$W := \bigsqcup_{n\in \N}S^{n}$ と定めます。ただし、$S^{0}$ は唯一の元 $e = ()$ からなると考えます。積を $a = (a_{1}, \dots, a_{n})\in S^{n}$, $b = (b_{1}, \dots, b_{m})\in S^{m}$ に対して\[a\cdot b := (a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{m})\in S^{n + m}\]として定めます。これは明らかに結合則を満たし、$e$ が単位元です。よって、この積によって $W$ はモノイドです。

写像 $\iota : S\to W : s\mapsto (s)$ との対 $(W, \iota)$ が主張の普遍性を持つことを確認します。モノイド $M$ と写像 $f : S\to M$ を取ります。モノイド準同型 $\varphi : W\to M$ であって $f = \varphi\circ \iota$ を満たすものが各 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})\in S^{n}$ に対して $\varphi(a) := f(a_{1})f(a_{2})\cdots f(a_{n})$ として定めることで得られます。ただし、$\varphi(e)$ は $M$ の単位元 $e_{M}$ とします。$\varphi$ の一意性も明らかです。以上で自由モノイドの構成が完了しました。

条件を満たす対 $(W, \iota)$, $(W', \iota')$ が与えられたとします。$\iota'$ に対して $(W, \iota)$ の持つ普遍性から準同型 $\varPhi : W\to W'$ であって $\iota' = \varPhi\circ \iota$ を満たすものが一意に存在します。$\iota$ に対して $(W', \iota')$ の持つ普遍性から準同型 $\varPhi' : W'\to W$ であって $\iota = \varPhi'\circ \iota'$ を満たすものが取れますが、これが $\varPhi$ の逆準同型です。実際、$\varPhi'\circ \varPhi\circ \iota = \varphi'\circ \iota' = \iota = \Id_{W}\circ \iota$ と一意性から $\varPhi'\circ \varPhi = \Id_{W}$ であり、$\varPhi\circ \varPhi' = \Id_{W'}$ も同様に確かめられます。従って、$\varPhi$ は同型です。

$S^{\pm}$ 上の語全体からなる自由モノイド $W_{S^{\pm}}$ 上の関係 $R$ を各 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})\in W_{S^{\pm}}$ と $1\leq k < n$ に対してもし符号同順で $a_{k} = s^{\pm 1}$ かつ $a_{k + 1} = s^{\mp 1}$ となる $s\in S$ があれば\[a\mathrel{R} (a_{1}, \dots, a_{k - 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{n})\in (S^{\pm})^{n - 2}\]であるとして定め、$\sim$ を関係 $R$ により生成する同値関係とします。次の流れで示します。

(i) $a\sim a', b\sim b'\in W_{S^{\pm}}$ に対して $a\cdot b\sim a'\cdot b'$ を示せばよいです。列 $a_{0} = a, a_{1}, \dots, a_{m} = a'\in W_{S^{\pm}}$ であって任意の $0\leq i < m$ に対して $a_{i} = a_{i + 1}$, $a_{i}Ra_{i + 1}$, $a_{i + 1}Ra_{i}$ のいずれかが成立するもの、列 $b_{0} = b, b_{1}, \dots, b_{l} = b'\in W_{S^{\pm}}$ であって任意の $0\leq j < l$ に対して $b_{j} = b_{j + 1}$, $b_{j}Rb_{j + 1}$, $b_{j + 1}Rb_{j}$ のいずれかが成立するものが取れます。これよりただちに\[a\cdot b = a_{0}\cdot b_{0}\sim a_{1}\cdot b_{0}\sim \cdots \sim a_{m}\cdot b_{0}\sim a_{m}\cdot b_{1}\sim \cdots \sim a_{m}\cdot b_{l} = a'\cdot b'\]となります。

(ii) $\alpha, \beta\in F$ の積 $\alpha\cdot \beta$ はそれぞれの代表元 $a, b\in W_{S^{\pm}}$ を用いて $[a\cdot b]$ で表されることに注意します。結合則は $W_{S^{\pm}}$ における結合則からただちに従います。単位元は $[e]\in F$ です。また、任意の $\alpha\in F$ に対して代表元 $a = (s_{1}^{p_{1}}, \dots, s_{n}^{p_{n}})\in W_{S^{\pm}}$ を取れば $a^{-1} := (s_{n}^{-p_{n}}, \cdots, s_{1}^{-p_{1}})$ の代表する元 $[a^{-1}]\in F$ が $\alpha$ の逆元になります。よって、$F$ は群になります。

(iii) 群 $H$ と写像 $f : S\to H$ が与えられているとして $f = \varphi\circ \iota$ を満たす準同型 $\varphi : F\to H$ が一意に存在することを示します。写像 $\psi : W_{S^{\pm}}\to H$ を各 $a = (s_{1}^{p_{1}}, \dots, s_{n}^{p_{n}})\in W_{S^{\pm}}$ に対して\[\psi(a) := f(s_{1})^{p_{1}}\cdot \cdots\cdot f(s_{n})^{p_{n}}\]とすることで定義します。$a, a' \in W_{S^{\pm}}$ に対してもし $aRa'$ であれば明らかに $\psi(a) = \psi(a')$ であり、この $\psi$ は写像 $\varphi : F\to H$ を誘導します。$\alpha, \beta\in F$ に対し、それぞれの代表元 $a, b\in W_{S^{\pm}}$ を取れば\[\varphi(\alpha\cdot \beta) = \varphi([a\cdot b]) = \psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot \psi(b) = \varphi(\alpha)\cdot \varphi(\beta)\]であるので準同型になっています。準同型 $\varphi$ の一意性は各 $[s^{p}]\in F$ における $\varphi$ の値が $f$ により決定されていることと $F$ の元が $[s^{p}]$ の形の元たちの積として表されることから従います。

