(1) ⇒ (2) $A = F_{R}(P)$, $B = P$, $i : A\to B$ を射影、$j : P\to B$ を恒等写像として $A = \Ker i\oplus k(P)$ を得るので従います。

(2) ⇒ (1) $P\oplus Q$ が自由加群であるとし、その生成系 $S\subset P\oplus Q$ を固定します。全射準同型 $i : A\to B$ と準同型 $j : P\to B$ に対し、射影 $p : P\oplus Q\to P$ を取り、各 $s\in S$ に対して $i(a) = j(p(s))$ となる $a$ を選ぶことで準同型 $k' : P\oplus Q\to A$ を構成します。$k'$ の $P\oplus \{0\}\subset P\oplus Q$ への制限 $k : P\to A$ が欲しかった $j$ のリフトです。

(1) ⇔ (3) 一般の $R$ 加群 $P'$ に対して関手 $\Hom(P', \cdot)$ が左完全であることに注意。あとは、射影加群の定義における準同型 $k : P\to A$ の存在が関手 $\Hom(P, \cdot)$ の右完全性と同値であることから分かります。

(1) ⇒ (2) $A = M$, $B = I$ とし、包含写像 $i : I\hookrightarrow M$ と恒等写像 $j : I\to I$ を考えることで $i$ の左逆写像 $k : M\to I$ が得られ、このとき、制限 $\Ker k\to M/I$ は同型です。この逆写像が $M\to M/I$ の右逆写像であり、短完全系列は分解します。

(2) ⇒ (3) 背理法より示します。$x\in I$, $r\in R\setminus\{0\}$ であって $x =ra$ となる $a\in I$ が存在しないもを取ります。加群 $M = (I\oplus R)/\langle(x, -r)\rangle$ について、$I\hookrightarrow M : x'\mapsto[(x', 0)]$ を包含写像 $($単射準同型$)$ として取ることができ、また、構成より $[(x, 0)] = r[(0, 1)]$ です。短完全系列\[0\to I\to M\to M/I\to 0\]は分解し、射影 $j : M\to M/I$ の右逆写像 $s : M/I\to M$ を与えますが、それによる直和分解 $M = I\oplus \Img s$ に関する $[(0, 1)]$ の $I$ 成分 $a\in I$ は $x = ra$ を満たし、$x\in I$ と $r\in R\setminus \{0\}$ の取り方に矛盾します。

(3) ⇒ (1) 単射準同型 $i : B\to A$ による $B$ と $i(B)\subset A$ の同一視のもとで $j$ が部分加群 $A'\subset A$ 上の準同型に拡張したとしたとき、任意の $a\in A\setminus A'$ に対して $j$ が $A' + \langle a\rangle$ に拡張します$R$ がPIDなので $\{r'\in R\mid r'a\in A'\} = R{}^{\exists}r$ であり、$I$ の可除性を用いて $j(ra) = r\cdot j(a)$ となるように $j(a)$ を取ることで拡張できます。。このこととZornの補題から示されます。

(1) ⇔ (4) 一般の $R$ 加群 $I'$ に対して反変関手 $\Hom(\cdot, I')$ が左完全であること、入射加群の定義における準同型 $k : A\to I$ の存在が関手 $\Hom(\cdot, I)$ の右完全性と同値であることから分かります。

$M = \Z^{\oplus\lambda}/K$ と表すと $M$ は可除 $\Z$ 加群 $D := \Q^{\oplus\lambda}/K$ の部分 $\Z$ 加群とみなせます。$R^{*_{D}} = \Hom_{\Z}(R, D)$ とすればこれは入射 $\Z$ 加群であり、$(r\cdot f)(r') = f(rr')$ により $R$ 加群です。また、$M\to R^{*_{D}}$ を $m\mapsto(r\mapsto(rm))$ と定めることで $M$ は $R^{*_{D}}$ の部分 $R$ 加群になります。

