まずはテンソル積の存在から。$S = M\times N$ を生成系とする自由 $R$ 加群を $F_{R}(S)$ とします。そして、次の形の元により生成する $F_{R}(S)$ の部分 $R$ 加群を $I$ とします。

$R$ 加群 $T = F_{R}(S)/I$ を取るとき写像\[\tau : M\times N\to T : (m, n)\mapsto [(m, n)] \in F_{R}(S)/I\]は明らかに $R$ 双線型写像です。対 $(T, \tau)$ が $M$ と $N$ のテンソル積であることを示します。

$A$ を $R$ 加群、$f : M\times N\to A$ を双線型写像とします。$R$ 準同型 $G : F_{R}(S)\to A$ を各生成元 $(m, n)\in M\times N$ に対して\[G((m, n)) = f(m, n)\]を満たすように定めるとき、上記のような $I$ の生成元は $\Ker G$ に属すため $I\subset \Ker G$ であり、$R$ 準同型 $g : T\to A$ を誘導します。これが $f = g\circ \tau$ を満たすことは明らかです。$f = g\circ \tau$ を満たす $R$ 準同型 $g$ の一意性ですが、これは $T = F_{R}(S)/I$ が各 $[(m, n)]$ により生成することと $f$ により $g$ の各 $[(m, n)]$ での値が一意に決定されることから分かります。

テンソル積 $(T, \tau)$, $(T', \tau')$ に対して $R$ 加群の同型 $\upsilon :T\to T'$ であって $\tau' = \upsilon\circ \tau$ を満たすものが一意に存在することはテンソル積の性質から容易です。

写像 $\varPhi : \Hom_{R}(M\otimes N, L)\cong \Hom_{R}(M, \Hom_{R}(N, L))$ を $R$ 準同型 $f\in \Hom_{R}(M\otimes N, L)$ に対して\[\varPhi : f\mapsto (m\mapsto (n\mapsto f(m\otimes n)))\in \Hom_{R}(M, \Hom_{R}(N, L))\]とすることで定めます。あとはこれが $R$ 準同型であってかつ同型であることを確認すればよいです。

前半は、任意の $n\in\Z$ に対して $f_{n}(\Img\partial_{n + 1})\subset\Img\partial'_{n + 1}$ と $f_{n}(\Ker\partial_{n})\subset\Ker\partial'_{n}$ であることから、$[c]\in H_{n}(C_{\bullet}, R)$ に対して $f_{*}[c] = [f(c)]$ とすることで $R$ 準同型 $f_{*}$ がwell-definedに定まります。後半は明らか。

$f^{d}$ がコチェイン写像であることは\[\delta\circ f^{d}(\varphi') = \partial^{*}(\varphi'\circ f) = \varphi'\circ f\circ \partial = \varphi'\circ \partial \circ f = f^{d}(\varphi'\circ \partial) = f^{d}\circ\delta(\varphi')\]から従い、あとは容易です。

$f, g, h : C_{\bullet}\to C'_{\bullet}$ はチェイン写像を表すとします。反射律は $f$ に対して零準同型の列が $f$ を $f$ につなぐchain homotopyを与えるのでよいです。対称律は $f$ を $g$ につなぐchain homotopy $\varphi$ に対して $-\varphi$ が $g$ を $f$ につなぐchain homotopyを与えるのでよいです。推移律は $f$ を $g$ につなぐchain homotopy $\varphi$ と $g$ を $h$ につなぐchain homotopy $\psi$ の和 $\varphi + \psi$ が $f$ を $h$ につなぐchain homotopyであるので成立します。以上によりchain homotopyによる関係 $\sim$ は同値関係です。

$\varphi : C_{\bullet}\to C'_{\bullet + 1}$ を $f$ を $g$ につなぐchain homotopyとし、$\psi : C'_{\bullet}\to C''_{\bullet + 1}$ を $f'$ を $g'$ につなぐchain homotopyとすれば、$\xi = g'\circ \varphi + \psi\circ f$ が $f'\circ f$ を $g'\circ g$ につなぐchain homotopyです。実際、\begin{eqnarray*}\partial \xi & = & g'\circ (\partial\circ \varphi) + (\partial\circ \psi)\circ f \\& = & g'\circ (g - f - \varphi\circ \partial) + (g' - f' - \psi\circ \partial)\circ f \\& = & g'\circ g - f'\circ f - (g'\circ \varphi)\circ \partial - (\psi\circ f)\circ\partial \\& = & g'\circ g - f'\circ f - \xi\circ \partial\end{eqnarray*}です。

