(1) $(-a), (-a)'$ を $a$ の逆元とするとき、\[(-a)' = (-a)' + 0 = (-a)' + a + (-a) = (-a) + a + (-a)' = (-a) + 0 = (-a)\]です。

(2) $a\in \R$ は $(-a) + a = a + (-a) = 0$ を満たすので、$-a$ の加法逆元 $-(-a)$ です。

(5) $a\cdot 0 = a\cdot (0 + 0) = a\cdot 0 + a\cdot 0$ であり、両辺に $-(a\cdot 0)$ を足すことで $0 = a\cdot 0$ が従います。

(6) $a + a\cdot (-1) = a\cdot 1 + a\cdot (-1) = a\cdot (1 + (-1)) = a\cdot 0 = 0$ なので $-a = a\cdot (-1)$ です。

(9) $aba^{-1}b^{-1} = aa^{-1}bb^{-1} = 1\cdot 1 = 1$ なので $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$ です。

(10) $ab$ には乗法逆元が存在するので、$0$ に乗法逆元が存在しないことの対偶から分かります。

(2) $0\leq a = a + 0\leq a + b$ です。

(3) (1)より $b - a, d - c\geq 0$ であり、(2)より $(b + d) - (a + c)\geq 0$ です。再び(1)より $a + c\leq b + d$ です。

(4) $0 < c\leq b - a$ であることより $a\neq b$ かつ $a\leq b$ であり、よって、$a < b$ です。

(6) $b - a, c\geq 0$ より $bc - ac = (b - a)c\leq 0$ であり、よって、$ac\leq bc$ です。

(7) $1, -1$ の一方は正であり、その $2$ 乗である $1$ は正です。

(8) $a^{-1}\leq 0$ とすると $1 = aa^{-1}\leq a0 = 0$ となり矛盾するので $a^{-1} > 0$ です。

(9) $a\leq b$ の両辺に $(ab)^{-1} > 0$ を掛けて $b^{-1}\leq a^{-1}$ です。

(1) ⇒ (2) 対偶より示します。$a$ が $A$ の上界でない場合に $a\neq \sup A$ は明らか。$a$ は $A$ の上界であり、ある正実数 $\varepsilon > 0$ であって $x\in A$ かつ $a - \varepsilon < x\leq a$ となる実数 $x$ が存在しないものが存在したとします。$x\in A$ に対して、仮定から $x\leq a - \varepsilon$ か $a < x$ のいずれかが成立しますが、$a$ が上界であることから $x\leq a$ であり、$x\leq a - \varepsilon$ が従います。よって、$a - \varepsilon$ は $A$ の上界ですが、これは $a$ が最小の上界でないことを意味し $a\neq \sup A$ です。よって、対偶が示されました。

(2) ⇒ (1) $a'$ を $a$ の上界とし、$a' < a$ であったとして矛盾を導きます。正実数 $\varepsilon := \tfrac{a - a'}{2}$ を取り、$x\in A$ であって $a - \varepsilon < x\leq a$ となるものを取ります。このとき、\[a' < a' + \varepsilon = \dfrac{a + a'}{2} = a - \varepsilon < x\]であり、これは $a'$ が $A$ の上界であることに矛盾です。よって、$A$ の任意の上界 $a'$ に対して $a\leq a'$ であるので $a$ は最小の上界、つまり上限 $\sup A$ です。

(1) $z\in A + B$ とします。$x\in A$ と $y\in B$ を用いて $z = x + y$ と表されます。$x\leq a$ と $y\leq b$ から $z\leq a + b$ であり、よって、$a + b$ は $A + B$ の上界です。正実数 $\varepsilon > 0$ を取るとき、$a - \tfrac{\varepsilon}{2} < x\leq a$ となる $x\in A$ と $b - \tfrac{\varepsilon}{2} < y\leq b$ となる $y\in B$ を取れば $x + y\in A + B$ かつ $a + b - \varepsilon < x + y\leq a + b$ です。よって、系1.5.6より $a + b$ は $A + B$ の上限です。

