位相空間の連結性についてまとめます。
まずは連結空間を定義します。
$X$ を位相空間とする。$X$ の開集合 $U, V$ であって $U\neq \varnothing$, $V\neq \varnothing$, $U\cap V = \varnothing$, $U\cup V = X$ を満たすものが存在するとき、$X$ は非連結 $($disconnected$)$ であるという。$X$ が非連結でないとき連結 $($connected$)$ であるというここでは空集合も連結な位相空間と考えますが、空集合は非連結とするテキストも多いです。。
つまり、連結空間とはどうやっても空でない $2$ つの開集合に分けることのできない空間のことですが、これについて以下の簡単な言い換えを確認しておきます。
$X$ を位相空間とする。このとき、次は同値。
それぞれの逆の同値性を示すのが明解なので
の同値性を示します。
(i) ⇒ (ii) ある開集合 $U, V$ であって $U\neq \varnothing$, $V\neq \varnothing$, $U\cap V = \varnothing$, $U\cup V = X$ となるものを取ります。このとき、$U$ は $U = V^{c}$ より開かつ閉であり、$U\neq \varnothing, X$ も明らかです。
(ii) ⇒ (i) $A$ を開かつ閉であって $A\neq \varnothing, X$ となる部分集合とします。このとき、$U := A$, $V := A^{c}$ とすれば、これらはいずれも空でない開集合であり、$U\cap V = \varnothing$, $U\cup V = X$ を満たします。よって、$X$ は非連結です。
(i) ⇔ (iii) 自明です。
連結空間に関する例を挙げておきます。
部分空間が $($相対位相に関して$)$ 連結であったとき、それを連結部分空間といいますが、それについて次の同値関係が成立します。
$X$ を位相空間、$A\subset X$ を部分空間とする。このとき、次は同値。
いずれの向きにも対偶が明らかに成立しています。
連結空間の連続写像による像はまた連結であり、連結空間上で定義されたの実連続関数に対する中間値の定理を導きます。
$X$ を連結空間とする。連続写像 $f : X\to Y$ の像 $\Img f$ は $Y$ の連結部分空間である。
対偶を示します。$\Img f$ が非連結であったとき、$Y$ の開集合 $U, V$ であって $\Img f\cap U\neq \varnothing$, $\Img f\cap V\neq \varnothing$, $\Img f\cap U\cap V = \varnothing$, $\Img f\subset U\cup V$ を満たすものが取れます。$\Img f\cap U\neq \varnothing$ より $f^{-1}(U)\neq \varnothing$ であり、同様に $f^{-1}(V)\neq \varnothing$ です。そして、$\Img f\cap U\cap V = \varnothing$ より $f(U)\cap f(V) = \varnothing$ であり、$\Img f\subset U\cup V$ より $X = f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$ です。もちろん $f^{-1}(U), f^{-1}(V)$ は $X$ の開集合であり、$X$ は非連結です。
$X$ を連結空間とし、$f : X\to \R$ を実連続関数とする。任意の $a, b\in X$ と $f(a)$ と $f(b)$ の間にある任意の実数 $d$ に対して $f(c) = d$ となる点 $c\in X$ が存在する。
対称性から $f(a)\leq f(b)$ としてよいです。命題2.5.6より $\Img f$ は実数体の連結空間であり、区間です。よって、$[f(a), f(b)]\subset \Img f$ であり、任意の $d\in [f(a), f(b)]$ に対して $f(c) = d$ となる $c\in X$ が存在します。
連結部分空間どうしが共通部分を持てばその和集合も連結部分空間になりますが、そのことをいくらか一般的な形で示しておきます。
$X$ を位相空間、$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の連結部分空間による族とする。$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\neq \varnothing$ ならば $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ は連結部分空間である。
$A := \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\neq \varnothing$ が非連結として矛盾を導きます。$X$ の開集合 $U, V$ であって $A\cap U\neq \varnothing$, $A\cap V\neq \varnothing$, $A\cap U\cap V = \varnothing$, $A\subset U\cup V$ を満たすものが存在したとします。$U, V$ の一方は $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ との共通部分を持ちますが、対称性から $U\cap \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\neq \varnothing$ として矛盾を導けば十分です。任意に取った $x\in A\cap V$ に対して $x\in A_{\lambda}$ となる $\lambda\in \Lambda$ を固定します。このとき、$A_{\lambda}\cap U\neq \varnothing$, $A_{\lambda}\cap V\neq \varnothing$, $A_{\lambda}\cap U\cap V = \varnothing$, $A_{\lambda}\subset U\cup V$ が成立し $A_{\lambda}$ の連結性に矛盾します。よって、$A$ は連結です。
