$D^{n}$ がコンパクト、$X$ がHausdorff空間なので $\Img \varphi$ は閉集合です。そして、特性写像の定義の条件よりもちろん $e\subset \Img \varphi\subset \overline{e}$ です。閉包 $\overline{e}$ は $e$ を含む最小の閉集合なので $\Img \varphi = \overline{e}$ です。商写像であることはコンパクト空間からHausdorff空間への連続全射が商写像であることから従います $($予備知識 命題2.7.24$)$。

(1) ⇒ (2) $A = \bigsqcup_{\mu\in M}e_{\mu}$ は胞体複体の定義から明らです。また、各 $\mu\in M$ に対して胞体 $e_{\mu}$ の $A$ における特性写像 $\varphi_{\mu}$ を取ればそれは $X$ における特性写像でもあるので補題2.4.3より $\Cl_{X}(e_{\mu}) = \Img \varphi_{\mu} = \Cl_{A}(e_{\mu})\subset A$ です。

(2) ⇒ (1) まず、各 $\mu\in M$ に対して $e_{\mu}$ が $A$ における胞体になっていることですが、これは $e_{\mu}$ の $X$ における特性写像 $\varphi : D^{n}\to \Cl_{X}(e_{\mu})$ を $\Cl_{X}(e_{\mu})\subset A$ であることからそのまま $A$ における特性写像として取れるのでよいです。$(A, \{e_{\mu}\}_{\mu\in M})$ が胞体複体であるための条件として $A = \bigsqcup_{\mu\in M}e_{\mu}$ は既に与えられているし、各 $\mu\in M$ に対して $\Cl_{A}(e_{\mu})\setminus e_{\mu}\subset A^{(\dim e_{\mu} - 1)}$ であることも $\Cl_{A}(e_{\mu})\setminus e_{\mu}\subset X^{(\dim e_{\mu} - 1)}$ と $A^{(\dim e_{\mu} - 1)} = X^{(\dim e_{\mu} - 1)}\cap A$ より従います。

命題2.4.5よりいずれも容易です。

$X$ の $n$ 胞体 $e_{\lambda}$ と $Y$ の $m$ 胞体 $e'_{\mu}$ の直積 $e_{\lambda}\times e'_{\mu}$ が胞体になることは、それぞれの特性写像 $\varphi_{\lambda}, \varphi'_{\mu}$ の直積 $\varphi_{\lambda}\times \varphi'_{\mu} : D^{n + m}\cong D^{n}\times D^{m}\to X\times Y$ が特性写像であることから確かめられます。胞体分割になっていること、つまり、$X\times Y$ の直和分解を与えることと常に $\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\setminus (e_{\lambda}\times e'_{\mu}) \subset (X\times Y)^{(n + m - 1)}$ であることも容易です。

各 $\mu\in M$ に対して $A_{\mu}$ を構成する胞体 $e_{\lambda}$ たちの添字全体からなる集合を $\Lambda_{\mu}$ とします。各 $\mu\in M$ について連続写像\[\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda_{\mu}}\overline{e_{\lambda}}\to A_{\mu}\]は商写像$\{\overline{e_{\lambda}}\}_{\lambda\in\Lambda_{\mu}}$ は $A_{\mu}$ の有限閉被覆であるため。なので、連続写像\[\bigsqcup_{\mu\in M}\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda_{\mu}}\overline{e_{\lambda}}\xrightarrow{\varphi} \bigsqcup_{\mu\in M}A_{\mu}\xrightarrow{\psi} X\]について $\varphi$ は商写像であり、予備知識 命題2.7.16より $\psi$ が商写像であることと $\psi\circ \varphi$ が商写像であることとは同値になります。また、連続写像\[\bigsqcup_{\mu\in M}\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda_{\mu}}\overline{e_{\lambda}}\xrightarrow{\varphi'} \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{e_{\lambda}}\xrightarrow{\psi'} X\]について $\varphi'$ が商写像であることと $\varphi\circ \psi = \varphi'\circ \psi'$ であることから $\psi$ が商写像であることと $\psi'$ が商写像であることとが同値になります。これが主張の同値性でした。

$X$ の有限部分胞体複体全体からなる族を $\{A_{\mu}\}_{\mu\in M}$ としておきます。

(1) 任意の $\mu\in M$ に対して $A\cap A_{\mu}$ は有限部分胞体複体、従って閉集合になるので命題2.4.11より $A$ 自身が閉集合です。

(2) $A$ が条件(C)を満たすことは明らかです。条件(W)について、商写像 $p : \bigsqcup_{\mu\in M}A_{\mu}\to X$ の制限 $p : p^{-1}(A) = \bigsqcup_{\mu\in M}(A\cap A_{\mu})\to A$ は $A$ が閉集合なので商写像であり $($予備知識 命題2.7.19$)$、また、$\{A\cap A_{\mu}\}_{\mu\in M}$ は重複を無視すれば $A$ の有限部分胞体複体全体からなるので $A$ はその有限部分胞体複体全体による閉被覆に関する弱位相を持ちます。よって、$A$ はCW複体です。

系2.4.6から明らか。

(1) 各 $\lambda\in \Lambda$ に対して $\overline{e_{\lambda}}\cap Y$ が $\overline{e_{\lambda}}$ の閉集合であることを示せばよいですが、$\overline{e_{\lambda}}$ を含む有限部分複体が存在することから $\overline{e_{\lambda}}\cap Y$ はHausdorff空間における有限集合、従って閉集合です。よって、$Y$ も閉集合です。

(2) 固定した $\lambda_{0}\in \Lambda$ に対して(1)と全く同様にして $Y\setminus \{y_{\lambda_{0}}\}$ が $X$ の閉集合であるので、$\{y_{\lambda_{0}}\}$ は $Y$ における開集合です。よって、$Y$ は離散空間です。

(3) $K$ と交わる胞体全体からなる部分族 $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda'}$ が有限族であることを示せばよいです。各 $\lambda\in \Lambda'$ について一点 $y_{\lambda}\in e_{\lambda}\cap K$ を取ることで部分空間 $Y' = \{y_{\lambda}\mid \lambda\in \Lambda'\}$ を構成するとき、$Y'$ は $K$ の閉集合でありコンパクトですが、$Y'$ が離散空間であることから有限集合であることが従います。よって、$\Lambda'$ は有限集合となるので $K$ はある有限部分複体に含まれます。また、$K$ を含む有限部分複体の胞体の次元の最大値を $n$ とすれば $K$ は $X^{(n)}$ に含まれます。

条件(C)は容易に確かめられます念のため確認しておきます。各胞体 $e$ に対してそれを含む有限部分胞体複体を構成すればよいです。帰納法により示します。$\dim e = 0$ のときは明らか。$\dim e = n - 1$ まではよいとしたとき、$\dim e = n$ となる胞体 $e$ について、その閉包 $\overline{e}$ は胞体分割の局所有限性と $\overline{e}$ のコンパクト性から次元が $n - 1$ 以下の高々有限個の胞体と交わりますが、その交わる各胞体に対してそれを含む有限部分胞体複体を取り、それらと $\overline{e}$ の和集合を取れば $e$ を含む有限部分胞体複体が構成されます。。また、$X$ の閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}}\}_{\lambda\in\Lambda}$ は局所有限なので $X$ はこの被覆に関する弱位相を持ちます $($予備知識 系2.7.36$)$。以上により $X$ はCW複体です。

(1) ⇒ (2) $x$ の開近傍 $U$ であって高々有限個の胞体としか交わらないものを取り、$U$ と交わる各胞体に対してそれを含む有限部分胞体複体たちを取り、それらの和集合を $A$ とすれば $x\in U\subset \Int A$ です。

(2) ⇒ (3) 各 $x\in X$ に対してそのコンパクト閉近傍として $x\in \Int A$ を満たす有限部分胞体複体 $A$ を取れるので $X$ は局所コンパクトHausdorff空間です。

