(1) ⇒ (2) $x\in X$ とします。任意の点 $y\neq x$ に対して開集合 $U_{y}$ であって $y\in U_{y}$ かつ $x\notin U_{y}$ となるものを固定すれば $\bigcup_{y\in X\setminus \{x\}}U_{y} = X\setminus \{x\}$ であり、これは開集合なのでその補集合 $\{x\}$ は閉集合です。

(2) ⇒ (3) $x\in X$ を固定します。任意の $y\neq x$ に対して(2)より $X\setminus \{y\}$ は $x$ の開近傍であり、$\{x\} = \bigcap_{y\neq x}(X\setminus \{y\})$ です。このことにより、$x$ の全ての開近傍たちの共通部分は $\{x\}$ です。

(3) ⇒ (1) $x\neq y\in X$ とします。(3)より $x\in X$ の開近傍 $U$ であって $y\notin U$ となるものが取れるので $X$ は $T_{1}$ 空間です。

$T_{1}$ 空間において $1$ 点からなる部分集合は閉集合です。高々有限個の閉集合の和集合は閉集合なので、有限集合は閉集合です。

$a\neq b\in X$ の $2$ 点に収束したとします。開集合 $U, V$ であって $a\in U$ かつ $b\in V$ かつ $U\cap V = \varnothing$ となるものを取ります。点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ が $a$ に収束することからある非負整数 $N_{a}$ であって任意の $n > N_{a}$ に対して $x_{n}\in U$ となるものを取ることができ、同様に非負整数 $N_{b}$ であって任意の $n > N_{b}$ に対して $x_{n}\in V$ となるものを取ることができます。$n > \max\{N_{a}, N_{b}\}$ を取れば $x_{n}\in U\cap V = \varnothing$ となり矛盾です。よって、収束先は一意です。

(1) ⇒ (2) $x\in X$ を固定します。各 $y\neq x$ に対し、$x\in U_{y}$, $y\in V_{y}$, $U_{y}\cap V_{y} = \varnothing$ となる開集合 $U_{y}, V_{y}$ を固定します。$\overline{U_{y}}\subset V_{y}^{c}$ であり、$\overline{U_{y}}$ は $y\notin \overline{U_{y}}$ を満たす $x$ の閉近傍です。よって、$\bigcap_{y\neq x}\overline{U_{y}} = \{x\}$ です。このことにより、$x$ の全ての閉近傍たちの共通部分は $\{x\}$ です。

(2) ⇒ (1) $x\neq y$ を取ります。(2)より、$x$ の閉近傍 $F$ であって $y\notin F$ となるものが取れます。$U := \Int F$, $V := F^{c}$ とすれば、これが $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V = \varnothing$ を満たす開集合になります。よって、$X$ はHausdorff空間です。

(1) ⇒ (3) $z = (x, y)\in \Delta(X)^{c}$ とします。$x\neq y$ なので、開集合 $U_{z}, V_{z}$ であって $x\in U_{z}$, $y\in V_{z}$, $U_{z}\cap V_{z} = \varnothing$ となるものが取れます。$W_{z} := U_{z}\times V_{z}$ は $z$ の開近傍であって $W_{z}\subset \Delta(X)^{c}$ を満たします。各 $z\in \Delta(X)^{c}$ に対してそのような $W_{z}$ を固定しておけば、$\Delta(X)^{c} = \bigcup_{z\in \Delta(X)^{c}}W_{z}$ であり、これは開集合です。よって、$\Delta(X)$ は閉集合です。

(3) ⇒ (1) $x\neq y\in X$ を取ります。$(x, y)\in \Delta(X)^{c}$ です。$X\times X$ は $X$ の開集合 $U, V$ を用いて $U\times V$ の形で表される部分集合たちからなる開基を持つので、$(x, y)$ の開近傍であって $U\times V$ の形かつ $\Delta(X)^{c}$ に含まれるものが取れます。これが $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V = \varnothing$ を満たしますもし $U\cap V\neq \varnothing$ とすると、その元 $z$ に対して $(z, z)\in U\times V\in \Delta(X)^{c}$ となって矛盾です。。よって、$X$ はHausdorff空間です。

