ここでは $R$ 加群および $R$ 加群のチェイン複体の帰納極限と射影極限についてまとめます。
帰納系を定義します。
有向集合反射的かつ推移的な二項関係の与えられた集合 $(\Lambda, \leq)$ であって任意の $2$ 元に対して上界が存在するもののことを有向集合といいました。 $\Lambda$ を添字集合にもつ $R$ 加群の族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ と準同型の族 $\{f_{\lambda\mu} : A_{\lambda}\to A_{\mu}\}_{\lambda \leq \mu\in \Lambda}$ であって次を満たすものが与えれられているとする。
これらの対を単に $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ などと書き、$R$ 加群の帰納系 $($inductive system$)$ という。
$R$ 加群の列 $\{C_{i}\}_{i\in\Z}$ と準同型の列 $\{f_{i} : C_{i}\to C_{i + 1}\}_{i\in\Z}$ が与えられたとき、各 $i\leq j\in \Z$ に対して準同型 $f_{ij} : C_{i}\to C_{j}$ を\[f_{ij} = \left\{\begin{array}{ll}\Id_{C_{i}} & (i = j) \\f_{j - 1}\circ\cdots\circ f_{i} & (i < j)\end{array}\right.\]により定義することで帰納系 $(C_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$ が定義されます。つまり、準同型の列\[\cdots\to C_{-1}\xrightarrow{f_{-1}} C_{0}\xrightarrow{f_{0}} C_{1}\xrightarrow{f_{1}} C_{2}\to \cdots\]から帰納系が構成されます。逆に、帰納系 $(C_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$ に対して $f_{i} = f_{i, i + 1}$ とすることで上記のような準同型の列が得られます。明らかにこれらの構成は可逆です。
帰納系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ が与えられたとき、集合としての直和 $\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda}A_{\lambda}$ における同値関係を各 $x\in A_{\lambda}$, $y\in A_{\mu}$ に対して\[x\sim y\Leftrightarrow {}^{\exists}\nu\in \Lambda \text{ s.t. } f_{\lambda\nu}(x) = f_{\mu\nu}(y)\]とすることで定め反射律と対称律は自明。推移律は $x\in A_{\lambda}$, $y\in A_{\mu}$, $z\in A_{\nu}$ に対して $x\sim y$ かつ $y\sim z$ としたとき、$f_{\xi\lambda}(x) = f_{\xi\mu}(y)$ となる $\xi\in \Lambda$ と $f_{\eta\mu}(y) = f_{\eta\nu}(z)$ となる $\eta\in \Lambda$ を取り、さらに $\xi, \eta\leq \zeta$ となる $\zeta\in \Lambda$ を取れば\[f_{\zeta\lambda}(x) = f_{\zeta\xi}(f_{\xi\lambda}(x)) = f_{\zeta\xi}(f_{\xi\mu}(y)) = f_{\zeta\eta}(f_{\eta\mu}(y)) = f_{\zeta\eta}(f_{\eta\nu}(z)) = f_{\zeta\nu}(z)\]となるので $x\sim z$ であり、これもよいです。、それによる商集合\[\varinjlim_{\lambda}A_{\lambda} = \left(\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda}A_{\lambda}\right)/{\sim}\]を考えます。これは明らかな方法で $R$ 加群となります。
帰納系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ が与えられているとする。$a, b\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ に対して以下の手順で和 $a + b$ を定める。
また、係数倍は $r\in R$ と $a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ に対して $a$ の代表元 $x\in A_{\lambda}$ を用いて $r\cdot a = [rx]$ とすることで定める。これらの手続きはwell-definedであり、$\underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ は $R$ 加群である。
和についてwell-definedであることを示します。$x'\in A_{\lambda'}$, $y'\in A_{\mu'}$ を $a, b$ の代表元とし、$\lambda', \mu'\leq \nu'$ となる $\nu'\in \Lambda$ を取り、$f_{\lambda\nu}(x) + f_{\mu\nu}(y)\sim f_{\lambda'\nu'}(x') + f_{\mu'\nu'}(y')$ を示せばよいです。$\lambda''\in \Lambda$ を $\lambda, \lambda'\leq \lambda''$ かつ $f_{\lambda\lambda''}(x) = f_{\lambda'\lambda''}(x')$ となるように取り、同様に $\mu''\in \Lambda$ を $\mu, \mu'\leq \mu''$ かつ $f_{\mu\mu''}(y) = f_{\mu'\mu''}(y')$ を満たすように取ります。そして、$\xi\in \Lambda$ を $\lambda'', \mu'', \nu, \nu'\leq \xi$ を満たすように取ります。
このとき、\begin{eqnarray*}f_{\nu\xi}(f_{\lambda\nu}(x) + f_{\mu\nu}(y)) & = & f_{\lambda\xi}(x) + f_{\mu\xi}(y) \\& = & f_{\lambda''\xi}\circ f_{\lambda\lambda''}(x) + f_{\mu''\xi}\circ f_{\mu\mu''}(y) \\& = & f_{\lambda''\xi}\circ f_{\lambda'\lambda''}(x') + f_{\mu''\xi}\circ f_{\mu'\mu''}(y') \\& = & f_{\lambda'\xi}(x') + f_{\mu'\xi}(y') = f_{\nu'\xi}(f_{\lambda'\nu'}(x') + f_{\mu'\nu'}(y'))\\\end{eqnarray*}であり、$f_{\lambda\nu}(x) + f_{\mu\nu}(y)\sim f_{\lambda'\nu'}(x') + f_{\mu'\nu'}(y')$ です。
