[S. Eilenberg and S. MacLane, Acyclic Models]をもとに証明します。

次のことを示せばよいです。

(step 1) 仮定より $\partial_{n - 1}f_{n - 1}\partial_{n} = f_{n - 2}\partial_{n - 1}\partial_{n} = 0$ であり、モデル対象 $M\in \mathcal{M}$ と元 $m\in K_{n}(M)$ に対して $f_{n - 1}\partial_{n}m\in L_{n - 1}(M)$ は $L(M)$ の $n - 1$ 次サイクルですが、仮定の $H_{n - 1}(L(M)) = 0$ から $n - 1$ 次バウンダリです。そこで、各 $m\in M$ に対して $\partial_{n}(d(m)) = f_{n - 1}\partial_{n}m$ を満たす $d(m)\in L_{n}(M)$ を選んでおきます。

ここで、自然変換 $\Lambda : \tilde{K}_{n}\to L_{n}$ を各対象 $C\in \ob_{\mathcal{C}}$ に対して準同型\[\Lambda(C) : \tilde{K}_{n}(C)\to L_{n}(C) : (\varphi, m)\mapsto L_{n}(\varphi)d(m)\]を与えることで定めます。実際に自然変換であることは任意の $\psi\in \hom_{\mathcal{C}}(C, D)$ に対して\begin{eqnarray*}L_{n}(\psi)\Lambda(C)(\varphi, m) & = & L_{n}(\psi)L_{n}(\varphi)d(m) = L_{n}(\psi\varphi)d(m) \\& = & \Lambda(D)(\psi\varphi, m) = \Lambda(D)\tilde{K}_{n}(\psi)(\varphi, m)\end{eqnarray*}であるので従います。このとき、\begin{eqnarray*}\partial_{n}\Lambda(C)(\varphi, m) & = & \partial_{n}L_{n}(\varphi)d(m) = L_{n - 1}(\varphi)\partial_{n}(d(m)) \\& = & L_{n - 1}(\varphi)f_{n - 1}\partial_{n}m = f_{n - 1}K_{n - 1}(\varphi)\partial_{n}m = f_{n - 1}\partial_{n}K_{n}(\varphi)m \\& = & f_{n - 1}\partial_{n}\varPhi(C)(\varphi, m),\end{eqnarray*}ただし $\varPhi : \tilde{K}_{n}\to K_{n}$ は表現可能性の定義 $($定義2.3.2$)$ で考えた自然変換、であり、$\partial_{n}\Lambda = f_{n - 1}\partial_{n}\varPhi$ です。

$\varPhi$ の表現 $\varPsi : K_{n}\to \tilde{K}_{n}$ を取り、$f_{n} = \Lambda\varPsi$ により定めます。このとき、\[\partial_{n}f_{n} = \partial_{n}\Lambda\varPsi = f_{n - 1}\partial_{n}\varPhi\varPsi =f_{n - 1}\partial_{n}\]より $f_{n}$ はチェイン写像としての $n$ 次への拡張になっています。

(step 2) 仮定より\begin{eqnarray*}\partial_{n}(g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n}) & = & \partial_{n}g_{n} - \partial_{n}f_{n} - \partial_{n}D_{n - 1}\partial_{n} \\& = & g_{n - 1}\partial_{n} - f_{n - 1}\partial_{n} - (g_{n - 1} - f_{n - 1} - D_{n - 2}\partial_{n - 1})\partial_{n} \\& = & 0\end{eqnarray*}なので、モデル対象 $M\in \mathcal{M}$ と元 $m\in K_{n}(M)$ に対して $(g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})m\in L_{n}(M)$ は $L(M)$ の $n$ 次サイクルですが、仮定の $H_{n}(L(M)) = 0$ から $n$ 次バウンダリです。そこで、各 $m\in M$ に対して $\partial_{n + 1}(e(m)) = (g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})m$ を満たす $e(m)\in L_{n + 1}(M)$ を選んでおきます。

