ において $f$ が最大値を取らないことを示します。まず、$v\in T_{p}M$ であって $df_{p}(v) \neq 0$ であるものを取り、さらに $v$ を代表する曲線 $c : (-\varepsilon, \varepsilon)\to M$ を取ります。このとき、$\tfrac{d(f\circ c)}{dt}(0) \neq 0$ なのである $a\in (-\varepsilon, \varepsilon)$ であって $f(c(a)) > f(c(0)) = f(p)$ となるものが取れます。よって、$f$ は $p\in M$ において最大値を取りません。同様に $p$ において最小値も取りません。

$1$ 次元以上の可微分閉多様体上の $C^{\infty}$ 級関数 $f$ に対し、もし $f$ が定数関数ならば $\# \Crit f = \# M \geq 2$ であり、定数関数でないならば最大値と最小値を取る点が必ず異なるので $\# \Crit f \geq 2$ となります。

局所座標系を固定して示せばよいので最初から $N = \R^{p}$ としてよく、また、$M$ は高々可算個の座標近傍で覆えるので $M = \R^{n}$ としてよいですあまり細かく気にする必要もない境界の扱いについてですが、例えば、$N$ については $\Rp^{p}\subset\R^{p}$ であること、$M$ ついては $M = \partial M \sqcup \Int M$ と境界を持たない多様体に分けられることを考え、最初から境界を持たないとします。。そこで最初から $f : \R^{n}\to \R^{p}$ に対して示します。$i \geq 1$ に対して\[C_{i} = \{x\in\R^{n}\mid D^{\alpha}f(x) = 0 \text{ for all } \alpha \text{ with } 1 \leq |\alpha| \leq i.\}\]と定め、写像 $f$ を明示するときは $C_{i}(f)$ と書くことにします。以下の流れで示します。

(step 1) $\R^{n}$ は可算個の閉立方体により被覆できるので、$n$ 次元閉立方体 $Q\in\R^{n}$ に対して $\mu(f(C_{r}\cap Q)) = 0$ を示せば十分です。つまり、$f(C_{r})$ は高々可算個の零集合 $f(C_{r}\cap Q)$ の和集合なので零集合です。$Q$ の $1$ 辺の長さは $R > 0$ としておきます。

いま、Taylorの定理より $f$ は各 $x\in Q$ において\[f(x + h) = \sum_{k = 0}^{r}\dfrac{1}{k!}D^{k}f(x)h^{k} + \dfrac{1}{(r + 1)!}D^{r + 1}f(x + \theta h)h^{r + 1} \, (0 < {}^{\exists}\theta < 1)\]と展開され、その剰余項は $D^{r + 1}f$ の連続性と $Q$ のコンパクト性によりある正実数 $K > 0$ を用いて\[\left\|\dfrac{1}{(r + 1)!}D^{r + 1}f(x + \theta h)h^{r + 1}\right\|_{\infty} < K\|h\|_{\infty}^{r + 1}\]と $x$ に関して一様に評価されます。特に $x = a\in C_{r}$ とすれば\[\|f(a + h) - f(a)\|_{\infty} < K\|h\|_{\infty}^{r + 1}\]です。

立方体 $Q$ の各辺を $l$ 等分することで $l^{n}$ 個の小立方体 $Q_{1}, \dots, Q_{l^{n}}$ に分割し、そのうちで $C_{r}$ と交わる小立方体全体からなる族を $A$ とおきます。各 $Q'\in A$ に対し $a\in C_{r}\cap Q'$ なる点を取れば任意の $x\in Q'$ に対して\[\|f(x) - f(a)\|_{\infty} < K\|x - a\|_{\infty}^{r + 1} < K(R/l)^{r + 1}\]なので $f(Q')$ は $f(a)$ を中心とする $L^{\infty}$-normに関する $K(R/l)^{r + 1}$ 近傍に含まれ\[\mu(f(Q')) < (2K)^{p}(R/l)^{p(r + 1)}\]が分かります。$f(C_{r}\cap Q)$ は高々 $l^{n}$ 個のこのような $f(Q')$ たちによりおおわれるので\[\mu(f(C_{r}\cap Q)) \leq l^{n}\cdot (2K)^{p}(R/l)^{rp + p} < (2K)^{p}R^{p(r + 1)}l^{-p}\xrightarrow{l\to\infty} 0 \]となり $\mu(f(C_{r}\cap Q)) = 0$ です。途中、$f(Q')$ や $f(C_{r}\cap Q)$ が $\R^{p}$ の閉集合、よって、Lebesgue可測集合であるために $\mu(f(Q'))$ や $\mu(f(C_{r}\cap Q))$ が定義されていることには注意します。

(step 2) $n \leq p$ のときは(step 1)より $\mu(f(C_{k}\setminus C_{k + 1}))\leq \mu(f(C_{1})) = 0$ なのでよいです。$n > p$ に対しては $n$ に関する帰納法により示すため、$n - 1$ まではよいとしておきます。

