成分ごとには単なる実数の加法と乗法なのでどれも明らかです。

$x = 0$ または $y = 0$ ならば自明なので $x, y\neq 0$ とします。任意の $t\in \R$ に対して $\langle x - ty, x - ty\rangle = \langle x, x\rangle - 2t\langle x, y\rangle + t^{2}\langle y, y\rangle\geq 0$ であり、$t = \langle x, y\rangle/\langle y, y\rangle$ を代入すれば\[\langle x, x\rangle - 2\dfrac{\langle x, y\rangle^{2}}{\langle y, y\rangle} + \dfrac{\langle x, y\rangle^{2}}{\langle y, y\rangle} = \langle x, x\rangle - \dfrac{\langle x, y\rangle^{2}}{\langle y, y\rangle} \geq 0\]です。$\langle y, y\rangle > 0$ に注意すれば $\langle x, y\rangle^{2}\leq \langle x, x\rangle\langle y, y\rangle$ です。

(1) (2) 明らかです。

(3) $\|x + y\|^{2} = \|x\|^{2} + 2\langle x, y\rangle + \|y\|^{2}$ であり、ここにCauchy–Schwarz不等式を適用すれば\[\|x + y\|^{2}\leq \|x\|^{2} + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^{2} = (\|x\| + \|y\|)^{2}\]です。よって、$\|x + y\|\leq \|x\| + \|y\|$ です。

まず準備として、任意の非負実数 $a, b \geq 0$ に対して $ab\leq a^{p}p^{-1} + b^{q}q^{-1}$ であることを示します。$a = 0$ または $b = 0$ のときは明らかなので $a, b > 0$ とします。対数関数 $\log$ が上に凸なので\[\log(a^{p}p^{-1} + b^{q}q^{-1}) \geq p^{-1}\log(a^{p}) + q^{-1}\log(b^{q}) = \log(ab)\]となり、後は指数関数 $\exp$ が大小関係を保つことから $ab\leq a^{p}p^{-1} + b^{q}q^{-1}$ が分かります。

主張の不等式を示します。$\|x\|_{p} = 0$ または $\|y\|_{q} = 0$ のときは明らかなのでこれらは正値として示せばよいです。いま、任意の実数 $r\in [1, +\infty)$, $a\in \R$ と $z\in \R^{m}$ に対して $\|az\|_{r} = |a|\|z\|_{r}$ が成立しているので $\|x\|_{p} = \|y\|_{q} = 1$ として $\|xy\|_{1}\leq 1$ を示せばよいですが、これは\begin{eqnarray*}\|xy\|_{1} & = & \sum_{k = 1}^{m}|x_{k}||y_{k}|dx\leq \sum_{k = 1}^{m}(p^{-1}|x_{k}|^{p} + q^{-1}|y_{k}|^{q})dx \\& = & p^{-1}\sum_{k = 1}^{m}|x_{k}|^{p}dx + q^{-1}\sum_{k = 1}^{m}|y_{k}|^{q}dx \\& = & p^{-1} + q^{-1} = 1\end{eqnarray*}より分かります。

$p = 1$ の場合は容易なので $p > 1$ とし、$q := 1/(1 - p^{-1})$ とおきます。$p^{-1} + q^{-1} = 1$ および $p = q(p - 1)$ が成立します。Hölder不等式 $($補題1.7.6$)$ より\[\sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{p - 1}|x_{k}|\leq \left(\sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{q(p - 1)}\right)^{1/q}\left(\sum_{k = 1}^{m}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p} = \|x + y\|_{p}^{p - 1}\|x\|_{p},\]\[\sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{p - 1}|y_{k}|\leq \left(\sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{q(p - 1)}\right)^{1/q}\left(\sum_{k = 1}^{m}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p} = \|x + y\|_{p}^{p - 1}\|y\|_{p}\]なので\begin{eqnarray*}\|x + y\|_{p}^{p} & = & \sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{p} \\& \leq & \sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{p - 1}|x_{k}| + \sum_{k = 1}^{m}|x_{k} + y_{k}|^{p - 1}|y_{k}| \\& \leq & \|x + y\|_{p}^{p - 1}(\|x\|_{p} + \|y\|_{p})\end{eqnarray*}であり、直ちに $\|x + y\|_{p}\leq \|x\|_{p} + \|y\|_{p}$ が従います。