ここで、自然変換 $\Gamma : \tilde{K}_{n}\to L_{n + 1}$ を各対象 $C\in \mathcal{C}$ に対して準同型\[\Gamma(C) : \tilde{K}_{n}(C)\to L_{n + 1}(C) : (\varphi, m)\mapsto L_{n + 1}(\varphi)e(m)\]を与えることで定めます。このとき、\begin{eqnarray*}\partial_{n + 1}\Gamma(C)(\varphi, m) & = & \partial_{n + 1}L_{n + 1}(\varphi)e(m) = L_{n}(\varphi)\partial_{n + 1}(e(m)) \\& = & L_{n}(\varphi)(g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})m \\& = & (g_{n}K_{n}(\varphi) - f_{n}K_{n}(\varphi) - D_{n - 1}K_{n - 1}(\varphi)\partial_{n})m \\& = & (g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})K_{n}(\varphi)m \\& = & (g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})\varPhi(C)(\varphi, m)\end{eqnarray*}であり、$\partial_{n + 1}\Gamma = (g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})\varPhi$ です。

$\varPhi$ の表現 $\varPsi : K_{n}\to \tilde{K}_{n}$ を取り、$D_{n} = \Gamma\varPsi$ により定めます。このとき、\[\partial_{n + 1}D_{n} = \partial_{n + 1}\Gamma\varPsi = (g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n})\varPhi\varPsi = g_{n} - f_{n} - D_{n - 1}\partial_{n}\]より $D_{n}$ はchain homotopyとしての $n$ 次への拡張になっています。

各チェイン複体 $K(C), L(C)$ を $-1$ 次において\[\dots\to K_{1}(C)\to K_{0}(C)\to H_{0}(K(C))\to 0,\]\[\dots\to L_{1}(C)\to L_{0}(C)\to H_{0}(L(C))\to 0\]と置き換え、準同型 $f_{-1} = h : K_{-1}\to L_{-1}$ に対して定理2.3.3を適用すればよいです。

位相空間の対の圏 $\Top^{2}$ から $R$ 加群のチェイン複体の圏 $\Chwc{R}$ への関手 $K, L$ を対象については\[K : (X, Y)\mapsto \tilde{S}_{\bullet}(X\times Y),\]\[L : (X, Y)\mapsto \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)}\]と定義し $($ただし、$X, Y$ のいずれかが空の場合は自明なチェイン複体を対応させる$)$、射については明らかな形で定義することで与えます。ただし、$\widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)}$ は $S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)$ に添加写像\[\varepsilon : S_{0}(X)\otimes S_{0}(Y)\to R : x\otimes y\mapsto \varepsilon(x)\cdot \varepsilon(y)\]を与えることで定まる添加チェイン複体とします。また、$\Top^{2}$ はモデル $\mathcal{M}$ を\[\mathcal{M} = \{(\Delta^{k}, \Delta^{l})\mid k, l\in \N\}\]により与えることでモデル付き圏と考えます。

次の順で示します。

(i)自然変換 $\varPsi : K_{q}\to \tilde{K}_{q}$ を各対象 $(X, Y)\in \Top^{2}$ に対して準同型 $K_{q}(X, Y) = \tilde{S}_{q}(X\times Y)\to \tilde{K}_{q}(X, Y)$ を\[\sigma\mapsto ((\sigma_{X}, \sigma_{Y}), d),\]ただし $\sigma$ は $X\times Y$ の特異 $q$ 単体、$\sigma_{X} : \Delta^{q}\to X, \sigma_{Y} : \Delta^{q}\to Y$ はその各成分への射影との合成、$d : \Delta^{q}\to \Delta^{q}\times \Delta^{q}$ は対角写像正確に言えば、これを特異 $q$ 単体として $K(\Delta^{q}, \Delta^{q}) = \tilde{S}_{q}(\Delta^{q}, \Delta^{q})$ の元とみなしたものです。、とすることで定めます。実際にこれが自然変換となることは、射 $(f, g) : (X, Y)\to (Z, W)$ と任意の $X\times Y$ の特異 $q$ 単体 $\sigma$ に対して\begin{eqnarray*}\varPsi(Z, W)K_{q}(f, g)\sigma & = & \varPsi(Z, W)((f\times g)\circ \sigma) = ((f\circ \sigma_{X}, g\circ \sigma_{Y}), d) \\& = & \tilde{K}_{q}(f, g)((\sigma_{X}, \sigma_{Y}), d) = \tilde{K}_{q}(f, g)\varPsi(X, Y)\sigma\end{eqnarray*}であることからよいです。また、表現可能性の定義 $($定義2.3.2$)$ と同様に構成される自然変換 $\varPhi : \tilde{K}_{q}\to K_{q}$ に対して\[\varPhi(X, Y)\varPsi(X, Y) : \sigma\mapsto \varPhi(X, Y)((\sigma_{X}, \sigma_{Y}), d) = (\sigma_{X}\times \sigma_{Y})\circ d = \sigma\]が常に成立することより $\varPhi\varPsi$ は恒等変換であり、よって、$K_{q}$ は表現可能です。