(iv) 命題3.3.1と全く同様です。

簡約された語全体からなる集合を $RW_{S}$ と表すことにします。$s\in S$ に対して写像 $f_{s^{+1}}, f_{s^{-1}}\in \Aut(RW_{S}) := \Bij(RW_{S}, RW_{S})$ を符号同順で\[f_{s^{\pm 1}}(s_{1}^{p_{1}}\dots s_{n}^{p_{n}}) := \left\{\begin{array}{ll}s_{1}^{p_{1}}\dots s_{n - 1}^{p_{n - 1}} & (s_{n} = s, \ p_{n} = \mp 1) \\s_{1}^{p_{1}}\dots s_{n}^{p_{n}}s^{\pm 1} & (\text{otherwise})\end{array}\right.\]により定めます。$f_{s^{+1}}$ と $f_{s^{-1}}$ は互いに逆写像なことが容易に確かめられ、これらは実際に全単射です。写像 $f : S\to \Aut(RW_{S}) : s\mapsto f_{s^{+1}}$ を自由群の普遍性から準同型 $\varphi : F_{S}\to \Aut(RW_{S})$ に拡張します。$\varphi([s^{+1}]) = f_{s^{+1}}$, $\varphi([s^{-1}]) = f_{s^{-1}}$ です。

$\alpha\in F_{S}$ とその簡約表示 $u = s_{1}^{p_{1}}\dots s_{n}^{p_{n}}$, $v = t_{1}^{q_{1}}\dots t_{m}^{q_{m}}$ を取り、$u = v$ を示します。対称性から $m\geq n$ としておきます。$\varphi([u^{-1}\cdot v])$ は $RW_{S}$ の恒等写像なので\[(f_{s_{n}^{-p_{n}}}\circ \cdots \circ f_{s_{1}^{-p_{1}}}\circ f_{t_{1}^{q_{1}}}\circ \cdots \circ f_{t_{m}^{q_{m}}})(e) = \varphi([s_{n}^{-p_{n}}\dots s_{1}^{-p_{1}}t_{1}^{q_{1}}\dots t_{m}^{q_{m}}])(e) = e\]が成立し、途中まで適用して\[(f_{s_{n}^{-p_{n}}}\circ \cdots \circ f_{s_{1}^{-p_{1}}})(t_{m}^{q_{m}}\dots t_{1}^{q_{1}}) = e\]が従います。簡約された語への各 $f_{s_{k}^{-p_{k}}}$ の適用がその長さをちょうど $1$ 増減させること、全て適用した後に空語になること、最初においた仮定 $n\leq m$ を合わせて $n = m$ が分かります。また、各 $f_{s_{k}^{-p_{k}}}$ の適用は必ず語の長さを短くしなければならないので全ての $1\leq k\leq n$ に対して $s_{k}^{p_{k}} = t_{k}^{q_{k}}$ が従います。よって、$u = v$ であり、簡約表示の一意性が従いました。

$a\in F_{\Z}$ に対してその簡約表示 $a_{1}^{p_{1}}\dots a_{n}^{p_{n}}$ を取るとき\[\varphi(a) = y^{a_{1}}x^{p_{1}}y^{-a_{1} + a_{2}}x^{p_{2}}y^{-a_{2} + a_{3}}\dots y^{-a_{n - 1} + a_{n}}x^{p_{n}}y^{-a_{n}}\]であり、各 $y^{-a_{k} + a_{k + 1}}$ などを連続する $y^{+1}$ もしくは $y^{-1}$ にばらせば $\varphi(a)$ の簡約表示になります。実際、簡約表示でないとすると、ある $1\leq k < n$ に対して $-a_{k} + a_{k + 1} = 0$ かつ $-p_{k} = p_{k + 1}$ であり、$a_{1}^{p_{1}}\dots a_{n}^{p_{n}}$ が簡約表示であることに矛盾します。$\varphi(a) = e_{F_{2}}$ とするとこの $\varphi(a)$ の簡約表示も自明でなければならないので $a = e_{F_{\Z}}$ です$a$ の簡約表示の長さと $\varphi(a)$ の簡約表示に現れる $x^{\pm 1}$ の数が一致することに注意すれば後者が自明であることは $a$ の簡約表示の長さが $0$ であることを意味します。。よって、$\varphi$ は単射です。

$S, T$ の濃度が等しければ同型というのは自明です。濃度が異なる場合に同型でないことを示します。$\#S < \#T$ とします。一般の無限集合 $U$ に対して $\#U = \#F_{U}$ であり$U^{\pm} := U\times \{-1, +1\}$ 上の語全体からなる自由モノイド $W_{U^{\pm}}$ は集合として $\bigsqcup_{n\in \N}(U^{\pm})^{n}$ であったので\[\#F_{U}\leq \#W_{U^{\pm}} = \sum_{n\in \N} 2^{n}\#U^{n} = \sum_{n\in \N} 2^{n}\#U = \aleph_{0}\cdot \#U = \#U\]と評価できます。逆向きの評価は自明であり、無限集合 $U$ に対して $\#U = \#F_{U}$ が従います。、もし $\#S\geq \aleph_{0}$ であれば $\#F_{S} = \#S < \#T = \#F_{T}$ となり $F_{S}\not\cong F_{T}$ です。もし $\#S < \aleph_{0}$ ならば\[\#\Hom(F_{S}, \Z_{2}) = \#\Map(S, \Z_{2}) = \#2^{S} < \#2^{T} = \#\Map(T, \Z_{2}) = \#\Hom(F_{T}, \Z_{2})\]であるMathOverflowのEquality of Cardinality of Power Setによると、一般に $\#S < \#T$ から $\#2^{S} < \#2^{T}$ を導けるかどうかはZFC上独立な命題らしいです。ので同じく $F_{S}\not\cong F_{T}$ です。

