(1) 開集合系 $\mathcal{O}$ が与えられ、主張のように $\mathcal{F}$ を定めているとします。$\varnothing, X\in \mathcal{F}$ は明らかです。部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{F}$ を取ります。このとき、各 $F\in \mathcal{V}$ に対して $F^{c}\in \mathcal{O}$ なので $\bigcup_{F\in \mathcal{V}}F^{c}\in \mathcal{O}$ です。よって、\[\bigcap_{F\in\mathcal{V}}F = \left(\bigcup_{F\in \mathcal{V}}F^{c}\right)^{c}\in \mathcal{F}\]です。同様に、有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{F}$ に対して $\bigcap_{F\in \mathcal{V}}F^{c}\in \mathcal{O}$ なので\[\bigcup_{F\in\mathcal{V}}F = \left(\bigcap_{F\in \mathcal{V}}F^{c}\right)^{c}\in \mathcal{F}\]です。よって、$\mathcal{F}$ は閉集合系です。

(2) (1)と同様です。

(3) 開集合系全体からなる集合を $\mathfrak{O}$、閉集合系全体からなる集合を $\mathfrak{F}$ とおくことにします。また、写像 $\varphi : \mathfrak{P}(2^{X})\to \mathfrak{P}(2^{X}) : \mathcal{A}\mapsto \{A^{c}\mid A\in \mathcal{A}\}$ を取ります。明らかに $\varphi^{2} = \Id_{\mathfrak{P}(2^{X})}$ です。(1), (2)はそれぞれ制限 $\xi : \mathfrak{O}\to \mathfrak{F}$, $\eta : \mathfrak{F}\to \mathfrak{O}$ が定まっているということを意味し、$\varphi^{2} = \Id_{\mathfrak{P}(2^{X})}$ から $\eta\circ \xi = \Id_{\mathfrak{O}}$ と $\xi\circ \eta = \Id_{\mathfrak{F}}$ が従います。よって、これらの対応は全単射です。

(1) 内部と閉包の定義から明らか。

(2) 各 $x\in \Int A$ に対して $x\in U_{x}$ かつ $U_{x}\subset A$ となる開集合 $U_{x}$ を取ります。当然、任意の $y\in U_{x}$ に対しても $y\in U_{x}$ かつ $U_{x}\subset A$ なので $y$ も $A$ の内点であり、$x\in U_{x}\subset \Int A$ です。よって、\[\bigcup_{x\in \Int A}U_{x} = \Int A\]ですが、左辺は開集合であるので $\Int A$ は開集合です。

(3) $x\in X$ が $A$ の触点であることの否定は、$x\in U$ かつ $A\cap U = \varnothing$ を満たす開集合 $U$ が存在するということですが、$A\cap U = \varnothing\Leftrightarrow U\subset A^{c}$ なので、これは $x$ が $A^{c}$ の内点であることに同値です。よって、$(\Cl A)^{c} = \Int A^{c}$ です。

(4) (3)より $\Int A^{c}$ が開集合であることを確かめればよいですが、これは(2)よりよいです。

(5) (3)の $A$ を $A^{c}$ で取り換え、両辺の補集合を取ればよいです。

(6) (1)で示したものとは逆の包含関係 $A\subset \Int A$ を示せばよいです。$x\in A$ 対し、$A$ が開集合なので直ちに $x$ は $A$ の内点であり、$x\in \Int A$ です。よって、$A\subset \Int A$ です。

(7) (3)より $\Cl A = (\Int A^{c})^{c}$ であり、$A^{c}$ が開集合であることと(6)から $\Cl A = A^{cc} = A$ です。

(8) (9) (10) (11) 定義から明らか。

(1) $\partial A$ は閉集合 $\Cl A$ と $\Cl A^{c}$ の共通部分なので閉集合です。

(2) $\Out A = \Int A^{c}$ から明らかです。

(3) $\partial A = \Cl A\cap \Cl A^{c} = \Cl A\cap (\Int A)^{c}$ であり、$\Int A\subset \Cl A$ からこれは $\Cl A\setminus \Int A$ に等しいです。

