(1) 明らかに $L_{e} = \Id_{X}$ です。また、任意の $g, h\in G$ に対して常に\[(L_{g}\circ L_{h})(x) = g\cdot (h\cdot x) = (gh)\cdot x = L_{gh}(x)\]であることから $L_{gh} = L_{g}\circ L_{h}$ です。よって、$\rho_{L}$ は $\Map(X, X)$ へのモノイド準同型です。モノイド準同型において単元 $($可逆元$)$ は単元に移るこの場合、任意の $g\in G$ に対して $\rho_{L}(g)\rho_{L}(g^{-1}) = \rho_{L}(g^{-1})\rho_{L}(g) = \rho_{L}(e) = L_{e} = \Id_{X}$ です。ので $\Aut(X)$ への写像として定まっています。よって、$\rho_{L}$ は群準同型です。

(2) まず、任意の $x\in X$ に対して $e\cdot x = \rho_{L}(e)(x) = \Id_{X}(x) = x$ です。また、任意の $g, h\in G$, $x\in X$ に対して $(gh)\cdot x = \rho_{L}(gh)(x) = (\rho_{L}(g)\circ \rho_{L}(h))(x) = \rho_{L}(g)(h\cdot x) = g\cdot (h\cdot x)$ です。よって、$L$ は左作用です。

残りも明らかです。

(1) 反射律は $x\in X$ に対して $x = e\cdot x$ であることから、対称律は $x\sim y$ に対して $y = g\cdot x$ を満たす $g\in G$ を取れば $x = g^{-1}\cdot (g\cdot x) = g^{-1}\cdot y$ であることから、推移律は $x\sim y\sim z$ に対して $y = g\cdot x$, $z = h\cdot y$ を満たす $g, h\in G$ を取れば $z = hg\cdot x$ であることからよいです。

(2) 明らかです。

まず、明らかに $e\in \Stab_{G}(x)$ です。任意の $g_{1}, g_{2}\in \Stab_{G}(x)$ に対して $(g_{2}g_{1})\cdot x = g_{2}\cdot (g_{1}\cdot x) = g_{2}\cdot x = x$ なので $g_{2}g_{1}\in \Stab_{G}(x)$ です。また、任意の $g\in \Stab_{G}(x)$ に対して $g^{-1}\cdot x = g^{-1}\cdot (g\cdot x) = x$ なので $g^{-1}\in \Stab_{G}(x)$ です。よって、固定化群 $\Stab_{G}(x)$ は実際に群になります。

容易です。

容易です。

(1) ⇒ (2) $g\in G\setminus \{e\}$ とします。仮定よりある $x\in X$ が存在して $g\cdot x\neq e\cdot x = x$ です。よって、この $x$ に対して $g\notin \Stab_{G}(x)$ です。$g$ は任意なので $\bigcap_{x\in X}\Stab_{G}(x)\subset \{e\}$ です。逆の包含関係は自明であり、$\bigcap_{x\in X}\Stab_{G}(x) = \{e\}$ が成立します。

(2) ⇒ (3) $g\neq h\in G$ とします。仮定より $h^{-1}g\notin \Stab_{G}(x)$ を満たす $x\in X$ が取れます。この $x$ に対して $L_{g}(x) = g\cdot x \neq h\cdot x = L_{h}(x)$ であり、$L_{g}\neq L_{h}$ が従います。よって、表現 $\rho_{L}$ は単射です。

(3) ⇒ (1) $g\neq h\in G$ とします。仮定より $L_{g}\neq L_{h}$ であり、ある $x\in X$ が存在して $L_{g}(x)\neq L_{h}(x)$ です。この $x$ に対して $g\cdot x\neq h\cdot x$ です。よって、左作用 $L$ は効果的です。