(ii)自然変換 $\varPsi : L_{q}\to \tilde{L}_{q}$ を各対象 $(X, Y)\in \Top^{2}$ に対して準同型 $L_{q}(X, Y) = (\widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)})_{q}\to \tilde{L}_{q}(X, Y)$ を\[\sigma^{k}\otimes \tau^{l}\mapsto ((\sigma^{k}, \tau^{l}), \Id_{\Delta^{k}}\otimes \Id_{\Delta^{l}}),\]ただし $k + l = q$ とし、$\sigma$ は $X$ の特異 $k$ 単体、$\tau$ は $Y$ の特異 $l$ 単体、とすることで定めます。実際にこれが自然変換となることは、射 $(f, g) : (X, Y)\to (Z, W)$ と $X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma^{k}$、$Y$ の特異 $l = q - k$ 単体 $\tau^{l}$ に対して\begin{eqnarray*}\varPsi(Z, W)L_{q}(f, g)\sigma\otimes \tau & = & \varPsi(Z, W)(f\circ \sigma\otimes g\circ \tau) = ((f\circ \sigma, g\circ \tau), \Id_{\Delta^{k}}\otimes \Id_{\Delta^{l}}) \\& = & \tilde{L}_{q}(f, g)((\sigma, \tau), \Id_{\Delta^{k}}\otimes \Id_{\Delta^{l}}) = \tilde{L}_{q}(f, g)\varPsi(X, Y)\sigma\otimes \tau\end{eqnarray*}であることからよいです。自然変換 $\varPhi : \tilde{L}_{q}\to L_{q}$ に対して $\varPhi\varPsi$ が恒等変換になることは明らかであり、$L_{q}$ は表現可能です。

(iii)$M = (\Delta^{k}, \Delta^{l})\in \mathcal{M}$ に対し、$\Delta^{k}\times \Delta^{l}$ が可縮空間であることから\[H_{\bullet}(K(M)) = \tilde{H}_{\bullet}(\Delta^{k}\times \Delta^{l}) = 0\]です。

(iv)$M = (\Delta^{k}, \Delta^{l})\in \mathcal{M}$ に対し、$\Delta^{k}$ と $\Delta^{l}$ が可縮空間であることから $S_{\bullet}(\Delta^{k})$, $S_{\bullet}(\Delta^{l})$ はそれぞれチェイン複体\[\cdots\to 0\to 0\to \overset{0}{\check{R}}\to 0\to\cdots\]にchain homotopicであり、命題1.3.9より $S_{\bullet}(\Delta^{k})\otimes S_{\bullet}(\Delta^{l})$ もそうです。よって、$L(M) = \widetilde{S_{\bullet}(\Delta^{k})\otimes S_{\bullet}(\Delta^{l})}$ はチェイン複体\[\cdots\to 0\to 0\to \overset{0}{\check{R}}\to R\to 0\to\cdots\]にchain homotopicなので $H_{\bullet}(L(M)) = 0$ です。

(v)$0$ 次における自然変換 $\rho_{0} : K_{0}\to L_{0}$ と $\kappa_{0} : L_{0}\to K_{0}$ を主張の通り、$\tilde{S}_{0}(X\times Y)$ の生成系 $\{(x, y)\mid x\in X, y\in Y\}$ と $(\widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)})_{0}$ の生成系 $\{x\otimes y\mid x\in X, y\in Y\}$ の間の明らか $1$ 対 $1$ 対応を用いて構成すれば、非輪状モデル定理 $($定理2.3.3$)$ からこれらは全次数で定義されたチェイン写像 $\rho : K\to L$, $\kappa : L\to K$ に拡張します。$\kappa_{0}\rho_{0} : K_{0}\to K_{0}$ と $\rho_{0}\kappa_{0} : L_{0}\to L_{0}$ が恒等変換であることから、また非輪状モデル定理より、$\kappa\rho$ は $K$ の恒等チェイン写像にchain homotopicかつ $\rho\kappa$ も $L$ の恒等チェイン写像にchain homotopicとなります。よって、$\rho$ と $\kappa$ は互いにchain homotopy逆写像になっています。また、この拡張 $\rho, \kappa$ がchain homotopyの違いを除いて一意であることも非輪状モデル定理から直ちに分かります。

