特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して $\partial(\partial \sigma) = 0$ を示せばよいです。まず、任意の $0\leq j < i\leq k$ に対して $\varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} = \varepsilon_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i - 1}^{k - 1}$ です左辺について、$\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}$ を $\sigma$ から $i$ 番目の頂点を除いたものだと思えば、$j < i$ より $\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1}$ は $\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}$ の $j$ 番目 $($もとの $\sigma$ の $j$ 番目$)$ の頂点を除いたものです。つまり、$\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1}$ は $\sigma$ から $i, j$ 番目の頂点を除いたものになります。続いて右辺について、$j \leq i - 1$ より $\sigma\circ \varepsilon_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i - 1}^{k - 1}$ は $\sigma\circ \varepsilon_{j}^{k}$ の $i - 1$ 番目 $($もとの $\sigma$ の $i$ 番目$)$ の頂点を除いたものです。よって、こちらも $\sigma$ から $i, j$ 番目の頂点を除いたものになります。。よって、\begin{eqnarray*}\partial(\partial \sigma) & = & \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i + j}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} \\& = & \sum_{0 \leq j < i\leq k}(-1)^{i + j}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} + \sum_{0 \leq i \leq j\leq k - 1}(-1)^{i + j}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} \\& = & \sum_{0 \leq j < i\leq k}(-1)^{i + j}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} + \sum_{0 \leq j < i\leq k}(-1)^{i + j - 1}\sigma\circ \varepsilon_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i - 1}^{k - 1} = 0\end{eqnarray*}です。$3$ 行目は添字の $i, j$ を入れ換えた後に $i$ を $1$ つずらしただけです。で、その後に冒頭の $\varepsilon_{i}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k - 1} = \varepsilon_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i - 1}^{k - 1}$ を使用。

$A = B = \varnothing$ かつ $M = R$ の場合の特異チェイン複体について示します。チェイン写像であることは $S_{k}(X; R)$ 生成系の元 $\sigma\in C(\Delta^{k}, X)$ に対して $\partial(f_{\sharp}(\sigma)) = f_{\sharp}(\partial\sigma)$ を示せばよいですが、これは\[\partial(f_{\sharp}(\sigma)) = \sum_{i = 0}^{k}(-1)^{k}(f\circ \sigma)\circ \varepsilon_{i}^{k} = f_{\sharp}\left(\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{k}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\right) = f_{\sharp}(\partial\sigma)\]よりよいです。関手性は恒等写像 $\Id_{X} : X\to X$ に対して恒等チェイン写像 $1 : S_{\bullet}(X; R)\to S_{\bullet}(X; R)$ を誘導し、連続写像 $f : X\to Y$, $g : Y\to Z$ に対して $(g\circ f)_{\sharp} = g_{\sharp}\circ f_{\sharp}$ が成立するということですが、これはチェイン写像の構成から明らかです。

相対版では全空間側の誘導チェイン写像 $f_{\sharp} : S_{\bullet}(X; R)\to S_{\bullet}(Y; R)$ から商チェイン複体に誘導されるチェイン写像であり成立します。一般の係数のチェイン複体とコチェイン複体については相対版についてテンソル積や双対を取る、つまり、チェイン複体の圏からチェイン複体およびコチェイン複体の圏への関手を合成しているだけなので成立します。

同相写像 $f : X\to Y$ に対し、homology群の間の誘導準同型\[\Id_{X*} = (f^{-1})_{*}\circ f_{*} : H_{\bullet}(X; M)\to H_{\bullet}(X; M)\]\[\Id_{Y*} = f_{*}\circ (f^{-1})_{*} : H_{\bullet}(Y; M)\to H_{\bullet}(Y; M)\]は恒等写像です。cohomology群についても同様です。