(4) (3)より明らかです。

(5) $X = A\cup A^{c}\subset \Cl A \cup \Cl A^{c}$ より $\Cl A\cup \Cl A^{c} = X$ です。そして、(4)より $\Cl A \cup \Cl A^{c} = \Int A\cup \partial A \cup \Out A$ と $\Int A\cap \partial A = \varnothing$, $\Out A\cap \partial A = \varnothing$ です。また、$\Int A\subset A$, $\Out A = \Int A^{c}\subset A^{c}$ と $A\cap A^{c} = \varnothing$ より $\Int A\cap \Out A = \varnothing$ です。以上より、$X = \Int A\sqcup \partial A \sqcup \Out A$ です。

(1) ⇔ (2) 命題2.1.9で示しています。

(2) ⇒ (3) 命題2.1.10より $\Int A\cap \partial A = \varnothing$ なので、仮定より $A\cap \partial A = \varnothing$ です。

(3) ⇒ (2) $A\cap \partial A = \varnothing$ とすると、$A = A\cap \Cl A = A\cap (\Int A\cup \partial A) = \Int A\cup (A\cap \partial A) = \Int A$ です。途中で命題2.1.10を使用。

(1) ⇔ (2) 命題2.1.9で示しています。

(2) ⇒ (3) 命題2.1.10より $\partial A\subset \Cl A = A$ です。

(3) ⇒ (2) $\partial A\subset A$ とすると $A\cap \partial A = \partial A$ です。よって、$A = A\cap \Cl A = A\cap (\Int A\cup \partial A) = \Int A\cup (A\cap \partial A) = \Int A\cup \partial A = \Cl A$ です。途中で命題2.1.10を使用。

(1) ⇒ (2) $S$ は $S\subset A$ を満たす開集合なので $S\in \mathcal{U}$ です。よって、$S\subset \bigcup_{U\in\mathcal{U}}U$ です。逆の包含関係は内点の定義から明らかです。

(2) ⇒ (3) まず、(2)から $S$ が $A$ に含まれる開集合であることは明らかです。そして、$U$ を $A$ に含まれる開集合とすれば $U\in \mathcal{U}$ なので $U\subset \bigcup_{U\in\mathcal{U}}U = S$ です。

(3) ⇒ (1) まず、$\Int A$ が $A$ に含まれる開集合なので $\Int A\subset S$ です。また、$S$ 自体が $A$ に含まれる開集合であることから、その各点は $A$ の内点であり、$S\subset \Int A$ も従います。

(1)は $S^{c} = \Int A^{c}$ であることと同値。(2)は $\mathcal{U} := \{U\in \mathcal{O}\mid U\subset A^{c}\}$ とおいて $S^{c} = \bigcup_{U\in\mathcal{U}}U$ であることと同値。(3)は $S^{c}$ が $A^{c}$ に含まれる開集合であり、$A^{c}$ に含まれる任意の開集合 $U$ に対して $U\subset S^{c}$ を満たすことと同値。あとは命題2.1.13の同値性からから従います。

(1) 任意の $\lambda'\in \Lambda$ に対して $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subset A_{\lambda'}$ であることから $\Int\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset \Int A_{\lambda'}$ であり、$\Int\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\Int A_{\lambda}$ です。

有限集合族の場合、$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\Int A_{\lambda}$ は $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ に含まれる開集合なので $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\Int A_{\lambda}\subset \Int\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ が成立します。

(2) 任意の $\lambda'\in \Lambda$ に対して $A_{\lambda'}\subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ であることから $\Cl A_{\lambda'}\subset \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ であり、$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}\subset \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ です。

有限集合族の場合、$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}$ は $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ を含む閉集合なので $\Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}$ が成立します。

(3) 任意の $\lambda'\in \Lambda$ に対して $\Int A_{\lambda'}\subset \Int\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ です。

(4) 任意の $\lambda'\in \Lambda$ に対して $\Cl\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\subset \Cl A_{\lambda'}$ です。

(1) $U\cap \Cl(U\cap A)\subset U\cap \Cl A$ は明らかなので、逆の包含関係を示します。$x\in U\cap \Cl A$ とします。$x\in \Cl A$ より $x\in V$ を満たす任意の開集合 $V$ に対して $V\cap (U\cap A) = (V\cap U)\cap A\neq \varnothing$ であり、$x$ は $U\cap A$ の触点です。よって、$x\in U\cap \Cl(U\cap A)$ であり、$U\cap \Cl A\subset U\cap \Cl(U\cap A)$ が確かめられました。