(3) ⇒ (1) 固定した点 $x\in X$ に対してコンパクト閉近傍 $K$ を取れば補題2.4.14よりそれは高々有限個の胞体としか交わりません。よって、$X$ の胞体分割は局所有限です。

$A$ を $f(D^{n})$ を含む最小の部分CW複体とします。補題2.4.14より $k = \dim A$ は有界値です。また、制限 $f : D^{n}\to A$ も埋め込みです。$A$ の $k$ 胞体 $e$ を取ります。$A$ の最小性から $f(D^{n})\cap e\neq \varnothing$ です。$e$ は $A$ における開集合であり、制限 $g : f^{-1}(e)\cap \Int D^{n}\to e$ は $\R^{n}$ の空でない開集合から $\R^{k}$ への埋め込みを与えます。これは $k\geq n$ を意味し、$\dim X\geq n$ が従います。

$n$ 胞体 $e^{n}$ が埋め込み $D^{n}\to e^{n}$ を受け付けることに注意すれば $\dim X$ は埋め込める閉球体の次元の上限に一致することが分かり、これはCW分割の取り方によりません。

(1) 次の可換図式を考えます。

まず、$X^{(n)}$ がCW複体であることここの各骨格がCW複体となることに条件(C)を使用しています。から $r\circ q$ は商写像であり、$r$ も商写像です。そして、コンパクト空間からHausdorff空間への連続全射が商写像であることから $p$ は商写像です。よって商写像どうしの合成 $\varPhi_{n} = r\circ p$ は商写像です。

(2) 次の可換図式を考えます。

縦の写像がいずれも商写像なのでその帰納極限 $Q = \underset{n}{\varinjlim}q_{n} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{e_{\lambda}}\to \underset{n}{\varinjlim}X^{(n)}$ も商写像であり $($予備知識 定理2.7.44$)$、これが位相空間としての $X = \underset{n}{\varinjlim}X^{(n)}$ を意味します。

集合レベルでは $X^{(n)} = \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Int D_{\lambda}^{n}\right)\sqcup X^{(n - 1)}$ であり、$\Int D_{\lambda}^{n}$ を $X$ の胞体 $e_{\lambda}$ とすることで胞体分割 $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda = \bigsqcup_{n\in\N}\Lambda^{n}}$ が構成されます。商写像の各 $D_{\lambda}^{n}$ への制限が特性写像 $\varphi_{\lambda}$ です。この胞体分割により $X$ がCW複体になることを確かめるわけですが、そのためには

を示せばよいです。

(i) 相異なる $2$ 点 $x, y\in X$ に対して分離する開集合 $U, V$ を構成します。$x\in e_{\lambda}^{n}$, $y\in e_{\mu}^{m}$ とします。対称性より $n\leq m$ としてもよく、まずはその状況で $X^{(m)}$ において $x, y$ を分離する開集合 $U_{m}, V_{m}$ を取ります$y$ の $e_{\mu}^{m} = \Int D_{\mu}^{m}$ におけるコンパクト閉近傍 $K$ であって $x$ を元に持たないものを取れば $X^{(m)}\setminus K$ と $\Int K$ が分離する開集合として取れます。。あとは一般に $X^{(k)}$ における互いに非交叉な開集合 $U_{k}, V_{k}$ が $X^{(k + 1)}$ における互いに非交叉な開集合 $U_{k + 1}, V_{k + 1}$ に拡張することを示せば全空間において $x, y$ を分離する開集合 $U = \bigcup_{k\geq m}U_{k}$, $V = \bigcup_{k\geq m}V_{k}$ が得られます。この拡張は各 $k + 1$ 胞体ごとに拡張することで可能であり、実際、接着写像 $\varphi_{\nu}|_{\partial D_{\nu}^{k + 1}} : \partial D_{\nu}^{k + 1}\to X^{(k)}$ による逆像として定まる $\partial D_{\nu}^{k + 1}$ の互いに非交叉な開集合 $(\varphi_{\nu}|_{\partial D_{\nu}^{k + 1}})^{-1}(U_{k}), (\varphi_{\nu}|_{\partial D_{\nu}^{k + 1}})^{-1}(V_{k})$ を $D_{\nu}^{n + 1}$ における互いに非交叉な開集合 $U_{k + 1, \nu}, V_{k + 1, \nu}$ に拡張し例えば、$D^{k + 1}$ の中心を頂点とする錐から頂点を除いたものを取ればよいです。、$U_{k + 1} = U_{k}\cup \left(\bigcup_{\nu\in \Lambda^{n}}\varphi_{\nu}(U_{k + 1, \nu})\right)$, $V_{k + 1} = V_{k}\cup \left(\bigcup_{\nu\in \Lambda^{n}}\varphi_{\nu}(V_{k + 1, \nu})\right)$ とすればよいです。

(ii) 明らかな写像 $q_{n} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{k}, \, k\leq n}\overline{e_{\lambda}}\to X^{(n)}$ が商写像であることを帰納法により示します。$q_{0}$ については明らかなので、$q_{n - 1}$ が商写像であるとして $q_{n}$ が商写像であることを示します。次の可換図式を考えます。

まず、$\varPhi_{n} = r\circ p$ は商写像なので $r$ も商写像です。帰納法の仮定より $q'_{n - 1}$ も商写像であり、商写像どうしの合成 $q_{n} = r\circ q'_{n - 1}$ も商写像です。よって、任意の $n\in \N$ に対して $q_{n}$ は商写像です。この帰納極限として商写像 $Q : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{e_{\lambda}}\to \underset{n}{\varinjlim}X^{(n)}$ が得られるので $X$ は閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}}\}_{\lambda\in\Lambda}$ に関する弱位相を持ちます。

(iii) 胞体の次元に関する帰納法より示します。$0$ 胞体に対しては明らかなので、$n - 1$ 次元以下の胞体に対しては確かめられたとして $n$ 胞体に対して確かめます。$e_{\lambda}$ を $n$ 胞体とします。帰納法の仮定と(ii)より $X^{(n - 1)}$ はCW複体であるので、そのコンパクト部分空間 $\overline{e_{\lambda}}\setminus e_{\lambda}$ はある有限部分胞体複体 $A$ に含まれます。$\overline{e_{\lambda}}\cap A$ が $e_{\lambda}$ を含む $X^{(n)}$ の有限部分胞体複体です。以上より、$X$ の任意の胞体に対してそれを含む有限部分胞体複体が存在します。

$X, Y$ のCW分割をそれぞれ $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$, $\{e'_{\mu}\}_{\mu\in M}$ とします。

(1) まず、$Y$ の各胞体の閉包 $\overline{e'_{\mu}}$ が局所コンパクトHausdorff空間なので明らかな連続写像\[\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\to X\times \overline{e'_{\mu}}\]は商写像です $($予備知識 命題2.7.25$)$。また、局所有限性と命題2.4.16から $X$ は局所コンパクトHausdorff空間なので明らかな連続写像\[\bigsqcup_{\mu\in M}X\times \overline{e'_{\mu}}\to X\times Y\]は商写像です。従って、連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda, \, \mu\in M}\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\to X\times Y$ も商写像であり、$X\times Y$ は閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\}_{\lambda\in \Lambda, \, \mu\in M}$ に関する弱位相を持ちます。よって、$X\times Y$ はCW複体です。

(2) 明らかな連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda, \, \mu\in M}\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\to X\times Y$ が商写像であることを示せばよいですが、そのためには各 $\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}$ との共通部分が常に $\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}$ における開集合であるような $X\times Y$ の部分集合 $W$ が $X\times Y$ の開集合であることを示せばよいです。$z = (x, y)\in W$ を固定し、これが $W$ の内点であることを示します。まず、$X$ の局所可算性から $x\in X$ の開近傍であって高々可算個の胞体としか交わらないものを取り、その開近傍と交わる胞体たちを $e_{0}, e_{1}, e_{2}, \dots$ とします。そして、$X$ の有限部分複体の単調増大列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ を $x\in A_{0}$ かつ常に $e_{n}\subset A_{n}$ となるように取ります。$x\in \Int \left(\bigcup_{n\in\N}A_{n}\right)$ となります。同様に、$Y$ の有限部分複体の単調増大列 $\{B_{n}\}_{n\in\N}$ であって $y\in B_{0}$ かつ $y\in \Int \left(\bigcup_{n\in\N}B_{n}\right)$ となるものを取ります。以下のように $A_{n}$ における $x$ のコンパクト閉近傍 $K_{n}$ と $B_{n}$ における $y$ のコンパクト閉近傍 $L_{n}$ を構成します。

