(1) $f^{-1}(\varnothing) = \varnothing\in \mathcal{O}_{X}$, $f^{-1}(Y) = X\in \mathcal{O}_{X}$ より $\varnothing, Y\in \mathcal{O}_{f}$ です。部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{O}_{f}$ に対して $\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{f}$ であることは、各 $V\in \mathcal{V}$ に対して $f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ であることから $f^{-1}\left(\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V\right) = \bigcup_{V\in\mathcal{V}}f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ となるのでよいです。有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{O}_{f}$ に対して $\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{f}$ であることも同様に $f^{-1}\left(\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V\right) = \bigcap_{V\in\mathcal{V}}f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ となることからよいです。

$\mathcal{O}_{f}$ の定義から任意の $V\in \mathcal{O}_{f}$ に対して $f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ なので $f$ は連続です。また、$f$ が連続となるような $Y$ の位相 $\mathcal{O}$ について、その各元 $V\in \mathcal{O}$ は $f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ をみたすので $V\in \mathcal{O}_{f}$ であり、$\mathcal{O}\leq \mathcal{O}_{f}$ が従います。

$f$ の全射性から集合間の写像として $g = h\circ f$ を満たすものが一意に存在します。その $h$ の連続性を示せばよいです。$Z$ の任意の開集合 $W$ に対し、$g$ の連続性から $g^{-1}(W) = f^{-1}(h^{-1}(W))$ は $X$ の開集合です。よって、誘導位相の定義より $h^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合であり、$h$ は連続です。

部分集合 $V\subset Y$ に対して $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合であるとして $V$ が $Y$ の開集合であることを示せばよいです。集合 $Z := \{0, 1\}$ に開集合系 $\{\varnothing, \{1\}, \{0, 1\}\}$ を与えて位相空間とし、写像 $g : X\to Z$ を\[g(x) := \left\{\begin{array}{ll}1 & (x\in f^{-1}(V)) \\0 & (x\notin f^{-1}(V))\end{array}\right.\]により定めます。$g^{-1}(1) = f^{-1}(V)$ が開集合であることから $g$ は連続です。いま、$f(x) = f(x')$ を満たす任意の $x, x'$ に対して $x, x'\in f^{-1}(V)$ または $x, x'\in f^{-1}(V^{c}) = f^{-1}(V)^{c}$ であることから任意の $x, x'\in X$ に対して $f(x) = f(x')\Rightarrow g(x) = g(x')$ を満たし、条件より $g = h\circ f$ を満たす連続写像 $h : Y\to Z$ が存在します。$f$ の全射性から $V = f(f^{-1}(V)) = f(g^{-1}(1)) = f(f^{-1}(h^{-1}(1))) = h^{-1}(1)$ であり、$V$ は $Y$ の開集合です。

$f^{-1}(\varnothing) = \varnothing$, $f^{-1}(X) = Y$ より $\varnothing, Y\in \mathcal{O}_{f}$ です。部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{O}_{f}$ に対して $\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{f}$ であることは、各 $V\in \mathcal{V}$ に対して $V = f^{-1}(U_{V})$ となる $U_{V}\in \mathcal{O}_{X}$ を固定することで $\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V = \bigcup_{V\in\mathcal{V}}f^{-1}(U_{V}) = f^{-1}\left(\bigcup_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\right)$ となるのでよいです。有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{O}_{f}$ に対して $\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{f}$ であることも同様に $\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V = f^{-1}\left(\bigcap_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\right)$ となることからよいです。

$\mathcal{O}_{f}$ の定義から任意の $V\in \mathcal{O}_{f}$ に対して $f^{-1}(V)\in \mathcal{O}_{X}$ なので $f$ は連続です。また、$f$ が連続となるような任意の $Y$ の位相 $\mathcal{O}$ について $\mathcal{O}_{f}\leq \mathcal{O}$ であることは定義から明らかです。

$f$ の単射性から集合間の写像として $g = f\circ h$ を満たすものが一意に存在します。その $h$ の連続性を示せばよいです。$Y$ の開集合 $V$ に対し、誘導位相の定義から $X$ の開集合 $U$ であって $V = f^{-1}(U)$ を満たすものが取れるので、$h^{-1}(V) = h^{-1}(f^{-1}(U)) = g^{-1}(U)$ より $h^{-1}(V)$ は $Z$ の開集合です。よって、$h$ は連続です。

