対 $(X, M)$ に対して準同型 $T_{X, M} : S_{\bullet}(X, M)\to S_{\bullet}(X, \underline{M}_{X}) : \sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma\mapsto \sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma$ を取ります。これは明らかに次数付き $R$ 加群としての同型です。境界準同型を保つことも単体ごとに\begin{eqnarray*}T_{X, M}(\partial(a_{\sigma}\sigma)) & = & T_{X, M} \left(\sum_{l = 0}^{l}(-1)^{l}a_{\sigma}(\sigma\circ \varepsilon_{l}^{k})\right) \\& = & (\theta_{\sigma})_{*}(a_{\sigma})(\sigma\circ \varepsilon_{0}^{k}) + \sum_{l = 1}^{l}(-1)^{l}a_{\sigma}(\sigma\circ \varepsilon_{l}^{k}) \\& = & \partial (T_{X, M}(a_{\sigma}\sigma))\end{eqnarray*}であるのでよいです。自然変換であることも容易であり、この対応により $2$ つの関手が自然同値であることが従います。

特異 $k$ 単体 $\sigma$ と $a_{\sigma}\in M_{\sigma}$ を取ります。標準 $k$ 単体 $\Delta^{k}$ の可縮性から引き戻し $\sigma^{*}\mathcal{M}$ は単純であり、同型 $\sigma^{*}\mathcal{M}\cong \underline{M}_{\Delta^{k}}$ と命題4.2.2より対 $(S_{\bullet}(\Delta^{k}, \sigma^{*}\mathcal{M}), \partial)$ はチェイン複体です。明らかな準同型 $\sigma_{*} : \sigma^{*}\mathcal{M}\to \mathcal{M}$ による誘導準同型 $\sigma_{\sharp} : S_{\bullet}(\Delta^{k}, \sigma^{*}\mathcal{M})\to S_{\bullet}(X, \mathcal{M})$ を取れば\[\partial(\partial(a_{\sigma}\sigma)) = \partial(\partial(\sigma_{\sharp}(a_{\sigma}\Id_{\Delta^{k}}))) = \sigma_{\sharp}(\partial(\partial(a_{\sigma}\Id_{\Delta^{k}}))) = 0\]です。

連続曲線 $c : I\to X$ と特異 $1$ 単体は同一視します。また、各 $x\in X$ に対して $x_{0}$ を $x$ につなぐ連続曲線 $c_{x}$ を固定します。定義から直ちに\[H_{0}(X; \mathcal{M})\cong \bigoplus_{x\in X}M_{x}/\langle \partial(a_{\tau}\tau)\mid \tau\in C(\Delta^{1}, X), \ a_{\tau}\in M_{\tau}\rangle\]です。任意の特異 $1$ 単体 $\tau$ と $a_{\tau}\in M_{\tau}$ に対して\[\partial(a_{\tau}\tau) = \partial(([\overline{c_{\tau(e_{1})}}]\cdot [\tau])_{*}(a_{\tau})c_{\tau(e_{1})} + ([\overline{c_{\tau(e_{0})}}])_{*}(a_{\tau})(\overline{c_{\tau(e_{1})}}\cdot \tau\cdot c_{\tau(e_{0})}) + a_{\tau}\overline{c_{\tau(e_{0})}})\]であることに注意して\begin{eqnarray*}&& \langle \partial(a_{\tau}\tau)\mid \tau\in C(\Delta^{1}, X), \ a_{\tau}\in M_{\tau}\rangle \\& = & \langle \partial(ac)\mid a\in M_{x_{0}}, \ c\in C((I, 0, 1), (X, x_{0}, x_{0}))\rangle + \langle \partial(ac_{x})\mid a\in M_{x_{0}}, \ x\in X\rangle \\& = & \langle (\alpha\cdot a - a)x_{0}\mid a\in M_{x_{0}}, \ \alpha\in \pi_{1}(X, x_{0})\rangle + \langle ([c_{x}])_{*}(a)x - ax_{0}\mid a\in M_{x_{0}}, \ x\in X\setminus \{x_{0}\}\rangle\end{eqnarray*}が成立し、よって、同型\[\bigoplus_{x\in X}M_{x}/\langle \partial(a_{\tau}\tau)\mid \tau\in C(\Delta^{1}, X), \ a_{\tau}\in M_{\tau}\rangle \cong M_{x_{0}}/\langle \alpha\cdot a - a\mid a\in M_{x_{0}}, \ \alpha\in \pi_{1}(X, x_{0}))\rangle\]が成立します。これより主張の同型が従います。