続いて係数倍についてwell-definedであることを示します。$x'\in A_{\lambda'}$ を $a$ の代表元とし、$rx\sim rx'$ を示せばよいです。$\lambda''\in \Lambda$ を $\lambda, \lambda'\leq \lambda''$ かつ $f_{\lambda\lambda''}(x) = f_{\lambda'\lambda''}(x')$ となるように取ります。このとき、明らかに $f_{\lambda\lambda''}(rx) = f_{\lambda'\lambda''}(rx')$ なので $rx\sim rx'$ です。
以上で加法と係数倍がwell-definedであることが分かりました。実際に $R$ 加群となっていることも簡単です。
帰納系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ に対して上記の $R$ 加群\[\varinjlim_{\lambda}A_{\lambda} = \left(\bigsqcup_{\lambda\in \Lambda}A_{\lambda}\right)/{\sim}\]を帰納極限という。
帰納極限は次の普遍性を持ちます。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を帰納系、$B$ を $R$ 加群とする。準同型の族 $\{\varphi_{\lambda} : A_{\lambda}\to B\}_{\lambda\in\Lambda}$ であって任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $\varphi_{\mu}\circ f_{\lambda\mu} = \varphi_{\lambda}$ を満たすものに対し、ある準同型 $\varPhi : \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}\to B$ であって任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $\varphi_{\lambda} = \varPhi\circ i_{\lambda}$、ただし $i_{\lambda} : A_{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ は明らかな準同型、を満たすものが一意に存在する。
$a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ に対してその代表元 $x\in A_{\lambda}$ を取り、$\varPhi(a) = \varphi_{\lambda}(x)$ とすることで $\varPhi$ を定めます。この構成がwell-definedであることは $x'\in A_{\lambda'}$ をまた $a$ の代表元とし、$\lambda, \lambda'\leq \lambda''$ かつ $f_{\lambda\lambda''}(x) = f_{\lambda'\lambda''}(x')$ となる $\lambda''\in \Lambda$ を取るとき\[\varphi_{\lambda}(x) = \varphi_{\lambda''}\circ f_{\lambda\lambda''}(x) = \varphi_{\lambda''}\circ f_{\lambda'\lambda''}(x') = \varphi_{\lambda'}(x')\]なのでよいです。準同型となることは簡単な確認で済みます。任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $\varphi_{\lambda} = \varPhi\circ i_{\lambda}$ であることは構成から明らかです。一意性は $\varPhi, \varPhi'$ がそのような準同型としたとき、各 $a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ に対してその代表元 $x\in A_{\lambda}$ を取れば\[\varPhi(a) = \varPhi(i_{\lambda}(x)) = \varphi_{\lambda}(x) = \varPhi'(i_{\lambda}(x)) = \varPhi'(a)\]となるのでよいです。
同じ有向集合を添字集合とする帰納系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}, (B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ について、準同型の族 $\{\varphi_{\lambda} : A_{\lambda}\to B_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ であって任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $\varphi_{\mu}\circ f_{\lambda\mu} = g_{\lambda\mu}\circ \varphi_{\lambda}$ を満たすものを帰納系の間の射と呼ぶことにします。帰納系の間の射は帰納極限の間の準同型を誘導します。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$, $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を帰納系、$\{\varphi_{\lambda} : A_{\lambda}\to B_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ をその間の射とする。このとき、自然な準同型 $\varPhi : \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}B_{\lambda}$ が各 $a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ に対してその代表元 $x\in A_{\lambda}$ を用いて $\varPhi(a) = [\varphi_{\lambda}(x)]$ とすることで定まる。