ここまで添加チェイン複体に対して考えてきましたが、$-1$ 次の項 $($添加写像の部分$)$ を無視すれば特異チェイン複体に対する結果が従っていることに注意。

$\sigma$ を $X\times Y$ の特異 $n$ 単体とします。まず、定義通りに書き下すことで\begin{eqnarray*}\partial\rho(\sigma) & = & \partial \sum_{p = 0}^{n}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p} \\& = & \sum_{p = 0}^{n}(\partial(\sigma\rfloor_{p})\otimes \tau\lfloor_{n - p} + (-1)^{p}\sigma\rfloor_{p}\otimes \partial(\tau\lfloor_{n - p})) \\& = & \sum_{p = 1}^{n}\sum_{i = 0}^{p}(-1)^{i}\sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{i}^{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = 0}^{n - p}(-1)^{p + i}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p}\circ \varepsilon_{i}^{n - p} \\\end{eqnarray*}です。そして、

を用いて変形すれば\begin{eqnarray*}& = & \sum_{p = 1}^{n}\sum_{i = 0}^{p - 1}(-1)^{i}(\sigma\circ \varepsilon_{i}^{n})\rfloor_{p - 1}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{i}^{n})\lfloor_{n - p} \\&& + \sum_{p = 1}^{n}(-1)^{p}\sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{p}^{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = 1}^{n - p}(-1)^{p + i}(\sigma\circ \varepsilon_{p + i}^{n})\rfloor_{p}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{p + i}^{n})\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}(-1)^{p}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p}\circ \varepsilon_{0}^{n - p} \\\end{eqnarray*}であり、あとは添字の取る範囲をずらして整理することで\begin{eqnarray*}& = & \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = 0}^{p}(-1)^{i}(\sigma\circ \varepsilon_{i}^{n})\rfloor_{p}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{i}^{n})\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = p + 1}^{n}(-1)^{i}(\sigma\circ \varepsilon_{i}^{n})\rfloor_{p}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{i}^{n})\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}(-1)^{p + 1}\sigma\rfloor_{p + 1}\circ \varepsilon_{p + 1}^{p + 1}\otimes \tau\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}(-1)^{p}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p}\circ \varepsilon_{0}^{n - p} \\& = & \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = 0}^{n}(-1)^{i}(\sigma\circ \varepsilon_{i}^{n})\rfloor_{p}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{i}^{n})\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}(-1)^{p + 1}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p - 1} \\&& + \sum_{p = 0}^{n - 1}(-1)^{p}\sigma\rfloor_{p}\otimes \tau\lfloor_{n - p - 1} \\& = & \sum_{p = 0}^{n - 1}\sum_{i = 0}^{n}(-1)^{i}(\sigma\circ \varepsilon_{i}^{n})\rfloor_{p}\otimes (\tau\circ \varepsilon_{i}^{n})\lfloor_{n - p - 1} \\& = & \rho\partial(\sigma)\end{eqnarray*}です。

Künnethの公式 $($定理1.3.11$)$ より短完全系列\[0\to \bigoplus_{p + q = n}H_{p}(X)\otimes H_{q}(Y)\to H_{n}(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y))\to\bigoplus_{p + q = n - 1}\Tor_{1}^{R}(H_{p}(X), H_{q}(Y))\to 0\]が得られるので、あとはEilenberg-Zilberの定理 $($定理2.3.1$)$ による自然な同型\[H_{n}(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y))\cong H_{n}(X\times Y)\]で真ん中を置き換えれば従います。

仮定より\[H_{\bullet}(Y)\cong \bigotimes_{k = 1}^{n}H_{\bullet}(X_{k})\]なので全て明らかです。

(1) チェイン写像を誘導することは\[S_{\bullet}(X, A)\otimes S_{\bullet}(Y, B)\cong S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)/(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y))\]と\[\kappa(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y))\subset S_{\bullet}(X\times B\cup A\times Y)\]から分かります。