homology群の誘導準同型については\[(g - f)(\Ker\partial) = (\varphi\circ\partial+\partial'\circ\varphi)(\Ker\partial) = \partial'(\varphi(\Ker\partial))\subset\Img\partial'\]から分かります。cohomology群の誘導準同型については $f$ と $g$ をつなぐchain homotopy $\varphi$ の双対写像 $\varphi^{d}$ が $f^{d}$ と $g^{d}$ をつなぐcochain homotopyを与えるので、あとは同じです。残りも明らかです。

チェイン複体について示します。$($コチェイン複体の方もまったく同様に示されます。$)$

準同型 $\partial_{*}$ を次で定義します。$[c]\in H_{n}(C_{\bullet})$ に対して $b\in B_{n}$ で $j(b)=c$ なるものを取ります。$j\circ\partial (b)=\partial\circ j(b) = 0$ なので $i(a) = \partial b$ となる $a\in A_{n - 1}$ が取れます。また、$i(\partial a) = \partial(i(a)) = \partial(\partial b) = 0$ と $i$ の単射性から $a\in Z_{n - 1}(A_{\bullet}; R)$ です。そこで、$\partial_{*}[c] = [a]\in H_{n - 1}(A_{\bullet})$ と定めます。これがwell-definedであることを示しておきます。別の $b'\in B_{n}$ と $a'\in A_{n - 1}$ を順に取ったとき、$j(b - b') = c - c = 0$ により $i(a'') = b - b'$ となる $a''\in A_{n}$ が存在して\[i\circ \partial(a'') = \partial\circ i(a'') = \partial(b - b') = i(a - a')\]となりますが、$i$ の単射性から $\partial a'' = a - a'$ です。これは $[a] = [a']$ を意味するのでwell-definedです。

$(\Img \partial_{*}\subset \Ker i_{*})$ $[c]\in H_{n}(C_{\bullet})$ に対して $i_{*}\circ \partial_{*}([c]) = [\partial b]=0 \text{ in }H_{n -1}(B_{\bullet})$ です。

$(\Img i_{*}\subset \Ker j_{*})$ $[a]\in H_{n}(A_{\bullet})$ に対して $j\circ i =0$ から $j_{*}\circ i_{*}([a]) = [j\circ i(a)] = 0$ です。

$(\Img j_{*}\subset \Ker \partial_{*} )$ $[b]\in H_{n}(B_{\bullet})$ に対して $i(a) = \partial b$ となる $a\in A_{n - 1}$ として $0$ を取れるのでそうです。$\partial_{*}\circ j_{*}([b]) = \partial_{*}[j(b)] = [a] = 0$ です。

$(\Ker i_{*} \subset \Img \partial_{*})$ $[a]\in \Ker (i_{*})_{n - 1}$ に対し、$[i(a)] = 0 \text{ in } H_{n - 1}(B_{\bullet})$ なので $\partial b = i(a)$ となる $b\in B_{n}$ が取れます。このとき、$\partial\circ j(b) = j\circ\partial(b) = j\circ i(a) = 0$ から $c = j(b)\in \Ker\partial_{n}$ に対して $[a] = [\partial b] = \partial_{*}[c]$ となります。

$(\Ker j_{*} \subset \Img i_{*})$ $[b]\in \Ker (j_{*})_{n - 1}$ に対し、$\partial c' = j(b)$ となる $c'\in C_{n}$ を取ります。さらに、$j(b') = c'$ なる $b'\in B_{n}$ を取ると $b-\partial b'\in \Ker j_{n - 1} = \Img i_{n - 1}$ であり $i(a) = b - \partial b'$ となる $a\in A_{n - 1}$ が取れます。よって、$i_{*}[a] = [b - \partial b'] = [b]$ を得ます。

$(\Ker \partial_{*} \subset \Img j_{*})$ $[c]\in \Ker (\partial_{*})_{n}$ に対し、$j(b) = c$, $i(a) = \partial b$ となる $b\in B_{n}$, $a\in A_{n - 1}$ を取るとき $[a] = \partial_{*}[c] = 0 \in H_{n - 1}(A_{\bullet})$ なので、ある $a'\in A_{n}$ が存在して $\partial a' = a$ となります。よって、$\partial(b - i(a')) = \partial b - i(a) = 0$ であり $j_{*}[b -i(a')] = [j(b)] = [c]$ です。