$a\in C_{k}\setminus C_{k + 1}$ とし、その開近傍 $U_{a}$ であって $\mu(f(C_{k}\cap U_{a})) = 0$ となるものの存在を示します。もしこれが示されれば、このような $U_{a}$ たちから高々可算個を取って $C_{k}\setminus C_{k + 1}$ の開被覆を得られるいったんこのような $U_{a}$ たち全体を考え、$\R^{n}$ のLindelöf性を使って高々可算な被覆を構成する。ので $f(C_{k}\setminus C_{k + 1})$ は高々可算個の零集合 $f(C_{k}\cap U_{a})$ たちの和集合、よって、零集合になります。

$\alpha = (k_{1}, \dots, k_{n})\in \N^{n}$ であって $|\alpha| = k + 1$ かつ $D^{\alpha}f(a)\neq 0$ となるものを取り、簡単のために $k_{1} > 0$ かつ $D^{\alpha}f_{1}(a)\neq 0$、ただし $f_{1}$ は $f$ の第 $1$ 成分、としておきます。$\beta = (k_{1} - 1, k_{2}, \dots, k_{n})$ とし、$h = D^{\beta}f_{1}$ とおきます。$C^{\infty}$ 級写像 $\psi : \R^{n}\to \R^{n}$ を\[\psi(x_{1}, \dots, x_{n}) = (h(x), x_{2}, \dots, x_{n})\]により定めれば $\psi$ は $a$ において正則であり、逆関数定理から $a$ の開近傍 $U$ と $\psi(a)$ の近傍 $V$ であって $\psi : U\to V$ が $C^{\infty}$ 級同相となるものが取れます。$\psi(C_{k}\cap U)\subset V\cap (h(C_{k}\cap U)\times \R^{n - 1}) = V\cap (\{0\}\times \R^{n - 1})$ となることに注意します。

$\varphi : V\to \R^{p}$ を $\varphi = f\circ \psi^{-1}$ により定めるとき\[\psi(C_{k}\cap U) \subset \psi(C_{1}\cap U)\cap (\{0\}\times \R^{n - 1}) \subset C_{1}(\varphi)\cap (\{0\}\times \R^{n - 1})\]であり、さらに、$g = \varphi|_{V\cap (\{0\}\times \R^{n - 1})}$ とすれば $C_{1}(\varphi)\cap(\{0\}\times \R^{n - 1})\subset C_{1}(g)$ です。よって、$f(C_{k}\cap U)\subset g(C_{1}(g))$ ですが、帰納法の仮定より $g(C_{1}(g))$ は零集合なので $f(C_{k}\cap U)$ もそうです。

(step 3) まず、$p = 1$ の場合は $\Crit f = C_{1}$ なのですでに示しています。以降、$p$ に関する帰納法により示すため、$p - 1$ まではよいとしておきます。

$a\in \Crit f\setminus C_{1}$ とし、その開近傍 $U_{a}$ であって $\mu(f(\Crit f\cap U_{a})) = 0$ となるものの存在を示せば十分です。簡単のために $\partial_{x_{1}}f_{1}(a)\neq 0$ とし、$C^{r}$ 級関数 $\psi : \R^{n}\to \R^{n}$ を\[\psi(x_{1}, \dots, x_{n}) = (f_{1}(x), x_{2}, \dots, x_{n})\]により定めます。逆関数定理より $a$ の開近傍 $U$ と $\psi(a)$ の近傍 $V$ であって $\psi : U\to V$ が $C^{\infty}$ 級同相となるものが取れます。いま、$C^{\infty}$ 級関数 $\varphi : V\to \R^{p}$ を $\varphi = f\circ \psi^{-1}$ により定めれば、

が成立します。$g_{t} = \varphi|_{V\cap(\{t\}\times \R^{n - 1})} : V\cap(\{t\}\times \R^{n - 1})\to \{t\}\times \R^{p - 1}$ とおけば $\varphi$, $g_{t}$ のJacobi行列について\[J_{\varphi}(t, x_{2}, \dots, x_{n}) = \left[\begin{array}{cc}1 & O_{1,n - 1} \\* & J_{g_{t}}(x_{2}, \dots, x_{n})\end{array}\right]\]となっているので $\Crit g_{t} = \Crit \varphi\cap(\{t\}\times \R^{n - 1})$ が成立します。帰納法の仮定より $\mu(\varphi(\Crit\varphi)\cap (\{t\}\times \R^{p - 1})) = \mu(g_{t}(\Crit g_{t})) = 0$ なので、あとは $f(\Crit f\cap U)$ がLebesgue可測集合であればFubiniの定理から $\mu(f(\Crit f\cap U)) = \mu(\varphi(\Crit\varphi)) = 0$ が分かります。しかし、これは $U$ が可算個のコンパクト集合で被覆されること、よって、$\Crit f\cap U$ が可算個のコンパクト集合で被覆されることから $f(\Crit f\cap U)$ もそうなので分かります。