(2) $U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl(U\cap A_{\lambda}) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}U\cap \Cl(U\cap A_{\lambda}) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}U\cap \Cl A_{\lambda} = U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}$ です。真ん中の等号に(1)を使用。

(3) $U\cap \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(U\cap A_{\lambda})\right) = U\cap \Cl\left(U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) = U\cap \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ です。後ろの等号に(1)を使用。

各点 $x\in X$ に対して $x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}\Leftrightarrow x\in \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ であることを示します。$x\in X$ を固定し、$x\in U$ かつ $\{\lambda\in \Lambda\mid U\cap A_{\lambda}\neq \varnothing\}$ が有限集合となる開集合 $U$ を取ります。補題2.1.18より\[U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda} = U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl (U\cap A_{\lambda}),\]\[U\cap \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) = U\cap \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(U\cap A_{\lambda})\right)\]ですが、$U$ の取り方から $U\cap A_{\lambda}\neq \varnothing$ となる $\lambda\in \Lambda$ は高々有限個なので、命題2.1.15より\[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl (U\cap A_{\lambda}) = \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(U\cap A_{\lambda})\right)\]です。よって、$U\cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda} = U\cap \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ なので、示したかった $x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda}\Leftrightarrow x\in \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)$ が示されました。各 $A_{\lambda}$ が閉集合のとき、\[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\Cl A_{\lambda} = \Cl\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\]より和集合は閉集合です。

(1) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) 任意の $U\in \mathcal{O}$ に対して $U\in \mathcal{O}'$ であることを(i)のみを用いて示します。各点 $x\in U$ に対して $U$ は $x$ の近傍なので、ある $V_{x}\in \mathcal{V}_{x}$ であって $V_{x}\subset U$ となるものが取れます。また、仮定の(i)よりある $V'_{x}\in \mathcal{V}'_{x}$ であって $V'_{x}\subset V_{x}$ となるものが取れます。開集合系 $\mathcal{O}'$ に対する内部を $\Int'$ により表すとして、各 $x\in U$ に対して $x\in \Int' V'_{x}\subset U$ であることから\[U = \bigcup_{x\in U}\Int' V'_{x}\]であり、$U\in \mathcal{O}'$ です。よって、$\mathcal{O}\subset \mathcal{O}'$ が分かりました。

同様に、(ii)から $\mathcal{O}'\subset \mathcal{O}$ が従い、$\mathcal{O} = \mathcal{O}'$ です。

(1) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) 近傍系は基本近傍系なので、命題2.1.22より直ちに従います。

$\mathcal{O}$ を部分集合 $U\subset X$ であって次の条件(C)を満たすもの全体からなる集合族として定めます。

以下のことを順に示せばよいです。

(step 1) $\varnothing\in \mathcal{O}$ は自明です。$X\in \mathcal{O}$ を示します。$x\in X$ とします。(i)の $\mathcal{U}_{x}\neq \varnothing$ よりその元 $U'$ を取ることができますが、明らかに $U'\subset X$ です。よって、$X$ は条件(C)を満たすので $X\in \mathcal{O}$ です。

(step 2) 部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取り、$x\in \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U$ とします。$U_{x}\in \mathcal{U}$ であって $x\in U_{x}$ を満たすものを取るとき、この $U_{x}$ は条件(C)を満たすので $U'\in \mathcal{U}_{x}$ かつ $U'\subset U_{x}$ を満たすものが存在します。この $U'$ に対して $U'\in \mathcal{U}_{x}$ かつ $U'\subset \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U$ が成立しています。よって、$\bigcup_{U\in \mathcal{U}}U$ は条件(C)を満たし $\bigcup_{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。