対 $\{X\times B, A\times Y\}$ が切除対の場合にhomology群の間の同型を誘導することを示します。まず、Eilenberg-Zilber写像 $($自然な写像であることに注意$)$ の制限として\[\rho : S_{\bullet}(X\times B) + S_{\bullet}(A\times Y)\to S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y),\]\[\kappa : S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y)\to S_{\bullet}(X\times B) + S_{\bullet}(A\times Y)\]がhomotopy同値写像であることが分かるので、このことと仮定の切除対から同型\[H_{\bullet}(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y))\cong H_{\bullet}(X\times B\cup A\times Y)\]が成立します。チェイン複体の短完全系列の間の射

から得られるhomology完全系列の間の射に対して5項補題を用いれば主張の同型が分かります。

(2) homology群の場合と同様に同型\[H^{\bullet}(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(B) + S_{\bullet}(A)\otimes S_{\bullet}(Y))\cong H^{\bullet}(X\times B\cup A\times Y)\]が得られるので、今度はcohomology完全系列の間の射に対して5項補題を用いれば主張の同型が分かります。

簡単のために $A = B = C = \varnothing$ として示します。

(1) 位相空間の $3$ 組の圏 $\Top^{3}$ から $R$ 加群のチェイン複体の圏 $\Chwc{R}$ への関手 $K, L$ を\[K : (X, Y, Z)\mapsto \tilde{S}_{\bullet}(X\times Y\times Z),\]\[L : (X, Y, Z)\mapsto \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z)}\]により定め $($ただし、$X, Y, Z$ のいずれかが空の場合は自明なチェイン複体を対応させる$)$、チェイン写像 $($自然変換$)$ $\mu, \nu : L\to K$ を\[\mu = \kappa\circ(\kappa\otimes \Id): \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z)}\xrightarrow{\kappa\otimes \Id} \widetilde{S_{\bullet}(X\times Y)\otimes S_{\bullet}(Z)}\xrightarrow{\kappa} \tilde{S}_{\bullet}(X\times Y\times Z),\]\[\nu = \kappa\circ(\Id\otimes \kappa): \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z)}\xrightarrow{\Id\otimes \kappa} \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y\times Z)}\xrightarrow{\kappa} \tilde{S}_{\bullet}(X\times Y\times Z)\]により定めます。これがchain homotopicであることを非輪状モデル定理 $($定理2.3.3$)$ から示します。

$\Top^{3}$ にはモデル $\mathcal{M}$ を\[\mathcal{M} = \{(\Delta^{k}, \Delta^{l}, \Delta^{m})\mid k,l,m\in \N\}\]により与えることでモデル付き圏 $(\Top^{3}, \mathcal{M})$ とします。このとき、関手 $L$ が各次数で表現可能であることがEilenberg-Zilberの定理の証明における表現可能性の証明と同様に示され、また、任意のモデル対象 $M\in \mathcal{M}$ に対して $H_{q}(K(M)) = 0$ であることも標準単体の可縮性から明らかです。$\mu_{0} = \nu_{0}$ に注意すれば非輪状モデル定理 $($定理2.3.3$)$ により $\mu$ と $\nu$ はchain homotopicです。よって、\[\mu_{*} = \nu_{*} : H(S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z))\to H_{\bullet}(X\times Y\times Z)\]です。

図式

を考えます。左上の可換性は $($代数的な$)$ クロス積の定義から明らか、右下の可換性はさっき示したことです。残りの右上と左下は $($代数的な$)$ クロス積の自然性から可換です。よって、これは可換図式になっているので位相空間に対するクロス積の結合則が示されました。

(2) $\Top^{2}$ から $\Chwc{R}$ への関手 $K, L$ を\[K : (X, Y)\mapsto \tilde{S}_{\bullet}(Y\times X),\]\[L : (X, Y)\mapsto \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)}\]として定めます。自然なチェイン写像\[\Theta : S_{p}(X)\otimes S_{q}(Y)\to S_{q}(Y)\otimes S_{p}(X) : a\otimes b\mapsto (-1)^{pq}b\otimes a\]を用いてチェイン写像 $($自然変換$)$ $\mu, \nu : L\to K$ を\[\mu = \kappa\circ \Theta : \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)}\xrightarrow{\Theta} \widetilde{S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(X)}\xrightarrow{\kappa} \tilde{S}_{\bullet}(Y\times X)\]\[\nu = T_{\sharp}\circ \kappa : \widetilde{S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)}\xrightarrow{\kappa} \tilde{S}_{\bullet}(X\times Y)\xrightarrow{T_{\sharp}} \tilde{S}_{\bullet}(Y\times X)\]により定めます。$0$ 次において\[\mu(x\otimes y) = (y, x) = \nu(x\otimes y)\]が成立しているので、非輪状モデル定理 $($定理2.3.3$)$ よりこの $\mu$ と $\nu$ はchain homotopicであり、以下の図式は可換です。

