$\Img\beta\cong D/\Img\alpha\cong E$ と $\Img\gamma\cong \Ker\alpha\cong \Img i\cong A$ から分かります。

次の完全図式と補題1.3.1から従います。

まず、チェイン複体の短完全系列\[0\to B_{\bullet}(C_{\bullet})\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\to 0\]が得られますが、これはhomology群の自由分解でもあり、この $\Tor$ 完全系列が横列の完全系列を与えます。

また、チェイン複体の短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}\xrightarrow{\partial} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})\to 0\]が存在しますが、$C_{\bullet}$ が自由であったことと係数環 $R$ がPIDであったことよりその部分チェイン複体 $B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})$ も自由であり、よって、$R$ 加群の短完全系列として分解し、短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M\to C_{\bullet}\otimes M\xrightarrow{\partial} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})\otimes M\to 0\]を得ます。このhomology完全系列が三角形部分の完全系列を与えます。ただし、$H_{\bullet}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}); M) = Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M$ と $H_{\bullet}(B_{\bullet}(C_{\bullet}); M) = B_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M$ には注意。

$H_{\bullet}(C_{\bullet}; M)\to B_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M$ が次数を $1$ つ下げていることに注意すれば補題1.3.1から短完全系列\[0\to H_{n}(C_{\bullet})\otimes M\to H_{n}(C_{\bullet}; M)\to\Tor_{1}^{R}(H_{n - 1}(C_{\bullet}), M)\to 0\]を得ます。

これが分解することを確かめます。まず、包含写像 $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}$ の左逆準同型 $r : C_{\bullet}\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})$ を固定し、$r\otimes \Id_{M}$ と $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M$ との合成として準同型 $\tilde{r} : C_{\bullet}\otimes M\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes M$ を構成します。図式

の外側が可換なので $\tilde{r}$ はチェイン写像になり、homology群の間の準同型\[H_{n}(C_{\bullet}; M)\to H_{n}(C_{\bullet})\otimes M\]を誘導します。これが短完全系列を構成する準同型 $H_{n}(C_{\bullet})\otimes M\to H_{n}(C_{\bullet}; M)$ の左逆準同型になっているので分解します。

次の完全図式と補題1.3.1から従います。homology群についての普遍係数定理 $($定理1.3.2$)$ の証明とほぼ同じです。

短完全系列\[0\to B_{\bullet}(C_{\bullet})\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\to 0\]が自由分解なので、この $\Ext$ 完全系列が横列の完全系列を与えます。

また、短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}\xrightarrow{\partial} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})\to 0\]が分裂することから短完全系列\[0\to \Hom_{R}(B_{\bullet - 1}(C_{\bullet}), M)\to \Hom_{R}(C_{\bullet}, M)\to \Hom_{R}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}), M)\to 0\]が得られ、このcohomology完全系列が三角形部分の完全系列を与えます。ただし、$H^{\bullet}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}); M)\cong\Hom_{R}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}), M)$ と $H^{\bullet}(B_{\bullet}(C_{\bullet}); M)\cong\Hom_{R}(B_{\bullet}(C_{\bullet}), M)$ には注意。

あとは補題1.3.1から短完全系列\[0\to\Ext_{R}^{1}(H_{n-1}(C_{\bullet}), M)\to H^{n}(C_{\bullet}; M)\to\Hom_{R}(H_{n}(C_{\bullet}), M)\to 0\]が得られます。

これが分解することは、包含写像 $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}$ の左逆準同型 $r : C_{\bullet}\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})$ を固定し、$r^{*_{M}} : \Hom_{R}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}); M)\to \Hom_{R}(C_{\bullet}, M)$ と射影 $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to H_{\bullet}(C_{\bullet})$ の双対準同型 $\Hom_{R}(H_{\bullet}(C_{\bullet}); M)\to \Hom_{R}(Z_{\bullet}(C_{\bullet}), M)$ の合成として定まるチェイン写像 $\tilde{r} : \Hom_{R}(H_{\bullet}(C_{\bullet}); M)\to \Hom_{R}(C_{\bullet}, M)$ を考えるとき、このcohomology群の誘導準同型が短完全系列を構成する準同型 $H^{n}(C_{\bullet}; M)\to\Hom_{R}(H_{n}(C_{\bullet}), M)$ の右逆準同型を与えているのでよいです。