(step 3) 有限部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取り、$x\in \bigcap_{U\in \mathcal{U}} U$ とします。各 $U\in \mathcal{U}$ が条件(C)を満たすことから、それぞれに対して $V_{U}\in \mathcal{U}_{x}$ であって $V_{U}\subset U$ を満たすものを取ります。$\{V_{U}\mid U\in \mathcal{U}\}$ は $\mathcal{U}_{x}$ の有限部分集合なので(iv)より $\bigcap_{U\in\mathcal{U}}V_{U}\in \mathcal{U}_{x}$ です。また、明らかに $\bigcap_{U\in\mathcal{U}}V_{U}\subset \bigcap_{U\in\mathcal{U}}U$ を満たします。よって、$\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U$ は条件(C)を満たし $\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。

(step 4) $V\in \mathcal{V}_{x}$ とします。近傍の定義より $x\in \Int V\in \mathcal{O}$ であり、$\Int V$ が条件(C)を満たすことから $V'\in \mathcal{U}_{x}$ かつ $V'\subset \Int V$ を満たす $V'$ が存在します。この $V'$ に対して(iii)を使用し $V\in \mathcal{U}_{x}$ が従います。

(step 5) $U\in \mathcal{U}_{x}$ とします。(v)により $V\in \mathcal{U}_{x}$ であって任意の $y\in V$ に対して $U\in \mathcal{U}_{y}$ となるものを取ります。この $V$ が $V\subset U$ を満たす $x$ の開近傍であることを示します。

まず $V\subset U$ であることは、$y\in V$ に対して $U\in \mathcal{U}_{y}$ であることと(ii)より $y\in U$ なので従います。また、$x\in V$ であることも同じく $V\in \mathcal{U}_{x}$ と(ii)から分かります。

後は $V\in \mathcal{O}$ であること、つまり、条件(C)を満たすことを示せばよいです。$y\in V$ とします。(v)により $V'\in \mathcal{U}_{y}$ であって任意の $z\in V'$ に対して $V\in \mathcal{U}_{z}$ を満たすものを取ります。(ii)より $y\in V'$ なので、$z = y$ として $V\in \mathcal{U}_{y}$ が従います。$V\subset V$ は自明です。よって、$V$ は条件(C)を満たします。

(step 6) 系2.1.23より明らかです。

(1) $\varnothing, X\in \mathcal{O}$ は明らかです。部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ を取るとき、各 $\lambda\in \Lambda$ に対して $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}_{\lambda}$ であり、$\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U\in \mathcal{O}_{\lambda}$ となるので $\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ です。有限部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ に対して $\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ であることも同様です。

(2) 明らかです。

命題2.1.27より明らかです。

$\mathcal{O}(\mathcal{A})$ の定義から明らかに $\mathcal{O}(\mathcal{A})\subset \mathcal{O}'$ です。

まず、$\mathcal{O}$ が位相を定めていることを示します。$\varnothing\in \mathcal{O}$ は $\varnothing\subset \mathcal{A}'$ に対して和を取ればよく、$X\in \mathcal{O}$ は $\varnothing\subset \mathcal{A}$ に対して共通部分を取ればよいです。部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{O}$ に対して $\bigcup_{U\in \mathcal{U}}U\in \mathcal{O}$ は明らかです。

$U_{1}, U_{2}\in \mathcal{O}$ を取り、$U_{1}\cap U_{2}\in \mathcal{O}$ を示します。各 $U_{i}$ に対して部分集合 $\mathcal{V}'_{i}\subset \mathcal{A}'$ を $U_{i} = \bigcup_{V'\in\mathcal{V}'_{i}}V'$ を満たすように取ります。このとき、\[U_{1}\cap U_{2} = \left(\bigcup_{V'\in\mathcal{V}'_{1}}V'\right)\cap \left(\bigcup_{V'\in\mathcal{V}'_{2}}V'\right) = \bigcup_{(V'_{1}, V'_{2})\in \mathcal{V}'_{1}\times \mathcal{V}'_{2}}(V'_{1}\cap V'_{2})\]です。$V'_{1}\cap V'_{2}$ は $V'_{1}, V'_{2}\in \mathcal{A}'$ から直ちに $\mathcal{A}'$ の元であることが分かり、$U_{1}\cap U_{2}\in \mathcal{O}$ です。以上により $\mathcal{O}$ は $X$ の位相を定めます。

$\mathcal{O}(\mathcal{A})\subset \mathcal{O}$ は $\mathcal{A}\subset \mathcal{O}$ と生成位相の最小性から従います。