あとは $R^{*_{D}}$ が入射 $R$ 加群であることを示せばよいです。単射 $R$ 準同型 $i : B\hookrightarrow A$ と $R$ 準同型 $j : B\to R^{*_{D}}$ を取ります。$D$ が入射 $\Z$ 加群なので全射 $R$ 準同型 $i^{*_{D}} : A^{*_{D}}\to B^{*_{D}}$ が得られます$\Z$ 準同型になっていること、$A^{*_{D}}$, $B^{*_{D}}$ が $R$ 加群であることに注意し、これが $R$ 準同型であることを確認すればよいです。。$R$ 自身が射影 $R$ 加群なので $j^{*_{D}}\circ \mathrm{incl.} : R\to R^{*_{D}*_{D}}\to B^{*_{D}}$ は $R$ 準同型 $k' : R\to A^{*_{D}}$ にリフトします。下図 $($実線部分は可換$)$ を参考に $k = k'^{*_{D}}\circ \mathrm{incl.} : A\to A^{*_{D}*_{D}}\to R^{*_{D}}$ とすれば $j = k\circ i$ です。

自明です。

帰納的に構成できる。射影分解については自明です。入射分解については命題1.2.9を使えばよいです。

(1) PID上の自由加群の部分加群は自由であることから。

(2) PID上の可除加群の剰余がまた可除であることから。

$f$ の構成は帰納法。$P_{-1} = H_{0}(P_{\bullet})$, $C_{-1} = H_{0}(C_{\bullet})$ とすることで各チェイン複体を延長し $f_{-1}$ を与えられた準同型 $\varphi$ としておきます。$f_{n} : P_{n}\to C_{n}$ まで得られているとき、$P_{n + 1}\to P_{n}\to C_{n}\to C_{n- 1}$ が零写像であることと $C_{\bullet}$ の完全性より、\[\Img(P_{n + 1}\to C_{n})\subset \Ker(C_{n}\to C_{n - 1}) = \Img(C_{n + 1}\to C_{n})\]であり、$P_{n + 1}$ が射影的であることから $f_{n + 1} : P_{n + 1}\to C_{n + 1}$ が得られます。

chain homotopy $\psi$ の構成も帰納法。$f, g$ を条件を満たすチェイン写像として $\psi_{n - 1}$ まで構成できているとします。このとき、\begin{eqnarray*}&& \partial_{Cn}\circ(f_{n} - g_{n} - \psi_{n - 1}\circ\partial_{Pn}) \\& = & \partial_{Cn}\circ(f_{n} - g_{n}) - (\partial_{Cn}\circ\psi_{n - 1})\circ\partial_{Pn} \\& = & \partial_{Cn}\circ(f_{n} - g_{n}) - (f_{n - 1} - g_{n - 1} - \psi_{n - 2}\circ\partial_{Pn-1})\circ\partial_{Pn} \\& = & 0\end{eqnarray*}であり、$\Img(f_{n} - g_{n} - \psi_{n - 1}\circ\partial_{Pn})\subset\Ker\partial_{C_{n}} = \Img\partial_{Cn+1}$ となるので\[\partial_{C_{n + 1}}\circ \psi_{n} = f_{n} - g_{n} - \psi_{n - 1}\circ\partial_{Pn}\]を満たす $\psi_{n} : P_{n}\to C_{n + 1}$ が取れます。

$M$ の射影分解 $\mathcal{P}, \mathcal{P}'$ が与えられたとき、これらは射影チェイン複体であると同時に非輪状チェイン複体でもあるのでチェイン写像 $f : \mathcal{P}\to \mathcal{P}'$, $g : \mathcal{P}'\to \mathcal{P}$ であって $H_{0}\cong M$ において恒等写像を誘導するものが取れます。定理1.2.16のチェイン写像の一意性より $g\circ f \sim \Id_{\mathcal{P}}$, $f\circ g \sim \Id_{\mathcal{P}'}$ なので $\mathcal{P}$ と $\mathcal{P}'$ はchain homotopy同値です。