命題1.2.26より $\Tor_{1}^{\Z}(H_{n - 1}(C_{\bullet}), \K) = 0$ と $\Ext_{\Z}^{1}(H_{n - 1}(C_{\bullet}), \K) = 0$ です。

係数については無視して示します。$[d]\in H^{n}(C_{\bullet}; M_{1})$ と $[c]\in H_{n}(C_{\bullet}; M_{2})$ に対して $\langle[d], [c]\rangle = d(c)$ と定めればよいです。well-definedであることは $\delta d\in B^{n}, c\in Z_{n}$ に対して $\delta d(c) = d(\partial c) = 0$ であることと、$d\in Z^{n}, \partial c\in B_{n}$ に対しても $d(\partial c) = \delta d(c) = 0$ であることからよいです。

自明ですが一応書いておくと、$c\in C_{p}$, $c'\in C'_{q}$ に対して\begin{eqnarray*}(\partial\circ (f\otimes f'))(c\otimes c') & = & (\partial f(c)) \otimes f'(c') + (-1)^{p} f(c)\otimes (\partial f'(c')) \\& = & (f\otimes f')((\partial c)\otimes c' + (-1)^{p} c\otimes (\partial c')) = ((f\otimes f')\circ \partial)(c\otimes c')\end{eqnarray*}なのでチェイン写像が定まっています。自然性も明らか。

$\varphi : C_{\bullet}\to D_{\bullet + 1}$ を $f$ を $g$ につなぐchain homotopyとし、 $\psi : C'_{\bullet}\to D'_{\bullet + 1}$ を $f'$ を $g'$ につなぐchain homotopyとします。準同型 $\xi_{n} : \sum_{p + q = n}C_{p}\otimes C'_{q}\to \sum_{p + q = n + 1}D_{p}\otimes D'_{q}$ を\[\xi_{n} = \sum_{p + q = n}(\varphi_{p}\otimes g'_{q} + (-1)^{p}f_{p}\otimes \psi_{q})\]により定め、この $\xi$ が $f\otimes f'$ を $g\otimes g'$ につなぐchain homotopyであることを示します。