(1) 任意の $h\in \Stab_{G}(x)$ に対して $ghg^{-1}\cdot (g\cdot x) = gh\cdot x = g\cdot x$ より $ghg^{-1}\in \Stab_{G}(g\cdot x)$ であり、$g\Stab_{G}(x)g^{-1}\subset \Stab_{G}(g\cdot x)$ です。また、この包含関係を使うことで\[\Stab_{G}(g\cdot x) = g(g^{-1}\Stab_{G}(g\cdot x)g)g^{-1}\subset g\Stab_{G}(g^{-1}g\cdot x)g^{-1} = g\Stab_{G}(x)g^{-1}\]です。よって、$\Stab_{G}(g\cdot x) = g\Stab_{G}(x)g^{-1}$ です。

(2) 写像 $\varphi : G/\Stab_{G}(x)\to \Orb_{G}(x) : g\Stab_{G}(x)\to g\cdot x$ が全単射であることを示せばよいです。well-definedであることは明らかです。全射であることは $x'\in \Orb_{G}(x)$ に対して $x' = g\cdot x$ を満たす $g\in G$ を取れば $\varphi(g\Stab_{G}(x)) = g\cdot x = x'$ なのでよいです。単射性を示します。$g, h\in G$ であって $\varphi(g\Stab_{G}(x)) = \varphi(h\Stab_{G}(x))$ を満たすものを取ります。$g\cdot x = h\cdot x$ であり、$h^{-1}g\in \Stab_{G}(x)$ です。よって、$g\Stab_{G}(x) = h\Stab_{G}(x)$ が従い $\varphi$ の単射性が分かりました。

(3) (2)の結果を使い、$|G| = |G/\Stab_{G}(x)|\times |\Stab_{G}(x)| = |\Orb_{G}(x)|\times |\Stab_{G}(x)|$ です。

(4) これは\begin{eqnarray*}\sum_{x\in X}|\Stab_{G}(x)| & = & \sum_{x\in X}|\{(g', x')\in G\times X\mid g'\cdot x' = x', \ x' = x\}| \\& = & |\{(g', x')\in G\times X\mid g'\cdot x' = x'\}| \\& = & \sum_{g\in G}|\{(g', x')\in G\times X\mid g'\cdot x' = x', g' = g\}| \\& = & \sum_{g\in G}|\Fix_{X}(g)|\end{eqnarray*}です。

(1) 推移性から $|X| = |\Orb_{G}(x)|$ であることと命題3.2.15からそうです。

(2) 完全代表系 $S\in X$ を取れば自由性より写像 $G\times S\to X : (g, s)\mapsto g\cdot s$ は全単射です。よって、\[|X| = |G|\times |S| = |G|\times |X/G|\]です。

各 $x\in X$ に対して\[\sum_{g\in G}|\Fix_{\Orb_{G}(x)}(g)| = \sum_{x'\in \Orb_{G}(x)}|\Stab_{G}(x')| = |\Orb_{G}(x)|\times |\Stab_{G}(x)| = |G|\]であることに注意します。$S$ を軌道分解の完全代表系として、\begin{eqnarray*}\sum_{g\in G}|\Fix_{X}(g)| & = & \sum_{g\in G}\left|\bigsqcup_{x\in S}\Fix_{\Orb_{G}(x)}(g)\right| \\& = & \sum_{g\in G}\sum_{x\in S}|\Fix_{\Orb_{G}(x)}(g)| \\& = & \sum_{x\in S}\sum_{g\in G}|\Fix_{\Orb_{G}(x)}(g)| \\& = & \sum_{x\in S}|G| = |X/G|\times |G| \\\end{eqnarray*}と計算できます。

(1) (2) (3) いずれも正規化群の定義から明らかです。

(4) $\SubGp(G)$ への共役作用に関する $H$ の軌道 $\Orb_{G}(H)$ が共役類であること、$H$ の固定化群が $N_{G}(H)$ であること、命題3.2.15による等式 $|G/\Stab_{G}(H)| = |\Orb_{G}(H)|$ を合わせて従います。