$P_{A, -1} = A$, $P_{B, -1} = B$, $P_{C, -1} = C$, $i_{-1} = i$, $j_{-1} = j$ としておき、帰納的に構成します。$P_{B, n}$, $\partial_{B_{n}}$, $i_{n}$, $j_{n}$ まで構成されていて系列 $\mathcal{P}_{B}$ は $P_{B, n - 1}$ において完全であり、さらに、系列\[0\to\Ker\partial_{A, n}\to\Ker\partial_{B, n}\to\Ker\partial_{C, n}\to0\]が完全であるとします。$P_{B, n + 1} = P_{A, n + 1}\oplus P_{C, n + 1}$ とし、$i_{n + 1}$ は明らかな包含写像、$j_{n + 1}$ は射影とします。まず、$\partial_{B, n + 1}$ の $P_{A, n + 1}$ 成分は図式を可換にするように $\partial_{B, n + 1} = i_{n}\circ \partial_{A, n + 1}$ に取ります。

続いて、$\partial_{B, n + 1}$ の $P_{C, n + 1}$ 成分は、仮定の $\Ker\partial_{B, n}\to \Ker\partial_{C, n}$ の全射性を用いて、$P_{C, n + 1}\to P_{C, n}$ のリフト $P_{C, n + 1}\to \Ker\partial_{B, n}$ に取るとします。このとき、$\partial_{B, n + 1} : P_{B, n + 1}\to \Ker\partial_{B, n}$ が全射なことは明らかであり系列 $\mathcal{P}_{B}$ の $P_{B, n}$ における完全性も問題ないため、これで $P_{B, n + 1}$ の構成は完了しています。

帰納法を回すため、系列\[0\to \Ker\partial_{A, n + 1}\to \Ker\partial_{B, n + 1}\to \Ker\partial_{C, n + 1}\to 0\]の完全性を示す必要がありますが、これはチェイン複体\[Q_{A} : 0\to P_{A, n + 1}\to \Ker \partial_{A, n}\to 0,\]\[Q_{B} : 0\to P_{B, n + 1}\to \Ker \partial_{B, n}\to 0,\]\[Q_{C} : 0\to P_{C, n + 1}\to \Ker \partial_{C, n}\to 0\]の間の短完全系列 $0\to Q_{A}\to Q_{B}\to Q_{C}\to 0$ のhomology完全系列を取ることで直ちに分かります。

homology代数学の基本定理 $($定理1.2.16$)$ から分かります。

$\Tor$ 関手の方についてのみ示します。$($$\Ext$ 関手に関しても同様です。$)$

(1) $M$ の射影分解 $\mathcal{P}_{M}$ を取ります。テンソル積の右完全性から\[P_{1}\otimes N\to P_{0}\otimes N \to M\otimes N\to 0\]が完全なので、$\Tor_{0}^{R}(M, N) = H_{0}(\mathcal{P}_{M}; N) = M\otimes N$ です。

(2) 命題1.2.18から自由分解の間に短完全系列 $0\to \mathcal{F}_{A}\to \mathcal{F}_{B}\to \mathcal{F}_{C}\to 0$ が構成でき、$N$ とのテンソル積各次数で分解することから完全性は保たれます。を取った後にhomology完全系列を考えれば欲しかった完全系列を与えます。自然性については省略。