$0\leq l\leq k$ に対し、$\Delta^{k}\times I$ の特異 $k + 1$ 単体 $\rho_{l}^{k} : \Delta^{k + 1}\to \Delta^{k}\times I$ を $\Delta^{k + 1}$ の $0$ から $l$ 番目までの頂点を $\Delta^{k}\times \{0\}$ の $0$ から $l$ 番目の頂点に対応させ、残りの $l + 1$ から $k + 1$ 番目までの頂点を $\Delta^{k}\times \{1\}$ の $l$ から $k$ 番目までの頂点に対応させるaffine写像として定めます。

図2.1.2 : $k = 2$ の場合

$X$ の各特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して\[P_{X, k}(\sigma) = \sum_{l = 0}^{k}(-1)^{l}(\sigma \times \Id_{I})_{\sharp}(\rho_{l}^{k})\]と定め、これが\[(i_{X, 1})_{\sharp} - (i_{X, 0})_{\sharp} = P_{X, k - 1}\circ \partial + \partial\circ P_{X, k}\]を満たすことを確認します。

まず、$(\partial\circ P_{X, k})(\sigma)$ を計算して\begin{eqnarray*}(\partial\circ P_{X, k})(\sigma) & = & \partial \sum_{j = 0}^{k}(-1)^{j}(\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k} \\& = & \sum_{j = 0}^{k}\sum_{i = 0}^{k + 1}(-1)^{i + j}(\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i}^{k + 1} \\& = & \sum_{j = 0}^{k}((\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k + 1} - (\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{j + 1}^{k + 1}) \\&& + \sum_{j = 1}^{k}\sum_{i = 0}^{j - 1}(-1)^{i + j}(\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i}^{k + 1} \\&& + \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = j + 2}^{k + 1}(-1)^{i + j}(\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i}^{k + 1} \\\end{eqnarray*}です。そして、\[\rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{j + 1}^{k + 1} = \rho_{j + 1}^{k}\circ \varepsilon_{j + 1}^{k + 1} \ (0\leq j \leq k - 1),\]\[\rho_{0}^{k}\circ \varepsilon_{0}^{k + 1} = i_{\Delta^{k}, 1}, \ \rho_{k}^{k}\circ \varepsilon_{k + 1}^{k + 1} = i_{\Delta^{k}, 0},\]であることと $i \neq j, j + 1$ の場合に\[(\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{i}^{k + 1} = \left\{\begin{array}{ll}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j - 1}^{k - 1} & (i < j) \\((\sigma\circ \varepsilon_{i - 1}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1} & (j + 1 < i) \\\end{array}\right.\]であることを用いて変形すれば\begin{eqnarray*}(\partial\circ P_{X, k})(\sigma) & = & \sum_{j = 0}^{k - 1}((\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k}\circ \varepsilon_{j}^{k + 1} - (\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{j + 1}^{k}\circ \varepsilon_{j + 1}^{k + 1}) \\&& + (\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{k}^{k}\circ \varepsilon_{k}^{k + 1} - (\sigma\times \Id_{I})\circ \rho_{k}^{k}\circ \varepsilon_{k + 1}^{k + 1} \\&& + \sum_{j = 1}^{k}\sum_{i = 0}^{j - 1}(-1)^{i + j}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j - 1}^{k - 1} \\&& + \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = j + 2}^{k + 1}(-1)^{i + j}((\sigma\circ \varepsilon_{i - 1}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1} \\& = & (\sigma\times \Id_{I})\circ i_{\Delta^{k}, 1} - (\sigma\times \Id_{I})\circ i_{\Delta^{k}, 0} \\&& + \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = 0}^{j}(-1)^{i + j - 1}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1} \\&& + \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = j + 1}^{k}(-1)^{i + j - 1}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1} \\& = & i_{X, 1}\circ \sigma - i_{X, 0}\circ \sigma + \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i + j - 1}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1}\end{eqnarray*}です。