(1) まず、定義から明らかに $Z_{G}(H)\leq N_{G}(H)$ であり、\begin{eqnarray*}Z_{G}(H) & = & \{g\in G\mid {}^{\forall}h\in H, \ gh = hg\} \\& = & \{g\in N_{G}(G)\mid {}^{\forall}h\in H, \ gh = hg\} = Z_{N_{G}(H)}(H)\end{eqnarray*}です$H\leq N_{G}(H)$ より $Z_{N_{G}(H)}(H)$ が定義されていることには注意。。

$H\triangleleft N_{G}(H)$ より写像 $i : N_{G}(H)\to \Aut(H) : g\mapsto (i_{g} : h\mapsto ghg^{-1})$ が定まり、これは明らかに準同型です。また、$\Ker i = Z_{N_{G}(H)}(H)$ も容易に確かめられ、以上より $Z_{G}(H)\triangleleft N_{G}(H)$ が分かります。

(2) (1)において $H = G$ としたものです。

(3) 各元に共役変換を対応させる写像 $i : G\to \Inn(G) : g\mapsto (i_{g} : h\mapsto ghg^{-1})$ は全射準同型ですが、(1)のときと同様に $\Ker i = Z(G)$ であり、同型定理より $G/Z(G)\cong \Inn(G)$ です。

(4) 定義より $Z(G) = \{g\in G\mid {}^{\forall}h\in G, \ gh = hg\}$ であることに注意すれば明らかです。

第二同型定理 $($命題3.1.73$)$ からただちに従います。

(1) 推移的なので $g\in G$ であって $x' = g\cdot x$ を満たすものが取れます。命題3.2.15より $\Stab_{G}(x') = g\Stab_{G}(x)g^{-1}$ なので固定化群 $\Stab_{G}(x)$, $\Stab_{G}(x')$ は互いに共役です。

(2) $H = g\Stab_{G}(x_{0})g^{-1}$ を満たす $g\in G$ を取ります。$x = g\cdot x_{0}$ に対して $H = \Stab_{G}(x)$ です。

(1) $x\in X$ とします。推移的なので $x = g\cdot x_{0}$ を満たす $g\in G$ が取れます。よって、$f(x) = f(g\cdot x_{0}) =g\cdot f(x_{0}) = g\cdot f'(x_{0}) = f'(g\cdot x_{0}) = f'(x)$ です。以上により $f = f'$ です。

(2) 各 $x\in X$ に対して $x = g\cdot x_{0}$ を満たす $g\in G$ を用いて $f(x) := g\cdot y_{0}$ と定めます。つぎのことを示せばよいです。

(i) $g_{1}, g_{2}\in G$ であって $g_{1}\cdot x_{0} = g_{2}\cdot x_{0}$ を満たすものを取ります。$g_{2}^{-1}g_{1}\cdot x_{0} = x_{0}$ であるので $g_{2}^{-1}g_{1}\in \Stab_{G}^{X}(x_{0})$ であり、仮定から $g_{2}^{-1}g_{1}\in \Stab_{G}^{Y}(y_{0})$ です。よって、$g_{1}\cdot y_{0} = g_{2}\cdot y_{0}$ です。以上により $f$ はwell-definedです。

(ii) 明らかです。

(iii) (1)から従います。

点 $x\in X$, $y\in Y$ を固定します。固定化群 $\Stab_{G}(x)$ と $\Stab_{G}(y)$ は共役であり、$\Stab_{G}(y) = g\Stab_{G}(x)g^{-1}$ を満たす $g\in G$ が取れます。$\Stab_{G}(g\cdot x) = \Stab_{G}(y)$ であり、$x' := g\cdot x$ とおくとして、補題3.2.27から $G$ 同変写像 $f : X\to Y$ であって $f(x') = y$ を満たすものと $f' : Y\to X$ であって $f'(y) = x'$ を満たすものが取れます。$f'\circ f$ は $x'$ を保つので恒等写像 $\Id_{X}$ であり、$f\circ f'$ は $y$ を保つので恒等写像 $\Id_{Y}$ です。よって、$f, f'$ は $G$ 同型写像であり、$G$ 同型 $X\cong Y$ が成立します。