(1) $x\neq y\in A$ を取ります。$X$ が $T_{1}$ 空間なので、$X$ の開集合 $U$ であって $x\in U$ かつ $y\neq U$ となるものが取れます。この $U$ について $U' = A\cap U$ は $x\in U'$ かつ $y\notin U'$ を満たす $A$ の開集合です。

(2) $x = (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\neq y = (y_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\in \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ を取ります。ある $\mu\in \Lambda$ が存在して $x_{\mu}\neq y_{\mu}$ です、$X_{\mu}$ の開集合 $U_{\mu}$ を $x_{\mu}\in U_{\mu}$ かつ $y_{\mu}\notin U_{\mu}$ となるように取れば、$U := \pr_{\mu}^{-1}(U_{\mu})$ が $x\in U$, $y\notin U$ を満たす直積空間の開集合です。

(3) (1)とほぼ同じです。$x\neq y\in A$ に対し、それらを $X$ において分離する開集合 $U, V$ を取り、それぞれの $A$ との共通部分を考えればよいです。

(4) (2)とほぼ同じです。$X_{\mu}$ において $x_{\mu}, y_{\mu}$ を分離する開集合 $U_{\mu}, V_{\mu}$ を取れば、それらの射影 $\pr_{\mu}$ による逆像が直積空間において $x, y$ を分離する開集合です。

$(x, y)\notin \Gamma(f)$ となる $(x, y)\in X\times Y$ を任意に取ります。$y\neq f(x)$ です。$Y$ の開集合 $U, V$ を $f(x)\in U$, $y\in V$, $U\cap V = \varnothing$ となるように取ります。このとき、$U\cap V = \varnothing$ より $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) = \varnothing$ であり、$f^{-1}(U)\times V\subset X\times Y$ は $\Gamma(f)$ と交わらない $(x, y)$ の開近傍です。よって、$\Gamma(f)$ は閉集合です。

補集合 $A^{c} = \{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}$ が開集合であることを示します。$x\in A^{c}$ とします。$Y$ の開集合 $U, V$ を $f(x)\in U$, $g(x)\in V$, $U\cap V = \varnothing$ となるように取ります。このとき、任意の $x'\in f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ に対して $f(x')\in U$ かつ $g(x') \in V$ であり、$U\cap V = \varnothing$ より $f(x')\neq g(x')$ なので $x'\in A^{c}$ です。よって、$f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\subset A^{c}$ です。$f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$ は $x'$ の開近傍であり、$x'$ を任意に取っていたことから $A^{c}$ は開集合です。よって、$A$ は閉集合です。

正則空間は定義から $T_{1}$ 空間なのでその $1$ 点集合は閉集合。よって、$T_{3}$ 空間であることから任意の相異なる $2$ 点 $x\neq y$ に対して $x\in U$ かつ $\{y\}\subset V$ かつ $U\cap V = \varnothing$ となるものが取れます。当然 $\{y\}\subset V$ は $y\in V$ と同値なので、Hausdorff空間であることが分かりました。

(1) ⇒ (2) $x\in X$ とその開近傍 $V$ を固定します。$X$ が正則であることから $x$ と $V^{c}$ を分離する開集合 $U, W$ を取れば、$x\in \overline{U}\subset W^{c}\subset V$ です。

(2) ⇒ (1) $x\in X$ と $x\notin A$ である閉集合 $A\subset X$ を固定します。$V := A^{c}$ は $x$ の開近傍であり、(2)より $x$ の開近傍 $U$ であって $\overline{U}\subset V$ を満たすものが取れます。容易に分かるように $U$ と $\overline{U}^{c}$ が $x$ と $A$ を分離する開集合です。

(1) $x\in A$ と $A$ の閉集合 $B\subset A$ であって $x\notin B$ であるものを固定します。$X$ の閉集合 $F$ であって $B = F\cap A$ であるものを取ります。$X$ において $x$ と $F$ を分離する開集合 $U, V$ を取れば、それらと $A$ との共通部分として得られる開集合たちが $A$ において $x$ と $B$ を分離する開集合です。