また、$(P_{X, k - 1}\circ \partial)(\sigma)$ を計算すると、\begin{eqnarray*}(P_{X, k - 1}\circ \partial)(\sigma) & = & P_{X, k - 1}\left(\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i}\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k}\right) \\& = & \sum_{j = 0}^{k - 1}\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i + j}((\sigma\circ \varepsilon_{i}^{k})\times \Id_{I})\circ \rho_{j}^{k - 1}\end{eqnarray*}なので\[(\partial\circ P_{X, k})(\sigma) + (P_{X, k - 1}\circ \partial)(\sigma) = (i_{X, 1})_{\sharp}(\sigma) - (i_{X, 0})_{\sharp}(\sigma)\]です。よって、$P_{X}$ が $(i_{X, 0})_{\sharp}$ を $(i_{X, 1})_{\sharp}$ につなぐchain homotopyです。

プリズム作用素 $P_{X}$ の自然性とは、任意の連続写像 $f : X\to Y$ に対して $P_{Y}\circ f_{\sharp} = (f\times \Id_{I})_{\sharp}\circ P_{X}$ が成立するということですが、これは $X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して\begin{eqnarray*}(P_{Y}\circ f_{\sharp})(\sigma) & = & \sum_{l = 0}^{k}(-1)^{l}((f\circ \sigma)\times \Id_{I})_{\sharp}(\rho_{l}^{k}) \\& = & (f\times \Id_{I})_{\sharp}\left(\sum_{l = 0}^{k}(-1)^{l}(\sigma\times \Id_{I})(\rho_{l}^{k})\right) = ((f\times \Id_{I})_{\sharp}\circ P_{X})(\sigma)\end{eqnarray*}であることからよいです。

$f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐhomotopyを $F$ とし、$i_{t} : X\to X\times I : x\mapsto (x, t)$ と連続写像を定めておきます。$A = B = \varnothing$ かつ $M = R$ の場合の特異チェイン複体について、$X$ のプリズム作用素 $P : S_{\bullet}(X; R)\to S_{\bullet + 1}(X\times I; R)$ が $(i_{0})_{\sharp}$ を $(i_{1})_{\sharp}$ につなぐchain homotopyなので、$F_{\sharp}\circ P : S_{\bullet}(X; R)\to S_{\bullet + 1}(Y; R)$ が $(f_{0})_{\sharp} = F_{\sharp}\circ (i_{0})_{\sharp}$ を $(f_{1})_{\sharp} = F_{\sharp}\circ (i_{1})_{\sharp}$ につなぐchain homotopyです $($命題1.1.17$)$。$R$ 係数の相対チェイン複体では全空間についてのchain homotopy $F_{\sharp}\circ P$ からchain homotopyが誘導され確かめられます。その他はテンソル積や双対が(co)chain homotopyを誘導することから従います。

$g : Y\to X$ をhomotopy逆写像とすれば $g_{*}\circ f_{*} = (\Id_{X})_{*} : H_{\bullet}(X; M)\to H_{\bullet}(X; M)$ かつ $f_{*}\circ g_{*} = (\Id_{Y})_{*} : H_{\bullet}(Y; M)\to H_{\bullet}(Y; M)$ です。

$r : X\to A$ をレトラクションとすれば、$r\circ i = \Id_{A}$ なので $(r\circ i)_{*} : H_{\bullet}(A; M)\to H_{\bullet}(A; M)$ は恒等写像です。よって $i_{*}$ は単射です。もし、$A$ が変位レトラクトならばレトラクション $r$ であって $(i\circ r)\sim \Id_{X}$ を満たすものが取れ、そのような $r$ について $(i\circ r)_{*} : H_{\bullet}(X; M)\to H_{\bullet}(X; M)$ も恒等写像なので $i_{*}$ は同型です。

一般にチェイン複体の短完全系列に対してhomology完全系列が得られること $($命題1.1.22$)$ を用います。

(1) $R$ 係数の特異チェイン複体について短完全系列\[0\to S_{\bullet}(A; R)\to S_{\bullet}(X; R)\to S_{\bullet}(X, A; R)\to 0\]が成立しますが、$S_{\bullet}(X, A; R)$ は自由なので $($$R$ 加群の短完全系列として$)$ 分解します。よって、(コ)チェイン複体の短完全系列\[0\to S_{\bullet}(A; R)\otimes M\to S_{\bullet}(X; R)\otimes M\to S_{\bullet}(X, A; R)\otimes M\to 0\]\[0\to \Hom(S_{\bullet}(X, A; R), M)\to \Hom(S_{\bullet}(X; R), M)\to \Hom(S_{\bullet}(A; R), M)\to 0\]が得られます。