well-definedであることの確認ですが、$x'\in \Lambda'$ をまた $a$ の代表元として $\varphi_{\lambda}(x)\sim \varphi_{\lambda'}(x')$ を示せばよいです。$\lambda''\in \Lambda$ であって $\lambda, \lambda'\leq \lambda''$ かつ $f_{\lambda\lambda''}(x) = f_{\lambda'\lambda''}(x')$ を満たすものを取ります。このとき、\[g_{\lambda\lambda''}\circ \varphi_{\lambda}(x) = \varphi_{\lambda''}\circ f_{\lambda\lambda''}(x) = \varphi_{\lambda''}\circ f_{\lambda'\lambda''}(x') = g_{\lambda'\lambda''}\circ \varphi_{\lambda'}(x')\]なので $\varphi_{\lambda}(x)\sim \varphi_{\lambda'}(x')$ です。よって、この構成はwell-definedであり、また、自然な準同型となっていることも容易です。
さらに、この誘導準同型の核と像について次が成立します。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$, $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を帰納系、$\{\varphi_{\lambda} : A_{\lambda}\to B_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ をその間の射とする。
$\varPhi = \underset{\lambda}{\varinjlim}\varphi_{\lambda}$ とおきます。
(1) 帰納系が得られていること、$I$ が単射であることは構成より容易に分かります。また、以降ではこの $I$ を包含写像として $\underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}\subset \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ と考えることにします。あとは $\underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda} = \Ker\varPhi$ を示せばよいです。$\underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}\subset \Ker\varPhi$ は $a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}$ に対してその代表元 $x\in \Ker\varphi_{\lambda}$ を固定すれば $\varPhi([x]) = [\varphi_{\lambda}(x)] = 0$ なのでよいです。$\Ker\varPhi\subset \underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}$ を示します。$a\in \Ker\varPhi$ とし、その代表元 $x\in A_{\lambda}$ を固定します。このとき、$[\varphi_{\lambda}(x)] = \varPhi([x]) = 0$ であるので、ある $\mu\geq \lambda$ が存在して $g_{\lambda\mu}(\varphi_{\lambda}(x)) = 0$ であり、この $\mu$ について $\varphi_{\mu}(f_{\lambda\mu}(x)) = 0$ です。よって、$a$ の代表元として $f_{\lambda\mu}(x)\in \Ker\varphi_{\mu}$ を取ることができ $a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}$ となるので $\Ker\varPhi\subset \underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker\varphi_{\lambda}$ が従います。
(2) $J$ が単射であることは明らかなので、これを包含写像として $\underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}\subset \underset{\lambda}{\varinjlim}B_{\lambda}$ と考えることにして $\underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda} = \Img \varPhi$ を示せばよいです。まず、$\underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}\subset \Img \varPhi$ を示します。$b\in \underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}$ とし、その代表元 $y\in \Img \varphi_{\lambda}$ を固定します。$\varphi_{\lambda}(x) = y$ となる $x\in A_{\lambda}$ を取れば $\varPhi([x]) = [\varphi_{\lambda}(x)] = [y] = b$ であるので $[y]\in \Img\varPhi$ となり $\underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}\subset \Img\varPhi$ です。逆の包含関係を示します。$b\in \Img \varPhi$ とします。$a\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ であって $\varPhi(a) = b$ であるものを取り、その代表元 $x\in A_{\lambda}$ を固定します。このとき、\[b = \varPhi(a) = \varPhi([x]) = [\varphi_{\lambda}(x)]\]であるので $b$ の代表元として $\varphi_{\lambda}(x)\in \Img\varphi_{\lambda}$ を取ることができ $b\in \underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}$ であるので $\Img\varPhi\subset \underset{\lambda}{\varinjlim}\Img\varphi_{\lambda}$ です。