$\mathcal{O}\subset \mathcal{O}(\mathcal{A})$ を示します。$U\in \mathcal{O}$ とします。$\mathcal{O}$ の定義より、部分集合 $\mathcal{V}'\subset \mathcal{A}'$ であって $U = \bigcup_{V'\in\mathcal{V}'}V'$ となるものが取れます。そして、各 $V'\in \mathcal{V}'$ に対してある有限部分集合 $\mathcal{V}_{V'}\subset \mathcal{A}$ が存在して $V' = \bigcap_{V\in \mathcal{V}_{V'}}V$ です。$\mathcal{A}\subset \mathcal{O}(\mathcal{A})$ なので、各 $V'\subset \mathcal{V}'$ に対して $V' = \bigcap_{V\in\mathcal{V}_{V'}}V\in \mathcal{O}(\mathcal{A})$ であり、$U = \bigcup_{V'\in\mathcal{V}'}V'\in \mathcal{O}(\mathcal{A})$ です。

以上により $\mathcal{O} = \mathcal{O}(\mathcal{A})$ です。

(1) $U\in \mathcal{O}$ とします。各点 $x\in U$ に対して $U_{x}\subset U$ となる $U_{x}\in \mathcal{V}_{x}$ を取れば、もちろん常に $U_{x}\in \mathcal{A}$ であり、$U = \bigcup_{x\in U}U_{x}$ です。よって、$\mathcal{A}$ は開基です。

(2) $x\in X$ とその近傍 $U_{x}$ を取ります。ある部分集合 $\mathcal{U}\subset \mathcal{A}$ であって $\Int U_{x} = \bigcup_{U\in\mathcal{U}}U$ となるものが取れます。$x\in U$ となる $U\in \mathcal{U}$ を取ればそれは $\mathcal{V}_{x}$ に属し、$U\subset U_{x}$ を満たします。よって、$\mathcal{V}_{x}$ は基本開近傍系です。

(1) 命題2.1.35より、各点 $x\in X$ に対して\[\mathcal{V}_{i, x} := \{A\in \mathcal{A}_{i}\mid x\in A\}\]は $\mathcal{O}_{i}$ に関する $x$ の基本開近傍系です。任意の $x\in X$ と $A\in \mathcal{V}_{1,x}$ に対して $A'\subset A$ となる $A'\subset \mathcal{V}_{2,x}$ が存在するので、命題2.1.22の証明より $\mathcal{O}_{1}\subset \mathcal{O}_{2}$ です。

(2) 命題2.1.32の要領で開基 $\mathcal{A}'_{1}, \mathcal{A}'_{2}$ を構成すれば、これは(1)の仮定を満たします。よって、$\mathcal{O}_{1}\subset \mathcal{O}_{2}$ です。

$\varnothing, X\in \mathcal{O}$ より $\varnothing \cap A = \varnothing$, $X\cap A = A$ は $\mathcal{O}_{A}$ に属します。

$\mathcal{V}$ を $\mathcal{O}_{A}$ の部分集合とします。各 $V\in \mathcal{V}$ に対して $V = U\cap A$ となる $U\in \mathcal{O}$ を固定し、$U_{V}$ と表すことにします。このとき、\[\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V = \bigcup_{V\in\mathcal{V}}A\cap U_{V} = A\cap \bigcup_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\]であり、$\bigcup_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\in \mathcal{O}$ より $\bigcup_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{A}$ です。

同様に有限部分集合 $\mathcal{V}\subset \mathcal{O}_{A}$ に対して\[\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V = \bigcap_{V\in\mathcal{V}}A\cap U_{V} = A\cap \bigcap_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\]であり、$\bigcap_{V\in\mathcal{V}}U_{V}\in \mathcal{O}$ より $\bigcap_{V\in\mathcal{V}}V\in \mathcal{O}_{A}$ です。

$V\in \mathcal{O}_{B}$ に対してある $X$ の開集合 $U$ であって $V = B\cap U$ となるものが取れますが、$B\cap U = B\cap (A\cap U)$ であり、$A\cap U$ が $A$ の開集合となるので $V\in \mathcal{O}_{B}'$ です。よって、$\mathcal{O}_{B}\subset \mathcal{O}_{B}'$ です。