(1) (2) 明らかです。

(3) ノルムの性質から $d(x, z) := \|x - z\|\leq \|x - y\| + \|y - z\| = d(x, y) + d(y, z)$ です。

(1) ⇒ (2) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。仮定よりある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して $\|x_{n} - a\| < \varepsilon$ が成立します。このとき、任意の $1\leq k\leq m$ に対して $|x_{n, k} - a_{k}|\leq \|x_{n} - a\| < \varepsilon$ なので、各実数列 $\{x_{n, k}\}_{n\in\N}$ は $a_{k}\in \R$ に収束します。

(2) ⇒ (1) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。各実数列 $\{x_{n, k}\}_{n\in\N}$ は $a_{k}\in \R$ に収束するので、ある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して $|x_{n, k} - a_{k}| < \tfrac{\varepsilon}{\sqrt{n}}$ が全ての $1\leq k\leq n$ について成立します。よって、このとき\[\|x_{n} - a\|\leq \sqrt{|x_{n, 1} - a_{1}|^{2} + \dots + |x_{n, m} - a_{m}|^{2}} < \varepsilon\]となるので、点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ は $a\in \R^{m}$ に収束します。

$m = 1$ の場合のBolzano–Weierstrassの定理 $($定理1.5.31$)$ を用い、第 $1$ 成分については収束する部分列を取れます。取った部分列のさらに部分列として第 $2$ 成分に関しても収束する部分列を構成できます。同様に $m$ 成分まで各成分ごとに収束する部分列が構成でき、それが $\R^{m}$ において収束する部分列です。

(1) $a\in \Int A$ とします。内点の定義より正実数 $\varepsilon > 0$ であって $O_{\varepsilon}(a)\subset A$ となるもの固定しておきます。任意に $a$ に収束する点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ に対し、ある非負整数 $N$ が存在して $n > N$ ならば $\|x_{n} - a\| < \varepsilon$ であり、この $N$ に対して $n > N$ ならば $x_{n}\in O_{\varepsilon}(a)\subset A$ です。

逆は対偶により示します。任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $O_{\varepsilon}(a) \not\subset A$ とします。各正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $x_{n}\in O_{1/n}(a)\setminus A$ を取ることで点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ を構成すれば、これが $a$ に収束する $\R^{m}$ の点列であって任意の非負整数 $N$ に対して $n > N$ かつ $x_{n}\notin A$ となる $n$ が存在するものになっています。

(2) 明らかです。

(3) (2)より $\Int(\Int A)\subset \Int A$ なので $\Int A\subset \Int(\Int A)$ を示せばよいです。$a\in \Int A$ とします。ある正整数 $\varepsilon > 0$ が存在して $O_{\varepsilon}(a)\subset A$ です。また、任意の $a'\in O_{\varepsilon}(a)$ に対して $O_{\varepsilon - \|a' - a\|}(a')\subset O_{\varepsilon}(a)\subset A$ なので $O_{\varepsilon}(a)\subset \Int A$ です。よって、$a\in \Int A$ であり、$\Int A\subset \Int(\Int A)$ です。

(4) 明らかです。

(1) ⇒ (2) $A$ のある点 $a$ に収束する $\R^{m}$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。$a$ は内点なので命題1.7.18の(1)によりある非負整数 $N$ が存在して任意の $n > N$ に対して $x_{n}\in A$ です。

(2) ⇒ (1) $A\subset \Int A$ を示せばよいです。$a\in A$ とします。命題1.7.18の(1)と仮定により $a\in \Int A$ なので $A\subset \Int A$ です。よって、$A$ は開集合です。

(1) ⇒ (3) 各 $a\in A$ に対して正実数 $\varepsilon_{a} > 0$ であって $O_{\varepsilon_{a}}(a)\subset A$ となるものを取ります。このとき、明らかに $\bigcup_{a\in A} O_{\varepsilon_{a}} = A$ です。