(2) (3) (1)と似たような感じです。

(1) $0\leq a$ ならば $-a\leq 0\leq a$ であり、$\max\{a, -a\} = a = |a|$ です。$a\leq 0$ ならば $a\leq 0\leq -a$ であり、$\max\{a, -a\} = -a = |a|$ です。

(2) 明らかです。

(3) 簡単です。

(4) $a + b\leq a + |b|\leq |a| + |b|$ と $-(a + b) = (-a) + (-b)\leq (-a) + |b|\leq |a| + |b|$ よりそうです。

(5) $|b + (a - b)|\leq |b| + |a - b|$ より $|a| - |b|\leq |a - b|$ であり、$-(|a| - |b|)\leq |a - b|$ も同様に分かるのでそうです。

(6) 対偶を示します。$a \neq b$ とします。$|a - b| > 0$ であり、正実数 $\varepsilon = \tfrac{|a - b|}{2}$ に対して $|a - b| > \varepsilon$ となります。

$\Q$ の加法単位元と乗法単位元は $0, 1$ と書きますが、$\K$ については区別のために $0_{\K}, 1_{\K}$ と書くことにします。まずは条件を満たす単射 $\iota : \Q\to \K$ を構成します。$\iota(0) = 0_{\K}$ とし、正整数 $n\in \N_{+}\subset \Q$ に対して\[\iota(n) = \iota(\overbrace{1 + \cdots + 1}^{n}) = \overbrace{1_{\K} + \cdots + 1_{\K}}^{n} =: n_{\K},\]\[\iota(-n) = \iota(\overbrace{(-1) + \cdots + (-1)}^{n}) = \overbrace{(-1_{\K}) + \cdots + (-1_{\K})}^{n} =: -n_{\K}\]と定めます。このとき、\[\cdots < -n_{\K} < \cdots < -2_{\K} < -1_{\K} < 0_{\K} < 1_{\K} < 2_{\K} < \cdots < n_{k} < \cdots\]から $n\in \Z$ に対して $\iota(n) = 0_{\K}$ ならば $n = 0$ です。$($いま定義した整数集合 $\Z$ の範囲では条件(i)と(ii)が満たされていることは認めます。$)$

有理数 $r\in \Q$ に対しては $r = p/q$ と整数 $p, q$ を用いてと表すことで $\iota(r) := \iota(p)\iota(q)^{-1}$ と定めます。これがwell-definedであることは $r = p_{1}/q_{1} = p_{2}/p_{2}$ であったとき、\[\dfrac{\iota(p_{2})}{\iota(q_{2})} - \dfrac{\iota(p_{1})}{\iota(q_{1})} = \dfrac{\iota(p_{2})\iota(q_{1}) - \iota(p_{1})\iota(q_{2})}{\iota(q_{2})\iota(q_{1})} = \dfrac{\iota(p_{2}q_{1} - p_{1}q_{2})}{\iota(q_{2}q_{1})} = \dfrac{\iota(0)}{\iota(q_{2}q_{1})} = 0_{\K}\]であるので分かります。また、$\Z$ において最初に定めた値に一致していることは $\iota(1)^{-1} = 1_{k}$ から明らかです。

以上で写像 $\iota : \Q\to \K$ が構成できました。あとは単射性と主張の条件を満たしていることを確認します。

(i) $r = p_{1}/q_{1}, s = p_{2}/q_{2}\in \Q$ に対して\[\iota(r) + \iota(s) = \dfrac{\iota(p_{1})}{\iota(q_{1})} + \dfrac{\iota(p_{2})}{\iota(q_{2})} = \dfrac{\iota(p_{1})\iota(q_{2}) + \iota(p_{2})\iota(q_{1})}{\iota(q_{1})\iota(q_{2})} = \dfrac{\iota(p_{1}q_{2} + p_{2}q_{1})}{\iota(q_{1}q_{2})} = \iota((p_{1}q_{2} + p_{2}q_{1})/q_{1}q_{2}) = \iota(r + s)\]なのでよいです。