実際、$K_{n - 1}, L_{n - 1}$ まで構成できているとき、各 $A_{n}, B_{n}$ が有限胞体複体であることから $A_{n}\times B_{n}$ はCW複体になっており、従って、$W$ の取り方から $W\cap (A_{n}\times B_{n})$ は $A_{n}\times B_{n}$ における開集合であり、$K_{n}, L_{n}$ を $K_{n}\times L_{n}$ が $W\cap (A_{n}\times B_{n})$ における $K_{n - 1}\times L_{n - 1}$ のコンパクト閉近傍であるように構成できます。

さて、$U = \bigcup_{n\in\N}\Int_{A_{n}}K_{n}$ は $\bigcup_{n\in\N}A_{n}$ における $x$ の開近傍なので $X$ における近傍議論に関係ないですが、開とは限らないです。であり、同様に $V = \bigcup_{n\in\N}\Int_{A_{n}}K_{n}$ は $Y$ における $y$ の近傍です。従って、$U\times V$ は $X\times Y$ における $z = (x, y)$ の近傍であり、構成より $U\times V\subset W$ であるので $z$ は $W$ の内点です。以上により $W$ は $X\times Y$ における開集合であり、連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda, \, \mu\in M}\overline{e_{\lambda}\times e'_{\mu}}\to X\times Y$ が商写像であることが分かりました。以上により $X\times Y$ はCW複体です。

$X\times Y$ の胞体の閉包 $\overline{e}$ の位相は $X\times Y$ と $k(X\times Y)$ のどちらの通常の相対位相で考えても変わりない$k(X\times Y)$ はHausdorff空間であり、特性写像 $\varphi : D^{n}\to \overline{e}$ はどちらに関する相対位相を与えても商写像です。ので $X\times Y$ の胞体分割は $k(X\times Y)$ における胞体分割になっています。あとは $k(X\times Y)$ がその有限部分胞体複体全体からなる被覆 $\{A_{\mu}\}_{\mu\in M}$ に関する弱位相を持つことを示せばよいです。

まず、Hausdorff空間においてはコンパクト生成位相を持つこととそのコンパクト部分空間全体からなる被覆に関する弱位相を持つこととが同値であり $($予備知識 命題2.11.23$)$、従って、$k(X\times Y)$ はそのコンパクト部分空間全体からなる被覆 $\mathcal{K}$ に関する弱位相を持ちます。言い換えると、包含写像の直和により定まる写像 $q : \bigsqcup_{K\in\mathcal{K}}K\to k(X\times Y)$ は商写像です。

写像 $\varphi : \mathcal{K}\to M$ を各 $K\in \mathcal{K}$ に対して $A_{\varphi(K)}$ が $K$ を含む最小の有限部分胞体複体となるように取ります各成分への射影 $k(X\times Y)\to X, Y$ は連続なので、それらによる $K$ の像はCW複体 $X, Y$ におけるコンパクト部分空間です。それぞれについて補題2.4.14より像を含む有限部分胞体複体を取ればその直積として $K$ を含む有限部分胞体複体が $1$ つ構成できます。よって、最小の有限部分胞体複体というのが意味を持ちます。。各 $\mu\in M$ に対して包含写像の直和 $\bigsqcup_{K\in \varphi^{-1}(\mu)}K\to A_{\mu}$ は商写像であり$\varphi^{-1}(\mu)$ に $A_{\mu}$ 自身が属すことに注意すれば明らかです。また、ここで最小性を使っています。、さらにその直和\[p : \bigsqcup_{K\in\mathcal{K}}K\to \bigsqcup_{\mu\in M}A_{\mu}\]も商写像です。包含写像の直和 $r : \bigsqcup_{\mu\in M}A_{\mu}\to k(X\times Y)$ は合成 $q = r\circ p$ が商写像であることにより商写像になりますが、これは $X$ が被覆 $\{A_{\mu}\}_{\mu\in M}$ に関する弱位相を持つことを意味します。以上により $k(X\times Y)$ はCW複体です。

$\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ のCW分割、$\{e'_{\mu}\}_{\mu\in M}$ を $Y$ のCW分割とし、部分集合 $N\subset \Lambda$ に対して $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in N}$ が $A$ のCW分割を与えるとします。$Z = X\cup_{f} Y$ が胞体分割 $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda\setminus N}\sqcup \{e'_{\mu}\}_{\mu\in M}$ によりCW複体になることを示します。$f$ が胞体写像という仮定から各 $n\geq 0$ に対して制限 $f_{n} : A^{(n)}\to Y^{(n)}$ が得られ、これによる $X^{(n)}$ と $Y^{(n)}$ の等化空間 $Z^{(n)} = X^{(n)}\cup_{f_{n}} Y^{(n)}$ が考えられます。商写像 $p_{n} : X^{(n)}\sqcup Y^{(n)}\to Z^{(n)}$ の帰納極限 $p : X\sqcup Y\to \underset{n}{\varinjlim}Z^{(n)}$ が商写像であるので $Z = \underset{n}{\varinjlim}Z^{(n)}$ です。あとは $Z^{(n)}$ が $Z^{(n - 1)}$ に $n$ 次元球体たちをその境界で貼り合わせて得られる空間であることを示せば命題2.4.21より $Z$ が上記の胞体分割によってCW複体になることが分かります。

$X^{(n)}$ の部分複体 $W_{n}$ を $W_{n} = X^{(n - 1)}\cup \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda^{n}\setminus N^{n}}e_{\lambda}\right)$ により定めます。次の可換図式を考えます。

$p_{n}, \Id\sqcup p_{n - 1}, q, r, s$ が商写像であることから $t, u$ も商写像です。$u$ について、その制限 $u' : \bigsqcup_{\lambda\in N^{n}}D_{\lambda}^{n}\to Z^{(n)}$ は制限 $u'' : W_{n}\cup_{f_{n - 1}} Y^{(n)}\to Z^{(n)}$ に関するリフト $l : \bigsqcup_{\lambda\in N^{n}}D_{\lambda}^{n}\to W_{n}\cup_{f_{n - 1}} Y^{(n)}$ を持ち、このことから $u''$ は商写像です。そして、$u''$ は連続全単射でもあるので同相写像です。以上により $t$ の制限 $t' : \left(\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda^{n}\setminus N^{n}}D_{\lambda}^{n}\right)\sqcup \left(\bigsqcup_{\mu\in M^{n}}D_{\mu}^{n}\right)\sqcup Z^{(n - 1)}\to W_{n}\cup_{f_{n - 1}} Y^{(n)}\cong Z^{(n)}$ は商写像であり、これは $Z^{(n)}$ が $Z^{(n - 1)}$ に $n$ 次元球体をその境界で貼り合わせた空間であることを意味します。

商空間 $X/A$ は胞体写像 $f : A\to \{*\}$ による等化空間 $X\cup_{f} \{*\}$ です。

まず、$X^{(-1)}$ は空集合なので自明にパラコンパクトHausdorff空間です。$X^{(n - 1)}$ がパラコンパクトHausdorff空間であるとき、$X^{(n)}$ はパラコンパクトHausdorff空間 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}} D_{\lambda}^{n}$ をその閉集合からの連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}} \partial D_{\lambda}^{n}\to X^{(n - 1)}$ に従って $X^{(n - 1)}$ に貼り合わせた空間であるのでパラコンパクトHausdorff空間です $($予備知識 系2.9.31$)$。よって、帰納法により全ての骨格 $X^{(n)}$ はパラコンパクトHausdorff空間です。従って、$X$ はパラコンパクトHausdorff閉部分空間の増大列 $\{X_{n}\}_{n\in\N}$ の帰納極限でありパラコンパクトHausdorff空間です $($予備知識 系2.9.32$)$。