$\partial_{n + 1}\xi_{n}$ と $\xi_{n - 1}\partial_{n}$ を計算すると\begin{eqnarray*}\partial_{n + 1}\xi_{n} & = & \partial_{n + 1} \left(\sum_{p + q = n}(\varphi_{p}\otimes g'_{q} + (-1)^{p}f_{p}\otimes \psi_{q})\right) \\& = & \sum_{p + q = n}((\partial_{p + 1}\varphi_{p})\otimes g'_{q} + (-1)^{p + 1}\varphi_{p}\otimes (\partial_{q}g'_{q}) + (-1)^{p}(\partial_{p}f_{p})\otimes \psi_{q} + (-1)^{2p}f_{p}\otimes (\partial_{q + 1}\psi_{q})) \\& = & \sum_{p + q = n}((g_{p} - f_{p} - \varphi_{p - 1}\partial_{p})\otimes g'_{q} + f_{p}\otimes (g'_{q} - f'_{q} - \psi_{q - 1}\partial_{q})) \\&& + \sum_{p + q = n}((-1)^{p + 1}\varphi_{p}\otimes (g'_{q - 1}\partial_{q}) + (-1)^{p}(f_{p - 1}\partial_{p})\otimes \psi_{q}) \\& = & \sum_{p + q = n}((g_{p} - f_{p})\otimes g'_{q} + f_{p}\otimes (g'_{q} - f'_{q})) \\&& + \sum_{p + q = n}({} - (\varphi_{p - 1}\partial_{p})\otimes g'_{q} + (-1)^{p + 1}\varphi_{p}\otimes (g'_{q - 1}\partial_{q}) + (-1)^{p}(f_{p - 1}\partial_{p})\otimes \psi_{q} - f_{p}\otimes(\psi_{q - 1}\partial_{q})) \\\xi_{n - 1}\partial_{n} & = & \xi_{n - 1}\left(\sum_{p + q = n}(\partial_{p}\otimes 1'_{q} + (-1)^{p}1_{p}\otimes \partial_{q})\right) \\& = & \sum_{p + q = n}((\varphi_{p - 1}\partial_{p})\otimes g'_{q} + (-1)^{p - 1}(f_{p - 1}\partial_{p})\otimes \psi_{q} + (-1)^{p}\varphi_{p}\otimes (g'_{q - 1}\partial_{q}) + (-1)^{2p}f_{p}\otimes (\psi_{q - 1}\partial_{q})) \\& = & \sum_{p + q = n}((\varphi_{p - 1}\partial_{p})\otimes g'_{q} + (-1)^{p}\varphi_{p}\otimes (g'_{q - 1}\partial_{q}) + (-1)^{p - 1}(f_{p - 1}\partial_{p})\otimes \psi_{q} + f_{p}\otimes (\psi_{q - 1}\partial_{q}))\end{eqnarray*}なので合成の記号は省略。$\partial_{n + 1}\xi_{n}$ について、$1$ 行目と $2$ 行目は定義に従って崩しているだけ、$3$ 行目は $\varphi, \psi$ がchain homotopyであったことの使用と並べ換え、残りは整理。$\xi_{n - 1}\partial_{n}$ については定義に従って崩して整理しただけ。、これをまとめて\[\partial_{n + 1}\xi_{n} + \xi_{n - 1}\partial_{n} = \sum_{p + q = n}(g_{p}\otimes g'_{q} - f_{p}\otimes f'_{q}) = (g\otimes g')_{n} - (f\otimes f')_{n}\]が従います。

homology群については $[c]\times[c'] = [c\otimes c']$ とし、cohomology群については $[d]\times[d'] = [c\otimes c'\mapsto d(c)\cdot d'(c')]$ とすればよいです。係数込みで考えても一緒です。

普遍係数定理 $($定理1.3.2$)$ の証明とほぼ同じで、次の完全図式と補題1.3.1から従います。

まず、短完全系列\[0\to B_{\bullet}(C_{\bullet})\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\to 0\]が自由分解を与えていることに注意し、$H_{\bullet}(C'_{\bullet})$ に関する $\Tor$ 完全系列を取れば横の完全系列が従います。

また、短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}\xrightarrow{\partial} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})\to 0\]が分解することから、短完全系列\[0\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes C'_{\bullet}\to C_{\bullet}\otimes C'_{\bullet}\xrightarrow{\partial} B_{\bullet - 1}(C_{\bullet})\otimes C'_{\bullet}\to 0\]が定まり、このhomology完全系列により図式の三角形部分の完全性が従います。$Z_{\bullet}(C_{\bullet})$ と $B_{\bullet}(C_{\bullet})$ は自由より $H_{\bullet}(Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes C'_{\bullet})\cong Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes H_{\bullet}(C'_{\bullet})$ と $H_{\bullet}(B_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes C'_{\bullet})\cong B_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes H_{\bullet}(C'_{\bullet})$ が成立することには注意。

短完全系列が分解することについては、$C_{\bullet}, C'_{\bullet}$ が自由であることに注意し、包含写像 $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\to C_{\bullet}$, $Z_{\bullet}(C'_{\bullet})\to C'_{\bullet}$ の左逆準同型 $r : C_{\bullet}\to Z_{\bullet}(C_{\bullet})$, $r' : C'_{\bullet}\to Z_{\bullet}(C'_{\bullet})$ を固定し、$r\otimes r'$ と $Z_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes Z_{\bullet}(C'_{\bullet}) \to H_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes H_{\bullet}(C'_{\bullet})$ との合成としてチェイン写像 $\tilde{r} : C_{\bullet}\otimes C'_{\bullet}\to H_{\bullet}(C_{\bullet})\otimes H_{\bullet}(C'_{\bullet})$ を構成し、そのhomology群の誘導準同型を考えればよいです。