続いて、帰納系の間の短完全系列に対して帰納極限が完全性を保つことを見ます。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$, $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$, $(C_{\bullet}, h_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を帰納系としその間に短完全系列以下のように帰納系の間の射 $\varphi : A_{\bullet}\to B_{\bullet}$, $\psi : B_{\bullet}\to C_{\bullet}$ があって、各 $\lambda\in \Lambda$ を固定して $R$ 加群の短完全系列 $0\to A_{\lambda}\to B_{\lambda}\to C_{\lambda}\to 0$ を定めているもののこと。\[0\to A_{\bullet}\xrightarrow{\varphi} B_{\bullet}\xrightarrow{\psi} C_{\bullet}\to 0\]が定まっているとき、これらの帰納極限について短完全系列\[0\to \varinjlim_{\lambda}A_{\lambda}\xrightarrow{\varPhi} \varinjlim_{\lambda}B_{\lambda}\xrightarrow{\varPsi} \varinjlim_{\lambda}C_{\lambda}\to 0\]が定まる。
常に $\Img \varphi_{\lambda} = \Ker \psi_{\lambda}$ なので命題1.4.7より\[\Img \varPhi = \underset{\lambda}{\varinjlim}\Img \varphi_{\lambda} = \underset{\lambda}{\varinjlim}\Ker \psi_{\lambda} = \Ker \Psi\]であり、$\underset{\lambda}{\varinjlim}B_{\lambda}$ における完全性が従います。残りの $\underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$, $\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\lambda}$ における完全性も同様です。
帰納系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ が与えられたとき $R$ 加群 $M$ とのテンソル積を取ることでまた帰納系 $(A_{\bullet}\otimes M, f_{\bullet\bullet}\otimes \Id_{M})_{\Lambda}$ が得られますが、これと帰納極限との関係について次が成立します。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を帰納系とする。$R$ 加群 $M$ に対して自然な同型\[\varinjlim_{\lambda}(A_{\lambda}\otimes M)\cong (\varinjlim_{\lambda}A_{\lambda})\otimes M\]が成立する。
$i_{\lambda} : A_{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ を明らかな準同型とすれば、任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $(i_{\mu}\otimes \Id_{M})\circ (f_{\lambda\mu}\otimes \Id_{M}) = (i_{\lambda}\otimes \Id_{M})$ となるので、普遍性より準同型\[F : \varinjlim_{\lambda}(A_{\lambda}\otimes M)\to (\varinjlim_{\lambda}A_{\lambda})\otimes M : [x\otimes m]\mapsto [x]\otimes m\]が定まります。続いて、写像 $\varPhi : \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}\times M\to \underset{\lambda}{\varinjlim}(A_{\lambda}\otimes M)$ を\[([x], m)\mapsto [x\otimes m]\]により定める $($well-definedであることは容易$)$ とすると、これはバランス写像です。例えば、$[x], [y]\in \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ と $m\in M$ に対して\[\varPhi([x] + [y], m) - \varPhi([x], m) - \varPhi([y], m) = 0\]であることは、必要であれば代表元 $x, y$ を取り換えて $x, y\in A_{\lambda}$ としたうえで $[(x + y)\otimes m] = [x\otimes m] + [y\otimes m]$ なのでよいです。バランス写像であるためのその他の条件も明らかです。よって、準同型\[G : (\varinjlim_{\lambda}A_{\lambda})\otimes M\to \varinjlim_{\lambda}(A_{\lambda}\otimes M)\mapsto [x]\otimes m\mapsto [x\otimes m]\]が定まります。
$F, G$ が互いに逆写像となっていることは明らかです。
射影系と射影極限を定義します。
有向集合 $\Lambda$ を添字集合にもつ $R$ 加群の族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ と準同型の族 $\{f_{\lambda\mu} : A_{\mu}\to A_{\lambda}\}_{\lambda \leq \mu\in \Lambda}$ であって次を満たすものが与えれられているとする。
これらの対を単に $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ などと書き、$R$ 加群の射影系 $($inductive system$)$ という。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を射影系とする。直積 $\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ の部分 $R$ 加群\[\varprojlim_{\lambda}A_{\lambda} = \{(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\mid a_{\lambda} = f_{\lambda\mu}(a_{\mu}) \text{ for any } \lambda\leq \mu\in \Lambda\}\]を射影極限と呼ぶ。
