位相幾何学 | 単純指向

位相幾何学 TOP

数学ノートについて

位相幾何学

位相幾何学のまとめです。
位相空間の特異homology論とhomotopy論についてざっとまとめた後で
位相多様体に対するPoincaré-Lefschetzの双対定理の解説をしています。

章立てしていますが、必ずしもページ間で整合性が取れていない状態です。
各ページの構成や定理番号は断りなく変わると思いますので注意ください。
リンク等張る場合はこのページかより上のページにお願いします。

はじめに

f.1 まえがき

f.1.1 現在の構成

f.1.2 今後の予定

f.2 主な参考文献

f.3 更新履歴

第1章 homology代数

1.1 チェイン複体とhomology群 (2022/05/02 いろいろ修正)

1.1.1 テンソル積

1.1.2 双対写像

1.1.3 チェイン複体

1.1.4 チェイン写像

1.1.5 完全系列

1.2 Tor関手とExt関手 (2023/08/02 微修正)

1.2.1 射影加群

1.2.2 入射加群

1.2.3 射影分解

1.2.4 Tor関手とExt関手

1.3 普遍係数定理 (2022/12/17 誤植修正)

1.3.1 普遍係数定理

1.3.2 チェイン複体の積

1.4 射影極限と入射極限 (2023/05/14 微修正)

1.4.1 帰納系と帰納極限

1.4.2 射影系と射影極限

1.4.3 チェイン複体の帰納系・射影系

第2章位相空間のhomology群

2.1 特異チェイン複体 (2023/02/02 全体的に内容変更)

2.1.1 特異homology群とその基本性質

2.1.2 簡約homology群

2.1.3 計算例

2.2 切除定理 (2024/11/02 内容追加)

2.2.1 重心細分作用素

2.2.2 切除定理

2.2.3 Mayer-Vietoris完全系列と懸垂同型

2.2.4 計算例

2.2.5 コンパクト曲面の特異(co)homology群

2.3 カップ積・キャップ積 (2023/04/02 一部記号変更)

2.3.1 Eilenberg-Zilberの定理

2.3.2 Alexander-Whitney写像

2.3.3 直積空間についてのKünnethの公式

2.3.4 クロス積・カップ積・キャップ積

2.4 CW複体 (2023/01/02 少し構成変更)

2.4.1 胞体複体

2.4.3 胞体近似定理

2.4.4 CW複体のhomology群

第3章 homotopy群

3.1 homotopy群の構成と基本性質 (2022/12/17 内容追加)

3.1.1 homotopy群

3.1.2 基本亜群と局所系

3.1.3 homotopy完全系列

3.2 ファイバー空間

3.3 Hurewiczの定理とWhiteheadの定理

3.4 被覆空間と基本群 (2023/02/02 注釈追加),

3.4.1 被覆空間

3.4.2 普遍被覆空間と分類定理

3.4.3 多様体の被覆空間と基本群

3.4.4 van Kampenの定理

第4章双対定理

4.1 局所系と位相多様体の向き (2023/04/02 新規作成)

4.1.1 局所系の構成法

4.1.2 位相多様体上の向きの局所系

4.2 局所系係数の特異homology群 (2023/04/02 新規作成)

4.2.1 局所系係数の特異homology群

4.2.2 局所系係数での基本性質

4.2.3 位相多様体の基本類

4.3 Poincaré-Lefschetzの双対定理 (2023/04/02 新規作成)

4.3.1 Poincaré-Lefschetzの双対定理

4.3.2 双対定理の応用

4.4 交叉理論