予備知識のページを別に整備している途中ですが、一部の重要事項についてはそちらの完成を待ってられないのでここでまとめます。こちらは将来的に削除予定です。また、証明は必ずしも書きません。
線型空間のテンソル代数について使うことを中心にまとめます。ここでは係数体 $\K$ として $\R, \C$ のみを考えます。外積の定義における係数をどう取っているかだけ見てもらえればよいかもしれません。
$V_{1}, V_{2}$ を $\K$ 線形空間とする。$\K$ 双線型写像 $\varphi : V_{1}\times V_{2}\to W$ であって次の条件 $($普遍性という$)$ を満たすものが存在する。
また、この条件を満たす $\K$ 双線型写像 $\varphi_{1} : V_{1}\times V_{2}\to W_{1}$, $\varphi_{2} : V_{1}\times V_{2}\to W_{2}$ が与えらえたとき、一意な線形同型 $\varPhi : W_{1}\to W_{2}$ が存在して $\varphi_{2} = \varPhi\circ\varphi_{1}$ を満たす。
このような組 $(W, \varphi)$ を $V_{1}\otimes_{\K} V_{2}$ と書き $V_{1}$ と $V_{2}$ のテンソル積 $($tensor product$)$ という。$\varphi(v_{1}, v_{2})$ を $v_{1}\otimes_{\K} v_{2}$ と書く。係数体の $\K$ はよく省略する。
$V, W$ を $\K$ 線形空間とし、$e_{1}, \dots, e_{k}$ を $V$ の基底、$f_{1}, \dots, f_{l}$ を $W$ の基底とする。このとき、$e_{i}\otimes f_{j} \ (1\leq i\leq k, 1\leq j\leq l)$ は $V\otimes W$ の基底を与え、よって $\dim (V\otimes W) = \dim V\cdot\dim W$ が成立する。
$\K$ 線形空間 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ に対し、次の自然な同型が成立する。
$T_{p, q}(V) = V^{\otimes p}\otimes V^{*\otimes q}$ を $p$ 階反変 $q$ 階共変テンソル空間という。ただし、$T_{0, 0} = \K$ とする。$T_{n, 0}(V)$ は単に $T_{n}(V)$ と書き、$T_{\bullet}(V) = \bigoplus_{n = 0}^{\infty}T_{n}(V)$ と定める。
$\K$ 線形写像 $\mathcal{S}_{n}, \mathcal{A}_{n} : T_{n}(V)\to T_{n}(V)$ を $n\geq 1$ に対しては\[\mathcal{S}_{n} : v_{1}\otimes\dots\otimes v_{n}\mapsto \dfrac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(n)},\]\[\mathcal{A}_{n} : v_{1}\otimes\dots\otimes v_{n}\mapsto \dfrac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\sign(\sigma)v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(n)}\]としもちろんwell-definedであることの確認は必要です。、$n = 0$ に対しては $\mathcal{S}_{0} = \mathcal{A}_{0} = \Id_{\K}$ とすることで定める。ただし、$\mathfrak{S}_{n}$ は $n$ 次巡回群である。それぞれを対称化作用素、交代化作用素といい、像を $S_{n}(V), A_{n}(V)$ と書く。$A_{n}(V)$ は $\bigwedge^{n} V$ ともかく。また、$S_{\bullet}(V) = \bigoplus_{n = 0}^{\infty}S_{n}(V)$, $A_{\bullet}(V) = \bigoplus_{n = 0}^{\infty}A_{n}(V)$ と定める。
次が成立する。
積 $\cdot : S_{p}(V)\times S_{q}(V)\to S_{p + q}(V)$ を\[t\cdot t' = \mathcal{S}_{p + q}(t\otimes t')\]により定め、積 $\wedge : A_{p}(V)\times A_{q}(V)\to A_{p + q}(V)$ を\[t\wedge t' = \dfrac{(p + q)!}{p!q!}\mathcal{A}_{p + q}(t\otimes t')\]により定める。これらの自然な拡張として $S_{\bullet}(V), A_{\bullet}(V)$ の積を定め、対称積、外積という。
次が成立する。
(1) $t = \mathcal{S}_{p}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p})$, $t' = \mathcal{S}_{q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q})$ とおくとき、\begin{eqnarray*}t\cdot t'& = & \mathcal{S}_{p + q}(\mathcal{S}_{p}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p})\otimes \mathcal{S}_{q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q})) \\& = & \mathcal{S}_{p + q}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p}\otimes v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q}) \\& = & \mathcal{S}_{p + q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q}\otimes v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p}) = t'\cdot t\end{eqnarray*}となります。さらに一般に任意の $v\in T_{p}(V), v'\in T_{q}(V)$ に対して $\mathcal{S}_{p + q}(\mathcal{S}_{p}(v)\otimes\mathcal{S}_{q}(v')) = \mathcal{S}_{p + q}(v\otimes v')$ が分かることに注意します。