射影極限は次の普遍性を持ちます。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を射影系、$B$ を $R$ 加群とする。準同型の族 $\{\varphi_{\lambda} : B\to A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ であって任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $f_{\lambda\mu}\circ \varphi_{\mu} = \varphi_{\lambda}$ を満たすものに対し、ある準同型 $\varPhi : B\to \underset{\lambda}{\varprojlim}A_{\lambda}$ であって任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $\varphi_{\lambda} = p_{\lambda}\circ \varPhi$、ただし $p_{\lambda} : \underset{\lambda}{\varprojlim}A_{\lambda}\to A_{\lambda}$ は明らかな射影、を満たすものが一意に存在する。
$b\in B$ に対して $\varPhi(b) = (\varphi_{\lambda}(b))_{\lambda\in\Lambda}$ とすれば常に $\varphi_{\lambda}(b) = f_{\lambda\mu}(\varphi_{\mu}(b))$ を満たし $\varPhi(b)\in \underset{\lambda}{\varprojlim}A_{\lambda}$ であるし、明らかに常に $\varphi_{\lambda} = p_{\lambda}\circ \varPhi$ も満たします。$\varPhi$ が準同型であること、一意性も明らかです。
同じ有向集合を添字集合とする射影系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}, (B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ について、準同型の族 $\{\varphi_{\lambda} : B_{\lambda}\to A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ であって任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $f_{\lambda\mu}\circ \varphi_{\mu} = \varphi_{\lambda}\circ g_{\lambda\mu}$ を満たすものを射影系の間の射と呼ぶことにします。射影系の間の射は射影極限の間の準同型を誘導します。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$, $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Lambda}$ を射影系、$\{\varphi_{\lambda} : A_{\lambda}\to B_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ をその間の射とする。このとき、自然な準同型 $\varPhi : \underset{\lambda}{\varprojlim}A_{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varprojlim}B_{\lambda}$ が\[\varphi((a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}) = (\varphi_{\lambda}(a_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}\]により定まる。
$(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\in \underset{\lambda}{\varprojlim}A_{\lambda}$ は常に $a_{\lambda} = g_{\lambda\mu}(a_{\mu})$ を満たし、常に $\varphi_{\lambda}(a_{\lambda}) = \varphi_{\lambda}(g_{\lambda\mu}(a_{\mu})) = f_{\lambda\mu}(\varphi_{\mu}(a_{\mu}))$ であるので $(\varphi_{\lambda}(a_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}\in \underset{\lambda}{\varprojlim}B_{\lambda}$ です。よって、$\varPhi$ は写像として定義できており、自然な準同型であることも明らかです。
以下では射影系の添字集合として $\Z$ のみを考えることにします。このとき、射影系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$ は本質的には準同型の列\[\cdots\leftarrow A_{-1}\xleftarrow{f_{0} = f_{-10}} A_{0}\xleftarrow{f_{1} = f_{01}} A_{1}\xleftarrow{f_{2} = f_{12}} A_{2}\leftarrow \cdots\]に他ならず、準同型 $\delta : \prod_{i\in\Z}A_{i}\to \prod_{i\in\Z}A_{i}$ を\[\delta : (a_{i})_{i\in\Z}\mapsto (a_{i} - f_{i + 1}(a_{i + 1}))_{i\in\Z}\]により定めれば射影極限 $\underset{i}{\varprojlim}A_{i}$ は $\Ker\delta$ に一致します。また、この準同型 $\delta$ の余核 $\CoKer\delta = \prod_{i\in\Z}A_{i}/\Img \delta$ を $\underset{i}{\varprojlim}^{1}A_{i}$ と書くことにします。
以下のことが成立します。
$(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$, $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Z}$, $(C_{\bullet}, h_{\bullet\bullet})_{\Z}$ を射影系としその間に短完全系列\[0\to A_{\bullet}\xrightarrow{\varphi} B_{\bullet}\xrightarrow{\psi} C_{\bullet}\to 0\]が定まっているとき、これらの射影極限について短完全系列\[0\to \varprojlim_{i}A_{i}\to \varprojlim_{i}B_{i}\to \varprojlim_{i}C_{i}\to \underset{i}{\varprojlim}^{1}A_{i}\to \underset{i}{\varprojlim}^{1}B_{i}\to \underset{i}{\varprojlim}^{1}C_{i}\to 0\]が定まる。
チェイン複体の短完全系列
のhomology完全系列が直ちに主張の完全系列を与えます。(蛇の補題でよいのだけど、そっちは準備してないのでhomology完全系列に頼る。)