(ii) $r = p_{1}/q_{1}, s = p_{2}/q_{2}\in \Q$ に対して\[\iota(r)\iota(s) = \dfrac{\iota(p_{1})}{\iota(q_{1})}\cdot\dfrac{\iota(p_{2})}{\iota(q_{2})} = \dfrac{\iota(p_{1}p_{2})}{\iota(q_{1}q_{2})}= \iota(p_{1}p_{2}/q_{1}q_{2}) = \iota(rs)\]なのでよいです。

(iii) 制限 $\iota|_{\Z} : \Z\to \K$ が順序を保つことは明らか。有理数 $r = p_{1}/q_{1}, s = p_{2}/q_{2}\in \Q$ について、$r < s$ として $\iota(r) < \iota(s)$ を示します。必要であれば $q_{1}, q_{2}$ を取り換えて正整数としておけば、$0 < s - r = \dfrac{p_{2}q_{1} - p_{1}q_{2}}{q_{2}q_{1}}$ と $q_{2}q_{1} > 0$ から $p_{2}q_{1} - p_{1}q_{2} > 0$ です。よって、$\iota(p_{2}q_{1} - p_{1}q_{2}) > 0$, $\iota(q_{2}q_{1}) > 0$ が分かるので\[\iota(s) - \iota(r) = \dfrac{\iota(p_{2}q_{1} - p_{1}q_{2})}{\iota(q_{2}q_{1})} > 0\]となります。

あとは単射性ですが、これは(iii)の証明において示した $\iota$ の狭義単調増加性から明らかです。以上により主張の写像 $\iota : \Q\to \K$ が構成されていることが確かめられました。

主張の写像の一意性を示します。$\iota$ を上で構成した写像、$\iota' : \Q\to \K$ をまた主張の条件を満たす単射として $\iota = \iota'$ であることを示せばよいです。以下のことを示します。

(step 1) $\iota'(0) = \iota'(0 + 0) = \iota'(0) + \iota'(0)$ であり、両辺に $-\iota'(0)$ を加えて $0_{\K} = \iota'(0)$ です。$\iota'(1)\neq \iota'(0) = 0_{\K}$ より逆元 $\iota'(1)^{-1}$ が取れるので、$\iota'(1) = \iota'(1\cdot 1) = \iota'(1)\cdot \iota'(1)$ の両辺に $\iota'(1)^{-1}$ を掛けて $1_{\K} = \iota'(1)$ が従います。

(step 2) $0 = \iota'(0) = \iota'(r + (-r)) = \iota'(r) + \iota'(-r)$ なので $\iota'(-r) = -\iota'(r)$ です。

(step 3) $\iota'(r)\neq \iota'(0) = 0_{\K}$ から逆元 $\iota'(r)^{-1}$ が取れるので、$\iota'(r)\iota'(r^{-1}) = \iota'(r\cdot r^{-1}) = \iota'(1) = 1_{\K}$ の両辺に $\iota'(r)^{-1}$ を掛ければ分かります。

(step 4) $n\in \N$ に対しては\[\iota'(n) = \iota'(\overbrace{1 + \cdots + 1}^{n}) = \overbrace{\iota'(1) + \cdots + \iota'(1)}^{n} = \overbrace{1_{\K} + \cdots + 1_{\K}}^{n} = \iota(n)\]であり、(step 2)から $n\in \Z$ でも $\iota'(n) = \iota(n)$ です。一般の有理数 $r = p/q\in \Q$ に対しても\[\iota'(r) = \iota'(p)\iota'(q)^{-1} = \iota(p)\iota(q)^{-1} = \iota(r)\]です。最初の等式に(step 3)を使っています。

以上で一意性も示されました。

(1) $2$ つの実数 $a, a'$ に収束したとします。正実数 $\varepsilon > 0$ を固定したとき、極限の定義よりある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a - a_{n}|, |a' - a_{n}| < \varepsilon\]を満たすので\[|a - a'|\leq |a - a_{N + 1}| + |a_{N + 1} - a'| < 2\varepsilon\]です。よって、$|a - a'| < 2\varepsilon$ が任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して成立するので $a = a'$ です。