(2) $v\in T_{p}(V), v'\in T_{q}(V), v''\in T_{r}(V)$ に対し、\begin{eqnarray*}t\cdot (t'\cdot t'') & = & \mathcal{S}_{p + q + r}(\mathcal{S}_{p}(v)\otimes \mathcal{S}_{q + r}(\mathcal{S}_{q}(v')\otimes \mathcal{S}_{r}(v''))) \\& = & \mathcal{S}_{p + q + r}(\mathcal{S}_{p}(v)\otimes \mathcal{S}_{q + r}(v'\otimes v'')) \\& = & \mathcal{S}_{p + q + r}(v\otimes v'\otimes v'')\end{eqnarray*}なので確かめられます。
(3) $t = \mathcal{A}_{p}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p})$, $t' = \mathcal{A}_{q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q})$ とおくとき、\begin{eqnarray*}t\wedge t'& = & \dfrac{(p + q)!}{p!q!}\mathcal{A}_{p + q}(\mathcal{A}_{p}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p})\otimes \mathcal{A}_{q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q})) \\& = & \dfrac{(p + q)!}{p!q!}\mathcal{A}_{p + q}(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p}\otimes v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q}) \\& = & (-1)^{pq}\dfrac{(p + q)!}{p!q!}\mathcal{A}_{p + q}(v'_{1}\otimes\dots\otimes v'_{q}\otimes v_{1}\otimes\dots\otimes v_{p}) = (-1)^{pq}t'\wedge t\end{eqnarray*}となります。さらに一般に任意の $v\in T_{p}(V), v'\in T_{q}(V)$ に対して $\mathcal{A}_{p + q}(\mathcal{A}_{p}(v)\otimes\mathcal{A}_{q}(v')) = \mathcal{A}_{p + q}(v\otimes v')$ が分かることに注意します。
(4) $v\in T_{p}(V), v'\in T_{q}(V), v''\in T_{r}(V)$ に対し、\begin{eqnarray*}t\wedge (t'\wedge t'') & = & \dfrac{(p + q + r)!}{p!(q + r)!}\mathcal{A}_{p + q + r}\left(\mathcal{A}_{p}(v)\otimes \dfrac{(q + r)!}{q!r!}\mathcal{A}_{q + r}(\mathcal{A}_{q}(v')\otimes \mathcal{A}_{r}(v''))\right) \\& = & \dfrac{(p + q + r)!}{p!q!r!}\mathcal{A}_{p + q + r}(\mathcal{A}_{p}(v)\otimes \mathcal{A}_{q + r}(v'\otimes v'')) \\& = & \dfrac{(p + q + r)!}{p!q!r!}\mathcal{A}_{p + q + r}(v\otimes v'\otimes v'')\end{eqnarray*}なので確かめられます。
(5) (4)の証明を参考にして帰納法により確かめられます。
$V$ を $\K$ 線形空間、$e_{1}, \dots, e_{n}$ を $V$ の基底とする。このとき、$S_{k}(V)$ の基底が\[e_{i_{1}}\cdot e_{i_{2}}\cdot\dots\cdot e_{i_{k}} \ (1 \leq i_{1} \leq \dots \leq i_{k} \leq n)\]により与えられ、$A_{k}(V)$ の基底が\[e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge\dots\wedge e_{i_{k}} \ (1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n)\]により与えられる。よって、$\dim S_{k}(V) = \tfrac{(n + k - 1)!}{(n - 1)!k!}$, $\dim A_{k}(V) = \tfrac{n!}{k!(n - k)!}$ が成立する。
標準的なペアリング\[\langle \cdot, \cdot\rangle : T_{n}(V^{*})\times T_{n}(V)\to \K : \langle f_{1}\otimes\dots\otimes f_{n}, v_{1}\otimes\dots\otimes v_{n}\rangle = \prod f_{i}(v_{i})\]の制限 $A_{n}(V^{*})\times T_{n}(V)\to \K$ は\[\langle f_{1}\wedge\dots\wedge f_{n}, v_{1}\otimes\dots\otimes v_{n}\rangle = \det(f_{i}(v_{j}))\]により与えられる。また、\[\langle f_{1}\wedge\dots\wedge f_{n}, v_{1}\wedge\dots\wedge v_{n}\rangle = n!\cdot\det(f_{i}(v_{j}))\]が成立する。
$\K$ 線型写像 $f : V\to W$ に対し、$\K$ 線形写像 $\mathcal{T}_{\bullet}(f) : T_{\bullet}(V)\to T_{\bullet}(W)$ であってテンソル積に関して可換かつ $\mathcal{T}_{1}(f) = f : V\to W$ を満たすものが一意に存在し自然である。この写像の制限により自然な $\K$ 線形写像 $\mathcal{S}_{\bullet}(f) : S_{\bullet}(V)\to S_{\bullet}(W)$, $\mathcal{A}_{\bullet}(f) : A_{\bullet}(V)\to A_{\bullet}(W)$ が得られ、対称積、外積について可換である。$f$ が同型ならばこれらの写像は同型である。
以上です。
一部よろしくない言い回しがあるけど、暫定的なページということで放置してます。
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