(1) ⇔ (2) $X$ が閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}}\}_{\lambda\in\Lambda}$ に関する弱位相を持つことと弱位相の普遍性 $($予備知識 系2.7.35$)$ から従います。

(1) ⇔ (3) $X = \underset{n}{\varinjlim}X^{(n)}$ と帰納極限の普遍性から従います。

(1) ⇔ (2) 区間 $I$ が局所コンパクトHausdorff空間なので $X\times I$ は閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}}\times I\}_{\lambda\in\Lambda}$ に関する弱位相を持ちます $($予備知識 系2.7.48$)$。よって、弱位相の普遍性より主張の同値性が従います。

(1) ⇔ (3) 区間 $I$ が局所コンパクトHausdorff空間なので $(\underset{n}{\varinjlim}X^{(n)})\times I = \underset{n}{\varinjlim}(X^{(n)}\times I)$ であり $($予備知識 系2.7.49$)$、このことと帰納極限の普遍性からただちに従います。

条件(C)は明らかです$x\in X$ に対し、$(X, A)$ についての有限部分複体 $(Z, A)$ であって $x$ の属すものを取れば $(Z\cup Y, Y)$ が $(X, Y)$ についての有限部分複体であって $x$ が属しています。。条件(W)については明らかな写像\[\left(\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda\setminus M}\overline{e_{\lambda}}\right)\sqcup \left(\bigsqcup_{\mu\in M}\overline{e_{\mu}}\right)\sqcup A\xrightarrow{p} \left(\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda\setminus M}\overline{e_{\lambda}}\right)\sqcup Y\xrightarrow{q} X\]について $q\circ p$ が商写像であることから $q$ も商写像でありよいです。

(1) 予備知識 命題2.7.56と予備知識 命題2.7.57から従います。

(2) 通常のCW複体のパラコンパクトHausdorff性 $($命題2.4.33$)$ と全く同様に示されます。

$X, (Y, B)$ のCW分割をそれぞれ $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$, $\{e_{\mu}\}_{\mu\in M}$ とします。まず、$Y$ の各胞体の閉包 $\overline{e_{\mu}}$ が局所コンパクトHausdorff空間なので明らかな連続写像\[\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{e_{\lambda}\times e_{\mu}}\to X\times \overline{e_{\mu}}\]は商写像です $($予備知識 命題2.7.25$)$。また、$X$ は局所コンパクトHausdorff空間なので明らかな連続写像\[\left(\bigsqcup_{\mu\in M}X\times \overline{e_{\mu}}\right)\sqcup (X\times B)\to X\times Y\]は商写像です。従って、連続写像 $\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda, \, \mu\in M}\overline{e_{\lambda}\times e_{\mu}}\right)\sqcup (X\times B)\to X\times Y$ も商写像であり、$X\times Y$ は閉被覆 $\{\overline{e_{\lambda}\times e_{\mu}}\}_{\lambda\in \Lambda, \, \mu\in M}\sqcup \{X\times B\}$ に関する弱位相を持ちます。

各 $n\geq 1$ に対して強変位レトラクション $r_{n} : X_{n}\to X_{n - 1}$ を取り、$i_{n - 1} : X_{n - 1}\to X_{n}$ を包含写像として $\Id_{X_{n}}$ を $i_{n - 1}\circ r_{n}$ につなぐ $X_{n - 1}$ を保つhomotopy $R_{n} : X_{n}\times I\to X_{n}$ を取ります。

連続写像 $H_{0} : X_{0}\times \{1\}\to X_{0}$ を恒等写像にとり、以下、連続写像 $H_{n} : X_{n}\times [2^{-n}, 1]\to X_{n}$ を\[H_{n}(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}R_{n}(x, 2^{n}t - 1)& (t\in [2^{-n}, 2^{-(n - 1)}]) \\H_{n - 1}((i_{n - 1}\circ r_{n})(x), t)& (t\in [2^{-(n - 1)}, 1])\end{array}\right.\]として帰納的に定めます。$R_{n - 1}$ の $X_{n - 1}\times \{0\}$ への制限が恒等写像であることから $H_{n - 1}$ の $X_{n - 1}\times \{2^{-(n - 1)}\}$ への制限も恒等写像であり、このことに注意して $t = 2^{-(n - 1)}$ において $R_{n}(x, 1) =(i_{n - 1}\circ r_{n})(x) = H_{n - 1}((i_{n - 1}\circ r_{n})(x), 2^{-(n - 1)})$ であるので $H_{n}$ はwell-definedです。さらに、以下の条件を満たしています(a)は $r_{n}$ が $X_{n - 1}$ のレトラクションであることから。(b)は $R_{n}$ が $X_{n - 1}$ を保つhomotopyであることから。。

この $H_{n}$ たちを用いてhomotopy $H : X\times I\to X$ を\[H(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}H_{n}(x, t)& ((x, t)\in X_{n}\times [2^{-n}, 1]) \\x & (t = 0)\end{array}\right.\]と定めます。well-definedであることは(a)から直ちに従います。各 $n\in \N$ に対し、(b)より $X_{n}\times [0, 2^{-n}]$ 上で $H(x, t) = x$ が成立し、$H$ は $X_{n}\times I$ 上で連続です。よって、$H$ は $X\times I$ 上で連続です。$H|_{X\times \{1\}}$ の制限 $r : X\to A$ が $X$ における $A = X_{0}$ のレトラクションであり、$i : A\to X$ を包含写像として $H$ は $\Id_{X}$ を $i\circ r$ につなぐ $A$ を保つhomotopyです。よって、$A$ は強変位レトラクトです。

埋め込み $u : S^{n - 1}\times [0, 1)\to D^{n} : (x, t)\mapsto (1 - t)x$ を取り、$U' = u^{-1}(U)$ とおきます。$V$ の相対コンパクト開集合による被覆 $\{V_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ とそれに従属する $1$ の分割 $\{h_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を取ります。さらに、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して正実数 $t_{\lambda} > 0$ であって $\overline{V_{\lambda}}\times [0, t_{\lambda}]\subset U'$ を満たすものを取ります。$V$ 上の正値連続関数 $h = \sum_{\lambda\in\Lambda}t_{\lambda}h_{\lambda}$ を用いて定義される写像\[\xi : V\times [0, 1)\mapsto U : (x, t)\mapsto u(x, t\cdot h(x))\]が主張の条件を満たす埋め込みになっています。

各 $n > m$ に対して $X^{n}$ の開集合 $U_{n}$ を次の条件を満たすように構成します。

$U_{n - 1}$ まで構成できているとして $U_{n}$ を構成します。$\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda^{n}}$ を $n$ 胞体全体からなる族とし、商写像 $\varPhi_{n} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D_{\lambda}^{n}\right)\sqcup X^{n - 1}\to X^{n}$ の制限により各 $n$ 胞体に対する特性写像 $\varphi_{\lambda}$ を固定します。各 $\lambda\in \Lambda^{n}$ に対し、$V_{\lambda} = (\varphi_{\lambda}|_{S^{n - 1}})^{-1}(U_{n - 1})$ とおき、この $V_{\lambda}$ と $D^{n}$ の開集合 $\varphi_{\lambda}^{-1}(W)$ に対して補題2.4.48を用いて埋め込み $\xi_{\lambda} : V_{\lambda}\times [0, 1)\to D^{n}$ であって $\Img \xi_{\lambda}\subset \varphi_{\lambda}^{-1}(W)$ かつ常に $\xi_{\lambda}(x, 0) = x$ を満たすものを固定します。$U_{n} = U_{n - 1}\cup \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\varphi_{\lambda}(\Img \xi_{\lambda})\right)$ が条件を満たす開集合であることを示します。$($開集合であることは(iii)の途中で示します。$)$