また、実数 $a$ に収束する場合に無限大に発散しないことは次の(2)から分かります。正の無限大と負の無限大に同時に発散しないことは簡単。

(2) 数列 $\{a_{n}\}_{n\in\N}$ が実数 $a$ に収束するとします。極限の定義 $(\varepsilon = 1)$ より、ある非負整数 $N$ が存在して任意の $n > N$ に対して $|a_{n} - a| < 1$ です。よって、$n > N$ においては $a - 1 < a_{n} < a + 1$ を満たします。任意の $n\in \N$ に対して\[a_{n}\leq \max\{a_{0}, \dots, a_{N}, a + 1\},\]\[a_{n}\geq \min\{a_{0}, \dots, a_{N}, a - 1\}\]が成立し、数列は有界です。

各極限値が実数、つまり、収束している場合のみ示します。

(3) $b < a$ として矛盾を導きます。$b < a$ とするとき、ある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - a|, |b_{n} - b| < \dfrac{a - b}{2}\]が成立しますが、これは $n > N$ において\[b_{n} < b + \dfrac{a - b}{2} = \dfrac{a + b}{2} = a - \dfrac{a - b}{2} < a_{n}\]を意味し矛盾です。

(4) $\underset{n\to\infty}{\lim}a_{n} = a$ と $\underset{n\to\infty}{\lim}|b_{n} - a_{n}| = 0$ より、任意に固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}, \ |b_{n} - a_{n}| < \dfrac{\varepsilon}{2}\]であり、よって、この $N$ について $n > N$ ならば $|b_{n} - a|\leq |b_{n} - a_{n}| + |a_{n} - a| <\varepsilon$ です。これより $\underset{n\to\infty}{\lim}b_{n} = a$ です。

各極限値が実数、つまり、収束している場合のみ示します。

(5) 仮定より、任意に固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - a|, |b_{n} - b| < \dfrac{\varepsilon}{2}\]が成立します。よって、この $N$ に対して $n > N$ ならば $|(a_{n} + b_{n}) - (a + b)| < \varepsilon$ が成立します。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}(a_{n} + b_{n}) = a + b$ です。

(6) (2)より正実数 $M$ であって常に $|a_{n}| < M$ を満たすものを固定しておきます。極限の定義より、任意に固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - a|, |b_{n} - b| < \dfrac{\varepsilon}{2(M + |b|)}\]が成立します。このとき、\[|a_{n}b_{n} - ab|\leq |a_{n}(b_{n} - b)| + |(a_{n} - a)b| = |a_{n}||b_{n} - b| + |b||a_{n} - a| < \varepsilon\]が成立しています。

(7) 仮定より、任意に固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - a| < \min\{\tfrac{1}{2}\varepsilon|a|^{2}, \tfrac{1}{2}|a|\}\]が成立します。よって、この $N$ に対して $n > N$ ならば\[|a_{n}^{-1} - a^{-1}| = \dfrac{|a_{n} - a|}{|a_{n}a|} < \dfrac{\tfrac{1}{2}\varepsilon|a|^{2}}{\tfrac{1}{2}|a|^{2}} = \varepsilon\]が成立します。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}a_{n}^{-1} = a^{-1}$ です。

(1) 極限の定義より、任意に固定したの正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n > N$ に対して\[|a_{n} - c|, |b_{n} - c| < \varepsilon\]が成立します。仮定より、この $N$ に対して $n > N$ ならば\[c - \varepsilon < a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\leq c + \varepsilon\]なので $|c_{n} - c| < \varepsilon$ です。

(2) (3) 正負の無限大に発散することの定義から明らか。

(1) 上限 $a = \sup\{a_{n}\mid n\in \N\}$ の存在は連続性公理 $($公理1.5.10$)$ より従います。数列がこの $a$ に収束することを示します。正実数 $\varepsilon > 0$ を固定します。系1.5.6よりある $N\in \N$ に対して $a - \varepsilon < a_{N}\leq a$ です。単調増加性と $a$ が上界であることより、任意の $n > N$ に対して $a - \varepsilon < a_{n}\leq a < a + \varepsilon$、つまり、$|a - a_{n}| < \varepsilon$ が成立するので実数列 $\{a_{n}\}_{n\in\N}$ は $a$ に収束します。