$Z := \Img f\subset X$ として包含写像 $g : \Img f\to X$ を考えます。仮定より誘導写像 $h : \Img f\to Y$ は連続であり、また、これが制限 $f : Y\to \Img f$ の逆写像であることも容易に分かり、同相 $Y\cong \Img f$ を得ます。これは $Y$ に誘導位相が入っていることを意味します。

$g$ の全射性と $h$ の全射性が同値であることは明らかです。

(1) ⇒ (2) $W\subset Z$ に対して $h^{-1}(W)$ が $X$ の開集合であるとします。$f$ が連続であることから $f^{-1}(h^{-1}(W)) = g^{-1}(W)$ は $X$ の開集合であり、$g$ が商写像であることから $W$ は $Z$ の開集合です。

(2) ⇒ (1) $W\subset Z$ に対して $g^{-1}(W)$ が $Y$ の開集合であるとします。$g^{-1}(W) = f^{-1}(h^{-1}(W))$ と $f$ が商写像であることから $h^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合であり、$h$ が商写像であることから $W$ は $Z$ の開集合です。

$f$ が開写像であったとします。$Y$ の部分集合 $V$ に対して $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合ならば $V = f(f^{-1}(V))$ も開集合なので $f$ は商写像です。$f$ が閉写像の場合も同様です。

(1) $B$ の部分集合 $V$ に対して $f|_{A}^{-1}(V)$ が $A$ の開集合であったとします。$A$ が $X$ の開集合なので $f^{-1}(V)$ も $X$ の開集合であり、$f$ が商写像であることから $V$ は $Y$、従って $B$ の開集合です。

(2) $B$ の部分集合 $V$ に対して $f|_{A}^{-1}(V)$ が $A$ の開集合であったとします。$X$ の開集合 $U$ であって $f^{-1}(V) = U\cap A$ を満たすものを取ります。$f$ が開写像なので $f(U)$ は $Y$ の開集合です。$V = f(U)\cap B$ より $V$ は $B$ の開集合です。

(3) (4) 上の証明の開を閉で置き換えればよいです。

$Y$ に部分位相を考えたものをそのまま $Y$、$f$ に関する商位相を考えたものを $Y'$ とし、商写像は $p : X\to Y'$ と書くことにします。商空間の普遍性から連続写像 $g : Y'\to Y$ が誘導され、また、切断 $s : Y\to X$ と商写像 $p : X\to Y'$ との合成により連続写像 $h = p\circ s : Y\to Y'$ が得られます。$g, h$ が互いに $($集合間の写像として$)$ 逆写像であることを示せばよいですが、これは、集合間の写像としては $p = f$ であることに注意して、誘導写像として $g = \Id_{Y = Y'}$ であること、また、$h = p\circ s = f\circ s = \Id_{Y = Y'}$ であることからよいです。

(1) 次の可換図式を考えます。$p, q$ はそれぞれ包含写像たちの直和であり、$r$ は制限 $f_{\lambda}$ たちの直和です。($p, q$ と $r$ で直和の意味が違うけど気にしない。)

$p, q$ は連続全射かつ開写像なので商写像、$r$ も $f_{\lambda}$ が商写像であることと商写像の定義から商写像と分かります。命題2.7.16から合成 $q\circ r$ は商写像です。$p, q\circ r$ が商写像であることと $q\circ r = f\circ p$ と再び命題2.7.16から $f$ は商写像です。

(2) (1)と同様の可換図式を考えるとき、$p, q$ は連続全射かつ閉写像であることから商写像であり、あとは同様にして $f$ が商写像であることが分かります。

命題2.7.21と補題2.7.22より明らかです。

$Y$ の部分集合 $F$ に対して $f^{-1}(F)$ が $X$ の閉集合であったとき、$F$ が $Y$ の閉集合であることを示せばよいです。$f^{-1}(F)$ が $X$ の閉集合のとき、これはコンパクト部分空間であるので、その像 $F$ もコンパクト、よって、$Y$ のHausdorff性より閉です。$($要するに、$f$ が閉写像なので商写像ということ。$)$