連結空間による直積空間はまた連結です。
$\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を連結空間の族とする。このとき、直積空間 $X = \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ は連結である。
次の $2$ 段階に分けて示します。
(step 1) $2$ つの連結空間 $X_{1}, X_{2}$ の直積 $X = X_{1}\times X_{2}$ の連結性を示します。それさえ示されれば、あとは帰納法により容易に任意有限個の場合の結果が示されます。任意の $(x_{1}, x_{2})\in X_{1}\times X_{2}$ に対して $(X_{1}\times \{x_{2}\})\cup (\{x_{1}\}\times X_{2})$ は命題2.5.8より連結であり、適当に $a_{1}\in X_{1}$ を取れば\[X_{1}\times X_{2} = \bigcup_{x_{2}\in X_{2}}((X_{1}\times \{x_{2}\})\cup (\{a_{1}\}\times X_{2}))\]は再び命題2.5.8より連結です。
(step 2) $A\subset X$ を空でない開かつ閉な部分集合としたとき $A = X$ であることを示します。点 $(a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\in A$ を固定し、その開近傍 $\prod_{\mu\in M}U_{\mu}\times \prod_{\lambda\in\Lambda\setminus M}X_{\lambda}$ を $A$ に含まれるように取ります。ただし、$M$ は $\Lambda$ の有限部分集合であり、各 $U_{\mu}$ は $X_{\mu}$ における $a_{\mu}$ の開近傍です。このとき、$\{(a_{\mu})_{\mu\in M}\}\times \prod_{\lambda\in\Lambda\setminus M}X_{\lambda}\subset A$ です。任意の $x' = (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda\setminus M}\in \prod_{\lambda\in\Lambda\setminus M}X_{\lambda}$ に対して $\prod_{\mu\in M}X_{\mu}$ の連結性から $\left(\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\right)\times \{x'\}\subset A$ であり$X' := \left(\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\right)\times \{x'\}$ とおきます。$A$ が開かつ閉であったので、$A\cap X'$ と $A^{c}\cap X'$ はいずれも $X'$ の開集合であり、もちろん $(A\cap X')\cap (A^{c}\cap X') = \varnothing$, $(A\cap X')\cup (A^{c}\cap X') = X'$ です。$((a_{\mu})_{\mu\in M}, x')\in A\cap X'$ より $A\cap X'\neq \varnothing$ であるので、このことと $X'$ の連結性から $A^{c}\cap X'$ は空でなければなりません。よって、$X'\subset A$ です。、$A = X$ となるので $X$ は連結です。
連結部分空間の閉包はまた連結です。
$X$ を位相空間、$A\subset X$ を連結部分空間とする。閉包 $\Cl A$ は連結部分空間である。
対偶として $\Cl A$ が非連結のとき $A$ も非連結であることを示します。開集合 $U, V$ であって $\Cl A\cap U\neq \varnothing$, $\Cl A\cap V\neq \varnothing$, $\Cl A\cap U\cap V = \varnothing$, $\Cl A\subset U\cup V$ となるものを取ります。このとき、$\Cl A\cap U\neq \varnothing$ より $A\cap U\neq \varnothing$ であり、同様に $A\cap V\neq \varnothing$ です。そして、$A\cap U\cap V = \varnothing$, $A\subset U\cup V$ も明らかであり、$A$ は非連結です。
位相空間の極大な連結部分空間である連結成分を導入します。
$X$ を位相空間とする。$X$ の二項関係 $\sim$ を $x, y\in X$ に対して $x, y\in A$ を満たす連結部分集合空間 $A$ が存在するときに $x\sim y$ として定義すると、この関係 $\sim$ は同値関係である。この同値関係に関する同値類を連結成分という。
次は連結成分が実際に連結部分空間であり、そして、連結部分空間たちの中で $($包含関係に関して$)$ 極大なものであることを意味します。
$X$ を位相空間とする。次が成立する。
連結成分の位相的な性質をまとめますが、その前に局所連結性を定義しておきます。
$X$ を位相空間とする。任意の点 $x\in X$ とその開近傍 $U$ に対して $x$ の連結な開近傍 $V$ であって $V\subset U$ となるものが存在するとき、$X$ は局所連結であるという。
位相空間 $X$ に対して次は同値です。
$X$ を位相空間とする。
弧状連結空間を定義します。ここでは $I$ により閉区間 $[0, 1]$ を表すとします。