(2) 上に同じ。

(1) 上に非有界な場合のみ示せばよいです。まず、実数列が上に非有界であることから $\sup\{a_{n}\mid n\in \N\} = +\infty$ です。極限が $+\infty$ であることを示します。任意に実数 $M\in \R$ を取ります。実数列が上に非有界であることからある非負整数 $N\in \N$ に対して $a_{N} > M$ が成立しますが、この $N$ について実数列の広義単調性より $n > N\Rightarrow a_{n} > M$ が成立します。従って、$\underset{n\to\infty}{\lim}a_{n} = +\infty$ です。以上により示されました。

(2) 上に同じ。

系1.5.19より分かります。

任意の $n\in \N$ に対して $\inf\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq \sup\{a_{k}\mid k\geq n\}$ であることと極限が順序を保つことからよいです。

(1) 常に $\sup\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq \sup\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

(2) 常に $\inf\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq \inf\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

(1) 常に $\sup\{a_{k} + b_{k}\mid k\geq n\}\leq \sup\{a_{k}\mid k\geq n\} + \sup\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

(2) 常に $\inf\{a_{k} + b_{k}\mid k\geq n\}\geq \inf\{a_{k}\mid k\geq n\} + \inf\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

(3) 常に $\sup\{a_{k}b_{k}\mid k\geq n\}\leq \sup\{a_{k}\mid k\geq n\}\cdot \sup\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

(4) 常に $\inf\{a_{k}b_{k}\mid k\geq n\}\geq \inf\{a_{k}\mid k\geq n\}\cdot \inf\{b_{k}\mid k\geq n\}$ であるため。

$a\in \R$ の場合のみ示します。

(1) ⇒ (2) 正実数 $\varepsilon > 0$ を固定します。ある非負整数 $N$ が存在して任意の $n > N$ に対して $a - \varepsilon < a_{n} < a + \varepsilon$ であり、\[a - \varepsilon\leq \inf\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq \sup\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq a + \varepsilon\]です。よって、上極限も下極限も $a$ になります。

(2) ⇒ (1) 任意の $n\in \N$ に対して\[\inf\{a_{k}\mid k\geq n\}\leq a_{n}\leq \sup\{a_{k}\mid k\geq n\}\]なので、はさみうちの原理 $($系1.5.17$)$ から極限の存在およびその値が $a$ に等しいことが従います。

Cauchy列 $\{a_{n}\}_{n\in\N}$ の有界性から上極限と下極限がそれぞれ実数値 $u, l$ に収束しますが、これが一致することを示せば命題1.5.25より実数列 $\{a_{n}\}_{n\in\N}$ が $u = l$ に収束することが分かります。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。ある非負整数 $N$ が存在し、任意の $n, k > N$ に対して $|a_{n} - a_{k}| < \varepsilon$ が成立します。よって、$n > N$ において\begin{eqnarray*}0 & \leq & \sup\{a_{k}\mid k\geq n\}- \inf\{a_{k}\mid k\geq n\} \\& = & (a_{n} + \sup\{a_{k} - a_{n}\mid k\geq n\}) - (a_{n} + \inf\{a_{k} - a_{n}\mid k\geq n\}) \\& = & \sup\{a_{k} - a_{n}\mid k\geq n\} - \inf\{a_{k} - a_{n}\mid k\geq n\} \leq 2\varepsilon\end{eqnarray*}であり、命題1.5.16より $u = l$ です。

背理法により示します。任意の非負整数 $n\in \N$ に対して $na\leq b$ であったとします。集合 $A := \{na\mid n\in \N\}$ は $b$ を上界に持ち有界なので、連続性公理 $($公理1.5.10$)$ より上限 $s := \sup A$ を持ちます。系1.5.6と $a > 0$ より $x\in A$ であって $s - a < x \leq s$ を満たすものが取れます。非負整数 $n$ であって $x = na$ となるものを取れば、$s < x + a = (n + 1)a\in A$ であり、これは $s$ が $A$ の上界であることに矛盾です。よって、ある非負整数 $n$ が存在して $b < na$ となります。