部分集合 $V\subset Y\times Z$ に対して $(f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ が $X\times Z$ の開集合であったとします。各 $(y_{0}, z_{0})\in V$ が内点であることを示します。$x_{0}\in f^{-1}(y_{0})$ を一つ固定します。$Z$ の局所コンパクトHausdorff性から $\{x_{0}\}\times K\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ となる $z_{0}\in Z$ のコンパクト近傍 $K$ を取ります。$X$ の部分集合 $U$ を\[U := \{x\in X\mid \{x\}\times K\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)\}\]により定め、以下のことを示します。

(i) 各 $x\in U$ が内点であることを示します。$U$ の定め方より $\{x\}\times K\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ です。各 $z\in K$ に対して $(x, z)$ の $(f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ に含まれる開近傍を $X$ の開集合 $U_{z}$ と $Z$ の開集合 $W_{z}$ の直積 $U_{z}\times W_{z}$ の形であるように固定します。$\{W_{z}\}_{z\in K}$ は $K$ の開被覆であり、$K$ のコンパクト性から有限部分被覆 $\{W_{z}\}_{z\in K'}$ を取ります。このとき、\[\left(\bigcap_{z\in K'}U_{z}\right)\times K\subset \bigcup_{z\in K'}(U_{z}\times W_{z})\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)\]であり、$x$ の開近傍 $\bigcap_{z\in K'}U_{z}$ が $U$ に含まれるので、$x$ は $U$ の内点です。

(ii) $U\subset f^{-1}(f(U))$ は明らかであり、この逆の包含関係を示せばよいです。まず、$U\times K\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ からただちに $f(U)\times K\subset V$ です。従って、$f^{-1}(f(U))\times K = (f\times \Id_{Z})^{-1}(f(U)\times K)\subset (f\times \Id_{Z})^{-1}(V)$ であり、$f^{-1}(f(U))\subset U$ です。以上により $U = f^{-1}(f(U))$ です。

いま、$(y_{0}, z_{0})\subset f(U)\times \Int K\subset (f\times \Id_{Z})(U\times K)\subset V$ ですが、(i)と(ii)と $f$ が商写像であったことから $f(U)$ は開集合であり、$(y_{0}, z_{0})$ は $V$ の内点です。以上により $V$ は開集合です。

写像 $g : X\to \hat{U}$ を\[g(x) := \left\{\begin{array}{ll}x & (x\in U) \\\infty & (x\in U^{c})\end{array}\right.\]により定めます。$\infty\in \hat{U}$ の任意の開近傍 $V$ に対して $V^{c}$ は $U$ のコンパクト閉集合であり、よって、$g^{-1}(V) = X\setminus V^{c}$ は開集合になるので $g$ は $U^{c}$ の各点で連続です。また、$g$ が $U$ の各点で連続であることも明らか一点拡大における包含写像 $U\to \hat{U}$ が埋め込みであったことに注意すると制限 $g|_{U} : U\to U$ は互いの開集合間の同相写像です。であり、$g$ は連続です。従って、商空間の普遍性より連続全単射 $h : X/U^{c}\to \hat{U}$ が誘導されます。後は以下のことを示せばコンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射が同相写像であったこと $($定理2.6.13$)$ から同相 $X/U^{c}\cong \hat{U}$ を得られます。

(i) $X/U^{c}$ の開被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を取ります。商写像 $f : X\to X/U^{c}$ による逆像により $X$ におけるコンパクト部分空間 $\overline{U}$ の開被覆 $\{f^{-1}(U_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ が得られ、その有限部分被覆 $\{f^{-1}(U_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda'}$ を取ることができます。$\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda'}$ が $X/U^{c}$ の有限部分被覆を与えています。よって、$X/U^{c}$ はコンパクト空間です。

(ii) $\overline{U}$ がコンパクトHausdorff空間なので、その開集合である $U$ は局所コンパクトHausdorff空間、従って、その一点コンパクト化 $\hat{U}$ はHausdorff空間です。