特別な道具が不要な代数的な証明が[D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups Second Edition]のChapter 6で紹介されています。

集合 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ により生成する自由群を $(\tilde{F} , \tilde{\iota})$ とします。$\tilde{F}$ の部分集合 $R_{\lambda}$ を\[R_{\lambda} := \{\tilde{\iota}(a)\tilde{\iota}(b)\tilde{\iota}(a\cdot b)^{-1}\mid a, b\in G_{\lambda}\}\]により定め、$N$ を $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}R_{\lambda}$ で生成する正規部分群とします。$F := \tilde{F}/N$ と定め、商写像は $\pi$ で表すとして、各 $\lambda\in \Lambda$ について写像 $\iota_{\lambda} := \pi\circ \tilde{\iota}|_{G_{\lambda}}$ を取ります。この $\iota_{\lambda}$ が準同型であることは任意の $a, b\in G_{\lambda}$ に対して\[\iota_{\lambda}(a\cdot b) = \pi(\tilde{\iota}(a\cdot b)) = \pi(\tilde{\iota}(a)\tilde{\iota}(b)) = \pi(\tilde{\iota}(a))\pi(\tilde{\iota}(b)) = \iota_{\lambda}(a)\iota_{\lambda}(b)\]であることからよいです。

対 $(F, \{\iota_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda})$ が主張の条件を満たすことを示します。群 $H$ と準同型の族 $\{f_{\lambda} : G_{\lambda}\to H\}_{\lambda\in\Lambda}$ が与えられたとします。写像 $\tilde{f} := \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}f_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\to H$ に対して自由群の普遍性から準同型 $\tilde{\varphi} : \tilde{F}\to H$ であって $\tilde{f} = \tilde{\varphi}\circ \tilde{\iota}$ を満たすものが得られます。任意の $\lambda\in \Lambda$ と $a, b\in G_{\lambda}$ に対して\[\tilde{\varphi}(\tilde{\iota}(a\cdot b)) = \tilde{f}(a\cdot b) = f_{\lambda}(a\cdot b) = f_{\lambda}(a)\cdot f_{\lambda}(b) = \tilde{\varphi}(\tilde{\iota}(a))\cdot \tilde{\varphi}(\tilde{\iota}(b)) = \tilde{\varphi}(\tilde{\iota}(a)\cdot \tilde{\iota}(b))\]であり、$\tilde{\iota}(a)\tilde{\iota}(b)\tilde{\iota}(a\cdot b)^{-1}\in \Ker \tilde{\varphi}$ です。従って、$N\subset \Ker \tilde{\varphi}$ であり、準同型 $\varphi : F\to H$ が誘導されます。$\varphi$ の一意性は $F$ が $\pi\circ \tilde{\iota}\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\right)$ により生成されることと $\varphi$ による $\pi\circ \tilde{\iota}\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\right)$ の各元の行き先が条件 $f_{\lambda} = \varphi\circ \iota_{\lambda}$ により決定されていることから従います。

次の図のように自由積 $(\bigast_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}, \{\iota_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda})$、直和 $(\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{\ab}, \{i_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda})$、射影の族 $\{\pi_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ が与えられている状況を考えます。自由積の普遍性から図式を可換にするように準同型 $r$ が取れます。

この $r$ がAbel化における普遍性を満たす、つまり、任意の可換群 $H$ と準同型 $f : \bigast_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\to H$ に対して $f = \varphi\circ r$ を満たす準同型 $\varphi : \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{\ab}\to H$ が一意に存在することを示せばよいです。

次の図式を考えます。各 $\lambda\in \Lambda$ に対して準同型 $\xi_{\lambda} := f\circ \iota_{\lambda}$ を取り、さらに、Abel化の普遍性より $\xi_{\lambda} = \eta_{\lambda}\circ \pi_{\lambda}$ を満たす準同型 $\eta_{\lambda} : G_{\lambda}^{\ab}\to H$ を取ります。これらは図式を可換にする準同型です。最後に、準同型の族 $\{\eta_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対して直和の普遍性から図式を可換にする準同型 $\varphi$ が取れます。この $\varphi$ が $f = \varphi\circ r$ を満たすことは容易です。一意性も明らかです。

系3.3.15の同型 $F_{S}\cong \bigast_{s\in S}\Z$ と命題3.3.16より従います。

$G_{1}, G_{2}$ の自由積 $(G_{1} * G_{2}, \tilde{\iota}_{1}, \tilde{\iota}_{2})$ を取ります。$R := \{\tilde{\iota}_{1}(i_{1}(k))\tilde{\iota}_{2}(i_{2}(k))^{-1}\in G_{1} * G_{2}\mid k\in K\}$ とおき、$F : = (G_{1} * G_{2})/\ncl(R)$ と定めます。準同型 $\iota_{1} : G_{1}\to F$, $\iota_{2} : G_{2}\to F$ は射影 $\pi : G_{1} * G_{2}\to F$ を用いて $\iota_{1} := \pi\circ \tilde{\iota}_{1}$, $\iota_{2} := \pi\circ \tilde{\iota}_{2}$ と定めます。これらによる組 $(F, \iota_{1}, \iota_{2})$ が各条件を満たすことを確認します。