$X$ を位相空間とする。任意の $x_{0}, x_{1}\in X$ に対して連続曲線 $c : I\to X$ であって $c(0) = x_{0}$, $c(1) = x_{1}$ を満たすものが存在するとき、$X$ は弧状連結 $($path-connected$)$ であるという。
Euclid空間 $\R^{n}$ の部分集合 $A$ であって以下の条件を満たす点 $x_{0}\in A$ が存在するものを星型集合や星状領域といい、$x_{0}$ を星型集合の中心といいます。
任意の $x_{1}, x_{2}\in A$ に対して $x_{1}$ を $x_{2}$ につなぐ連続曲線 $c : I\to A$ を\[c(t) = \left\{\begin{array}{ll}(1 - 2t)x_{1} + 2tx_{0} & (t\in [0, 1/2]) \\(2 - 2t)x_{0} + (2t - 1)x_{2} & (t\in [1/2, 1])\end{array}\right.\]により構成できるので、星型集合は弧状連結です。
$\R^{n}$ 自身やその開球体・閉球体がその例になり、これらは弧状連結です。
また、星型集合 $A$ であってその任意の点が中心となるもの、つまり、$A\neq \varnothing$ かつ任意の $x_{0}, x_{1}\in A$ に対して $x_{0}$ と $x_{1}$ を端点に持つ線分 $l$ が $A$ に含まれるものを凸集合もしくは凸領域といいます。もちろん凸集合も弧状連結であり、$\R^{n}$ 自身やその開球体・閉球体が再びその例になります。
弧状連結空間の連続写像による像はまた弧状連結です。
$X$ を弧状連結空間とする。連続写像 $f : X\to Y$ の像 $\Img f$ は $Y$ の弧状連結部分空間である。
$y_{0}, y_{1}\in \Img f$ とします。$f(x_{0}) = y_{0}$, $f(x_{1}) = y_{1}$ となる $x_{0}, x_{1}\in X$ を取り、$x_{0}$ を $x_{1}$ につなぐ連続曲線 $c : I\to X$ を取ります。合成 $f\circ c : I\to Y$ が $y_{0}$ を $y_{1}$ へつなぐ連続曲線です。
弧状連結部分空間どうしが共通部分を持てばその和集合も弧状連結です。
$X$ を位相空間、$\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の弧状連結部分空間による族とする。$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\neq \varnothing$ ならば $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ は弧状連結部分空間である。
$x_{0}, x_{1}\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ とします。ある $\lambda_{0}, \lambda_{1}\in \Lambda$ が存在して $x_{0}\in A_{\lambda_{0}}$, $x_{1}\in A_{\lambda_{1}}$ です。点 $x_{1/2}\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ を固定し、$A_{\lambda_{0}}$ において $x_{0}$ を $x_{1/2}$ へつなぐ連続曲線と $A_{\lambda_{1}}$ において $x_{1/2}$ を $x_{1}$ へつなぐ連続曲線をつなぎ合わせれば $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ において $x_{0}$ を $x_{1}$ につなぐ連続曲線が得られます。
弧状連結空間による直積空間はまた弧状連結です。
$\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を弧状連結空間の族とする。このとき、直積空間 $X = \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ は弧状連結である。
任意の $x_{0} = (x_{\lambda}^{0})_{\lambda\in\Lambda}, x_{1} = (x_{\lambda}^{1})_{\lambda\in\Lambda}\in \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ に対し、各 $X_{\lambda}$ において $x_{\lambda}^{0}$ を $x_{\lambda}^{1}$ につなぐ連続曲線 $c_{\lambda} : I\to X_{\lambda}$ を固定すれば $(c_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} : I\to X : t\mapsto (c_{\lambda}(t))_{\lambda\in\Lambda}$ が $x_{0}$ を $x_{1}$ につなぐ連続曲線です。
弧状連結成分を導入します。
$X$ を位相空間とする。$X$ の二項関係 $\sim$ を $x_{0}, x_{1}\in X$ に対して $c(0) = x_{0}$, $c(1) = x_{1}$ を満たす連続曲線 $c : I\to X$ が存在するときに $x_{0}\sim x_{1}$ として定義すると、この関係 $\sim$ は同値関係である。この同値関係に関する同値類を弧状連結成分という。