$Y$ に誘導位相を入れたときに各 $p_{\lambda}$ が開写像であることを示せばよいです。$U_{\lambda}$ の開集合 $W_{\lambda}$ を取ります。各 $\mu$ に対して\begin{eqnarray*}p_{\mu}^{-1}(p_{\lambda}(W_{\lambda})) & = & p_{\mu}^{-1}(p_{\lambda}(W_{\lambda})\cap \Img p_{\mu}) \\& = & (q_{\mu}^{\lambda})^{-1}(p_{\lambda}(W_{\lambda})\cap \Img p_{\mu}) = (q_{\mu}^{\lambda})^{-1}(q_{\lambda}^{\mu}(W_{\lambda}\cap V_{\lambda}^{\mu})) = \psi_{\mu\lambda}(W_{\lambda}\cap V_{\lambda}^{\mu})\end{eqnarray*}であり、これは $U_{\mu}$ の開集合です。よって、$p_{\lambda}(W_{\lambda})$ は $Y$ の開集合であり、$p_{\lambda}$ は開写像です。

両者の定義を見比べれば明らかです。

(2)における(ii)は制限の直和 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}g_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to Z$ の連続性に同値であり、よって、(i)と(ii)の同値性は連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}i_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to X$ が商写像であることを意味します。

(1) 連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}i_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to X$ は開写像であることから商写像です。

(2) 連続写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}i_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to X$ は閉写像であることから商写像です。

補題2.2.14が連続全射 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}i_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to X$ が普遍性を持ち商写像であることを意味し、よって、$X$ は被覆に関する弱位相を持ちます。

商空間の普遍性から恒等写像 $j : X'\to X$ は連続なので、その制限 $j_{\lambda} : A'_{\lambda}\to A_{\lambda}$ は連続、つまり、$A_{\lambda}$ の開集合は $A'_{\lambda}$ の開集合です。あとは $A'_{\lambda}$ の開集合が $A_{\lambda}$ の開集合であることを示せばよいです。$U$ を $A'_{\lambda}$ の開集合とします。$X'$ の開集合 $V$ であって $U = V\cap A'_{\lambda}$ を満たすものを取るとき、$X'$ の位相の定め方から $U = V\cap A_{\lambda}$ は $A_{\lambda}$ における開集合です。

任意の $n\in \N$ に対して $K\not\subset A_{n}$ として矛盾を導きます。常に $x_{n}\in K\cap A_{n}^{c}$ を満たす $X$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。以下のことを示します。

もしこれらが示されれば、空でないコンパクト閉集合の単調減少列の共通部分が空でないこと $($命題2.6.15$)$ に矛盾します。

(i) 任意の $m\in \N$ に対して $A_{m}\cap B_{n}$ は $x_{k}\in A_{m}\Rightarrow k < m$ であることより有限集合であり、さらに $T_{1}$ 性より閉集合になります。よって、$B_{n}$ は閉集合です。コンパクト部分空間 $K$ の閉集合なのでコンパクトでもあります。

(ii) 常に $B_{n}\subset A_{n}^{c}$ なので\[\bigcap_{n\in\N}B_{n}\subset \bigcap_{n\in\N}A_{n}^{c} = \left(\bigcup_{n\in\N}A_{n}\right)^{c} = \varnothing\]であり、$\bigcap_{n\in\N}B_{n} = \varnothing$ です。

集合レベルでの $h$ の一意存在は命題1.3.32で示しています。あとは連続性ですが、これは写像 $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}g_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\to Z$ の連続性と商空間の普遍性 $($命題2.7.14$)$ より従います。

集合レベルでの $\varPhi$ の一意存在は命題1.3.33で示しています。あとは連続性ですが、これは各 $g_{\lambda}\circ \varphi_{\lambda}$ の連続性と帰納極限の普遍性 $($命題2.7.41$)$ より従います。