(i) $U_{n - 1}\subset W$ であることと各 $\lambda\in \Lambda^{n}$ に対して $\varphi_{\lambda}(\Img \xi_{\lambda})\subset \varphi_{\lambda}(\varphi_{\lambda}^{-1}(W))\subset W$ であることからよいです。

(ii) 各 $\lambda\in \Lambda^{n}$ に対して\[\varphi_{\lambda}(\Img \xi_{\lambda})\cap X^{n - 1} = \varphi_{\lambda}(V_{\lambda}) = \varphi_{\lambda}((\varphi_{\lambda}|_{S^{n - 1}})^{-1}(U_{n - 1}))\subset U_{n - 1}\]であり、$U_{n}\cap X^{n - 1}\subset U_{n - 1}$ です。逆の包含関係は明らかです。

(iii) まず、商写像 $\varPhi_{n} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D_{\lambda}^{n}\right)\sqcup X^{n - 1}\to X^{n}$ について $\varPhi_{n}^{-1}(U_{n}) = \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Img \xi_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}$ であることを示します。$\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Img \xi_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}\subset \varPhi_{n}^{-1}(U_{n})$ は明らかなので逆の包含関係を示します。各 $V_{\lambda}$ の定義より\[\varPhi_{n}^{-1}(U_{n - 1}) = \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}V_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}\subset \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Img \xi_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}\]であり、(ii)より $U_{n}\setminus U_{n - 1} = U_{n}\setminus X^{n - 1}$ であることと特性写像の制限の直和 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Int D_{\lambda}^{n}\to \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}e_{\lambda}$ の同相性から\begin{align*}\varPhi_{n}^{-1}(U_{n}\setminus U_{n - 1}) &= \varPhi_{n}^{-1}(U_{n}\setminus X^{n - 1}) = \varPhi_{n}^{-1}\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\varphi_{\lambda}(\xi_{\lambda}(V_{\lambda}\times (0, 1)))\right) \\&= \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\xi_{\lambda}(V_{\lambda}\times (0, 1))\subset \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Img \xi_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}\end{align*}です。これらを合わせて逆の包含関係が従い、よって、$\varPhi_{n}^{-1}(U_{n}) = \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\Img \xi_{\lambda}\right)\sqcup U_{n - 1}$ です。

各 $\Img \xi_{\lambda}$ が $D_{\lambda}^{n}$ における開集合であることから $\varPhi_{n}^{-1}(U_{n})$ は開集合、従って、$U_{n}$ は $X^{n}$ における開集合です。そして、このことから商写像の制限 $\varPhi_{n}^{-1}(U_{n})\to U_{n}$ も商写像です。同相 $\xi_{\lambda} : V_{\lambda}\times [0, 1)\to \Img \xi_{\lambda}$ を用いて $U_{n}$ を $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}(V_{\lambda}\times [0, 1))$ と $U_{n - 1}$ の連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\varphi_{\lambda}|_{V_{\lambda}} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}V_{\lambda}\to U_{n - 1}$ による等化空間、つまり、連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}\varphi_{\lambda}|_{V_{\lambda}}$ に関する写像柱と考えられるので $U_{n - 1}$ は $U_{n}$ の強変位レトラクトです。

$U = \bigcup_{n\geq m}U_{n}$ とおきます。$U\subset W$ は明らかです。各 $n\geq m$ に対して $U_{n} = U\cap X^{n}$ であり、$U$ は $X$ における開集合です。また、$U = \underset{n}{\varinjlim}U_{n}$ も従います。補題2.4.47よりこの $U$ が主張の開集合であることが従います。

補題2.4.49を $m = -1$, $U_{m} = A$, $W = X$ として適用すればよいです。

任意の点 $x\in X$ とその開近傍 $W$ に対し、$x$ の開近傍 $U$ であって $x$ を保って可縮かつ $W$ に含まれるものを構成すればよいです。$x$ の属す胞体 $e^{m}$ を固定し、$U_{m}$ を $x$ の $X^{m}$ における開近傍であって $e\cap W$ に含まれる開球体に取り、この $U_{m}$ と $W$ に対して補題2.4.49を適用すればよいです。

連続写像の列 $\{G_{n} : X^{n}\times I\to Y\}_{n\geq -1}$ を次の条件を満たすように帰納的に構成します。

もし構成できたとすれば、帰納極限 $G = \underset{n}{\varinjlim}G_{n} : X\times I\to Y$ が明らかに主張の連続拡張です。

$G_{n - 1}$ まで構成できたとして $G_{n}$ を構成します。連続写像 $F_{n - 1} : (X^{n}\times \{0\})\cup (X^{n - 1}\times I)\to Y$ を\[F_{n - 1}(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}F(x, t) & ((x, t)\in X^{n}\times \{0\}) \\G_{n - 1}(x, t) & ((x, t)\in X^{n - 1}\times I)\end{array}\right.\]により構成し、$\varPhi_{n} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D_{\lambda}^{n}\right)\sqcup X^{n - 1}\to X^{n}$ を商写像とします。さらに、連続写像\[H_{n} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}(D_{\lambda}^{n}\times \{0\})\cup (\partial D_{\lambda}^{n}\times I)\right)\sqcup (X^{n - 1}\times I)\to Y\]を $H_{n}(x, t) = F_{n - 1}(\varPhi_{n}(x), t)$ により定めます。レトラクション $r_{n} : D^{n}\times I\to (D^{n}\times \{0\})\cup (\partial D^{n}\times I)$ を用いることでレトラクション\[R_{n} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D^{n}\times I\right)\sqcup (X^{n - 1}\times I)\to \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}(D_{\lambda}^{n}\times \{0\})\cup (\partial D_{\lambda}^{n}\times I)\right)\sqcup (X^{n - 1}\times I)\]を構成すれば、合成 $H_{n}\circ R_{n}$ は $H_{n}$ の $\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D^{n}\times I\right)\sqcup (X^{n - 1}\times I)$ への連続拡張であり、連続写像 $G_{n} : X^{n}\times I\to Y$ を誘導します。これが条件を満たすことは容易であり、構成が完了しました。

連続写像\[H' : (X\times I)\times \{0\}\cup (A\times I\cup X\times \{0, 1\})\times I\to Y\]を\[H'(x, s, t) = \left\{\begin{array}{ll}F(x, t) & ((x, s, t)\in X\times I\times \{0\}) \\G_{0}(x, t) & ((x, s, t)\in X\times \{0\}\times I) \\F(x, t) & ((x, s, t)\in A\times I\times I) \\G_{1}(x, t) & ((x, s, t)\in X\times \{1\}\times I)\end{array}\right.\]により定めます。この $H'$ に対して相対CW複体 $(X\times I, (A\times I)\cup (X\times \{0, 1\}))$ のhomotopy拡張性質を用いることで $G_{0}$ を $G_{1}$ につなぐ $(X\times \{0\})\cup (A\times I)$ を保つhomotopy $H : X\times I\times I\to Y$ が得られます第 $2$ 変数がそのhomotopyの時間変数。$H(x, 0, t) = G_{0}(x, t)$, $H(x, 1, t) = G_{1}(x, t)$ です。。

恒等写像 $\Id_{(X\times \{0\})\cup (A\times I)}$ に対してhomotopy拡張性質 $($定理2.4.53$)$ を用いることでレトラクション $r : X\times I\to (X\times \{0\})\cup (A\times I)$ が得られます。$i : (X\times \{0\})\cup (A\times I)\to X\times I$ を包含写像とするとき、恒等写像 $\Id_{X\times I}$ と合成 $i\circ r$ はともに包含写像 $i$ の拡張であり、拡張のhomotopyの違いを除いた一意性 $($系2.4.54$)$ よりこれらは $(X\times \{0\})\cup (A\times I)$ を保ってhomotopicです。これは $(X\times \{0\})\cup (A\times I)$ が $X\times I$ の強変位レトラクトであることを意味します。