射影系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$ に対して $\underset{n}{\varprojlim}^{1}A_{n} = 0$ であるための十分条件必要条件ではないです。$A_{n} = Z^{\{k\in \Z\mid k\geq n\}}$ として、$f_{nm}$ は明らかな包含写像に取ったものを考えれば分かります。として次のMittag-Leffler条件が知られています。例えば、$f_{nm}$ が全て零写像の場合や全て全射の場合がこの条件を満たします。
$\Z$ で添字付けられた $R$ 加群の射影系 $(A_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\Z}$ に対して
という条件をMittag-Leffler条件という。Mittag-Leffler条件が満たされているとき、\[{\varprojlim_{n}}^{1}A_{n} = 0\]が成立する。
$b = (b_{n})_{n\in\Z}\in \prod_{n\in\Z}A_{n}$ に対して $a = (a_{n})_{n\in\Z}\in \prod_{n\in\Z}A_{n}$ であって $b = \delta(a)$ を満たすものを構成すればよいです。次の順に構成します。ただし、各 $n\in \Z$ に対して整数 $m(n)\geq n$ を任意の $l\geq m(n)$ に対して $\Img f_{nl} = \Img f_{nm(n)}$ であるように取っておきます
(i) $a_{0} = b_{0}$ と定め、$n < 0$ については $a_{n} = b_{n} + f_{n, n + 1}(a_{n + 1})$ と定めていき、$n > 0$ については各 $f_{n - 1, n}$ の全射性から $f_{n - 1, n}(a_{n}) = a_{n - 1} - b_{n - 1}$ を満たすように順に定めていけばよいです。
(ii) 準同型\[f : \prod_{n\in\Z}A_{n}\to \prod_{n\in\Z}A_{n} : (a_{n})_{n\in\Z}\mapsto (f_{n - 1, n}(a_{n}))_{n\in\Z}\]を取り、$f^{0} = \Id$, $f^{n + 1} = f^{n}\circ f$ と定めておきます。$\delta = f^{0} - f^{1}$ です。仮定から $a = \sum_{k\geq 0}f^{k}(b)$ はwell-definedであり$a_{n}$ に寄与するのは $n\leq k < m(n)$ の範囲と有限なため。、\[\delta(a) = (f^{0} - f^{1})(a) = \sum_{k\geq 0}f^{k}(b) - \sum_{k\geq 1}f^{k}(b) = f^{0}(b) = b\]です。
(iii) 各 $n$ に対して $B_{n} = \bigcap_{k\geq n}\Img f_{nk}$, $C_{n} = A_{n}/B_{n}$ とおき、$f_{nm}$ の制限として $g_{nm} : B_{m}\to B_{n}$ を定義し、$f_{nm}$ による誘導準同型として $h_{nm} : C_{m}\to C_{n}$ を定義します。このとき、射影系 $(B_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\Z}$ は(i)の仮定を満たし、$(C_{\bullet}, h_{\bullet\bullet})_{\Z}$ は(ii)の仮定を満たします。$c = ([b_{n}])_{n\in\Z}$ に対して $\delta(([e_{n}])_{n\in\Z}) = c$ を満たす $e = (e_{n})_{n\in\Z}\in \prod_{n\in\Z}A_{n}$ を取り、$b - \delta(e)\in \prod_{n\in\Z}B_{n}$ に対して $\delta(d) = b - \delta(e)$ を満たす $d\in \prod_{n\in\Z}B_{n}$ を取り、$a = d + e$ とおけば $b = \delta(a)$ です。
以上では $R$ 加群の帰納極限を考えましたが、全く同様に $R$ 加群のチェイン複体に対しても帰納極限を考が考えられます。有向集合 $\Lambda$ を添字集合とする $R$ 加群のチェイン複体の族 $\{(C_{\bullet}^{\lambda}, \partial^{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ とチェイン写像の族 $\{f_{\lambda\mu} : C_{\bullet}^{\lambda}\to C_{\bullet}^{\mu}\}_{\lambda\leq \mu\in \Lambda}$ であって常に $f_{\lambda\lambda} = \Id_{C_{\bullet}^{\lambda}}$, $f_{\mu\nu}\circ f_{\lambda\mu} = f_{\lambda\nu}$ を満たすものとの対が $R$ 加群のチェイン複体の帰納系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ ですが、これは各次数ごとに $R$ 加群の帰納系 $(C_{n}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ を定めているため、各 $n$ 次の項に関する帰納極限 $\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n}^{\lambda}$ をチェイン複体の帰納極限の $n$ 次の項とすることができます。そして、境界準同型の族 $\{\partial_{n}^{\lambda} : C_{n}^{\lambda}\to C_{n - 1}^{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ が $R$ 加群の帰納系 $(C_{n}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ と $(C_{n - 1}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ の間の射になっていることから命題1.4.6より帰納極限の間の準同型 $\partial_{n} : \underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n}^{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n - 1}^{\lambda}$ を誘導しており、その具体的な表示より $\partial\circ \partial = 0$ も確かめられるので、これを境界準同型としてチェイン複体 $(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda}, \partial)$ が定まりますチェイン複体 $(C_{\bullet}^{\lambda}, \partial^{\lambda})$ を次数付き $R$ 加群 $\bigoplus_{n\in\Z}C_{n}^{\lambda}$ と次数を $1$ 下げる自己準同型 $\partial^{\lambda} : \bigoplus_{n\in\Z}C_{n}^{\lambda}\to \bigoplus_{n\in\Z}C_{n}^{\lambda}$ の対と同一視し、その帰納極限を取ることでチェイン複体の帰納極限を考えてもよいです。気を付けることは、この次数付き $R$ 加群との同一視のもとで各 $f_{\lambda\mu}$ が次数を保つ準同型になっているため、帰納極限にも次数付き $R$ 加群の構造が定まること、同様に境界準同型による誘導準同型が次数を $1$ 下げる自己準同型になっていることです。。