$f_{2}$ の単射性を示します。$c\in C_{2}$ に対して $f_{2}(c) = 0$ であるとします。このとき、$f_{1}\circ \partial_{2}(c) = \partial'_{2}\circ f_{2}(c) = 0$ と $f_{1}$ の単射性より $\partial_{2}c = 0$ であり、ある $b\in C_{3}$ が存在して $\partial_{3}b = c$ となります。$\partial'_{3}\circ f_{3}(c) = f_{2}\circ\partial_{3}(b) = 0$ より、ある $a'\in C'_{4}$ が存在して $\partial'_{4}a' = f_{3}(b)$ です。また、$f_{4}$ の全射性から $f_{4}(a) = a'$ となる $a\in C_{4}$ が取れます。$f_{3}\circ \partial_{4}(a) = \partial'_{4}\circ f_{4}(a) = f_{3}(b)$ と $f_{3}$ の単射性から $\partial_{4}a = b$ であり $c = 0$ です。

次に $f_{2}$ の全射性を示します。$c'\in C'_{2}$ とします。$f_{1}$ の全射性から $f_{1}(b) = \partial'_{2}c'$ なる $b\in C_{1}$ を取るとき、$f_{0}\circ \partial_{1}(b) = \partial'_{1}\circ f_{1}(b) = 0$ と $f_{0}$ の単射性から $\partial_{1}b = 0$ であり、$\partial_{2}c = b$ となる $c\in C_{2}$ が取れます。$\partial'_{2}(c' - f_{2}(c)) = 0$ なので $\partial'_{3}a' = c' - f_{2}(c)$ なる $a'\in C'_{3}$ が取れます。$f_{3}$ の全射性から $f_{3}(a) = a'$ となる $a\in C_{3}$ を取れば、$f_{2}(\partial_{3}a + c) = \partial'_{3}\circ f_{3}(a) + f_{2}(c) = c' - f_{2}(c) + f_{2}(c) = c$ です。

$\alpha$ の全射性から $\Img (\beta\circ \alpha) = \Img \beta = \Ker (D\to E)$、$\beta$ の単射性から $\Ker (\beta\circ\alpha) = \Ker \alpha = \Img (A\to B)$ なのでそうです。

以下の証明は[堀田 代数入門–群と加群–]によります(どこでもこんな感じに証明する気はしますが…)。

非自明なのは $\Ker (j\otimes \Id_{M})\subset \Img (i\otimes \Id_{M})$ のみです。まず、同型 $B/i(A)\cong C$ による同一視の下で $R$ 双線型写像\[\varphi : C\times M\to (B\otimes M)/(\Img i\otimes M) : ([b], m)\mapsto [b\otimes m]\]を取ります。well-definedであること $($代表元 $b$ の取り方によらないこと$)$ と $\varphi$ の $R$ 双線型性は明らか。よって、普遍性により $R$ 準同型 $\psi : C\otimes M\to (B\otimes M)/\Img i\otimes M$ であって $\varphi = \psi\circ \tau$ を満たすものが一意に定まります。

いま、$\sum b_{k}\otimes m_{k}\in \Ker(j\otimes \Id_{M})$ に対して $\psi(\sum j(b_{k})\otimes m_{k}) = 0$ ですが、これは $\sum j(b_{k})\otimes m_{k}\in \Img i\otimes M = \Img (i\otimes \Id_{M})$ を意味します。

まずは上。非自明なのは $\Ker i^{*}\subset \Img j^{*}$ のみです。$f \in \Ker i^{*}$ とします。$f(i(A)) = 0$ なので $f$ は $R$ 準同型 $\tilde{f} : B/i(A)\cong C\to M$ を誘導します。この $\tilde{f}\in \Hom(C, M)$ に対して $j^{*}(\tilde{f}) = f$ です。

次に下。非自明なのは $\Ker j_{*}\subset \Img i_{*}$ のみです。$f\in \Ker j_{*}$ とします。$j(f(M)) = 0$、つまり $\Img f\subset \Ker j = \Img i$ なので $i$ の単射性から $i_{*}(\tilde{f}) = i\circ \tilde{f} = f$ を満たす $\tilde{f}\in \Hom(M, A)$ が構成されます。