(1) 正実数 $M$ を取ります。Archimedesの原理 $($命題1.5.28$)$ から非負整数 $N$ であって $N = N\cdot 1 > M$ となるものを取ることができ、この $N$ について任意の $n > N$ に対して $n > M$ が満たされます。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}n = +\infty$ です。

(2) 任意の正の実数 $\varepsilon > 0$ に対して $N > \varepsilon^{-1}$ を満たす非負整数 $N$ を取ることができ、$n > N$ ならば\[|n^{-1} - 0| = n^{-1} < N^{-1} < \varepsilon\]です。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}n^{-1} = 0$ です。

(3) 非負整数 $N$ を $N(|a|^{-1} - 1) > 2(|a|^{-1} - 1)^{-1}$ を満たすように取ります。このとき、\[|a|^{-N} = (1 + (|a|^{-1} - 1))^{N} > 1 + N(|a|^{-1} - 1) > 1 + 2(|a|^{-1} - 1)^{-1}\]です。よって、\[|a|^{-N}(|a|^{-1} - 1) > (1 + 2(|a|^{-1} - 1)^{-1})(|a|^{-1} - 1) > 2\]であり、任意の正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $|a|^{-(N + n)} - |a|^{-N} > 2n$ となるので、$n > 2N$ において $|a|^{-n} > 2(n - N) > n$ です。$-n^{-1} < a^{-n} < n^{-1}$ とはさみうちの原理 $($系1.5.17$)$ より $\underset{n\to\infty}{\lim}a^{n} = 0$ です。

Archimedesの原理 $($命題1.5.28$)$ から $n(b - a) > 1$ となる非負整数 $n$ を取り、同じくArchimedesの原理から非負整数 $m$ を $m = m\cdot 1 > |na|$ となるように取ります。$na + m > 0$ であり、集合 $\{k\in \N\mid k \leq na + m\}$ は少なくとも $0$ を元に持つ有限集合になるのでその最大値 $l$ を取ることができます。このとき、\[l\leq na + m < l + 1\leq na + m + 1 < nb + m\]であり、整理して $a < \tfrac{l - m + 1}{n} < b$ です。

任意の $n\in \N$ に対して $m\leq a_{n}\leq M$ となるように実数 $m, M$ を取っておきます。次のように実数列 $\{b_{k}\}_{k\in\N}$, $\{c_{k}\}_{k\in\N}$ を構成します。

簡単に分かるように、$\{b_{k}\}_{k\in\N}$ は広義単調増加かつ上に有界、 $\{c_{k}\}_{k\in\N}$ は広義単調減少かつ下に有界、従って、定理1.5.18よりそれぞれ実数 $b, c$ に収束しますが、常に $c_{k} - b_{k} = 2^{-k}(M - m)$ であることから命題1.5.16より $b = c$ が分かります。さて、$b_{k}, c_{k}$ の構成から $b_{k}\leq a_{n}\leq c_{k}$ を満たす $n\in \N$ は無限に存在するので、常に $b_{k}\leq a_{n_{k}}\leq c_{k}$ を満たすように狭義単調増加な非負整数列 $\{n_{k}\}_{k\in\N}$ が構成でき、これにより収束部分列 $\{a_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ が構成されます。実際に、これははさみうちの原理 $($系1.5.17$)$ より $b = c$ に収束します。

(1) 共役の定義から自明です。

(2) 計算すればよいです。

(3) 計算すればよいです。$z = a + bi$ に対して\[z\overline{z} = (a^{2} + b^{2}) + (- ab + ab)i = a^{2} + b^{2} = |z|^{2}\]であり、$\overline{z}z = |z|^{2}$ も同様です。

(4) 明らかです。

(5) 計算すればよいです。$z = (a_{1}, b_{1})$, $w = (a_{2}, b_{2})$ に対して\begin{eqnarray*}|zw|^{2} & = & (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2})^{2} + (a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1})^{2} \\& = & a_{1}^{2}a_{2}^{2} + b_{1}^{2}b_{2}^{2} - 2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2}b_{1}^{2} + 2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}\\& = & (a_{1}^{2} + b_{1}^{2})(a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \\& = & |z|^{2}|w|^{2}\end{eqnarray*}です。