最初の条件は任意の $k\in K$ に対して\[\iota_{1}(i_{1}(k))\iota_{2}(i_{2}(k))^{-1} = \pi(\tilde{\iota}_{1}(i_{1}(k)))(\pi(\tilde{\iota}_{2}(i_{2}(k)))^{-1} = \pi(\tilde{\iota}_{1}(i_{1}(k))\tilde{\iota}_{2}(i_{2}(k))^{-1}) = e\]であることから分かります。

普遍性を持つことを示します。組 $(H, f_{1}, f_{2})$ であって $f_{1}\circ i_{1} = f_{2}\circ i_{2}$ を満たすものが与えられたとします。自由積の普遍性から準同型 $\psi : G_{1} * G_{2}\to H$ であって $f_{1} = \psi\circ \tilde{\iota}_{1}$, $f_{2} = \psi\circ \tilde{\iota}_{2}$ を満たすものが取れます。任意の $k\in K$ に対して\[\psi(\tilde{\iota}_{1}(i_{1}(k))\tilde{\iota}_{2}(i_{2}(k))^{-1}) = f_{1}(i_{1}(k))f_{2}(i_{2}(k))^{-1} = e\]であることから $R\subset \Ker\psi$ であり、$\psi = \varphi\circ \pi$ を満たす準同型 $\varphi : F\to H$ が誘導されます。この $\varphi$ について各 $j = 1, 2$ で\[\varphi\circ \iota_{j} = \varphi\circ \pi\circ \tilde{\iota}_{j} = \psi\circ \tilde{\iota}_{j} = f_{j}\]となっています。条件を満たす $\varphi$ の一意性も明らかです。

(1) 集合とみなした $S := G$ により生成する自由群 $F_{S}$ は恒等写像 $\Id_{G} : S = G\to G$ の拡張として準同型 $\varphi : F_{S}\to G$ を誘導します。これは明らかに全射であり、$R := \Ker \varphi$ とすれば同型定理より同型 $G\cong F_{S}/\Ker \varphi = F_{S}/\ncl(R) = \langle S\mid R\rangle$ が従います。

(2) $S := G$, $R := \{[g_{1}, g_{2}, (g_{1}g_{2})^{-1}]\in F_{S}\mid g_{1}, g_{2}\in S\}$ とすることで有限表示 $G\cong \langle S\mid R\rangle$ が得られます。実際、自由積の構成 $($命題3.3.10の証明$)$ を追えばこの $\langle S\mid R\rangle$ は唯一の群 $G$ による自由積であり、$G$ と同型です。

各 $\lambda\in \Lambda$ に対して包含写像 $S_{\lambda}\to \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}S_{\lambda}$ より準同型 $\iota_{\lambda} : \langle S_{\lambda}\mid R_{\lambda}\rangle\cong \left\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} S_{\lambda}\relmid \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} R_{\lambda}\right\rangle$ が誘導されます。対 $\left(\left\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} S_{\lambda}\relmid \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda} R_{\lambda}\right\rangle, \{\iota_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\right)$ が自由積の普遍性を持つことが容易に示され、主張の同型が従います。

次の図のように射影 $\pi, p, q$ が与えられている状況を考えます。準同型定理から図式を可換にするように準同型 $r$ が取れます。

この $r$ がAbel化における普遍性を満たす、つまり、任意の可換群 $H$ と準同型 $f : \langle S\mid R\rangle\to H$ に対して $f = \varphi\circ r$ を満たす準同型 $\varphi : \langle S\mid \pi(R)\rangle_{\Z}\to H$ が一意に存在することを示せばよいです。

次の図式を考えます。準同型 $\xi := f\circ p$ を取り、さらに、Abel化の普遍性より $\xi = \eta\circ \pi$ を満たす準同型 $\eta : \Z^{\oplus S}\to H$ を取ります。これらは図式を可換にする準同型です。最後に、準同型定理から図式を可換にする準同型 $\varphi$ が取れます。この $\varphi$ が $f = \varphi\circ r$ を満たすことは容易です。一意性も明らかです。

(1) 仮定から $\ncl(R) = \ncl(R\cup Q)$.

(2) 仮定から $\ncl(R\setminus Q) = \ncl((R\setminus Q)\cup Q) = \ncl(R)$.

(3) 準同型 $\varphi : F_{S}\to F_{S\sqcup T}$, $\psi : F_{S\sqcup T}\to F_{S}$ を\[\varphi : u\mapsto u, \ \psi : v\mapsto \left\{\begin{array}{ll}v & (v\in S) \\w_{v} & (v\in S)\end{array}\right.\]により定めると、それぞれが主張の群の表示の間の準同型を誘導し、互いに逆になっています。

(4) (3)と同様です。

必要であれば生成系の記号の取り換えにより $S\cap T = \varnothing$ とします。同型 $\varphi : G_{S}\to G_{T}$ とその逆写像 $\psi : G_{T}\to G_{S}$ を固定し、各 $s\in S$ に対して $\varphi([s])$ を代表する $w_{s}\in F_{T}$ を取り、各 $t\in T$ に対して $\psi([t])$ を代表する $w_{t}\in F_{S}$ を取ります。$Q_{S} := \{s^{-1}w_{s}\mid s\in S\}$, $Q_{T} := \{t^{-1}w_{t}\mid t\in T\}$ とおきます。補題として次のことを確認します。