(3) ⇒ (1) $A$ が開球体の和集合として $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{r_{\lambda}}(a_{\lambda})$ と表されているとします。任意の $a\in A$ に対し、ある $\lambda\in \Lambda$ であって $a\in O_{r_{\lambda}}(a_{\lambda})$ となるものを取れば、$O_{r_{\lambda} - \|a - a_{\lambda}\|}(a)\subset O_{r_{\lambda}}(a_{\lambda})\subset A$ なので $a\in \Int A$ です。よって、$A\subset \Int A$ であり、$A$ は開集合です。

(1) 明らかです。

(2) 各 $U_{\lambda}$ は開球体の和集合で表され、それらの和集合 $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ も開球体の和集合で表されるのでこれは開集合です。

(3) $a\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ とします。各 $\lambda\in \Lambda$ に対して $O_{r_{\lambda}}(a)\subset U_{\lambda}$ となる正実数 $r_{\lambda} > 0$ を取り、$r := \min\{r_{\lambda}\mid \lambda\in \Lambda\}$ と定めます。$\Lambda$ が有限集合なので $r$ は正の実数として定まっています。このとき、任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $O_{r}(a)\subset U_{\lambda}$ なので $O_{r}(a)\subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ です。よって、$a$ は $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ の内点であり、$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ は開集合です。

(1) $a\in \Cl A$ とします。各正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $A\cap O_{1/n}(a)\neq \varnothing$ なのでその点 $x_{n}$ を取ることができます。これにより $A$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ を構成すれば添字集合が非負整数の集合 $\N$ ではなく正整数の集合 $\N_{+}$ ですが、$1$ つずらせば $\N$ と一緒です。大抵の場合、これくらいのことは特に断らずに話を進めます。、\[\|x_{n} - a\| < \dfrac{1}{n}\to 0 \ (n\to \infty)\]なので $a$ に収束する点列になっています。

$a\in \R^{m}$ に対して $A$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ であって $a$ に収束するものが存在したとします。任意に正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。収束の定義より、ある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して $\|x_{n} - a\| < \varepsilon$ が成立しするので $x_{N + 1}\in A\cap O_{\varepsilon}(a)$ です。よって、$a$ は $A$ の触点であり $a\in \Cl A$ です。

(2) 明らか。

(3) (2)より $\Cl A\subset \Cl(\Cl A)$ なので $\Cl(\Cl A)\subset \Cl A$ を示せばよいです。$a\in \Cl(\Cl A)$ とし、正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。$\Cl A\cap O_{\varepsilon/2}(a)\neq \varnothing$ よりその点 $a'$ を取ると、$a'\in \Cl A$ より $A\cap O_{\varepsilon/2}(a')\neq \varnothing$ です。よって、$a''\in A\cap O_{\varepsilon/2}(a')$ を取ることができ、$\|a'' - a\|\leq \|a'' - a'\| + \|a' - a\| < \varepsilon$ より $a''\in A\cap O_{\varepsilon}(a)$ です。よって、$a\in \Cl A$ であり、$\Cl(\Cl A)\subset Cl A$ です。

(4) 明らかです。

(1) ⇒ (2) $A$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ であってある点 $a\in \R^{m}$ に収束するものを取ります。命題1.7.23の(1)より $a$ は $\Cl A$ の点ですが、$A$ が閉集合より $A = \Cl A$ なので $a\in A$ です。

(2) ⇒ (1) $\Cl A\subset A$ を示せばよいです。$a\in \Cl A$ とします。命題1.7.23の(1)より $A$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ であって $a$ に収束するものが取れますが、仮定により収束点 $a$ は $A$ の点です。よって、$\Cl A\subset A$ であり、$A$ は閉集合です。

(1) 明らかです。

(2) $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ の点列であってある点 $a\in \R^{m}$ に収束するものとします。任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ は $F_{\lambda}$ の点列であるので、$F_{\lambda}$ が閉集合であることと系1.7.24より収束点は $a$ は $F_{\lambda}$ の点となります。よって、$a\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ であり、系1.7.24より $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ は閉集合です。