(2) $R$ 係数の特異チェイン複体について短完全系列\[0\to S_{\bullet}(A, B; R)\to S_{\bullet}(X, B; R)\to S_{\bullet}(X, A; R)\to 0\]が成立しますが、$S_{\bullet}(X, A; R)$ は自由なので分解します。よって、(コ)チェイン複体の短完全系列\[0\to S_{\bullet}(A, B; R)\otimes M\to S_{\bullet}(X, B; R)\otimes M\to S_{\bullet}(X, A; R)\otimes M\to 0\]\[0\to \Hom(S_{\bullet}(X, A; R), M)\to \Hom(S_{\bullet}(X, B; R), M)\to \Hom(S_{\bullet}(A, B; R), M)\to 0\]が得られます。

(1) $q \geq 0$ において $\tilde{S}_{q}(X; M) = S_{q}(X; M)$ なので自明です。

(2) $B_{0}(X; M)\subset \Ker \varepsilon$ は明らかであり、これより全射準同型 $\varepsilon_{*} : H_{0}(X; M)\to M$ が誘導されます。$\varepsilon_{*}$ の自然性と表示については $\varepsilon$ の自然性および定義から明らかです。$\tilde{H}_{0}(X; M) = \Ker \varepsilon_{*}$ であることは射影 $\pi : Z_{0}(X; M)\to H_{0}(X; M)$ に対して $\Ker \varepsilon = \pi^{-1}(\Ker \varepsilon_{*})$ を示せばよいです。というのは、$\tilde{H}_{0}(X; M) = \pi(\Ker \varepsilon)$ と $\varepsilon_{*}$ の全射性から $\Ker \varepsilon_{*} = \pi(\pi^{-1}(\ker \varepsilon_{*}))$ であるからです。

まず、$c\in \Ker \varepsilon$ に対しては $\varepsilon_{*}$ が $\varepsilon$ の誘導準同型であることから $\varepsilon_{*}(\pi(c)) = \varepsilon(c) = 0$ であり、よって、$\pi(c)\in \Ker \varepsilon_{*}$ なので $c\in \pi^{-1}(\Ker \varepsilon_{*})$ となります。また、$c\in \pi^{-1}(\Ker \varepsilon_{*})$ に対しては、$\varepsilon_{*}(\pi(c)) = 0$ から同様に $\varepsilon(c) = 0$ なので $c\in \Ker \varepsilon$ を得ます。よって $\Ker \varepsilon = \pi^{-1}(\Ker \varepsilon_{*})$ です。

(3) $B_{0}(X; M) = \Ker \varepsilon$ を示せばよいでが、$B_{0}(X; M) \subset \Ker \varepsilon$ は明らかなので逆の包含関係を示します。$S_{0}(X; M)$ の生成系と $X$ 自身との明らかな $1$ 対 $1$ 対応のもと、$x\in X$ に対応する特異 $0$ 単体を $\sigma_{x}$ と書くことにします。一点 $x_{0}\in X$ を固定し、各 $x\in X$ に対して $x_{0}$ を $x$ につなぐ連続曲線 $\tau_{x} : \Delta^{1}\to X$ を取っておきます。任意の $c = \sum_{x\in X}a_{x}\sigma_{x} \in \Ker \varepsilon$ に対し\[\partial \left(\sum_{x\in X}a_{x}\tau_{x}\right) = \sum_{x\in X}a_{x}\sigma_{x} - \sum_{x\in X}a_{x}\sigma_{x_{0}} = c - \varepsilon(c)\sigma_{x_{0}} = c\]なので $c\in B_{0}(X; M)$ です。

