開集合による空間対 $(U, V)$ であって $(A, B)\subset (U, V)$ を満たすものについて空間対の完全系列\[\dots\to H^{q}(U, V; \mathcal{M})\to H^{q}(U; \mathcal{M}) \to H^{q}(V; \mathcal{M})\to H^{q + 1}(U, V; \mathcal{M})\to \dots\]が成立します。この帰納極限を取ればよいです。帰納極限が完全性を保つこと $($系1.4.17$)$ に注意。

開集合による空間対 $(U_{1}, V_{1}), (U_{2}, V_{2})$ であって $(A_{1}, B_{1})\subset (U_{1}, V_{1})$, $(A_{2}, B_{2})\subset (U_{2}, V_{2})$ を満たすものについて相対Mayer-Vietoris完全系列\[\dots\to H^{q}(U_{1}\cup U_{2}, V_{1}\cup V_{2})\to\begin{array}{c}H^{q}(U_{1}, V_{1}) \\ \oplus \\ H^{q}(U_{2}, V_{2})\end{array}\to H^{q}(U_{1}\cap U_{2}, V_{1}\cap V_{2})\to H^{q + 1}(U_{1}\cup U_{2}, V_{1}\cup V_{2})\to \dots\]が成立します $($命題4.2.21$)$。この帰納極限を取ればよいです。

以下、係数を明示していない場合、$H^{\bullet}, H_{X}^{\bullet}$ については $\mathcal{M}$ であり、$H_{\bullet}$ については $\mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X}$ です。次の場合に分けて証明します。

(step 1) bootstrap補題 $($補足4.2.40$)$ の条件(i)から(iii)を示せばよいです。

(i) $K\in \mathcal{K}_{X}$ であってある局所座標 $\varphi : U\to V$ によって有界凸閉集合に移るものを取ります。必要であれば $U$ を小さく取り直すことで $\mathcal{M}|_{U}, \mathcal{O}_{X}|_{U}$ は単純とし、これを自明な局所系 $\underline{M}_{U}, \underline{\Z}_{U}$ と同一視します。$U$ の各特異 $0$ 単体にあらかじめ固定した $a\in M$ を対応させるコチェインの代表するcohomology類 $a_{U}\in H^{0}(U; M)$ と基本類 $\mu_{X}\in H_{n}(U, U\setminus K; \Z)$ とのキャップ積について $a_{U}\smallfrown \mu_{X} = a\otimes \mu_{X}$ が成立し、これにより同型\[H^{0}(U; M)\cong H_{n}(U, U\setminus K; M\otimes \Z)\]が成立します。このことに注意すれば容易に確かめられます。

(ii) $K, L\in \mathcal{K}_{X}$ に対して $\vartheta_{K}, \vartheta_{L}, \vartheta_{K\cap L}$ の同型が分かっているとき、次のMayer-Vietoris完全系列 $($補題4.3.6と系4.2.22$)$ による符号の違いを除いた可換図式と5項補題より $\vartheta_{K\cup L}$ の同型が従います。

連結準同型部分

の符号の違いを除いた可換性は確認しておきます。$H_{X}^{\bullet}$ について帰納極限を取る前の状況を考えます。$K, L$ の開近傍 $U, V$ とcohomology類 $[w]\in H^{q}(U\cap V)$ を取ります。$w$ を $U, X$ のコチェインに自明に $($像が $U\cap V$ におさまらない特異単体に対して $0$ を返すように$)$ 拡張したものを $w_{U}, w_{X}$ により表し、$\delta w_{U}$ を $U\cup V$ のコチェインに自明に拡張したものを $(\delta w_{U})_{U\cup V}$ により表すとします。Mayer-Vietoris完全系列の構成および次の図式から $\Delta^{*}([w]) = [(\delta w_{U})_{U\cup V}]$ です。