まず、補題3.2.26より推移的な左 $G$ 集合における各点の固定化群の共役類は点の取り方によらず一意です。推移的な左 $G$ 集合であって互いに $G$ 同型なものには明らかに同じ共役類が対応し、推移的な左 $G$ 集合の同型類全体から $G$ の部分群の共役類全体への対応が定まります。

逆の対応は群 $G$ の部分群の共役類 $O$ に対してその代表元 $H$ による左剰余集合 $G/H$ の代表する同型類を対応せることにより取ります。これがwell-definedであることを確認します。$H, K\in O$ を取ります。左剰余集合 $G/H$ および $G/K$ は推移的な左 $G$ 集合であり、それぞれの $H, K$ の固定化群はそれ自身なので共役です。系3.2.28より $G$ 同型 $G/H\cong G/K$ が成立し、well-definedであることが分かりました。これらの対応が互いに逆を与えていることは容易です。

(1) ⇒ (2) 任意の $g\in G$, $y\in Y$ に対して\[\rho_{Y}(g)(y) = g\cdot y = g\cdot \varphi(\varphi^{-1}(y)) = \varphi(g\cdot \varphi^{-1}(y)) = (\varphi\circ \rho_{X}(g)\circ \varphi^{-1})(y)\]であり $\rho_{Y} = \varphi_{*}\circ \rho_{X}$ が成立しています。

(2) ⇒ (1) $\varphi$ が $G$ 同変であることを示せばよいです。$g\in G$, $x\in X$ を取ります。$\varphi\circ \rho_{X}(g) = \rho_{Y}(g)\circ \varphi$ なので\[\varphi(g\cdot x) = \varphi(\rho_{X}(g)(x)) = \rho_{Y}(g)(\varphi(x)) = g\cdot \varphi(x)\]です。よって、$\varphi$ は $G$ 同変です。

(1) ⇒ (2) 空でない部分表現 $\rho' : G\to \Aut(X')$ が取れたとき、任意の $x\in X$ に対して点 $x'\in X'$ と $x = g\cdot x'$ を満たす $g\in G$ を取ることができ、これらについて $\rho'(g)(x') = \rho(g)(x') = x\in X'$ が成立します。よって、$\rho' = \rho$ であり、$\rho$ は既約です。

(2) ⇒ (1) 任意の $x\in X$ に対して $X' := \{\rho(g)(x)\mid g\in G\}$ への制限として空でない部分表現 $\rho' : G\to \Aut(X')$ が取れますが、既約性から $X' = X$ であり、これは $X$ への作用の推移性を意味します。

(1) まずはSylow $p$ 部分群の存在を示します。ちょうど $p^{r}$ 個の元からなる $G$ の部分集合全体からなる集合族を $\mathcal{S}$ とおき、左移動による左作用 $G\curvearrowright \mathcal{S}$ を考えます。$p\not\mid |\mathcal{S}|$ より$|\mathcal{S}| = \comb{p^{r}q}{p^{r}} = \prod_{k = 0}^{p^{r} - 1}\tfrac{p^{r}q - k}{p^{r} - k}$ であること、各 $0\leq k < p^{r}$ に対して $p^{r}q - k$ と $p^{r} - k$ それぞれの素因数分解における $p$ の指数が一致していることから従います。ある $S\in \mathcal{S}$ に対して $p\not\mid |\Orb_{G}(S)|$ が成立します。この $S$ について $p^{r}\mid |G|/|\Orb_{G}(S)| = |\Stab_{G}(S)|$ です。また、$\Stab_{G}(S)$ は $S$ への自由作用を定めることから $|\Stab_{G}(S)|\mid |S| = p^{r}$ が成立します。以上により $|\Stab_{G}(S)| = p^{r}$ であり、Sylow $p$ 部分群の存在が確かめられました。