(2) $x = (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\in \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ と閉集合 $A\subset \prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ を $x\notin A$ であるように固定します。$A^{c}$ は $x$ の開近傍であり、$x$ の開近傍 $V$ であって\[\prod_{\mu\in M}V_{\mu}\times \prod_{\lambda\in \Lambda\setminus M}X_{\lambda} \ (M\subset \Lambda, \ \#M < +\infty, \ V_{\mu} : \text{open set})\]の形に表されかつ $V\subset A^{c}$ を満たすものが取れます。各 $\mu\in M$ に対して $V_{\mu}$ は $x_{\mu}$ の開近傍であり、命題2.3.16から $x$ の開近傍 $U_{\mu}$ であって $\overline{U_{\mu}}\subset V_{\mu}$ となるものが取れます。\[U := \prod_{\mu\in M}U_{\mu}\times \prod_{\lambda\in \Lambda\setminus M}X_{\lambda}\]とおけば $U$ と $\overline{U}^{c}$ が $x$ と $A$ を分離する開集合です。

実際、これらが非交叉な開集合であること、$x\in U$ であることは容易であるし、\[\overline{U} = \prod_{\mu\in M}\overline{U_{\mu}}\times \prod_{\lambda\in \Lambda\setminus M}X_{\lambda}\subset \prod_{\mu\in M}V_{\mu}\times \prod_{\lambda\in \Lambda\setminus M}X_{\lambda}\subset A^{c}\]により $A\subset \overline{U}^{c}$ も従います。

(3) (4) $T_{1}$ 性は部分空間や直積空間で保たれる性質でした $($命題2.3.11$)$。

$x\in X$ と閉集合 $A\subset X$ を $x\notin A$ であるように固定します。正規空間は定義から $T_{1}$ 空間なのでその $1$ 点集合 $\{x\}$ は閉集合。よって、$T_{4}$ 空間であることから $\{x\}\subset U$ かつ $A\subset V$ かつ $U\cap V = \varnothing$ となるものが取れます。よって、$X$ は正則空間です。

(1) ⇒ (2) 閉集合 $A\subset X$ とその開近傍 $V$ を固定します。$X$ が正規であることから $A$ と $V^{c}$ を分離する開集合 $U, W$ を取れば、$A\subset \overline{U}\subset W^{c}\subset V$ です。

(2) ⇒ (1) 閉集合 $A, B\subset X$ であって $A\cap B = \varnothing$ となるものを取ります。$V := B^{c}$ は $A$ の開近傍であり、(2)より $A$ の開近傍 $U$ であって $\overline{U}\subset V$ を満たすものが取れます。容易に分かるように $U$ と $\overline{U}^{c}$ が $A$ と $B$ を分離する開集合です。

開近傍 $U_{1}, \dots, U_{k - 1}$ を $\overline{U_{1}}, \dots, \overline{U_{k - 1}}, A_{k}, \dots, A_{n}$ が互いに非交叉となるように構成されているとします。このとき、$A_{k}\subset \left(\bigcup_{1\leq i < k}\overline{U_{i}}\cup \bigcup_{k < i\leq n}A_{i}\right)^{c}$ であるので、命題2.3.20より $A_{k}$ の開近傍 $U_{k}$ を\[\overline{U_{k}}\subset \left(\bigcup_{1\leq i < k}\overline{U_{i}}\cup \bigcup_{k < i\leq n}A_{i}\right)^{c}\]であるように取ることができ、このとき、$\overline{U_{1}}, \dots, \overline{U_{k}}, A_{k + 1}, \dots, A_{n}$ は互いに非交叉です。よって、主張の条件を満たす開近傍 $U_{1}, \dots, U_{n}$ が帰納的に構成されます。

1.8.4.1節$($系1.8.26$)$ で示しました。

$U\subset [a, b]$ を $($この区間における$)$ 開集合とし、各 $x\in f^{-1}(U)$ が内点になっていることを確かめます。これには以下の場合を確認すれば十分です。

注意として、$x\in A_{r}$ ならば $f(x)\leq r$ は明らかであるし、$x\notin A_{r}$ であれば $r$ 以下の任意の $r'\in R$ に対して $x\notin A_{r'}$ であり、$f(x)\geq r$ が成立しています。