基本類 $\mu_{X}\in H_{n}(X, X\setminus (K\cup L))$ を代表するチェインを\[a = b + c + d + e\in S_{n}(U\cap V) + S_{n}(U\setminus L) + S_{n}(V\setminus K) + S_{n}(X\setminus (K\cup L))\]であって $\partial a\in S_{n - 1}(X\setminus (K\cup L))$ を満たすものに取ります。$S_{n - q - 1}(X, X\setminus K)$ のチェインとして\begin{eqnarray*}\partial(w_{U}\smallfrown (b + c)) & = & \partial(w_{X}\smallfrown a) \\& = & (-1)^{q}\delta w_{X}\smallfrown a + w_{X}\smallfrown \partial a \\& = & (-1)^{q}\delta w_{X}\smallfrown (b + c + d + e) \\& = & (-1)^{q}\delta w_{U}\smallfrown (b + c)\end{eqnarray*}です。Mayer-Vietoris完全系列の構成および次の図式から $\Delta{*}([w]\smallfrown [b]) = (-1)^{q}\Delta^{*}([w])\smallfrown [b + c + d]$ が従います。

(iii) $\mathcal{K}_{X}$ の広義単調減少列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ であって常に $\vartheta_{K_{m}}$ が同型であるものが与えられているとします。$K := \bigcap_{m\in\N}K_{m}$ とおきます。各 $K_{m}$ に対し、$K_{m}$ の開近傍の単調減少列 $\{U_{m, k}\}_{k\in \N}$ であって $K_{m}$ の開近傍全体のなす有向集合 $\mathcal{U}_{K_{m}}$ において共終なもの取ります。必要であれば各 $m, k\in \N$ に対して $U_{m, k}$ を $\bigcap_{i\leq m}U_{i, k}$ で置き換えることにより、任意の $m\leq m'$ と $k\leq k'$ に対して $U_{m', k'}\subset U_{m, k}$ が成立するとしてよいです。このとき、族 $\{U_{m, k}\}_{m, k\in\N}$ は $\mathcal{U}_{K}$ の中で共終です$U$ を $K$ の開近傍とします。ある $K_{m}$ は $U$ に含まれます。というのは、もしそうでないとすると $K\setminus U = \lim_{m\to +\infty}K_{m}\setminus U\neq \varnothing$ となり $K\subset U$ に矛盾するためです。そして、$\{U_{m, k}\}_{k\in\N}$ が $\mathcal{U}_{K_{m}}$ において共終であることより、ある $k\in \N$ が存在して $K\subset K_{m}\subset U_{m, k}\subset U$ が成立します。。よって、自然な同型\[\varinjlim_{m}H_{X}^{\bullet}(K_{m})\cong \varinjlim_{m}\varinjlim_{k}H^{\bullet}(U_{m, k})\cong \varinjlim_{m, k}H^{\bullet}(U_{m, k})\cong H_{X}^{\bullet}(K)\]が成立します真ん中の同型については予備知識 命題1.3.36を参照。また、同型 $\underset{m}{\varinjlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K_{m})\cong S_{\bullet}(X, X\setminus K)$ から同型 $\underset{m}{\varinjlim}H_{\bullet}(X, X\setminus K_{m})\cong H_{\bullet}(X, X\setminus K)$ が従います。

あとは次の可換図式の帰納極限を取れば $\vartheta_{K}$ の同型が従います。

(step 2) コンパクト部分空間の対 $(K, L)$ について、(step 1)より $\vartheta_{K}, \vartheta_{L}$ は同型なので、次の符号の違いを除いた可換図式と5項補題より $\vartheta_{(K, L)}$ の同型が従います。