主張を示します。$H$ を $p$ 部分群とします。Sylow $p$ 部分群 $P$ を固定し、その共役類を $\mathcal{P}$ とおきます。$|\mathcal{P}| = |G|/|N_{G}(P)|$ と $P\leq N_{G}(P)$ から $p\not\mid |\mathcal{P}|$ です。$H$ の $\mathcal{P}$ への共役作用を考えます。$H$ 軌道の濃度は $|H|$ の約数、つまり $p$ の冪に限られるため、$p\not\mid |\mathcal{P}|$ と合わせて唯一の元からなる $H$ 軌道が存在します。その代表元を $Q$ とおけば $H\leq N_{G}(Q)$ であり、命題3.2.23より

が成立します。後者の同型から $|HQ| = |H/H\cap Q|\times |Q|$ は $p$ の冪であり、$|HQ|\mid |G| = p^{r}q$ と $p\not\mid q$ を合わせて $|HQ|\leq p^{r}$ が分かります。また、$|Q|\mid |HQ|$ より $|HQ|\geq p^{r}$ です。以上により $|HQ| = |Q|$ であり、これは $H\leq Q$ を意味します。つまり、この $Q$ が $H$ を含むSylow $p$ 部分群です。

(2) $H, P$ をSylow $p$ 部分群とします。(1)の議論により $P$ に共役かつ $H$ を含むSylow $p$ 部分群 $Q$ が存在します。その $Q$ について $|Q| = p^{r} = |H|$ であることから $Q = H$ であり、よって、$H, P$ は互いに共役です。

(3) Sylow $p$ 部分群全体からなる部分集合族を $\mathcal{P}$ で表すとします。$H\in \mathcal{P}$ を固定します。(2)より $\mathcal{P}$ は $H$ の共役類です。Sylow $p$ 部分群 $Q\in \mathcal{P}$ が共役作用 $H\curvearrowright \mathcal{P}$ に関して $|\Orb(Q)| = 1$ を満たすならば(1)と同様の議論により $H\leq Q$ であり、$|Q| = |H|$ より $Q = H$ です。つまり、共役作用 $H\curvearrowright \mathcal{P}$ に関する軌道は $H$ が代表するものみ濃度が $1$ であり、その他のSylow $p$ 部分群の代表する軌道の濃度は $2$ 以上の $|H| = p^{r}$ の約数、つまり、$p$ の倍数です。これより $|\mathcal{P}|\equiv 1 \mod p$ が従います。

Sylow $p$ 部分群全体からなる部分集合族 $\mathcal{P}$ への共役作用 $G\curvearrowright \mathcal{P}$ はSylowの定理より推移的です。適当に取ったSylow $p$ 部分群 $P\in \mathcal{P}$ に対して $|\mathcal{P}| = |G|/|N_{G}(P)| = p^{r}q/|N_{G}(P)|$ が成立しますが、$P\leq N_{G}(P)$ より $p^{r}\mid |N_{G}(P)|$ であり、$n_{p} = |\mathcal{P}|$ は $q$ の約数になります。

共役作用 $G\curvearrowright G\setminus \{e\}$ を考えます。$p\not\mid |G\setminus \{e\}|$ であり、各軌道の濃度が $p$ の冪であることと合わせてこの共役作用が固定点 $p\in G\setminus \{e\}$ を持つことが分かります。この $p$ について $p\in Z(G)$ であり、中心は自明群ではありません。

(1) より一般に巡回群の自己同型群は命題3.1.87で計算済みです。

(2) 巡回群 $\Z_{q - 1}$ の位数 $p$ の部分群は存在すれば一意でした $($補題3.1.82$)$。よって、単射準同型 $\varphi, \psi$ の像は一致します。そこで、$\varphi(1) = \psi(k)$ を満たす $k\in \Z_{p}^{\times}$ を取って $\beta\in \Aut(\Z_{p})$ を $k$ 倍写像に取れば $\psi = \varphi\circ \beta^{-1}$ を満たします。