(i) $r\in R_{T}$ を取ります。この $r$ は $T^{\pm}$ 上の語 $t_{1}^{p_{1}}t_{2}^{p_{2}}\dots t_{n}^{p_{n}}$ の形で表すことができます。各 $1\leq i\leq n$ に対して $t_{i}^{-1}w_{t_{i}}, t_{i}w_{t_{i}}^{-1}\in \ncl(Q_{T})$ であることから\[r^{-1}w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}} = t_{n}^{-p_{n}}\dots t_{1}^{-p_{1}}w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}\in \ncl(Q_{T})\]です。ここで、$w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}$ は $\psi([t_{1}^{p_{n}}\dots t_{n}^{p_{n}}])$ の代表元ですが、$[t_{1}^{p_{1}}\dots t_{n}^{p_{n}}] = [r] = e$ なので $w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}\in \ncl(R_{S})$ です。よって、$r\in \ncl(R_{S}\cup Q_{T})$ です。

(ii) $q\in Q_{S}$ を取ります。$q = s^{-1}w_{s}$ を満たす $s\in S$ が取れます。この $s$ について $w_{s}\in F_{T}$ は $T^{\pm}$ 上の語 $t_{1}^{p_{1}}t_{2}^{p_{2}}\dots t_{n}^{p_{n}}$ の形で表すことができます。各 $1\leq i\leq n$ に対して $t_{i}^{-1}w_{t_{i}}, t_{i}w_{t_{i}}^{-1}\in \ncl(Q_{S})$ であることから\[q^{-1}s^{-1}w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}} = t_{n}^{-p_{n}}\dots t_{1}^{-p_{1}}ss^{-1}w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}\in \ncl(Q_{T})\]です。ここで、$w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}$ は $\psi([t_{1}^{p_{n}}\dots t_{n}^{p_{n}}])$ の代表元ですが、$[t_{1}^{p_{1}}\dots t_{n}^{p_{n}}] = [w_{s}] = \varphi([s])$ なので $s^{-1}w_{t_{1}}^{p_{1}}\dots w_{t_{n}}^{p_{n}}\in \ncl(R_{S})$ です。よって、$q\in \ncl(R_{S}\cup Q_{T})$ です。

(i)と(ii)より\[\ncl(R_{S}\cup Q_{T}) = \ncl(R_{S}\cup Q_{T}\cup R_{T}\cup Q_{S})\]であり、同様にして\[\ncl(R_{S}\cup Q_{T}\cup R_{T}\cup Q_{S}) = \ncl(R_{T}\cup Q_{S})\]であることに注意します。主張について、まずは生成元の導入より\[\langle S\mid R_{S}\rangle\to \langle S\sqcup T\mid R_{S}\cup Q_{T}\rangle\]と変形し、続いて関係の導入より\[\langle S\sqcup T\mid R_{S}\cup Q_{T}\rangle\to \langle S\sqcup T\mid R_{S}\cup Q_{T}\cup R_{T}\cup Q_{S}\rangle\]と変形し、あとは関係の除去、生成元の除去によって\[\langle S\sqcup T\mid R_{S}\cup Q_{T}\cup R_{T}\cup Q_{S}\rangle\to \langle S\sqcup T\mid R_{T}\cup Q_{S}\rangle\to \langle T\mid R_{T}\rangle\]と変形されます。また、いずれも有限表示の場合に上記の変換を初等的に実現できることは明らかです。

いずれも容易です。

主張の表示を $G_{n}$ とおきます。準同型 $\varphi : F_{n - 1}\to S_{n}$ を各 $x_{k}$ を基本互換 $\left(\begin{array}{cc}k & k + 1\end{array}\right)$ に移すように取ります。$\varphi$ が関係系の各元を $S_{n}$ の単位元に移すことが容易に確かめられ、準同型 $\tilde{\varphi} : G_{n}\to S_{n}$ が誘導されます。この $\tilde{\varphi}$ が同型であることを示します。そのためには全射性と $|G_{n}|\leq |S_{n}| = n!$ を確認すればよいです。前者は $\Img \varphi$ が全ての基本互換を含むことからよいです。$|G_{n}|\leq n!$ を示します。各 $0\leq i\leq k \leq n - 1$ に対して $y_{k, i} := x_{k + 1 - i}x_{k + 2 - i}\dots x_{k}$ と定めます。ただし、$y_{k, 0} = e$ と考えます。$x_{1}^{\pm 1}, \dots, x_{n - 1}^{\pm 1}$ による任意の語が各関係式によって $y_{n - 1, a_{n - 1}}\dots y_{2, a_{2}}y_{1, a_{1}}$ の形に変形できることを示せばよいです。これは次のことに注意して帰納法を用いることで分かります。

主張の表示を $G_{n}$ とおきます。準同型 $\varphi : F_{n - 2}\to A_{n}$ を各 $x_{k}$ を置換 $\left(\begin{array}{ccc}k & n - 1 & n\end{array}\right)$ に移すように取ります。$\varphi$ が関係系の各元を $A_{n}$ の単位元に移すことが容易に確かめられ、準同型 $\tilde{\varphi} : G_{n}\to A_{n}$ が誘導されます。この $\tilde{\varphi}$ が同型であることを帰納法により示します。$A_{3}$ については自明であり、以下では $A_{n - 1}$ の場合を仮定して $A_{n}$ について示します。

各 $1\leq k \leq n - 3$ に対して $y_{k} := x_{n - 2}x_{k}^{-1}$ と定めます。次のことが確かめられます。

(i) $y_{k}^{3} = (x_{n - 2}x_{k}^{-1})^{3} = (x_{n - 2}x_{k}^{2})^{3} = (x_{k}^{-1}x_{n - 2}^{-1}x_{k})^{3} = 1$.

(ii) $(y_{k}y_{l})^{2} = (x_{n - 2}x_{k}^{-1}x_{n - 2}^{-2}x_{l}^{-1})^{2} = (x_{n - 2}^{2}x_{k}x_{l}x_{n - 2})^{2} = x_{n - 2}^{2}(x_{k}x_{l})^{2}x_{n - 2} = 1$.