固定した $m$ に対する主張の命題をそれぞれ(A-$m$), (B-$m$)とおき、次を確かめます。

(i) 明らかです。

(ii) 任意に点 $p\in S^{n}$ を固定します。制限 $f' : S^{n}\setminus f^{-1}(f(p))\to S^{m}\setminus \{f(p)\}$ は固有であり$S^{m}\setminus \{f(p)\}$ のコンパクト部分空間 $K$ に対して ${f'}^{-1}(K) = f^{-1}(K)$ であり、これは $f$ の固有性からコンパクトです。よって、$f'$ は固有写像です。、$S^{n}\setminus f^{-1}(f(p))$ を $\R^{n}$ の開集合、$S^{m}\setminus \{f(p)\}$ を $\R^{m}$ の開集合と同一視したうえで(A-$m$)を使用し、$f'$ を全射でない連続写像 $g'$ につなぐhomotopy $F' : (S^{n}\setminus f^{-1}(f(p))\times I\to S^{m}\setminus \{f(p)\}$ であってコンパクト台を持つ、従って、$f^{-1}(f(p))$ の近傍を保つものが得られます。これはただちに $f$ を全射でない連続写像 $g$ につなぐhomotopy $F : S^{n}\times I\to S^{m}$ を与えます。

点 $q\in S^{m}\setminus \Img g$ と同相写像 $\alpha : S^{m}\setminus \{q\}\to \R^{m}$ を固定し、$f$ を定値写像につなぐhomotopy $H : S^{n}\times I\to S^{m}$ を\[H(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}F(x, 2t) & (t\in [0, \tfrac{1}{2}]) \\\alpha^{-1}((2 - 2t)\alpha(g(x))) & (t\in [\tfrac{1}{2}, 1])\end{array}\right.\]に取れば、これが $f$ の連続拡張 $h : D^{n + 1}\to S^{m}$ を誘導します写像 $S^{n}\times I\to D^{n + 1} : (x, t)\mapsto (1 - t)x$ はコンパクト空間からHausdorff空間への連続全射なので商写像。$H|_{S^{m}\times \{1\}}$ が定値写像であることと商空間の普遍性より $h$ が誘導されます。。

(iii) 点 $q\in V$ と $q$ を中心とする閉球体 $D\subset V$ を固定します。$f$ が固有なので $K = f^{-1}(q)$ と $f^{-1}(D)$ はコンパクトです。$d$ を $K$ と $f^{-1}(\Int D)^{c}$ の距離とし、正実数 $0 < r < d/\sqrt{n}$ を固定します。$\R^{n}$ の胞体分割として一辺の長さが $r$ の $n$ 次元超立方体たちによる格子状のものを取ります。そして、それら $n$ 次元超立方体たちのうちで閉包が $K$ と交わるもの全体からなる族 $\{Q_{l}\}_{1\leq l\leq p}$ を取ります。$L = \bigcup_{l = 1}^{p}\overline{Q_{l}}$ は $f^{-1}(\Int D)$ のコンパクト部分空間かつ $\R^{n}$ に与えた格子によりCW複体になります。また、$K\subset \Int L$ かつ $\partial L\cap K = \varnothing$ です。

いま、$f$ の制限 $f|_{\partial L}$ は $D\setminus \{q\}$ に値を取りますが、これを連続写像 $h : L\to D\setminus \{q\}$ に拡張できることを示します。CW対 $(L, \partial L)$ としての $k - 1$ 骨格 $\overline{L}^{k - 1}$ まで拡張 $h$ が構成できているとして $k$ 骨格 $\overline{L}^{k}$ に拡張できることを示せばよく、そのためには各 $k$ 胞体 $e$ の閉包 $\overline{e}$ 上に拡張できればよいです。簡単のために $D\setminus \{q\}$ を $S^{m - 1}\times [0, 1)$ と同一視することにします。同相 $(\overline{e}, \overline{e}\setminus e)\cong (D^{k}, S^{k - 1})$ により連続写像 $S^{k - 1}\to S^{m - 1}\times [0, 1)$ の $D^{k}$ 上の連続写像への拡張を構成すればよいですが、第 $1$ 成分については(B-$m$-$1$)から、第 $2$ 成分についても容易に拡張できます。従って、連続拡張 $h : L\to D\setminus \{q\}$ が得られます。

連続写像 $g : U\to V$ を\[g(x) = \left\{\begin{array}{ll}h(x) & (x\in L) \\f(x) & (x\notin L)\end{array}\right.\]により定めれば、これは $q$ を値に取りません。そして、$f$ を $g$ につなぐhomotopy $H : U\times I\to V$ であって台が $L$ に含まれるものが\[H(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}(1 - t)f(x) + th(x) & (x\in L) \\f(x) & (x\notin L)\end{array}\right.\]により定まります。

(2)を次の流れで示します。

(step 1) 補題2.4.39より従います。

(step 2) $M^{m}$ により $Y$ の $m$ 胞体全体に対応する添字集合を表すとします。$Y$ の各 $m$ 胞体 $e_{\mu}$ に対して制限 $f' : f^{-1}(e_{\mu})\to e_{\mu}$ は固有写像であり、補題2.4.56より $f$ はこの制限がいずれも全射でないとして問題ありません。各 $\mu\in M^{m}$ に対して点 $q_{\mu}\in e_{\mu}\setminus \Img f$ を固定し、$Q = \{q_{\mu}\mid \mu\in M^{m}\}$ とおきます。強変位レトラクション $r : Y^{m}\setminus Q\to Y^{m - 1}$ と包含写像 $i : Y^{m - 1}\to Y^{m}\setminus Q$ を取り、恒等写像 $\Id_{Y^{m}\setminus Q}$ を $i\circ r$ につなぐ $Y^{m - 1}$ を保つhomotopy $H : (Y^{m}\setminus Q)\times I\to Y^{m}\setminus Q$ 取ります。合成\[H\circ (f\times \Id_{I}) : D^{n}\times I\to Y^{m} : (x, t)\mapsto H(f(x), t)\]が $f$ を連続写像 $g = H|_{D^{n}\times \{1\}} : (D^{n}, S^{n - 1})\to (Y^{m - 1}, Y^{n - 1})$ につなぐ $S^{n - 1}$ を保つhomotopyです。

(step 3) (step 1)より $f$ の像が適当な次数の骨格に含まれることは分かっているので、あとは(step 2)を繰り返し適用すればよいです。

(step 4) $X$ の各 $n$ 胞体 $e_{\lambda}$ に対して特性写像 $\varphi_{\lambda} : D_{\lambda}^{n}\to X^{n}$ を固定し、$f_{n - 1}\circ \varphi_{\lambda} : (D_{\lambda}^{n}, S_{\lambda}^{n})\to (Y, Y^{n - 1})$ を連続写像 $g_{\lambda} : (D_{\lambda}^{n}, S_{\lambda}^{n})\to (Y^{n}, Y^{n - 1})$ につなぐ $S_{\lambda}^{n - 1}$ を保つhomotopy $H_{\lambda} : D_{\lambda}^{n}\times I\to Y$ を固定します。ただし、$Z$ の $n$ 胞体に対しては自明なものを取るとします。これらのhomotopyと連続写像 $F_{n - 1} : X^{n - 1}\times I\to Y : (x, t)\mapsto f(x)$ の直和\[\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}H_{\lambda}\right)\sqcup F_{n - 1} : \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D_{\lambda}^{n}\times I\right)\sqcup (X^{n - 1}\times I)\to Y\]を取ります。これは $X^{n - 1}\cup Z^{n}$ を保つhomotopy $H' : X^{n}\times I\to Y$ を誘導し、$H'(X^{n}\times \{1\})\subset Y^{n}$ を満たしています。これを明らかな方法で $X^{n - 1}\cup Z$ を保つhomotopy $H' : (X^{n}\cup Z)\times I\to Y$ に拡張します。連続写像 $H : (X\times \{0\})\cup ((X^{n}\cup Z)\times I)\to Y$ を\[H(x, t) = \left\{\begin{array}{ll}f(x) & ((x, t)\in X\times \{0\}) \\H'(x, t) & ((x, t)\in (X^{n}\cup Z)\times I)\end{array}\right.\]により定め、homotopy拡張性質 $($定理2.4.53$)$ からhomotopy $H : X\times I\to Y$ に拡張します。この $H$ が $f$ を連続写像 $g : (X, X^{n})\to (Y, Y^{n})$ につなぐ $X^{n - 1}\cup Z$ を保つhomotopyです。