(i) $[a, c)\subset U$ となる $c\in (a, b]$ を取り、$a < r' < r < c$ となる $r, r'\in R$ を取れば\[x\in A_{r'}\subset \Int A_{r}\subset f^{-1}([a, c))\subset f^{-1}(U)\]なので、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

(ii) $f(x)\in (c, d)\subset U$ となる $c, d\in [a, b]$ を取り、$c < s < f(x) < t < d$ となるように $s, t\in R$ を取れば $x\in \Int A_{t}\setminus A_{s}\subset f^{-1}(U)$ であり、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

(iii) $(c, b]\subset U$ となる $c\in [a, b)$ を取り、$c < r < b$ となる $r\in R$ を取れば $x\in A_{r}^{c}\subset f^{-1}(U)$ であり、$x$ は $f^{-1}(U)$ の内点です。

命題2.3.20を用いて $A$ とは交わらない $B$ の閉近傍 $C$ を固定しておきます。そして、非負整数 $n\in \N$ と整数 $0\leq m\leq 2^{n}$ を用いて $m/2^{n}$ と表される有理数全体からなる集合を $R$ とし、以下の条件を満たす閉集合族 $\{A_{r}\}_{r\in R}$ を構成します。

各非負整数 $n\in \N$ について、$R_{n}$ を整数 $m$ を用いて $m/2^{n}$ と表される $R$ の元全体からなる集合とします。$R_{0} = \{0, 1\}$ においては $A_{0} := A$, $A_{1} := \Cl(C^{c})$ と定め、以下は帰納的に定義していきます。$R_{n}$ の各元に対して条件の(ii)が成立するように $A_{r}$ たちが定義されているとして、各 $r = (2k + 1)/2^{n + 1}\in R_{n + 1}\setminus R_{n}$ に対して $A_{r}$ を $A_{k/2^{n}}\subset \Int A_{r}$, $A_{r}\subset \Int A_{(k + 1)/2^{n}}$ となる閉集合として構成できれば $R_{n + 1}$ でも(ii)を満たすように構成されたことになりますが、これは $\Int A_{(k + 1)/2^{n}}$ が $A_{k/2^{n}}$ の開近傍になっていることと命題2.3.20から $A_{k/2^{n}}$ の開近傍 $U$ であって $\overline{U}\subset \Int A_{(k + 1)/2^{n}}$ となるものを取り、$A_{r} := \overline{U}$ とすればよいです。以上により条件を満たす閉集合族が帰納的に構成されます。

写像 $f : X\to [0, 1]$ を\[f(x) := \left\{\begin{array}{ll}\inf\{r\in R\mid x\in A_{r}\} & (x\in A_{1}) \\1 & (x\in A_{1}^{c})\end{array}\right.\]により定めます。これは補題2.3.25より連続であり、$f|_{A}\equiv 0$ は $A = A_{0}$ から、$f|_{B}\equiv 1$ は $B\subset \Int C = (\Cl(C^{c}))^{c} = A_{1}^{c}$ から従います。以上で目的の連続関数が得られました。

各 $s\in \R$ に対して $A$ の閉集合 $F_{s}, G_{s}$ を $F_{s} := g^{-1}((-\infty, s])$, $G_{s} := g^{-1}([s, +\infty))$ と定めます。$A$ が閉なのでこれらは $X$ においても閉です。開集合列 $\{U_{n}\}_{n\in\N}, \{V_{n}\}_{n\in\N}$ を次の条件を満たすように構成します。

$U_{n - 1}, V_{n - 1}$ まで構成されているとして $U_{n}, V_{n}$ を構成すればよいですが、$U_{n}$ が構成できることは $(\overline{U_{n - 1}}\cup F_{r - 1/n})\cap (\overline{V_{n - 1}}\cup G_{r}) = \varnothing$ であること(b)から $\overline{U_{n - 1}}\cap G_{r} = \varnothing$ が、(c)から $(\overline{U_{n - 1}}\cup F_{r - 1/n})\cap \overline{V_{n - 1}} = \varnothing$ が分かります。$F_{r - 1/n}\cap G_{r} = \varnothing$ は定義から明らかです。と命題2.3.20からよく、$V_{n}$ も同様に $(\overline{V_{n - 1}}\cup G_{r + 1/n})\cap (\overline{U_{n}}\cup F_{r}) = \varnothing$ と命題2.3.20から構成されるのでよいです。よって、帰納的に開集合列が構成されます。