(iii) (iv) 順番は少し変えていますが、自明なものも含め、以下の通りです。\begin{eqnarray*}&& x_{k}x_{l}^{-1} = x_{k}x_{n - 2}^{-1}x_{n - 2}x_{l}^{-1} = y_{k}^{-1}y_{l}, \\&& x_{k}^{-1}x_{l}^{-1} = x_{k}^{2}x_{l}^{-1} = x_{k}y_{k}^{-1}y_{l}, \\&& x_{k}x_{l} = x_{l}^{-1}x_{k}^{-1} = x_{l}y_{l}^{-1}y_{k}, \\&& x_{k}^{-1}x_{l} = x_{k}^{2}x_{l} = x_{k}x_{l}y_{l}^{-1}y_{k} = x_{l}y_{l}^{-1}y_{k}y_{l}^{-1}y_{k}, \\&& x_{k}x_{n - 2} = x_{n - 2}^{-1}x_{k}^{-1} = x_{n - 2}y_{k}, \\&& x_{k}^{-1}x_{n - 2} = x_{k}^{2}x_{n - 2} = x_{k}x_{n - 2}y_{k} = x_{n - 2}y_{k}^{2} = x_{n - 2}y_{k}^{-1}, \\&& x_{k}x_{n - 2}^{-1} = (x_{n - 2}x_{k}^{-1})^{-1} = y_{k}^{-1}, \\&& x_{k}^{-1}x_{n - 2}^{-1} = x_{k}^{2}x_{n - 2}^{-1} = x_{k}y_{k}^{-1}, \\&& x_{n - 2}x_{k} = x_{k}^{-1}x_{n - 2}^{-1} = x_{k}y_{k}^{-1}, \\&& x_{n - 2}^{-1}x_{k} = x_{n - 2}^{2}x_{k} = x_{n - 2}x_{k}y_{k}^{-1} = x_{k}y_{k}^{-2} = x_{k}y_{k}, \\&& x_{n - 2}x_{k}^{-1} = y_{k}, \\&& x_{n - 2}^{-1}x_{k}^{-1} = x_{k}x_{n - 1} = x_{n - 2}y_{k}, \\&& x_{k}^{-1} = x_{n - 2}^{-1}y_{k}.\end{eqnarray*}

次のことを示します。

(v) $\tilde{\varphi}$ により各 $y_{k}$ が $\left(\begin{array}{ccc}k & n - 2 & n - 1\end{array}\right)$ に移ることが容易に計算できます。よって、制限 $\tilde{\varphi}|_{H_{n - 1}} : H_{n - 1}\to A_{n - 1}$ が定まります。また、帰納法の仮定から $\left(\begin{array}{ccc}k & n - 2 & n - 1\end{array}\right)$ たちは $A_{n - 1}$ の生成系であるので $\tilde{\varphi}|_{H_{n - 1}}$ は全射です。(i)と(ii)の関係式は $A_{n - 1}$ の表示を与えるものであり、$|H_{n - 1}|\leq |A_{n - 1}|$ が従います$A_{n - 1}$ の表示から $H_{n - 1}$ への全射が取れるため。余計な関係式が成立しないことは調べていないのでこの時点では不等号になります。。位数の評価から $\tilde{\varphi}$ の単射性も従い、これは同型です。

(vi) $z_{1}, \dots, z_{n}\in G_{n}$ を\[z_{1} := x_{1}, \dots, z_{n - 3} := x_{n - 3}, z_{n - 2} := x_{n - 2}, z_{n - 1} := x_{n - 2}^{-1}, z_{n} := e\]により定め、これらが左剰余集合 $G_{n}/H_{n - 1}$ の完全代表系をなすことを確認します。まず、これらが互いに相異なる左剰余類を代表することは常に $\tilde{\varphi}(z_{k})(n) = k$ であることからただちに従います。これらで全ての左剰余類が代表されていることを確認するためには $x_{1}^{\pm 1}, \dots, x_{n - 2}^{\pm 1}$ による任意の語が $u\in H_{n - 1}$ を用いて $z_{k}u$ の形で表される語に変形できることを示せばよいですが、これは(iii)と(iv)の関係式を繰り返しすることで分かります。よって、$H_{n - 1}$ の指数は $n$ です。

(vii) 各 $z_{k}$ に対して $\tilde{\varphi}(z_{k})(n) = k $ であることから $(\Img \tilde{\varphi} : A_{n - 1})\geq n$ です。指数が $n$ を超えることがないことは明らかであり、等号が成立します。

(viii) もう明らかです。

(1) 命題3.3.29の $n = 3$ の場合です。

(2) 同型\[\langle x, y\mid x^{2}, y^{4}, (xy)^{3}\rangle\cong \langle x_{1}, x_{2}, x_{3}\mid x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}, (x_{1}x_{2})^{3}, (x_{2}x_{3})^{3}, (x_{1}x_{3})^{2}\rangle\]を確かめれば命題3.3.29の $n = 4$ の場合より主張の同型が従います。左辺を $G$、右辺を $H$ とおき、準同型\[\varphi : F_{2}\to F_{3} : \left\{\begin{array}{ccc}x & \mapsto & x_{1} \\y & \mapsto & x_{1}x_{2}x_{3}\end{array}\right.,\]\[\psi : F_{3}\to F_{2} : \left\{\begin{array}{ccc}x_{1} & \mapsto & x \\x_{2} & \mapsto & yxy^{-1} \\x_{3} & \mapsto & y^{2}xy^{-2}\end{array}\right.\]を取ります。次の流れで示します。