反射律は各 $x\in X$ に対して定値写像 $c = \cst_{x}$ が $x\sim x$ を与えるのでよく、対称律は $x\sim y$ としたとき、連続曲線 $c : I\to X$ であって $c(0) = x$, $c(1) = y$ となるものを取って連続曲線 $\overline{c} : I\to X : t\mapsto c(1 - t)$ を考えれば $y\sim x$ が従うのでよいです。推移律を示します。$x\sim y$, $y\sim z$ が成立しているとします。連続曲線 $c_{1}, c_{2} : I\to X$ を $c_{1}(0) = x$, $c_{1}(1) = c_{2}(0) = y$, $c_{2}(1) = z$ であるように取り、新たな連続曲線 $c : I\to X$ を\[c(t) = \left\{\begin{array}{ll}c_{1}(2t) & (t\in [0, 1/2]) \\c_{2}(2t - 1) & (t\in [1/2, 1])\end{array}\right.\]により構成します。$c(0) = x$, $c(1) = z$ より $x\sim z$ が従います。
$X$ を位相空間とする。次が成立する。
弧状連結空間は連結です。
弧状連結空間 $X$ は連結空間である。
背理法により示します。$X$ は弧状連結かつ非連結とします。空でない開集合 $U, V$ であって $U\cap V = \varnothing$ かつ $U\cup V = X$ となるものを取り、点 $a\in U$, $b\in V$ を固定します。さらに、連続曲線 $c : I\to X$ を $c(0) = a$, $c(1) = b$ であるように取ります。$0\in c^{-1}(U)$, $1\in c^{-1}(V)$, $c^{-1}(U)\cap c^{-1}(V) = \varnothing$, $c^{-1}(U)\cup c^{-1}(V) = I$ であり、もちろん $c^{-1}(U), c^{-1}(V)$ は $I$ の開集合なので、閉区間 $I$ の連結性に矛盾します。
点 $x_{0}\in X$ を固定します。さらに、各 $x\in X$ に対して連続曲線 $c_{x} : I\to X$ であって $c_{x}(0) = x_{0}$ かつ $c_{x}(1) = x$ となるものを固定します。各 $\Img c_{x}$ は連結であり $x_{0}$ を共通して元に持つので命題2.5.8より $X = \bigcup_{x\in X}\Img c_{x}$ は連結です。
さらに、局所弧状連結という仮定を課せば逆も成立します。
$X$ を位相空間とする。任意の点 $x\in X$ とその開近傍 $U$ に対して $x$ の弧状連結な開近傍 $V$ であって $V\subset U$ となるものが存在するとき、$X$ は局所弧状連結であるという。
Euclid空間の開集合 $W$ は局所弧状連結です。各 $x\in W$ とその $($$W$ における$)$ 開近傍 $U$ に対して十分に小さい正実数 $r > 0$ を取れば $O_{r}(x)$ が $U$ に含まれる $x$ の弧状連結な開近傍です。
位相空間 $X$ に対して次は同値です。
局所弧状連結かつ連結な位相空間 $X$ は弧状連結空間である。よって、局所弧状連結空間において連結性と弧状連結性は同値である。
局所弧状連結な位相空間 $X$ においてその弧状連結成分が開集合であることを示します。これが示されれば、$X$ の弧状連結成分による直和分解は開集合による直和分解を導き、もし $X$ が連結であればその弧状連結成分はただ $1$ つ $X$ のみであることが従います。
$A\subset X$ を弧状連結成分とします。点 $x\in A$ に対してその弧状連結な開近傍 $U$ を取れば $U\cup A$ が弧状連結であることと弧状連結成分の極大性より $U\subset A$ が分かり、$x$ は $A$ の内点です。よって、$A$ は開集合です。
最後に、一般には連結性と弧状連結性は等価でないことを見ておきます。
$\R^{2}$ の部分空間 $X := ([0, +\infty)\times\{0\})\cup ((\{0\}\cup \{1/n\mid n\in \N_{+}\})\times [0, +\infty))$ をくし空間といいます。ここから原点を除いた $X' := X\setminus \{(0, 0)\}$ は連結ですが弧状連結ではないです。
まず、$X'$ の部分集合 $X'' := ((0, +\infty)\times\{0\})\cup (\{1/n\mid n\in \N_{+}\}\times [0, +\infty))$ がその弧状連結性$(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1})\in X''$ に対して $(x_{0}, y_{0})$, $(x_{0}, 0)$, $(x_{1}, 0)$, $(x_{1}, y_{1})$ の順番に頂点を持つ折れ線を考えればよいです。から連結であるので、その $X'$ における閉包である $X'$ も連結です。
続いて、$X'$ が弧状連結でないことを示すため、連続曲線 $c : I\to X'$ であって $c(0) = (0, 1)$, $c(1) = (1, 0)$ を満たすものが存在したとして矛盾を導きます。各正整数 $n\in \N_{+}$ について $c(t_{n})$ の第 $1$ 座標の値が $1/\sqrt{2}n$ であるような $t_{n}\in I$ を取ります $($中間値の定理 $($系2.5.7$)$$)$。$c(t_{n}) = (1/\sqrt{2}n, 0)$ であり、実数列 $\{t_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ の収束部分列 $\{t_{k_{n}}\}_{n\in \N}$ に対して\[c\left(\lim_{n\to\infty}t_{k_{n}}\right) = \lim_{n\to\infty}c(t_{k_{n}}) = \lim_{n\to\infty}(1/\sqrt{2}k_{n}, 0) = (0, 0)\notin X'\]となりますが、これは矛盾です。
以上です。
ところどころ図を追加したいです。
参考文献
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