$H$ を指数 $2$ の部分群とします。部分集合族として $G/H = \{H, G\setminus H\} = H\backslash G$ なので $H$ は正規です $($命題3.1.52$)$。

もしも位数 $p^{2}$ の元が存在すれば明らかに $G\cong \Z_{p^{2}}$ なので、位数 $p^{2}$ の元が存在しない場合に $G\cong \Z_{p}^{2}$ であることを示します。その場合、単位元以外の元の位数は必ず $p$ であることに注意します。補題3.2.38より中心 $Z(G)$ は非自明であり、その位数 $p$ の巡回部分群 $N$ を取ることができます。明らかに $N\triangleleft G$ です。任意に元 $h\in G\setminus N$ を取ると、それは位数 $p$ の巡回部分群 $H$ を生成し、$N\cap H = \{e\}$ を満たします。よって、$G$ は半直積 $G = N\rtimes H$ に分解します。準同型 $\varphi : Z_{p}\cong H\to \Aut(N)\cong \Z_{p - 1}$ は自明なものに限られるので同型 $G = N\times H\cong \Z_{p}^{2}$ が従います。

(1) Sylow $q$ 部分群の個数 $n_{q}$ はSylowの定理よりある整数 $k\in \Z$ を用いて $n_{q} = qk + 1$ と表されます。系3.2.37より $n_{q}\mid p$ であり、$1\leq n_{q} = qk + 1\leq p < q$ が分かります。よって、$n_{q} = 1$ であり、Sylow $q$ 部分群 $Q$ は唯一かつ正規です。Sylow $p$ 部分群 $P$ を任意に取ります。$p\mid |PQ|$ かつ $q\mid |PQ|$ かつ $p, q$ が互いに素であることから $pq\mid |PQ|$ であり、$G = PQ$ が分かります。また、$|P\cap Q|\mid |P| = p$ かつ $|P\cap Q|\mid |Q| = q$ かつ $p, q$ が互いに素であることから $|P\cap Q|\mid 1$ であり、$P\cap Q = \{e\}$ が分かります。以上により $G$ は半直積 $Q\rtimes P\cong \Z_{q}\rtimes \Z_{p}$ に分解します。

(2) 非自明な準同型 $\varphi : \Z_{p}\to \Aut(\Z_{q})\cong \Z_{q - 1}$ が存在するとすると、$|\Img \varphi| = p$ なので $p = |\Img \varphi|\mid |\Z_{q - 1}| = q - 1$ です。逆に、$p\mid q - 1$ であれば非自明な準同型 $\varphi : \Z_{p}\to \Aut(\Z_{q})\cong \Z_{q - 1} : k\mapsto k\tfrac{q - 1}{p}$ を取ることができます。

(3) 補題3.2.39よりある $\beta\in \Aut(\Z_{p})$ が存在して $\psi = \varphi\circ \beta^{-1}$ が成立します。このことと命題3.1.96から主張の同型が従います。

可換群の場合は有限生成Abel群の分類定理から(i)から(iii)のいずれかに同型になることが容易に確かめられます。あとは次のことを確認すればよいです。

(a) まず、$G$ が位数 $4$ の元を持つことを背理法により示します。もし $G$ が位数 $4$ の元を持たないとすると、各元の位数は $1$ か $2$ になり、よって、任意の $g\in G$ に対して $g^{-1} = g$ が成立します。$G$ の非可換性から $gh\neq hg$ を満たす元 $g, h\in G$ が取れますが、この $g, h$ に対して $(gh)^{2} = ghg^{-1}h^{-1}\neq e$ でありこれは矛盾です。

$\Z_{4}$ に同型な部分群 $N$ を取ります。補題3.2.40より $N\triangleleft G$ です。仮定より $N$ に含まれない位数 $2$ の部分群 $H$ が存在し、これが $N\triangleleft G$, $N\cap H = \{e\}$, $NH = G$ を満たすので $G$ は非自明な半直積 $N\rtimes H$ に分解します。また、$\Aut(\Z_{4})\cong \Z_{2}$ より非自明な半直積 $\Z_{4}\rtimes \Z_{2}$ は一意であり、$G$ が(iv)に同型であることが分かります。