(3) $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ の点列であってある点 $a\in \R^{m}$ に収束するものとします。$\Lambda$ は有限集合なので、ある $\lambda\in \Lambda$ であって $\{n\in \N\mid x_{n}\in F_{\lambda}\}$ が無限集合となるものが存在します。そのような $\lambda$ を固定し、部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を常に $x_{n_{k}}\in F_{\lambda}$ となるように取ります。これは $a$ に収束する閉集合 $F_{\lambda}$ の点列なので系1.7.24より $a\in F_{\lambda}$ です。よって、$a\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ です。再び系1.7.24より $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}$ は閉集合です。

まず、$A$ を開集合として $A^{c}$ が閉集合であることを示します。$\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $A^{c}$ の点列であってある点 $a\in \R^{m}$ に収束するものとします。$a\in A^{c}$ を示せば $A^{c}$ が閉であることが分かりますが、これを背理法により示します。$a\in A$ に収束していたとします。$A$ が開集合なので、ある非負整数 $N$ が存在し $n > N$ に対して $x_{n}\in A$ です。これは $x_{n}\in A^{c}$ に矛盾します。よって、$a\in A^{c}$ です。

$A^{c}$ を閉集合として $A = A^{cc}$ が開集合であることを示します。$A$ が開集合でないとして矛盾を導きます。$a\in A\setminus \Int A$ を取ります。$a$ は $A$ の内点ではないので任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $O_{\varepsilon}(a)\not\subset A$ です。よって、各正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $x_{n}\in A^{c}\cap O_{\varepsilon}(a)$ となるものを取ることができ、これにより $a$ に収束する $A^{c}$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ が構成されます。$A^{c}$ は閉集合であり、$a\in A^{c}$ ですが、これは $a\in A$ に矛盾です。よって、$A$ は開集合です。

(1) ⇒ (2) $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $K$ の点列とします。$K$ は有界なのでBolzano–Weierstrassの定理 $($定理1.7.13$)$ より $\R^{m}$ のある点 $a$ に収束する部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を持ちます。また、$K$ が閉集合なので系1.7.24より収束点 $a$ は $K$ の点です。

(2) ⇒ (3) $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $K$ の開被覆とします。まずは高々可算な部分被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda'}$ が取れることを示します。次の条件を満たす $\Q^{m}\times \Q$ の点 $(a, r) = (a_{1}, \dots, a_{m}, r)$ 全体からなる集合 $\mathcal{A}$ を考えます。

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\subset \bigcup_{(a, r)\in \mathcal{A}}O_{r}(a)$ を示します。もしこれが示されれば、各 $(a, r)\in \mathcal{A}$ に対して $O_{r}(a)\subset U_{\lambda}$ を満たす $\lambda\in \Lambda$ を対応させる写像 $\varphi : \mathcal{A}\to \Lambda$ を $1$ つ固定することで $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Img\varphi}$ が高々可算な部分被覆になります。$b = (b_{1}, \dots, b_{m})\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}$ とします。$\lambda\in \Lambda$ であって $b\in U_{\lambda}$ となるものを取り、正実数 $\delta > 0$ であって $O_{\delta}(b)\subset U_{\lambda}$ となるものを取ります。有理数体の実数体における稠密性 $($系1.5.30$)$ より各 $1\leq k\leq m$ に対して有理数 $a_{k}\in [b_{k} - \tfrac{\delta}{3\sqrt{m}}, b_{k} + \tfrac{\delta}{3\sqrt{m}}]$ を取り、さらに正の有理数 $r\in [\tfrac{\delta}{3}, \tfrac{2\delta}{3}]$ を取るとき、$\|a - b\| < \tfrac{\delta}{3}$ なので $b\in O_{r}(a)\subset O_{\delta}(b)\subset U_{\lambda}$ となっています。よって、$b\in \bigcup_{(a, r)\in \mathcal{A}}O_{r}(a)$ であり、$b$ は任意なので $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\subset \bigcup_{(a, r)\in \mathcal{A}}O_{r}(a)$ です。