(step 5) (step 4)の繰り返し適用により連続写像列 $\{f_{n} : X\to Y\}_{n\geq -1}$ とhomotopyの列 $\{H_{n} : X\times I\to Y\}_{n\geq 0}$ であって条件

を満たすものを取ります。連続写像 $H : X\times [0, 1)\to Y$ を $X\times [1 - 2^{-n}, 1 - 2^{-(n + 1)}]$ において\[H(x, t) = H_{n}(x, 2^{n + 1}t - 2^{n + 1} + 2)\]とすることで定義します単に $H_{n}$ たちをつなげているだけです。。$m\geq n + 1$ において $H_{m}$ が $X^{n}$ を保つことから $H$ の $X^{n}\times [1 - 2^{-(n + 1)},1)$ における値は $X^{n}$ 成分のみで決まります。そこで、$X^{n}\times \{1\}$ において\[H(x, 1) = H(x, 1 - 2^{-(n + 1)})\]と定義することで $H$ を $X^{n}\times I$ においても連続な写像として拡張できます。この拡張の繰り返しによりhomotopy $H : X\times I\to Y$ が得られ、これは $Z$ を保ちます。構成より $g = H|_{X\times \{1\}}$ は胞体写像であり、主張が示されました。

$f$ を $g$ につなぐhomotopy $H' : (X\times I, A\times I)\to (Y, B)$ を取り、この $H'$ と部分複体 $(X\times \partial I\cup A\times I, A\times I)$ に対して胞体近似定理 $($定理2.4.57$)$ を適用すればよいです。

(1) CW複体は局所強可縮 $($命題2.4.51$)$ なので可縮空間の弧状連結性、弧状連結空間の連結性から従います。

(2) $\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の胞体分割とし、$A$ と交わる胞体全体を $\{e_{\mu}\}_{\mu\in M}$ とします。この $\{e_{\mu}\}_{\mu\in M}$ について $A$ が部分胞体複体になっていることを示します。命題2.4.5により

であることを示せばよいです。

(i) $A\subset \bigsqcup_{\mu\in M}e_{\mu}$ は明らかです。また、各 $\mu\in M$ に対して $e_{\mu}\subset A$ であることは $e_{\mu}\cap A\neq \varnothing$ と胞体 $e_{\mu}$ の連結性と連結成分 $A$ の極大性からただちに従い、逆の包含関係も成立します。

(ii) 各 $\mu\in M$ に対して $\Cl_{X}(e_{\mu})$ は連結空間 $D^{\dim e_{\mu}}$ の連続像であり連結です。従って、連結成分の極大性から $\Cl_{X}(e_{\mu})\subset A$ が成立します。

(3) (1)の局所連結性から $X$ は連結成分による直和空間です。そして、(2)より各連結成分はCW複体です。

$X$ が空の場合は自明なのでそうでないとします。

(1) ⇔ (3) (2) ⇔ (4) CW複体が局所弧状連結空間であることと局所弧状連結空間に対する連結性と弧状連結性の同値性 $($予備知識 命題2.5.28$)$ からただちに従います。

(3) ⇒ (4) 任意の $x, y\in X^{1}$ に対し、$X$ の弧状連結性から $x$ を $y$ につなぐ連続曲線 $c : (I, \partial I)\to (X, X^{1})$ が取れますが、これに対して胞体近似定理 $($定理2.4.57$)$ を適用すればよいです。

(4) ⇒ (3) 対偶から明らかです。空でないCW複体の $0$ 骨格、従って $1$ 骨格が空でないことには注意。

まずは各頂点が強変位レトラクトであることを示します。$T$ の頂点 $v$ を取ります。各 $n\in \N$ に対し、$v$ からの距離が $n$ 以下の頂点全体とそれらを端点に持つ辺全体からなる部分木を $T_{n}$ とおけば $T_{0} = \{v\}$ かつ $n\geq 1$ において $T_{n - 1}$ は $T_{n}$ の強変位レトラクトです注意しないといけないのは、$v$ からの距離がちょうど $n$ の頂点どうしが辺で結ばれていないことですが、これは $T$ が木であることから確かめられます。。補題2.4.47より $T_{0} = \{v\}$ は $T$ の強変位レトラクトです。辺上の点 $v\in T$ についてはその属す辺を分割して頂点を導入することで頂点の場合に帰着します。

$X$ の基点 $x_{0}$ は $A$ の頂点であり強変位レトラクトです。そこで、強変位レトラクション $r : A\to \{x_{0}\}$ と基点を保つhomotopy $H : A\times I\to A$ であって恒等写像 $\Id_{A}$ を定値写像 $\cst_{x_{0}}$ につなぐものを取ります。連続写像 $F : (X\times \{0\})\cup (A\times I)\to X$ を $F|_{X\times \{0\}} = \Id_{X}$ かつ $F|_{A\times I} = H$ として取り、CW対 $(X, A)$ のhomotopy拡張性質 $($定理2.4.53$)$ からその連続拡張 $G : X\times I\to X$ を取ります。$G_{1}$ は $A$ を基点 $x_{0}$ に移すので基点を保つ連続写像 $q : X/A\to X$ を誘導します。

商写像 $p : X\to X/A$ と $q : X/A\to X$ が互いにhomotopy逆写像になっていることを示します。まず、$G$ の構成から基点を保って $\Id_{X} = G_{0}\sim G_{1} = q\circ p$ です。続いて、合成 $p\circ G : X\times I\to X/A$ は $A\times I$ を $X/A$ の基点に移すので基点を保つhomotopy $G' : X/A\times I\to X/A$ を誘導し、基点を保って $\Id_{X/A} = G'_{0}\sim G'_{1} = p\circ q$ です。以上により $X$ と $X/A$ は基点付き空間としてhomotopy同値です。

$X$ の連結性から $1$ 骨格 $X^{1}$ は連結であり、$X^{1}$ の極大な木 $T$ を取ると $X^{0}\subset A$ です。$X/T$ は唯一の $0$ 胞体 $T/T$ を持ち、補題2.4.61と補題2.4.62よりこれは $X$ に基点付き空間としてhomotopy同値です。

(1) 空間対 $(X^{n}, X^{n - 1})$ および $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}(D_{\lambda}^{n}, S_{\lambda}^{n - 1})$ はカラー付き空間対なので同型\[H_{\bullet}(X^{n}, X^{n - 1})\cong H_{\bullet}(X^{n}/X^{n - 1}, *),\]\[\bigoplus_{\lambda\in\Lambda^{n}}H_{\bullet}(D_{\lambda}^{n}, S_{\lambda}^{n - 1})\cong H_{\bullet}\left(\bigvee_{\lambda\in\Lambda^{n}}S_{\lambda}^{n}, *\right)\]が成立します $($系2.2.11$)$。$\varPhi_{n}$ が同相写像\[\bigvee_{\lambda\in\Lambda^{n}}S_{\lambda}^{n}\cong \left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}D_{\lambda}^{n}\right)/\left(\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda^{n}}S_{\lambda}^{n - 1}\right)\cong X^{n}/X^{n - 1}\]を誘導するので主張の同型が従います。