連結準同型部分

の符号の違いを除いた可換性は確認しておきます。$H_{X}^{\bullet}$ について帰納極限を取る前の状況を考えます。$L$ の開近傍 $V$ とcohomology類 $[v]\in H^{q}(V)$ を取ります。また、$K$ の開近傍 $U$ であって $V$ を含むものを取ります。$v$ を $U, X$ のコチェインに自明に拡張したものを $v_{U}, v_{X}$ により表すとします。$\delta^{*}([v]) = [\delta v_{U}]\in H^{q + 1}(U, V)$ です。明かな準同型\[\dfrac{S_{n}(V) + S_{n}(U\setminus L)}{S_{n}(U\setminus K)}\cong \dfrac{S_{n}(V) + S_{n}(U\setminus L) + S_{n}(X\setminus K)}{S_{n}(X\setminus K)}\to \dfrac{S_{n}(V) + S_{n}(X\setminus L)}{S_{n}(X\setminus L)}\cong \dfrac{S_{n}(\varnothing) + S_{n}(V\setminus \varnothing)}{S_{n}(V\setminus L)}\]に注意すれば $\vartheta_{L}, \vartheta_{(K, L)}$ の構成で用いる基本類 $\mu_{X}$ の代表元はある共通のチェイン $a = b + c + d\in S_{n}(V) + S_{n}(U\setminus L) + S_{n}(X\setminus K)$ であって $\partial a\in S_{n}(X\setminus K)$ を満たすものに取れます。$S_{n - q - 1}(X\setminus L, X\setminus K)$ におけるチェインとして\begin{eqnarray*}\partial(v\smallfrown b) & = & \partial(v_{X}\smallfrown a) \\& = & (-1)^{q}\delta v_{X}\smallfrown a + v_{X}\smallfrown \partial a \\& = & (-1)^{q}\delta v_{X}\smallfrown (b + c + d) \\& = & (-1)^{q}\delta v_{U}\smallfrown (b + c) \\\end{eqnarray*}が成立し$3$ つ目と $4$ つ目の等号は $\partial a$ および $d$ が $X\setminus K$ のチェインであることから。、$H_{n - q - 1}(X\setminus L, X\setminus K)$ の元として $\partial_{*}([v]\smallfrown [b]) = (-1)^{q}\delta^{*}([v])\smallfrown [b + c]$ です。よって、符号の違いを除いた可換性が確かめられました。

$X$ の境界のカラー近傍 $\partial X\times [0, 3]$ を取り、$K = X\setminus (\partial X\times [0, 1))$, $L = A\times [1, 2]$ として補題4.3.7の同型\[\vartheta_{(K, L)} : H_{\Int X}^{q}(K, L; \mathcal{M})\to H_{n - q}(\Int X\setminus L, \Int X\setminus K; \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X})\]を考えます。$B$ の境界のカラー近傍 $\partial B\times [0, 1]$ を取り、$(K, L)$ の開近傍 $(U_{m}, V_{m})$ を各正整数 $m\in \Np$ に対して\[U_{m} := X\setminus (\partial X\times [0, 1 - \tfrac{1}{m}]),\]\[V_{m} := (A\cup (\partial B\times [0, \tfrac{1}{m})))\times (1 - \tfrac{1}{m}, 2 + \tfrac{1}{m})\]として定めれば、同型\[H_{\Int X}^{q}(K, L; \mathcal{M})\cong \varinjlim_{m}H^{q}(U_{m}, V_{m}; \mathcal{M})\cong H^{q}(X, A; \mathcal{M})\]が分かります。

図4.3.1

また、同型\begin{eqnarray*}H_{n - q}(\Int X\setminus L, \Int X\setminus K; \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X}) & \cong & H_{n - q}(X\setminus (A\times [1, 2]), \partial X\times [0, 1); \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X}) \\& \cong & H_{n - q}(X\setminus (A\times [0, 2]), \Int B \times [0, 1); \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X}) \\& \cong & H_{n - q}(X, B; \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X})\end{eqnarray*}が成立するので、これらの合成より目的の同型\[\PD : H^{q}(X, A; \mathcal{M})\cong H_{n - q}(X, B; \mathcal{M}\otimes \mathcal{O}_{X})\]が従います。

図4.3.2