よって、$[a]\in H_{p}(X)$, $[b]\in H_{q}(Y)$ に対して\[T_{*}([a]\times [b]) = T_{*}(\kappa_{*}[a\otimes b]) = \kappa_{*}(\Theta_{*}([a\otimes b])) = \kappa_{*}((-1)^{pq}[b\otimes a]) = (-1)^{pq}[b]\times [a]\]です。

(1) $(\Delta\times \Id_{X})\circ \Delta = (\Id_{X}\times \Delta)\circ \Delta : X\to X^{3} : x\mapsto (x, x, x)$ に注意すれば、\begin{eqnarray*}([u]\smallsmile [v])\smallsmile [w] & = & \Delta^{*}([u]\times [v])\smallsmile [w] \\& = & \Delta^{*}(\Delta^{*}([u]\times [v])\times [w]) \\& = & \Delta^{*}(\Delta\times \Id_{X})^{*}([u]\times [v]\times [w]) \\& = & \Delta^{*}(\Id_{X}\times \Delta)^{*}([u]\times [v]\times [w]) \\& = & \Delta^{*}([u]\times \Delta^{*}([v]\times [w])) \\& = & [u]\smallsmile \Delta^{*}([v]\times [w]) \\& = & [u]\smallsmile ([v]\smallsmile [w])\end{eqnarray*}です。

(2) $[v]\smallsmile [u] = \Delta^{*}([v]\times [u]) = (-1)^{pq}\Delta^{*}([u]\times [v]) = (-1)^{pq}[u]\smallsmile [v]$ です。

(3) $X = \varnothing$ のときは自明。$X\neq \varnothing$ のとき、添加写像 $\varepsilon : S_{0}(X)\to R$ はコサイクルであり、cohomology群の元 $[\varepsilon]\in H^{0}(X; R)$ を定めます。これが主張の元であることを示します。

$\rho$ をAlexander-Whitney写像とします。$[\varepsilon]\smallsmile [u]$ は $\Delta^{\sharp}\rho^{\sharp}(\varepsilon\otimes u)\in S^{\bullet}(X, A)$ の代表する元ですが、任意の特異 $p$ 単体 $\sigma$ に対して\[(\Delta^{\sharp}\rho^{\sharp}(\varepsilon\otimes u))(\sigma) = (\varepsilon\otimes u)(\rho\Delta_{\sharp}\sigma) = (\varepsilon\otimes u)\left(\sum_{i = 0}^{p} \sigma\rfloor_{i}\otimes \sigma\lfloor_{p - i}\right) = u(\sigma)\]なので $\Delta^{\sharp}\rho^{\sharp}(\varepsilon\otimes u) = u$ であり $[\varepsilon]\smallsmile [u] = [u]$ です。$[u]\smallsmile [\varepsilon] = [u]$ も同様。よって、$[\varepsilon]$ が主張の $1_{X}$ です。自然性は添加写像 $\varepsilon$ の自然性から明らかです。