さて、$R$ 加群のチェイン複体の帰納系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ が与えられたとき、各チェイン写像 $f_{\lambda\mu} : C_{\bullet}^{\lambda}\to C_{\bullet}^{\mu}$ がhomology群の間の自然な準同型 $(f_{\lambda\mu})_{*} : H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})\to H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\mu})$ を誘導しており、これは次数付きhomology群 $($次数付き $R$ 加群$)$ の帰納系 $(H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\star}), (f_{\star\star})_{*}))_{\Lambda}$ を誘導します。そして、その帰納極限として次数付き $R$ 加群 $\underset{\lambda}{\varinjlim}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})$ を考えることができます。次に示すように、これはチェイン複体 $(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda}, \partial)$ に関するhomology群 $H_{\bullet}(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda})$ に自然に同型です。
$R$ 加群のチェイン複体の帰納系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ が与えられているとする。各 $\lambda\in \Lambda$ と次数 $n\in \Z$ に対して明らかな方法で準同型 $i_{n}^{\lambda} : C_{n}^{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n}^{\lambda}$ を取ることでチェイン写像 $i^{\lambda} : C_{n}^{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n}^{\lambda}$ が定まる。そのhomology群への誘導準同型 $i^{\lambda}_{*} : H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})\to H_{\bullet}(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{n}^{\lambda})$ は常に $i_{*}^{\mu}\circ (f_{\lambda\mu})_{*} = i_{*}^{\lambda}$ を満たし、誘導準同型\[\underset{\lambda}{\varinjlim}i_{*}^{\lambda} : \underset{\lambda}{\varinjlim}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})\cong H_{\bullet}(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda})\]は自然な同型である。
$i^{\lambda}$ がチェイン写像であることは各 $c\in C_{n}^{\lambda}$ に対して $i_{n - 1}^{\lambda}\circ \partial^{\lambda}(c) = [\partial^{\lambda}(c)] = \partial([c]) = \partial\circ i_{n}^{\lambda}(c)$ であることからよく、常に $i_{*}^{\mu}\circ (f_{\lambda\mu})_{*} = i_{*}^{\lambda}$ であることも $i^{\mu}\circ f_{\lambda\mu} = i^{\lambda}$ より従います。
誘導準同型 $\underset{\lambda}{\varinjlim}i_{*}^{\lambda}$ が自然な同型であることは、短完全系列の射
の上側についての帰納極限を取ることで短完全系列の射
が得られること $($命題1.4.8$)$、$\underset{\lambda}{\varinjlim}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})\cong \Img\partial$, $\underset{\lambda}{\varinjlim}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda})\cong \Ker\partial$ であること $($命題1.4.7$)$ と5項補題 $($補題1.1.25$)$ より従います。
$R$ 加群の完全系列の帰納系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Lambda}$ に対し、その帰納極限も $R$ 加群の完全系列である。
完全系列をチェイン複体とみなして命題1.4.16を適用すれば\[H_{\bullet}(\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda})\cong \underset{\lambda}{\varinjlim}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\lambda}) = 0\]であるので帰納極限 $\underset{\lambda}{\varinjlim}C_{\bullet}^{\lambda}$ は完全系列です。
$R$ 加群のチェイン複体の射影系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Z}$ に対しても射影極限はチェイン複体となり、そのhomology群を考えることができますが、帰納極限のときとは違い、homology関手と射影極限は非可換な操作になります。条件付きで以下の完全系列が成立します。