$V\in \mathcal{O}_{B}'$ とします。ある $A$ の開集合 $U'$ であって $V = B\cap U'$ となるものが取れますが、この $U'$ に対して $X$ の開集合 $U$ であって $U' = A\cap U$ となるものを取ることができ、よって、$V = B\cap (A\cap U) = B\cap U$ であり $V\in \mathcal {O}_{B}$ です。よって、逆の包含関係 $\mathcal{O}_{B}'\subset \mathcal{O}_{B}$ も示され $\mathcal{O}_{B} = \mathcal{O}_{B}'$ です。

定義2.1.39の $\mathcal{A}$ を用いて $\mathcal{A'}$ は\[\mathcal{A}' = \left\{\bigcap_{V\in \mathcal{V}}V\relmid \mathcal{V}\subset \mathcal{A}, \ \#\mathcal{V} < +\infty\right\}\]と表せますが、これは命題2.1.32より開基です。

(1) まず、$\mathcal{V}_{(x, y)}$ の各元が直積空間の開集合であることは明らかです。$A\subset X\times Y$ を $(x, y)$ の近傍とします。ある $x\in X$ の開近傍 $U'$ と $y\in Y$ の開近傍 $V'$ が存在して $U'\times V'\subset A$ となります。$U\subset U'$ となる $U\in \mathcal{V}_{X, x}$ と $V\subset V'$ となる $V\in \mathcal{V}_{Y, y}$ を取れば $U\times V\in \mathcal{V}_{(x, y)}$ かつ $U\times V\subset A$ です。よって、$\mathcal{V}_{(x, y)}$ は $(x, y)$ の基本開近傍系です。

(2) 命題2.1.35と(1)より明らかです。

$z = (x, y)\in \R^{n + m}$ における基本開近傍系を適当に取り、それを比べます。

$x\in \R^{n}$ の基本開近傍系 $\mathcal{V}_{x} := \{O_{r, \R^{n}}(x)\mid r\in \R, \ r > 0\}$ と $y\in \R^{m}$ の基本開近傍系 $\mathcal{V}_{y} := \{O_{r, \R^{m}}(y)\mid r\in \R, \ r > 0\}$ を取ります。補題2.1.42より\[\mathcal{V}'_{z} := \{O_{s}(x)\times O_{t}(y)\mid s, t\in \R, \ s, t > 0\}\]が直積位相 $\mathcal{E}'$ に関する $z$ の基本開近傍系です$s = t$ となるもののみを集めても基本開近傍系になりますが、今回はこれで。。

$n + m$ 次元Euclid空間 $(\R^{n + m}, \mathcal{E}^{n + m})$ における $z\in \R^{n + m}$ の基本近傍系 $\mathcal{V}_{z} := \{O_{r, \R^{n + m}}(z)\mid r\in \R, \ r > 0\}$ を考えるとき、常に\[O_{r/2, \R^{n}}(x)\times O_{r/2, \R^{m}}(y)\subset O_{r, \R^{n + m}}(z),\]\[O_{\min\{s, t\}, \R^{n + m}}(z)\subset O_{s, \R^{n}}(x)\times O_{t, \R^{m}}(y)\]が成立するので命題2.1.22より $\mathcal{E}' = \mathcal{E}^{n + m}$ です。

(1) $U, V\in \mathcal{\mathcal{A}}$ とすると、$U\in \mathcal{O}_{\lambda}$, $V\in \mathcal{O}_{\mu}$ となる $\lambda,\mu\in \Lambda$ が一意に存在します。$\lambda = \mu$ ならば $U\cap V\in \mathcal{O}_{\lambda}\subset \mathcal{A}$ であり、$\lambda\neq \mu$ ならば $U\cap V = \varnothing\in \mathcal{A}$ です。よって、\[\mathcal{A}' := \left\{\bigcap_{V\in \mathcal{V}}V\relmid \mathcal{V}\subset \mathcal{A}, \ \#\mathcal{V} < +\infty\right\}\]は $\mathcal{A}$ に一致し、命題2.1.32より $\mathcal{A}$ は開基です。

(2) (1)より明らかです。

(3) 明らかです。