等式は $c$ が特異 $p + q$ 単体 $\sigma$ の場合に示せば十分です。各項を計算すると、\begin{eqnarray*}\partial(u\smallfrown \sigma) & = & u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \partial\sigma\rfloor_{p} = \sum_{i = 0}^{p}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{i}^{p} \\\delta u\smallfrown \sigma & = & \delta u(\sigma\lfloor_{q + 1})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1} = u(\partial \sigma\lfloor_{q + 1})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1} \\& = & \sum_{i = 0}^{q + 1}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q + 1}\circ \varepsilon_{i}^{q + 1})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1} \\& = & u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{p}^{p} + \sum_{i = 1}^{q + 1}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q + 1}\circ \varepsilon_{i}^{q + 1})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1} \\u\smallfrown \partial \sigma & = & u\smallfrown \left(\sum_{i = 0}^{p + q}(-1)^{i}\sigma\circ\varepsilon_{i}^{p + q}\right) = \sum_{i = 0}^{p + q}(-1)^{i}u((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{p + q})\lfloor_{q})\cdot (\sigma\circ \varepsilon_{i}^{p + q})\rfloor_{p - 1} \\& = & \sum_{i = 0}^{p - 1}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q})\cdot (\sigma\circ \varepsilon_{i}^{p + q})\rfloor_{p - 1} + \sum_{i = p}^{p + q}(-1)^{i}u((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{p + q})\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1} \\& = & \sum_{i = 0}^{p - 1}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{i}^{p} + \sum_{i = 1}^{q + 1}(-1)^{i + p - 1}u(\sigma\lfloor_{q + 1}\circ \varepsilon_{i}^{q + 1})\cdot \sigma\rfloor_{p - 1}\end{eqnarray*}なので\[(-1)^{p}\delta u\smallfrown \sigma + u\smallfrown \partial \sigma = (-1)^{p}u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{p}^{p} + \sum_{i = 0}^{p - 1}(-1)^{i}u(\sigma\lfloor_{q})\cdot \sigma\rfloor_{p}\circ \varepsilon_{i}^{p} = \partial (u\smallfrown \sigma)\]です。

任意の $[u]\in H^{q}(X)$, $[c]\in H_{p + q}(X)$ に対して $\partial(u\smallfrown c) = 0$ であり、また、別の代表元 $u', c'$ を取るとき $\delta v = u - u'$, $\partial b = c - c'$ となる $v, b$ を取れば\[\partial((-1)^{p - 1}v\smallfrown c + u'\smallfrown b) = \delta v\smallfrown c + u'\smallfrown \partial b = u \smallfrown c - u'\smallfrown c'\]なので、cohomology群とhomology群の間のキャップ積が $[u]\smallfrown [c] = [u\smallfrown c]$ によりwell-definedに定義されます。$p = 0$ の場合は直接計算によります結論としては連結成分ごとのKronecker積に一致します。。

(1) $c = \sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma$ とすれば、\begin{eqnarray*}([u]\smallsmile [v])\smallfrown[c] & = & (\Delta^{*}\rho^{*}[u\otimes v])\smallfrown [c] \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}(\Delta^{\sharp}\rho^{\sharp}(u\otimes v))(\sigma\lfloor_{q + r})\sigma\rfloor_{p}\right] \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}(u\otimes v)(\rho\Delta_{\sharp}\sigma\lfloor_{q + r})\sigma\rfloor_{p}\right] \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}u((\sigma\lfloor_{q + r})\rfloor_{q})v((\sigma\lfloor_{q + r})\lfloor_{r})\sigma\rfloor_{p}\right] \\{}[u]\smallfrown ([v]\smallfrown [c]) & = & [u]\smallfrown \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}v(\sigma\lfloor_{r})\sigma\rfloor_{p + q}\right] \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}u((\sigma\rfloor_{p + q})\lfloor_{q})v(\sigma\lfloor_{r})(\sigma\rfloor_{p + q})\rfloor_{p}\right] \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}u((\sigma\lfloor_{q + r})\rfloor_{q})v((\sigma\lfloor_{q + r})\lfloor_{r})\sigma\rfloor_{p}\right]\end{eqnarray*}です。

(2) $c = \sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma$ とおけば、(1)とほぼ同じ計算により両辺ともに\[\sum_{\sigma}a_{\sigma}u(\sigma\rfloor_{p})v(\sigma\lfloor_{q})\]となります。

(3) $1_{X}\smallfrown [c] = [\varepsilon\smallfrown c] = [c]$ です。

(4) 計算すると\begin{eqnarray*}f_{*}(f^{*}([u])\smallfrown [c]) & = & f_{*}([f^{\sharp}u\smallfrown c]) \\& = & f_{*}\left(\left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}f^{\sharp}u(\sigma\lfloor_{q})\sigma\rfloor_{p}\right]\right) \\& = & \left[\sum_{\sigma}a_{\sigma}u(f_{\sharp}\sigma\lfloor_{q})f_{\sharp}\sigma\rfloor_{p}\right] \\& = & \left[u\smallfrown f_{\sharp}c\right] = [u]\smallfrown f_{*}([c])\end{eqnarray*}です。