(1) 共役の定義から自明です。

(2) 計算すればよいです。

(3) 計算すればよいです。$p = a + bi + cj + dk$ に対して\begin{eqnarray*}p\overline{p} & = & (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + (- ab + ab - cd + cd)i \\&& + (- ac + ac + bd - bd)j + (- ad + ad - bc + bc)k \\& = & a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = |p|^{2}\end{eqnarray*}であり、$\overline{p}p = |p|^{2}$ も同様です。

(4) 明らかです。

(5) 頑張って計算すればよいです。$p = (a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1})$, $q = (a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2})$ に対して\begin{eqnarray*}|pq|^{2} & = & (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2} - c_{1}c_{2} - d_{1}d_{2})^{2} + (a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1} + c_{1}d_{2} - c_{2}d_{1})^{2} \\&& + (a_{1}c_{2} + a_{2}c_{1} - b_{1}d_{2} + b_{2}d_{1})^{2} + (a_{1}d_{2} + a_{2}d_{1} + b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1})^{2} \\& = & a_{1}^{2}a_{2}^{2} + b_{1}^{2}b_{2}^{2} + c_{1}^{2}c_{2}^{2} + d_{1}^{2}d_{2}^{2} \\&& {} - 2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2} - 2a_{1}a_{2}c_{1}c_{2} - 2a_{1}a_{2}d_{1}d_{2} + 2b_{1}b_{2}c_{1}c_{2} + 2b_{1}b_{2}d_{1}d_{2} + 2c_{1}c_{2}d_{1}d_{2} \\& + & a_{1}^{2}b_{2}^{2} + a_{2}^{2}b_{1}^{2} + c_{1}^{2}d_{2}^{2} + c_{2}^{2}d_{1}^{2} \\&& {} + 2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2} - 2c_{1}c_{2}d_{1}d_{2} + 2a_{1}b_{2}c_{1}d_{2} - 2a_{1}b_{2}c_{2}d_{1} + 2a_{2}b_{1}c_{1}d_{2} - 2a_{2}b_{1}c_{2}d_{1} \\& + & a_{1}^{2}c_{2}^{2} + a_{2}^{2}c_{1}^{2} + b_{1}^{2}d_{2}^{2} + b_{2}^{2}d_{1}^{2} \\&& {} + 2a_{1}a_{2}c_{1}c_{2} - 2b_{1}b_{2}d_{1}d_{2} - 2a_{1}b_{1}c_{2}d_{2} + 2a_{1}b_{2}c_{2}d_{1} - 2a_{2}b_{1}c_{1}d_{2} + 2a_{2}b_{2}c_{1}d_{1} \\& + & a_{1}^{2}c_{2}^{2} + a_{2}^{2}c_{1}^{2} + b_{1}^{2}d_{2}^{2} + b_{2}^{2}d_{1}^{2} \\&& {} + 2a_{1}a_{2}d_{1}d_{2} - 2b_{1}b_{2}c_{1}c_{2} + 2a_{1}b_{1}c_{2}d_{2} - 2a_{1}b_{2}c_{1}d_{2} + 2a_{2}b_{1}c_{2}d_{1} - 2a_{2}b_{2}c_{1}d_{1} \\& = & a_{1}^{2}a_{2}^{2} + b_{1}^{2}b_{2}^{2} + c_{1}^{2}c_{2}^{2} + d_{1}^{2}d_{2}^{2} + a_{1}^{2}b_{2}^{2} + a_{2}^{2}b_{1}^{2} + c_{1}^{2}d_{2}^{2} + c_{2}^{2}d_{1}^{2} \\&& + a_{1}^{2}c_{2}^{2} + a_{2}^{2}c_{1}^{2} + b_{1}^{2}d_{2}^{2} + b_{2}^{2}d_{1}^{2} + a_{1}^{2}c_{2}^{2} + a_{2}^{2}c_{1}^{2} + b_{1}^{2}d_{2}^{2} + b_{2}^{2}d_{1}^{2} \\& = & (a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2} + d_{1}^{2})(a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2} + d_{2}^{2}) \\& = & |p|^{2}|q|^{2}\end{eqnarray*}です。