(2) $n = -1$ の場合は自明です。三対 $(X^{n}, X^{n - 1}, A)$ のhomology完全系列\[\cdots\to H_{q + 1}(X^{n}, X^{n - 1})\to H_{q}(X^{n - 1}, A)\to H_{q}(X^{n}, A)\to H_{q}(X^{n}, X^{n - 1})\to \cdots\]の $n < q$ において同型 $H_{q}(X^{n - 1}, A)\cong H_{q}(X^{n}, A)$ が成立するので $n < q$ においても $H_{q}(X^{n}, A) = 0$ です。

(3) 補題2.4.14より $\bigcup_{n\in\N}S_{\bullet}(X^{n}, A) = S_{\bullet}(X, A)$ であり、チェイン複体の帰納系に対するhomology関手と帰納極限の可換性 $($命題1.4.16$)$ より\[\underset{n}{\varinjlim}H_{q}(X^{n}, A)\cong H_{q}(X, A)\]が成立します。(2)と同様に $q > n$ において同型 $H_{q}(X^{n}, A)\cong H_{q}(X^{n + 1}, A)$ が成立するので誘導準同型\[(i_{n})_{*} : H_{q}(X^{n}, A)\to H_{q}(X, A)\]は同型です。

可換図式

を考えます。横の列は空間対 $(X^{n - 1}, X^{n - 2})$ のhomology完全系列であり、左上の可換性は恒等写像 $j : (X^{n}, X^{n - 1}, \varnothing)\to (X^{n}, X^{n - 1}, X^{n - 2})$ と三対のhomology完全系列における連結準同型の自然性から従い、右下の可換性も同様に恒等写像 $j : (X^{n - 1}, X^{n - 2}, \varnothing)\to (X^{n - 1}, X^{n - 2}, X^{n - 3})$ を考えることで確かめられます。

この可換図式において横の列の合成 $\partial_{*}\circ j_{*}$ が零写像なので縦の列の合成 $\partial_{n - 1}\circ \partial_{n}$ も零写像です。

次の可換図式において、横の列は三対 $(X^{n + 1}, X^{n}, X^{n - 2})$ のhomology完全系列、縦の列は三対 $(X^{n}, X^{n - 1}, A)$ のhomology完全系列です。可換性は恒等写像 $j : (X^{n + 1}, X^{n}, X^{n - 2})\to (X^{n + 1}, X^{n}, X^{n - 1})$ と三対のhomology完全系列における連結準同型の自然性から従います。

いま、縦の列の完全性により $\Img j_{*} = \Ker \partial_{n} = Z_{n}(C_{\bullet}(X, A))$ であり、$j_{*}$ は単射なので同型\[H_{n}(X^{n}, X^{n - 2})\cong Z_{n}(C_{\bullet}(X, A))\]が成立します。よって、\begin{eqnarray*} H_{n}(C_{\bullet}(X, A)) & \cong & j_{*}(H_{n}(X^{n}, X^{n - 2}))/\partial_{n + 1}(C_{n + 1}(X, A)) \\& \cong & H_{n}(X^{n}, X^{n - 2})/\partial_{*}(C_{n + 1}(X, A)) \\& \cong & H_{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\end{eqnarray*}です。三対 $(X^{n + 1}, X^{n - 2}, A)$ のhomology完全系列\[\cdots\to H_{n}(X^{n - 2}, A)\to H_{n}(X^{n + 1}, A)\to H_{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\to H_{n - 1}(X^{n - 2}, A)\to \cdots\]において命題2.4.64より $H_{n}(X^{n - 2}, A) = H_{n - 1}(X^{n - 2}, A) = 0$ なので同型\[H_{n}(X^{n + 1}, A) \cong H_{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\]が得られ、このことと命題2.4.64による同型\[H_{n}(X^{n + 1}, A) \cong H_{n}(X, A)\]により主張の同型が従います。自然性は証明に用いた三対のhomology完全系列や同型がいずれも自然であることから従います。

$R$ がPIDがの場合を示します。まず、補題として

であることを確かめます。

(i) 三対 $(X^{n}, X^{n - 1}, A)$ のcohomology完全系列\[\cdots\to H^{q}(X^{n}, X^{n - 1})\to H^{q}(X^{n}, A)\to H^{q}(X^{n - 1}, A)\to H^{q + 1}(X^{n}, X^{n - 1})\to \cdots\]より $n < q$ において同型 $H^{q}(X^{n}, A)\cong H^{q}(X^{n - 1}, A)$ が成立し、これと自明に $H^{-1}(X^{-1}, A) = 0$ であることをあわせて従います。

(ii) $q\leq n$ に対して $H_{q}(X, X^{n}; R)\cong H_{q}(X^{n + 1}, X^{n}; R) = 0$ です$X^{n} = A$ と思って命題2.4.64を適用する。。従って、この場合では普遍係数定理 $($定理1.3.3$)$ による短完全系列\[0\to \Ext_{R}^{1}(H_{q - 1}(X, X^{n}; R), M)\to H^{q}(X, X^{n}; M)\to \Hom_{R}(H_{q}(X, X^{n}; R), M)\to 0\]から $H^{q}(X, X^{n}; M) = 0$ が従います。ここで、三対 $(X, X^{n}, A)$ のcohomology完全系列\[\cdots\to H^{q}(X, X^{n}; M)\to H^{q}(X, A; M)\to H^{q}(X^{n}, A; M)\to H^{q + 1}(X, X^{n}; M)\to \cdots\]から $q < n$ において同型 $H^{q}(X, A; M)\cong H^{q}(X^{n}, A; M)$ が成立します。

主張の自然な同型は下の図式からhomology群の場合と同様にして示されます。

横の列は三対 $(X^{n + 1}, X^{n - 1}, X^{n - 2})$ のcohomology完全系列、縦の列は三対 $(X^{n + 1}, X^{n - 1}, A)$ のcohomology完全系列です。$\Img i^{*} = \Ker \delta^{n} = Z^{n}(C^{\bullet}(X, A))$ と $i^{*}$ の単射性から同型\[H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 1})\cong Z^{n}(C^{\bullet}(X, A))\]が成立し、よって、\begin{eqnarray*}H^{n}(C^{\bullet}(X, A)) & \cong & i^{*}(H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 1}))/\delta^{n - 1}(C^{n - 1}(X, A)) \\& \cong & H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 1})/\delta^{*}(C^{n - 1}(X, A)) \\& \cong & H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\end{eqnarray*}

です。三対 $(X^{n + 1}, X^{n - 2}, A)$ のcohomology完全系列\[\cdots\to H^{n - 1}(X^{n - 2}, A)\to H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\to H^{n}(X^{n + 1}, A)\to H^{n}(X^{n - 2}, A)\to \cdots\]において $H^{n - 1}(X^{n - 2}, A) = H^{n}(X^{n - 2}, A) = 0$ なので同型\[H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2})\cong H^{n}(X^{n + 1}, A)\]が得られ、このことと同型\[H^{n}(X^{n + 1}, A)\cong H^{n}(X, A)\]より主張の同型が従います。自然性も三対のcohomology完全系列の自然性などから従います。

$R$ が一般の可換環の場合、加群としての自然な同型\[\Hom_{\Z}(C_{\bullet}(X, A; \Z), M)\cong \Hom_{R}(C_{\bullet}(X, A; R), M),\]\[\Hom_{\Z}(S_{\bullet}(X, A; \Z), M)\cong \Hom_{R}(S_{\bullet}(X, A; R), M)\]とPIDの場合の結果から加群としての同型 $H^{n}(C^{\bullet}(X, A; M))\cong H^{n}(X, A; M)$ がまず確かめられ、$R$ 加群としての準同型\[H^{n}(X, A; M)\to H^{n}(X^{n + 1}, A; M)\cong H^{n}(X^{n + 1}, X^{n - 2}; M)\cong H^{n}(C^{\bullet}(X, A; M))\]が定まっているPIDであるという仮定は $R$ 準同型 $H^{n}(X, A; M)\to H^{n}(X^{n + 1}, A; M)$ が同型であることを示すためだけに使用していました。ことから $R$ 加群としての同型でもあることが従います。