(step 1) 各 $\varphi(x^{2}) = x_{1}^{2}$, $\varphi(y^{4}) = (x_{1}x_{2}x_{3})^{4}$, $\varphi((xy)^{3}) = (x_{1}^{2}x_{2}x_{3})^{3}$ が $H$ を定める関係式を用いて $1$ に変形できれば $($$H$ の元とみなして $1$ に等しければ$)$ よいです。$1$ つ目と $3$ つ目は明らかです。$2$ つ目については\begin{eqnarray*}x_{1}x_{3} & = & x_{3}^{-1}x_{1}^{-1} = x_{3}x_{1}, \\x_{2}x_{1}x_{3}x_{2} & = & x_{1}^{2}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2}x_{3}^{2} \\& = & x_{1}(x_{1}x_{2}x_{1})(x_{3}x_{2}x_{3})x_{3} \\& = & x_{1}(x_{2}x_{1}x_{2})(x_{2}x_{3}x_{2})x_{3} \\& = & x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2}x_{3}\end{eqnarray*}であることを用いて\begin{eqnarray*}(x_{1}x_{2}x_{3})^{4} & = & (x_{1}x_{2}x_{3}x_{1}x_{2}x_{3})^{2} \\& = & (x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2}x_{3})^{2} \\& = & (x_{2}x_{1}x_{3}x_{2})^{2} \\& = & x_{2}x_{1}x_{3}x_{2}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2} = x_{2}x_{3}x_{1}x_{2}x_{2}x_{1}x_{3}x_{2} = 1\end{eqnarray*}として分かります。

(step 2) 各\[\psi(x_{1}^{2}) = x^{2}, \ \psi(x_{2}^{2}) = (yxy^{-1})^{2}, \ \psi(x_{3}^{2}) = (y^{2}xy^{-2})^{2},\]\[\psi((x_{1}x_{2})^{3}) = (xyxy^{-1})^{3}, \ \psi((x_{2}x_{3})^{3}) = (yxy^{-1}y^{2}xy^{-2})^{3}, \ \psi((x_{1}x_{3})^{2}) = (xy^{2}xy^{-2})^{2}\]が $G$ を定める関係式を用いて $1$ に変形できればよいです。最初の $3$ つは自明であり、残りもそれぞれ\begin{eqnarray*}(xyxy^{-1})^{3} & = & (y^{-1}xy^{-1}y^{-1})^{3} \\& = & (y^{-1}xy^{2})^{3} \\& = & y^{-1}xyxyxy^{2} = y^{-1}(xy)^{3}y = 1 \\(yxy^{-1}y^{2}xy^{-2})^{3} & = & (yxyxy^{2})^{3} \\& = & (xyxyxy^{2}x)^{3} \\& = & ((xy)^{3}yx)^{3} = (yx)^{3} = 1 \\(xy^{2}xy^{-2})^{2} & = & ((xyx)^{2}y^{2})^{2} \\& = & ((y^{-1}xy^{-1})^{2}y^{2})^{2} \\& = & (y^{-1}xy^{-2}xy)^{2} \\& = & y^{-1}xy^{-2}xyy^{-1}xy^{-2}xy = 1\end{eqnarray*}として分かります。

(step 3) 各 $\psi\circ \varphi(x) = x$, $\psi\circ \varphi(y) = xyxyxy^{-2}$ が $G$ を定める関係式を用いてそれぞれ $x, y$ に変形できればよいですが、ともに容易です。

(step 4) 各 $\varphi\circ \psi(x_{1}) = x_{1}$, $\varphi\circ \psi(x_{2}) = x_{1}x_{2}x_{3}x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}$, $\varphi\circ \psi(x_{3}) = (x_{1}x_{2}x_{3})^{2}x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-2}$ が $H$ を定める関係式を用いてそれぞれ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ に変形できればよいです。$1$ つ目は自明です。$2$ つ目は\begin{eqnarray*}x_{1}x_{2}x_{3}x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-1} & = & x_{1}x_{2}x_{3}x_{1}x_{3}x_{2}x_{1} \\& = & x_{1}x_{2}x_{1}x_{2}x_{1} = x_{2}\end{eqnarray*}として分かり、$3$ つ目は\begin{eqnarray*}(x_{1}x_{2}x_{3})^{2}x_{1}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-2} & = & (x_{1}x_{2}x_{3})x_{2}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-1} \\& = & x_{1}(x_{2}x_{3}x_{2}x_{3}x_{2})x_{1} = x_{1}x_{3}x_{1} = x_{3}\end{eqnarray*}として分かります。

(3) 命題3.3.30の $n = 4$ の場合です。

(4) 同型\[\langle x, y\mid x^{3}, y^{5}, (xy)^{2}\rangle\cong \langle x_{1}, x_{2}, x_{3}\mid x_{1}^{3}, x_{2}^{3}, x_{3}^{3}, (x_{1}x_{2})^{2}, (x_{2}x_{3})^{2}, (x_{1}x_{3})^{2}\rangle\]を確かめれば命題3.3.30の $n = 5$ の場合より主張の同型が従います。左辺を $G$、右辺を $H$ とおき、準同型\[\varphi : F_{2}\to F_{3} : \left\{\begin{array}{ccc}x & \mapsto & x_{1}^{2} \\y & \mapsto & x_{1}x_{2}x_{3}\end{array}\right.,\]\[\psi : F_{3}\to F_{2} : \left\{\begin{array}{ccc}x_{1} & \mapsto & x^{2} \\x_{2} & \mapsto & (y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1} \\x_{3} & \mapsto & (y^{-1}x^{2}y)^{2}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2}\end{array}\right.\]を取ります。次の流れで示します。