(1) $V$ を $\Img f_{\lambda}$ の開集合とするとき $f_{\lambda}^{-1}(V)$ が $X_{\lambda}$ の開集合であることは明らかです。$\Img f_{\lambda}$ の部分集合 $V$ に対して $f_{\lambda}^{-1}(V)$ が $X_{\lambda}$ の開集合であったき、$V$ が $\Img f_{\lambda}$ の開集合であることを示します。各 $\mu\geq \lambda$ に対して $f_{\lambda\mu} : X_{\lambda}\to X_{\mu}$ が埋め込みであることから $X_{\mu}$ の開集合 $U_{\mu}$ であって $f_{\lambda\mu}^{-1}(U_{\mu}) = f_{\lambda}^{-1}(V)$ を満たすものが存在しますが、そのうち包含関係に関して最大のものを $U_{\mu}$ として固定します。$W := \bigcup_{\mu\geq \lambda}f_{\mu}(U_{\mu})$ が $\underset{\lambda}{\varinjlim}X_{\lambda}$ の開集合でありかつ $V = W\cap \Img f_{\lambda}$ を満たすことを以下の流れで示します。

これらより直ちに $V$ が $\Img f_{\lambda}$ の開集合であることが従います。

(step 1) $U_{\nu}$ の取り方から $f_{\lambda}^{-1}(V) = f_{\lambda\nu}^{-1}(U_{\nu}) = f_{\lambda\mu}^{-1}(f_{\mu\nu}^{-1}(U_{\nu}))$ であり、$U_{\mu}$ の最大性より $f_{\mu\nu}^{-1}(U_{\nu})\subset U_{\mu}$ です。$f_{\mu\nu}$ が埋め込みなので $X_{\nu}$ の開集合 $U'_{\nu}$ であって $f_{\mu\nu}^{-1}(U'_{\nu}) = U_{\mu}$ を満たすものが取れますが、この $U'_{\nu}$ に対して $f_{\lambda\nu}^{-1}(U'_{\nu}) = f_{\lambda\mu}^{-1}(f_{\mu\nu}^{-1}(U'_{\nu})) = f_{\lambda\mu}^{-1}(U_{\mu}) = f_{\lambda}^{-1}(V)$ が成立し、$U_{\nu}$ の最大性から $U'_{\nu}\subset U_{\nu}$ となるため $U_{\mu} = f_{\mu\nu}^{-1}(U'_{\nu})\subset f_{\mu\nu}^{-1}(U_{\nu})$ を得ます。よって、$U_{\mu} = f_{\mu\nu}^{-1}(U_{\nu})$ です。

(step 2) まず、明らかに $U_{\mu}\subset f_{\mu}^{-1}(f_{\mu}(U_{\mu}))\subset f_{\mu}^{-1}(W)$ です。$f_{\mu}^{-1}(W) = \bigcup_{\nu\geq \lambda}f_{\mu}^{-1}(f_{\nu}(U_{\nu}))$ より各 $\nu\geq \lambda$ に対して $f_{\mu}^{-1}(f_{\nu}(U_{\nu}))\subset U_{\mu}$ を示せば逆の包含関係が従います。$\mu, \nu$ の上界 $\xi$ を取ります。$f_{\nu}(U_{\nu})\subset f_{\xi}(U_{\xi})$ であること、$f_{\xi}$ の単射性から $U_{\xi} = f_{\xi}^{-1}(f_{\xi}(U_{\xi}))$ であることを用いて\[f_{\mu}^{-1}(f_{\nu}(U_{\nu}))\subset f_{\mu}^{-1}(f_{\xi}(U_{\xi})) = f_{\mu\xi}^{-1}(f_{\xi}^{-1}(f_{\xi}(U_{\xi}))) = f_{\mu\xi}^{-1}(U_{\xi}) = U_{\mu}\]です。

(step 3) $\lambda, \mu$ の上界 $\xi$ を取ります。$f_{\mu}^{-1}(W) = f_{\mu\xi}^{-1}(f_{\xi}^{-1}(W)) = f_{\mu\xi}^{-1}(U_{\xi})$ なので $f_{\mu}^{-1}(W)$ は $X_{\mu}$ の開集合です。よって、$W$ は開集合です。

(step 4) $f_{\lambda}^{-1}(W) = U_{\lambda} = f_{\lambda\lambda}^{-1}(U_{\lambda}) = f_{\lambda}^{-1}(V)$ であり、両辺の $f_{\lambda}$ による像を取ることで $W\cap \Img f_{\lambda} = V\cap \Img f_{\lambda} = V$ です。