$A_{r} := \Cl\left(\bigcup_{n\in\N}U_{n}\right)\cup F_{r}$ が条件を満たす閉集合であることを示します。いま、\[g^{-1}((-\infty, r)) = \bigcup_{n\in\N_{+}}F_{r - 1/n}\subset \bigcup_{n\in\N}U_{n}\subset \left(\bigcup_{n\in\N}V_{n}\right)^{c}\subset \left(\bigcup_{n\in\N_{+}}G_{r + 1/n}\right)^{c} = g^{-1}((r, +\infty))^{c}\]であることに注意します。$g^{-1}((-\infty, r))\subset \Int A_{r}$ は明らかです。また、$\left(\bigcup_{n\in\N}V_{n}\right)^{c}$ が閉集合であることから $\Cl\left(\bigcup_{n\in\N}U_{n}\right)\subset \left(\bigcup_{n\in\N}V_{n}\right)^{c}$ であり、$\Cl\left(\bigcup_{n\in\N}U_{n}\right)\cap A\subset F_{r}$ となるので、もちろん $A_{r}\cap A = F_{r}$ です。以上により $A_{r}$ が構成されました。

条件(ii)を満たす $A_{0}$ を補題2.3.27より取ります。$p, q$ を整数とし、$p < n < q$ の範囲で各条件を満たすように $A_{n}$ が構成されているとして $A_{p}, A_{q}$ を構成します。

$A_{p}$ は連続写像 $h_{p + 1} : (\Int A_{p + 1})^{c}\cup A\to \R$ を\[h_{p + 1}(x) := \left\{\begin{array}{ll}p + 1 & (x\in (\Int A_{p + 1})^{c}) \\\min\{g(x), p + 1\} & (x\in A)\end{array}\right.\]により定め$g^{-1}((-\infty, p + 1))\subset \Int A_{p + 1}$ より $(\Int A_{p + 1})^{c}\cap A\subset \{x\in A\mid g(x)\geq p + 1\}$ となることに注意すれば $h_{p + 1}$ はwell-definedであり、連続性は $(\Int A_{p + 1})^{c}$ への制限の連続性と $A$ への制限の連続性から従います。、この $h_{p + 1}$ に対して補題2.3.27を適用すればよいです。$A_{p}\subset \Int A_{p + 1}$ は $A_{p}\cap (\Int A_{p + 1})^{c} = \varnothing$ から従います。

$A_{q}$ は連続写像 $k_{q - 1} : A_{q - 1}\cup A\to \R$ を\[k_{q - 1}(x) := \left\{\begin{array}{ll}q - 1 & (x\in A_{q - 1}) \\\max\{g(x), q - 1\} & (x\in A)\end{array}\right.\]により定め、この $k_{q - 1}$ に対して補題2.3.27を適用すればよいです。$A_{q - 1}\subset \Int A_{q}$ も明らかです。

$r\in \Z$ については補題2.3.28より取ります。$s < t\in R$ について各条件を満たす $A_{s}, A_{t}$ が得られているとして、$r := \tfrac{s + t}{2}\in R$ に対して各条件を満たす $A_{r}$ が連続写像 $g' : A_{s}\cup A\cup (\Int A_{t})^{c}\to \R$ を\[g'(x) := \left\{\begin{array}{ll}s & (x\in A_{s}) \\\min\{\max\{g(x), s\}, t\} & (x\in A) \\t & (x\in (\Int A_{t})^{c})\end{array}\right.\]により定義して補題2.3.27を適用して得られます。このことから $R$ 全体でも構成できることが容易に分かります。