(step 1) 各 $\varphi(x^{3}) = x_{1}^{6}$, $\varphi(y^{5}) = (x_{1}x_{2}x_{3})^{5}$, $\varphi((xy)^{2}) = (x_{1}^{3}x_{2}x_{3})^{2}$ が $H$ を定める関係式を用いて $1$ に変形できればよいです。$1$ つ目と $3$ つ目は明らかです。$2$ つ目については相異なる $i, j, k\in \{1, 2, 3\}$ に対して\begin{eqnarray*}(x_{i}x_{j}x_{k})^{2} & = & x_{i}x_{j}x_{i}^{3}x_{k}x_{i}x_{j}x_{k} \\& = & x_{j}^{-1}x_{i}^{2}x_{k}x_{i}x_{j}x_{k} \\& = & x_{j}^{-1}x_{i}x_{k}^{-1}x_{j}x_{k} \\& = & x_{j}^{-1}x_{i}x_{k}^{-2}x_{j}^{-1} \\& = & x_{j}^{-1}x_{i}x_{k}x_{j}^{-1}\end{eqnarray*}であることを用いて\begin{eqnarray*}(x_{1}x_{2}x_{3})^{5} & = & x_{2}^{-1}x_{1}x_{3}x_{2}^{-2}x_{1}x_{3}x_{2}^{-1}x_{1}x_{2}x_{3} \\& = & x_{2}^{-1}(x_{1}x_{3}x_{2})(x_{1}x_{3}x_{2})x_{2}x_{1}x_{2}x_{3} \\& = & x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}x_{2}x_{3} \\& = & x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{1}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}x_{2}x_{1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{3} = x_{3}^{3} = 1\end{eqnarray*}として分かります。

(step 2) 各\[\psi(x_{1}^{3}) = x^{6}, \ \psi(x_{2}^{3}) = ((y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1})^{3}, \ \psi(x_{3}^{3}) = ((y^{-1}x^{2}y)^{2}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2})^{3},\]\[\psi((x_{1}x_{2})^{2}) = (x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1})^{2},\]\[\psi((x_{2}x_{3})^{2}) = ((y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2})^{2},\]\[\psi((x_{1}x_{3})^{2}) = (x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{2}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2})^{2}\]が $G$ を定める関係式を用いて $1$ に変形できればよいです。最初の $3$ つは自明です。$4$ つ目は\begin{eqnarray*}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1} & = & (x^{-1}y^{-1}x^{-1})y(x^{-1}y^{-1})xy \\& = & yy(yx)xy = y^{3}x^{2}y\end{eqnarray*}であることを用いて\begin{eqnarray*}(x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1})^{2} & = & y^{3}x^{2}y^{4}x^{2}y \\& = & y^{3}x^{-1}y^{-1}x^{-1}y = y^{5} = 1\end{eqnarray*}として分かります。$5$ つ目は $4$ つ目の結果を用いて\begin{eqnarray*}((y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2})^{2} & = & (y^{-1}x^{2}y)(x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1})^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-1} \\& = & (y^{-1}x^{2}y)(y^{-1}x^{2}y)^{-1} = 1\end{eqnarray*}として分かります。$6$ つ目は\begin{eqnarray*}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{2}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2} & = & x^{2}(y^{-1}xy)x^{2}(y^{-1}xy)^{-1} \\& = & x^{-1}y^{-1}xyx^{-1}y^{-1}x^{-1}y \\& = & (yx)xyy = yx^{2}y^{3}\end{eqnarray*}であることを用いて\begin{eqnarray*}(x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{2}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2})^{2} & = & yx^{2}y^{4}x^{2}y^{3} \\& = & yx^{-1}y^{-1}x^{-1}y^{3} = y^{5} = 1\end{eqnarray*}として分かります。

(step 3) 各 $\psi\circ \varphi(x) = x^{4}$, $\psi\circ \varphi(y) = x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2}$ が $G$ を定める関係式を用いてそれぞれ $x, y$ に変形できればよいです。$1$ つ目は自明です。$2$ つ目は\begin{eqnarray*}x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)x^{2}(y^{-1}x^{2}y)^{-2} & = & (x^{2}(y^{-1}x^{2}y))^{3} \\& = & (x^{-1}y^{-1}x^{-1}y)^{3} = (yy)^{3} = y^{6} = y\end{eqnarray*}として分かります。

(step 4) 各\[\varphi\circ \psi(x_{1}) = x_{1}^{4}, \ \varphi\circ \psi(x_{2}) = ((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))x_{1}^{4}((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{-1},\]\[\varphi\circ \psi(x_{3}) = ((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{2}x_{1}^{4}((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{-2}\]が $H$ を定める関係式を用いてそれぞれ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ に変形できればよいです。$1$ つ目は自明です。残りは\begin{eqnarray*}(x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}) & = & x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{1}^{-1}x_{1}x_{1}x_{2}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{1}x_{2}x_{3} = x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{2}^{-1}x_{1}^{-1}x_{3} = x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{3}\end{eqnarray*}であることを用いて\begin{eqnarray*}((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))x_{1}^{4}((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{-1} & = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{3}x_{1}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{1}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}x_{3}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}^{2}x_{3}^{2} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1} = x_{2} \\((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{2}x_{1}^{4}((x_{1}x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{4}(x_{1}x_{2}x_{3}))^{-2} & = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{3}x_{2}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{3}^{-1}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}x_{2}x_{1}x_{3}x_{1}x_{2}^{-1}x_{3} \\& = & x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3} = x_{3}\end{eqnarray*}として分かります。

命題3.3.29と命題3.3.30の表示に対して命題3.3.23を用いることで容易に示されます。