(b) 唯一の位数 $2$ の元を $a$ とおきます。$e, a$ 以外の $6$ つの元は全て位数 $4$ であり、また、それらは互いに逆元になる $3$ つのペアに分けられます。それぞれから片方を選んで $b, c, d$ とおきます。これら $a, b, c, d, e$ の間の関係式として

が容易に示され$b^{2}, c^{2}, d^{2}$ の位数は $2$ なので仮定から $a$ に一致します。また、$bc$ は $e, a, b^{\pm 1}, c^{\pm 1}$ のいずれでもないので $bcd = d^{\pm 1}d\in \{e, a\}$ です。、適当な順番で $b, c, d$ を $i, j, k\in Q_{8}$ に対応させることで同型 $G\cong Q_{8}$ が得られます。

(1) ⇒ (2) $\lambda = \mu\circ (\Id_{G}\times \inv)$.

(2) ⇒ (1) $\inv = \lambda|_{\{e\}\times G}$, $\mu = \lambda\circ (\Id_{G}\times \inv)$.

任意の開集合 $U\subset G$ に対して $\pi^{-1}(\pi(U)) = U\cdot H$ であり、$\pi(U)$ は $G/H$ の開集合です。よって、射影 $\pi$ は開写像です。

写像 $\lambda : G\times G\to G : (g_{1}, g_{2})\mapsto g_{1}g_{2}^{-1}$, $\lambda' : G/H\times G/H\to G/H : ([g_{1}], [g_{2}])\mapsto [g_{1}g_{2}^{-1}]$ と射影 $\pi : G\to G/H$ により次の可換図式を得られます。

$\pi\times \pi$ が開写像であることから、$G/H$ の任意の開集合 $U'$ に対して ${\lambda'}^{-1}(U') = (\pi\times \pi)((\pi\circ \lambda)^{-1}(U'))$ は開集合であり、$\lambda'$ の連続性が従います。よって、剰余群 $G/H$ は位相群になります。

$\mu^{-1}(U)$ に含まれる $(e, e)\in G\times G$ の開近傍 $W_{1}\times W_{2}$ を取り、$V := W_{1}\cap W_{2}$ と定めれば\[V\cdot V\subset W_{1}\cdot W_{2} = \mu(W_{1}\times W_{2})\subset \mu(\mu^{-1}(U))\subset U\]です。

点 $g\in G$ と $g$ の属さない閉集合 $A\subset G$ を取り、これらを分離する開集合 $U, V$ を構成します。$g$ の開近傍 $P$ であって $A$ と交わらないものを取ります。単位元 $e\in G$ の開近傍 $P\cdot g^{-1}$ に対して補題3.2.51を用いて $Q\cdot Q\subset P\cdot g^{-1}$ を満たす $e$ の開近傍 $Q$ を取り、$U := Q\cdot g$, $V := Q^{-1}\cdot A$ と定めます。この $U, V$ が $g, A$ それぞれの開近傍であることは自明です。$U\cap V\neq \varnothing$ を背理法より示します。元 $h\in U\cap V$ を取ります。ある $a\in A$, $q_{1}, q_{2}\in Q$ が存在して $h = q_{1}g = q_{2}^{-1}a$ です。$a = q_{2}q_{1}g\in P\cdot g^{-1}\cdot g = P$ であり、これは $P$ の取り方に矛盾します。以上より、$U, V$ が $g, A$ を分離する開集合であることが分かり、$G$ は $T_{3}$ 空間です。

次の順に示します。

(step 1) 相異なる $2$ 点 $g, h\in G$ を取り、このうち $h$ のみが属するような開集合を構成します。$T_{0}$ であることからどちらか一方のみを含む開集合 $U$ が取れます。もし $h\in U$ であればこれがそうであり、$g\in U$ であれば $L_{g}\circ \inv\circ L_{h^{-1}}(U)$ がそうです。