(3) 明らか。

逆に(1)から(3)の条件を満たす関手 $\Tor'$ が与えられたとき、これが $\Tor$ 関手に自然同値であることを示します。まず、(1)から ${\Tor'}_{0}^{R}$ と $\Tor_{0}^{R}$ の間の自然同値変換 $\rho_{0}$ が明らかに定まります。以下、帰納的に ${\Tor'}_{n}^{R}$ と $\Tor_{n}^{R}$ の間の自然同値変換 $\rho_{n}$ を構成して行きます。$n - 1$ までよいとします。$M, N$ を $R$ 加群、$F_{R}(M)$ を $M$ を生成系とする自由加群、$\varphi : F_{R}(M)\to M$ を射影とします。$n\geq 1$ と(3)から ${\Tor'}_{n}^{R}(F_{R}(M), N) = \Tor_{n}^{R}(F_{R}(M), N) = 0$ であり、さらに、短完全系列\[0\to \Ker \varphi\to F_{R}(M)\xrightarrow{\varphi} M\to 0\]に対して(2)を適用することで次の可換図式が得られます。

横の列が完全なので図式を可換にするような準同型 $\rho_{n} : {\Tor'}_{n}^{R}(M, N)\to \Tor_{n}^{R}(M, N)$ が存在し図式中の記号を用いて、$\iota_{*}\circ \rho_{n - 1}\circ \partial'_{*} = \rho_{n - 1}\circ \iota'_{*}\circ \partial'_{*} = 0$ であることから $\Img(\rho_{n}\circ \partial'_{*})\subset \Ker\iota_{*} = \Img \partial_{*}$ であり、$\partial_{*}$ の単射性から目的の準同型 $\rho_{n}$ を $\rho_{n - 1}\circ \partial'_{*}$ のリフトとして取れます。、$\rho_{n - 1}$ が同型であることと5項補題よりその $\rho_{n}$ が同型であることも分かります。

あとはこのように構成した $\rho_{n}$ の自然性を示せばよいです。上記に加えて、$R$ 加群 $M', N'$ と $M'$ を生成系とする自由化群 $F_{R}(M')$ と射影 $\varphi' : F_{R}(M')\to M'$ と準同型 $\xi : M\to M'$, $\eta : N\to N'$ を取ります。また、$\tilde{\xi} : \Ker\varphi\to \Ker\varphi'$ を $\xi$ の誘導する準同型 $F_{R}(M)\to F_{R}(M')$ の制限とします。$\Tor', \Tor$ 完全系列の自然性と $\rho_{n - 1}$ の自然性から次の図式の $\rho_{n}$ を含まない $3$ つの四角の可換性が分かり、$\rho_{n}$ の構成からこの $\rho_{n}$ をちょうど $1$ つ含む $2$ つの四角の可換性も分かります。

よって、\[\partial_{*}\circ \rho_{n}\circ {\Tor'}_{n}^{R}(\xi, \eta) = \partial_{*}\circ \Tor_{n}^{R}(\xi, \eta)\circ \rho_{n}\]ですが、$\partial_{*}$ の単射性から $\rho_{n}\circ {\Tor'}_{n}^{R}(\xi, \eta) = \Tor_{n}^{R}(\xi, \eta)\circ \rho_{n}$ であり、$\rho_{n}$ は自然です。

短完全系列 $0\to R\xrightarrow{a\cdot} R\to R/aR\to 0$ から\[0\to \Tor_{1}^{R}(R/aR, M)\to M\xrightarrow{a\cdot} M\to (R/aR)\otimes M\to 0 \]\[0\to \Hom_{R}(R/aR, M)\to M\xrightarrow{a\cdot} M\to \Ext_{R}^{1}(R/aR, M)\to 0\]が得られます。

(1)は自然同値の違いを除いた一意性から従います。(1)以外は明らか。

$\Z$ がPIDなので $n \geq 2$ ではよく、また、$M = \Z$ の場合は明らなのであとは $n = 1$, $M = \Z_{a}$ の場合。命題1.2.23より\[\Tor_{1}^{\Z}(\Z_{a}, \K)\cong \Ker(a\cdot : \K\to \K : x\mapsto ax)\]\[\Ext_{\Z}^{1}(\Z_{a}, \K)\cong \K/a\K\]ですが、$\K$ の標数が $0$ であったことよりこれらは $0$ です。