$R$ 加群のチェイン複体の射影系 $(C_{\bullet}^{\star}, f_{\star\star})_{\Z}$ に対して $\underset{n}{\varprojlim}^{1}C_{\bullet}^{n} = 0$ が成立していれば同型\[0\to {\varprojlim_{n}}^{1}H_{\bullet + 1}(C_{\bullet}^{n})\to H_{\bullet}(\varprojlim_{n} C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to 0\]が成立する。この形の短完全系列をMilnor完全系列と呼ぶ。
[服部 位相幾何学]の証明そのままです。
射影系の短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{\star})\to C_{\bullet}^{\star}\xrightarrow{\partial^{\star}} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet}^{\star})\to 0\]について射影極限を取ると、命題1.4.14と仮定の ${\varprojlim_{n}}^{1}C_{\bullet}^{n} = 0$ から完全系列\[0\to \varprojlim_{n}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n}\xrightarrow{\varprojlim_{n}\partial^{n}} \varprojlim_{n}B_{\bullet - 1}(C_{\bullet}^{n})\to {\varprojlim_{n}}^{1}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to 0\]と $\underset{n}{\varprojlim}^{1}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{n}) = 0$ が得られます。この完全系列から同型\[\varprojlim_{n}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\cong \Ker\varprojlim_{n}\partial^{n} = Z_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n}),\]\[B_{\bullet - 1}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n}) = \Img\varprojlim_{n}\partial^{n} \subset \varprojlim_{n}B_{\bullet - 1}(C_{\bullet}^{n}),\]\[{\varprojlim_{n}}^{1}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\cong \varprojlim_{n}B_{\bullet - 1}(C_{\bullet}^{n})/B_{\bullet - 1}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})\]が得られます。ここで短完全系列\[0\to \varprojlim_{n}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})/B_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})\to Z_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})/B_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})\to Z_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})/\varprojlim_{n}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{})\to 0\]に対して上の同型を適用することで短完全系列\[0\to {\varprojlim_{n}}^{1}Z_{\bullet + 1}(C_{\bullet}^{n})\to H_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})/\varprojlim_{n}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to 0\]が得られます。
ここで、短完全系列\[0\to B_{\bullet}(C_{\bullet}^{\star})\to Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{\star})\to H_{\bullet}(C_{\bullet}^{\star})\to 0\]に対して射影極限を取ると、命題1.4.14と $\underset{n}{\varprojlim}^{1}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{n}) = 0$ から短完全系列\[0\to \varprojlim_{n}B_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to 0\]と同型 $\underset{n}{\varprojlim}^{1}Z_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\cong \underset{n}{\varprojlim}^{1}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})$ が得られ、これを合わせて目的の短完全系列\[0\to {\varprojlim_{n}}^{1}H_{\bullet + 1}(C_{\bullet}^{n})\to H_{\bullet}(\varprojlim_{n}C_{\bullet}^{n})\to \varprojlim_{n}H_{\bullet}(C_{\bullet}^{n})\to 0\]が従います。
チェイン複体とコチェイン複体とでは次数の取り方の違いしかないので、コチェイン複体においても帰納系およびその帰納極限が定義でき、cohomology関手と帰納極限の可換性も成立します。射影極限についても同様です。ただし、Milnor完全系列において第 $1$ 項の次数が $\bullet - 1$ になることは注意。
以上です。
若干足りないと思うけど、そこは必要になり次第追加します。あとになって集合や群の帰納極限・射影極限を別で整備してしまったので、その分だけ証明に無駄がある状態です。修正するかは未定。
参考文献
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