(step 2) $T_{1}$ であることから $1$ 点集合 $\{e\}$ は閉集合です。写像 $\lambda : G\times G\to G : (g, h)\mapsto g^{-1}h$ の連続性から対角線集合 $\Delta_{G} = \lambda^{-1}(e)\subset G\times G$ は閉集合であり、これは $G$ のHausdorff性を意味します $($命題2.3.10$)$。

(step 3) (step 1)と補題3.2.52よりよいです。

(1) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) $G/H$ が $T_{1}$ 空間であることは明らか。$T_{3}$ 空間であることを示します。$G/H$ の点 $g\cdot H$ とそれを元に持たない閉集合 $B$ を取ります。補題3.2.52の証明のように点 $g\in G$ と閉集合 $A := \pi^{-1}(B)\subset G$ を分離する開近傍 $U := Q\cdot g$, $V := Q^{-1}\cdot A$ を取ります。$A\cdot H = A$ より $V\cdot H = V$ であり、これと $U\cap V = \varnothing$ を合わせて $UH\cap VH = \varnothing$ が分かります。$\pi(U)$, $\pi(V)$ が $g\cdot H$ と $B$ を分離する開集合です。

商写像 $\pi : X\to X/G$ による商空間 $X/G$ の各点の逆像が作用による軌道であることに注意すれば明らかです。

補題3.2.49と同じです。任意の開集合 $U\subset X$ に対して $\pi^{-1}(\pi(U)) = G\cdot U$ であり、$\pi(U)$ は $X/G$ の開集合です。

まずはHausdorff性を示します。$A, B\subset X$ を相異なる軌道とします。$A, B$ はコンパクト空間 $G$ の連続像なのでコンパクトです。Hausdorff空間における非交叉なコンパクト部分集合は分離可能であり、$A, B$ の開近傍 $U, V$ であって互いに非交叉なものが取れます。$U' := \bigcap_{g\in G}g\cdot U$, $V' := \bigcup_{g\in G}g\cdot V$ とおくとき次が示されます。

このことから $\pi(U'), \pi(V')$ が $A, B\in X/G$ を分離する開集合であることが分かり、$X/G$ のHausdorff性が従います。

(i) 点 $u\in U'$ を取り、これが $U'$ の内点であることを示します。各 $g\in G$ に対し、$u\in g\cdot U$ であることに注意して、$(g^{-1}, u)\in G\times X$ の $L^{-1}(U)$ に含まれる開近傍を $V_{g}\times W_{g}$ の形に取ります。$\{V_{g}\}_{g\in G}$ は $G$ の開被覆であり、有限個の $g_{1}, \dots, g_{n}$ を選んで有限部分被覆 $V_{g_{1}}, \dots, V_{g_{n}}$ が得られます。$W := \bigcap_{1\leq k\leq n}W_{g_{k}}$ は $X$ の開集合であり、全ての $g\in G$ に対して $W\subset g\cdot U$ を満たす各 $g\in G$ ごと $g^{-1}\in V_{g_{k}}$ となる $k$ が存在して $g^{-1}\cdot W\subset V_{g_{k}}\cdot W_{g_{k}}\subset U$ です。ので $W\subset U'$ です。これが $u$ の $U'$ に含まれる開近傍であり、$u$ は $U'$ の内点です。

(ii) (iii) (iv) 容易です。

局所コンパクト性を示します。点 $A\in X/G$ とその開近傍 $W$ を取ります。$a\in A$ のコンパクト閉近傍 $K$ であって $K\subset \pi^{-1}(W)$ を満たすものを取れば $\pi(K)$ が $W$ に含まれる $A\in X/G$ のコンパクト閉近傍です$\pi(K)\subset W$ は自明。近傍であることは射影 $\pi$ が開写像であることから。コンパクト閉であることはコンパクト空間からHausdorff空間への連続像であることから。。よって、$X/G$ は局所コンパクトです。