よって、高々可算な部分被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda'}$ が取れましたが、これに有限部分被覆が存在することを示します。まず、最初から $\Lambda'$ が有限集合ならば問題ないので可算無限集合として示せばよく、添字を取り換えて可算部分被覆 $\{U_{n}\}_{n\in\N}$ として考えることにします。これが有限部分被覆を持たなかったとして矛盾を導きます。このとき、任意の $n\in \N$ に対して\[K\not\subset \bigcup_{0\leq k\leq n}U_{k}\]であり、各 $n\in \N$ に対して $x_{n}\in K\setminus \bigcup_{0\leq k\leq n}U_{k}$ を取ることができます。仮定より点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ は $K$ のある点 $a$ に収束する部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を持ちますが、$a\in U_{N}$ となる非負整数 $N$ が取れるので、$n_{k} > N$ となる $k\in \N$ に対して $x_{n_{k}}\notin U_{N}$ であり、これは $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ が $a$ に収束する部分列であることに矛盾です。以上より開被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda'}$ の有限部分被覆の存在が示されましたが、これはもとの開被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の有限部分被覆です。よって、$K$ はコンパクトです。

(3) ⇒ (1) 対偶を示します。$K$ は有界閉集合ではないとして、$K$ が有界でない場合と閉集合でない場合のそれぞれで $K$ がコンパクトでないことを示せばよいです。$K$ が有界でない場合、$K$ の開被覆 $\{O_{n}(0)\}_{n\in\N_{+}}$ は有限部分被覆を持たないので $K$ はコンパクトではないです。続いて、$K$ が閉でない場合、点 $a\in \overline{K}\setminus K$ が存在するのでそれを取ると、$K$ の開被覆 $\{\R^{m}\setminus D_{1/n}(a)\}_{n\in\N_{+}}$ は有限部分被覆を持たないので $K$ はコンパクトではないです。

(1) ⇒ (2) 背理法により示すため、区間 $J$ が非連結だったとします。$\R$ のある開集合 $U, V$ が存在して $J\cap U\cap V = \varnothing$, $J\cap U\neq \varnothing$, $J\cap V\neq \varnothing$, $J\subset U\cup V$ を満たします。点 $a\in J\cap U$ と $b\in J\cap V$ を取ります。対称性より $a < b$ であったとしてよく、また、明らかに $[a, b]\subset J$ です。そして、$c := \sup(U\cap [a, b])$ とおきます。$c\in J\cap U$ か $c\in J\cap V$ ですが、いずれの場合も矛盾が導かれることを示します。

まず、$c\in J\cap U$ とします。$U$ が開集合なのである正実数 $\delta > 0$ が存在して $(c - \delta, c + \delta)\subset U$ です。また、$c\in [a, b]$ と $b\notin U$ より $c + \delta\leq b$ です。よって、$c + \delta/2\in U\cap [a, b]$ ですが、これは $c = \sup(U\cap [a, b])$ に矛盾です。

$c\in J\cap V$ とします。$V$ が開集合なのである正実数 $\delta > 0$ であって $(c - \delta, c + \delta)\subset V$ となるものを取れます。いま、$c$ が $U\cap [a, b]$ の上界なので $x\in (c - \delta, c]$ となる $x\in U\cap [a, b]$ が取れますが、これは $x\in J\cap U\cap V$ を導き矛盾です。

以上より、最初述べたように開集合 $U, V$ を取ることはできないことが分かり、つまり、区間 $J$ は連結です。

(2) ⇒ (3) もし、ある実数 $c\in (a, b)$ であって $c\notin J$ となるものが存在したとすると、$J\cap (-\infty, c)\cap (c, +\infty) = \varnothing$, $J\cap (-\infty, c)\neq \varnothing$, $J\cap (c, +\infty)\neq \varnothing$, $J\subset (-\infty, c)\cup (c, +\infty) = \varnothing$ であり、これは $J$ の連結性に矛盾です。よって、$(a, b)\subset J$ であり、当然 $a, b\in J$ なので $[a, b]\subset J$ です。

(3) ⇒ (1) $l := \inf J$, $u := \sup J$ とします。$J\subset [l, u]$ であることに注意すれば、あとは $(l, u)\subset J$ を示せば各端点が $J$ に属すかどうかに関わらず $J$ は区間です。$c\in (l, u)$ を取ります。$l, u$ の取り方から $a\in J\cap [l, c)$ および $b\in J\cap (c, u]$ が取れます。仮定から $c\in [a, b]\subset J$ であり、$(l, u)\subset J$ が分かりました。$l = -\infty$ や $u = +\infty$ の場合も上手くいくことには注意。