$H_{0}(X; M)\cong M$ であることは(2)と準同型定理から明らか。

任意の $X$ の $M$ 係数特異チェイン複体 $S_{\bullet}(X; M)$ は各次数 $k$ において唯一の特異 $k$ 単体 $\sigma^{k} : \Delta^{k}\to \{x\}$ により生成しているので $M$ に同型です。また、$\partial_{0} = 0$ かつ $k \geq 1$ に対して\[\partial_{k}\sigma^{k} = \left(\sum_{i = 0}^{k}(-1)^{i}\right)\sigma^{k - 1}\]なので $S_{\bullet}(X; M)$ は\[\cdots\to M\xrightarrow{1} M\xrightarrow{0} M\xrightarrow{1} M\xrightarrow{0} M\xrightarrow{0} 0\]です。$H_{0}(X; M)\cong M$ は明らか。$q\geq 1$ が奇数のとき\[Z_{q}(X; M)\cong B_{q}(X; M)\cong M\]であり、$q\geq 1$ が偶数のとき\[Z_{q}(X; M)\cong B_{q}(X; M)\cong 0\]なので $q \geq 1$ において $H_{q}(X; M) = 0$ です。特異cohomology群についても同様です。

簡約homology群についてはチェイン複体 $\tilde{S}_{\bullet}(X; M)$ が\[\cdots\to M\xrightarrow{1} M\xrightarrow{0} M\xrightarrow{1} M\xrightarrow{0} M\xrightarrow{1} M\xrightarrow{0} 0\]であるので任意の $q\geq 0$ に対して\[\tilde{H}_{q}(X; M) = 0, \ \tilde{H}^{q}(X; M) = 0\]です。簡約cohomology群についても同様です。

可縮空間の場合は $1$ 点空間にhomotopy同値であることと系2.1.12から従います。

加法性 $($命題2.1.16$)$ から従います。

$\tilde{H}_{q}(I; M) = 0$, $\tilde{H}^{q}(I; M) = 0$ と簡約版の空間対のhomology完全系列 $($定理2.1.19$)$ から同型\[H_{q + 1}(I, \partial I; M)\cong \tilde{H}_{q}(\partial I; M)\cong \left\{\begin{array}{ll}M & (q = 0)\\0 & (\text{otherwise})\end{array}\right.,\]\[H^{q + 1}(I, \partial I; M)\cong \tilde{H}^{q}(\partial I; M)\cong \left\{\begin{array}{ll}M & (q = 0)\\0 & (\text{otherwise})\end{array}\right.\]が得られます。

標準 $1$ 単体 $\Delta^{1}$ と単位区間 $I$ との同相写像 $\sigma : \Delta^{1}\to I$ を頂点 $e_{0}$ を $0$ に、$e_{1}$ を $1$ に移すように取るとき、任意の $a\in M$ に対して $a\sigma\in Z_{1}(I, \partial I)$ であり、連結準同型\[\partial_{*} : H_{1}(I, \partial I)\to H_{0}(\partial I) = H_{0}(\{0\})\oplus H_{0}(\{1\})\cong M\oplus M\]は $\partial_{*}[a\sigma] = a[\partial \sigma] = (-a, a)$ を満たします。また、同様に $\partial_{*}(\kappa_{*}[a\sigma]) = a[\partial(\kappa\circ \sigma)] = (a, -a) = \partial_{*}[-a\sigma]$ です。連結準同型 $\partial_{*}$ の単射性より任意の $a\in M$ に対して $\kappa_{*}([a\sigma]) = -[a\sigma]$ です。

あとは $H_{1}(I, \partial I)$ が $[a\sigma]$ の形の元で取りつくされていることですが、これは $\varepsilon_{*} : H_{0}(\partial I)\to M$ を添加写像の誘導準同型として\[\tilde{H}_{0}(\partial I)\cong \Ker \varepsilon_{*}\subset H_{0}(\partial I)\cong M\oplus M\]が $\{(-a, a)\in M\oplus M\mid a\in M\}$ と表されることと同型 $\partial_{*} : H_{1}(I, \partial I)\to \tilde{H}_{0}(\partial I)$ から従います。