補題2.3.29の閉集合列 $\{A_{r}\}_{r\in R}$ を取り、$A_{\infty} := \left(\bigcup_{r\in R}A_{r}\right)\setminus \left(\bigcap_{r\in R}A_{r}\right)$ とおきます。$A_{\infty}$ は $A$ の開近傍です。写像 $h : A_{\infty}\to \R$ を\[h(x) := \inf\{r\in R\mid x\in A_{r}\}\]により定めます。これは補題2.3.25より連続であり、$A_{r}\cap A = g^{-1}((-\infty, r])$ より $A$ 上で $g$ に一致します。$A_{\infty}^{c}$ は $A$ とは交わらない $X$ の閉集合であり、その閉近傍 $B$ であって $A$ とは交わらないものが取れます。ここでUrysohnの補題 $($定理2.3.26$)$ より連続写像 $k : X\to [0, 1]$ であって $k|_{A}\equiv 1$ かつ $k|_{B}\equiv 0$ を満たすものを取り、連続写像 $f : X\to \R$ を\[f(x) := \left\{\begin{array}{ll}k(x)h(x) & (x\in A_{\infty}) \\0 & (x\in \Int B)\end{array}\right.\]と定めればこれが目的の $g$ の連続拡張です。$A_{\infty}\cap\Int B$ において $kh$ が恒等的に $0$ を値に取ることに注意すれば確かに連続に定まっています。

(1) ⇒ (2) 自明です。

(2) ⇒ (3) $\overline{A}\cap B = \varnothing$ かつ $A\cap \overline{B} = \varnothing$ を満たす部分集合 $A, B\subset X$ を取ります。$Y := X\setminus (\overline{A}\cap \overline{B})$ 開集合であり、仮定より正規です。また、明らかに $A, B\subset Y$ であり、さらに $Y$ における閉包 $C := \Cl_{Y}A$ と $D := \Cl_{Y}B$ は交わりません。よって、$Y$ において $C, D$ を分離する開集合を取ればそれが $X$ において $A, B$ を分離する開集合になります。

(3) ⇒ (1) 部分空間 $Y\subset X$ を取り、その正規性を示します。互いに交わらない $Y$ の閉集合 $A, B\subset Y$ を取ります。$\Cl_{X}A\cap B = \varnothing$ かつ $A\cap \Cl_{X}B = \varnothing$ なので仮定より $X$ において $A, B$ を分離する開集合 $U, V$ を取ることができ、$U\cap Y$ と $V\cap Y$ が $Y$ において $A, B$ を分離する開集合になります。よって、$Y$ は正規です。

(1) ⇒ (2) 自明です。

(2) ⇒ (1) $A, B\subset X$ を互いに非交叉な閉集合とします。連続写像 $g, h : X\to [0, 1]$ を $g^{-1}(0) = A$, $h^{-1}(0) = B$ に取れば連続関数 $f := g/(g + h)$ が $f^{-1}(0) = A$ と $f^{-1}(1) = B$ を満たします。

(1) 完全正則空間 $X$ とその部分空間 $Y$ を取ります。$Y$ の閉集合 $B$ と点 $y$ を $y\notin B$ に取ります。$X$ の閉集合 $A$ であって $A\cap Y = B$ となるものを取り、この $A$ と $y$ に対して連続関数 $f : X\to [0, 1]$ を $A\subset f^{-1}(0)$ かつ $f(y) = 1$ に取ります。制限 $g := f|_{Y}$ が $B\subset g^{-1}(0)$ かつ $g(y) = 1$ を満たし、$Y$ の完全正則性が従います。

(2) 自明です。

(3) 完全正規空間 $X$ とその部分空間 $Y$ を取ります。$Y$ の閉集合 $B$ を取ります。$X$ の閉集合 $A$ であって $A\cap Y = B$ となるものを取り、この $A$ に対して連続関数 $f : X\to [0, 1]$ を $A = f^{-1}(0)$ に取ります。制限 $g := f|_{Y}$ が $B = g^{-1}(0)$ を満たし、命題2.3.35と合わせて $Y$ の完全正規性が従います。

(4) 自明です。

(5) Urysohnの補題 $($定理2.3.26$)$ からそうです。

(6) 自明です。

(7) (3)と完全正規空間が正規空間であることから従います。