(2) 位相の定め方より明らかです。

(1) 命題2.7.42で確認しています。

(2) 次の可換図式において $\varPhi$ 以外が商写像であることと命題2.7.16から $\varPhi$ は商写像です。

(3) 主張の条件が満たされているとします。条件(i)と(ii)より集合レベルでは常に $X_{\lambda}\subset Y_{\lambda}$, $X_{\lambda}\subset X_{\mu}\subset X\subset Y$, $Y_{\lambda}\subset Y_{\mu}\subset Y$ とみなすことができます。注意として、条件の(iii)は任意の $\lambda\leq \mu\in \Lambda$ に対して $X_{\lambda} = X_{\mu}\cap Y_{\lambda}$ であるという意味になります。$X$ における閉集合 $F$ が $Y$ における閉集合であることを示せばよく、そのためには任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して $F\cap Y_{\lambda}$ が閉集合であることを示せばよいですが、それは\begin{eqnarray*}F\cap Y_{\lambda} & = & \left(\bigcup_{\mu\geq \lambda}F\cap X_{\mu}\right)\cap Y_{\lambda} = \bigcup_{\mu\geq \lambda}(F\cap X_{\lambda}) = F\cap X_{\lambda}\end{eqnarray*}であること、$F\cap X_{\lambda}$ が $X_{\lambda}$ における閉集合であることと $\varphi_{\lambda} : X_{\lambda}\to Y_{\lambda}$ が閉写像であることから従います。

(4) (3)の証明の閉を開で置き換えればよいです。

包含写像たちの直和 $i : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to X$ が商写像であったので、$Z$ が局所コンパクトHausdorff空間であることと命題2.7.25より $i\times \Id_{Z}$ も商写像です。よって、直積空間 $X\times Z$ は被覆 $\{A_{\lambda}\times Z\}_{\lambda\in\Lambda}$ に関する弱位相を持ちます。

$f := \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}f_{\lambda} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\to \underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda}$ が商写像であったので、$Z$ が局所コンパクトHausdorff空間であることと命題2.7.25から $f\times \Id_{Z} : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times Z)\to (\underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda})\times Z$ も商写像です。よって、同相 $\underset{\lambda}{\varinjlim}(A_{\lambda}\times Z)\cong (\underset{\lambda}{\varinjlim}A_{\lambda})\times Z$ が成立します。

帰納系 $(X_{\bullet}, f_{\bullet\bullet})_{\N}, (Y_{\bullet}, g_{\bullet\bullet})_{\N}$ は増大列\[X_{0}\subset X_{1}\subset X_{2}\subset \dots,\]\[Y_{0}\subset Y_{1}\subset Y_{2}\subset \dots\]と考えることにして、示したい同相の両辺を集合としては明らかな方法で同一視ことにします。$\underset{n}{\varinjlim}X_{n}\times \underset{n}{\varinjlim}Y_{n}$ の開集合が $\underset{n}{\varinjlim}(X_{n}\times Y_{n})$ の開集合であることは明らかであり、その逆を示せばよいです。

$W$ を $\underset{n}{\varinjlim}(X_{n}\times Y_{n})$ の開集合とします。その各点 $(x_{0}, y_{0})\in W$ が直積空間 $\underset{n}{\varinjlim}X_{n}\times \underset{n}{\varinjlim}Y_{n}$ に関して内点であることを示せばよいです。$(x_{0}, y_{0})\in X_{m_{0}}\times Y_{m_{0}}$ となる $m_{0}\in \N$ を固定し、$X_{m_{0}}, Y_{m_{0}}$ の局所コンパクトHausdorff性からコンパクト近傍 $K_{m_{0}}\times L_{m_{0}}\subset W\cap (X_{m_{0}}\times Y_{m_{0}})$ を取ります。以下、$K_{m - 1}\times L_{m - 1}$ の $W\cap (X_{m}\times Y_{m})$ におけるコンパクト近傍 $K_{m}\times L_{m}$ が取れたとして、その $K_{m}\times L_{m}$ の $W\cap (X_{m + 1}\times Y_{m + 1})$ におけるコンパクト近傍 $K_{m + 1}\times L_{m + 1}$ を $K_{m}\times L_{m}\subset \Int K_{m + 1}\times \Int L_{m + 1}$ であるように取っていきます。極限\[\underset{m}{\varinjlim}K_{m}, \ \underset{m}{\varinjlim}L_{m}\]はそれぞれ $\underset{n}{\varinjlim}X_{n}, \underset{n}{\varinjlim}Y_{n}$ における $x_{0}, y_{0}$ の近傍であり、$(x_{0}, y_{0})$ は直積空間において $W$ の内点になっています。

集合レベルでの $h$ の一意存在は命題1.3.40で示しています。あとは連続性ですが、これは写像 $h$ の具体的な表示\[h = (g_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda} : z\mapsto (g_{\lambda}(z))_{\lambda\in\Lambda}\]から明らかです。

集合レベルでの $\varPhi$ の一意存在は命題1.3.41で示しています。あとは連続性ですが、これは各 $\varphi_{\lambda}\circ g_{\lambda}$ の連続性と射影極限の普遍性 $($命題2.7.53$)$ より従います。

$z\neq z'\in Z$ として分離する開集合を構成します。$z\in X\setminus A$ のときは $z$ の $X$ における閉近傍 $F$ であって $\{z'\}\cup A$ と交わらないものを取れば $\Int F, Z\setminus F$ が $z, z'$ を分離する開集合になります。$z'\in X\setminus A$ の場合も同様です。$z, z'\in Y$ とします。$Y$ のHausdorff性から $Y$ における分離開集合 $U, U'$ を取ります。$X' := X\setminus (A\setminus f^{-1}(U\sqcup U'))$ は $X$ の開集合であり、仮定より正規空間です。$f^{-1}(U), f^{-1}(U')$ は $X'$ における互いに非交叉な閉集合なので分離開集合 $V, V'$ が取れます。$p : X\sqcup Y\to Z$ を商写像とすれば $W := U\cap p(V)$, $W' := U'\cap p(V')$ が $Z$ において $z, z'$ を分離する開集合になります。よって、$Z$ はHausdorff空間です。

$B, C\subset Z$ を互いに非交叉な閉集合とします。Tietzeの拡張定理 $($定理2.3.31$)$ より連続写像 $g : Y\to I$ であって $g|_{B\cap Y}\equiv 0$ かつ $g|_{C\cap Y}\equiv 1$ を満たすものを取ります。$p : X\sqcup Y\to Z$ を商写像とし、連続写像 $h : X\sqcup Y\to I$ をまず閉集合 $(A\sqcup Y)\cup p^{-1}(B\sqcup C)$ において\[h(x) := \left\{\begin{array}{ll}(g\circ p)(x) & (x\in A\sqcup Y) \\0 & (x\in p^{-1}(B)) \\1 & (x\in p^{-1}(C)) \\\end{array}\right.\]と定め、これをこれを再びTietzeの拡張定理より $X\sqcup Y$ に拡張することで構成します。これは $Z$ 上の連続写像であって $B$ 上で常に $0$ かつ $C$ 上で常に $1$ を取るものを誘導し、ただちに $B, C$ を分離する開集合が得られます。これより $Z$ は正規です。

各 $X_{n}$ は $X$ の閉集合と考えることにします。$B, C\subset X$ を互いに非交叉な閉集合とします。連続写像の列 $\{f_{n} : X_{n}\to I\}_{n\in\N}$ であって以下の条件を満たすものを構成します。

$f_{n - 1}$ まで構成できているとき、$f_{n}$ をまずは閉集合 $X_{n - 1}\cup ((B\sqcup C)\cap X_{n})$ 上で\[f_{n}(x) = \left\{\begin{array}{ll}f_{n - 1}(x) & (x\in X_{n - 1}) \\0 & (x\in B\cap X_{n}) \\1 & (x\in C\cap X_{n}) \\\end{array}\right.\]として定義し、Tietzeの拡張定理 $($定理2.3.31$)$ より $X_{n}$ 全体に拡張すればよいので実際に構成されます。帰納極限 $f := \underset{n}{\varinjlim}f_{n} : X\to I$ は $f|_{B}\equiv 0$ かつ $f|_{C}\equiv 1$ を満たす連続写像であり、ただちに $B, C$ を分離する開集合が得られ、従って、$X$ は正規です。