対 $(X, M)$ に対して準同型 $T_{X, M} : S^{\bullet}(X, M)\to S^{\bullet}(X, \underline{M}_{X})$ を次数ごとの自然な同型\[S^{k}(X; M) = \Hom(S_{k}(X; R), M)\cong \prod_{\sigma\in C(\Delta^{k}, X)}M = S^{k}(X; \underline{M}_{X})\]により取ります。余境界準同型を保つことも任意の $u\in S^{k}(X; M)$ と特異 $k + 1$ 単体 $\sigma$ に対して\begin{eqnarray*}\delta T_{X, M}u(\sigma) & = & (\overline{\theta_{\sigma}})_{*}(T_{X, M}u(\sigma\circ \varepsilon_{0}^{k + 1})) + \sum_{l = 1}^{k + 1}(-1)^{l}T_{X, M}u(\sigma\circ \varepsilon_{l}^{k + 1}) \\& = & \sum_{l = 0}^{k + 1}(-1)^{l}u(\sigma\circ \varepsilon_{l}^{k + 1}) = \delta u(\sigma) = T_{X, M}\delta u(\sigma)\end{eqnarray*}であるのでよいです。自然変換であることも容易であり、この対応により $2$ つの関手が自然同値であることが従います。

$k$ 次コチェイン $u\in S^{k}(X; \mathcal{M})$ と特異 $k + 2$ 単体 $\sigma$ を取ります。同型 $\sigma^{*}\mathcal{M}\cong \underline{M}_{X}$ と命題4.2.7より対 $(S^{\bullet}(\Delta^{k + 2}, \sigma^{*}\mathcal{M}), \delta)$ はコチェイン複体です。明らかな準同型 $\overline{\sigma}_{*} : \sigma^{*}\mathcal{M}\to \sigma^{*}\mathcal{M}$ による誘導準同型 $\sigma^{\sharp} : S^{\bullet}(X, \mathcal{M})\to S^{\bullet}(\Delta^{k + 2}, \sigma^{*}\mathcal{M})$ を取れば\[\delta\delta u(\sigma) = \overline{\sigma}_{\Id_{\Delta^{k + 2}}}(\delta\delta u(\sigma)) = \sigma^{\sharp}\delta\delta u(\Id_{\Delta^{k + 2}}) = \delta\delta\sigma^{\sharp} u(\Id_{\Delta^{k + 2}}) = 0\]です。

各 $x\in X$ に対して $x_{0}$ を $x$ につなぐ道のhomotopy類 $\gamma_{x}$ を固定します。準同型\[H^{0}(X; \mathcal{M})\to \{a\in M_{x_{0}}\mid {}^{\forall}\alpha\in \pi_{1}(X, x_{0}), \ \alpha\cdot a = a\} : [u]\mapsto u(x_{0}),\]\[\{a\in M_{x_{0}}\mid {}^{\forall}\alpha\in \pi_{1}(X, x_{0}), \ \alpha\cdot a = a\}\to H^{0}(X; \mathcal{M}) : a\mapsto [u : x\mapsto (\gamma_{x})_{*}(a)]\]が定まり互いに逆を与えていることから主張の同型が従います。

$\tilde{X}$ の各特異単体 $\tilde{\sigma}$ に対して基点 $\tilde{x}_{0}$ を点 $\tilde{\sigma}(e_{0})$ につなぐ一意な道のhomotopy類 $\tilde{\gamma}_{\tilde{\sigma}}\in \Pi(\tilde{X}; \tilde{x}_{0}, \tilde{\sigma}(e_{0}))$ を取り、その押し出し $\tilde{\pi}_{*}\tilde{\gamma}_{\tilde{\sigma}}\in \Pi(X; x_{0}, \tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}(e_{0}))$ を $\gamma_{\tilde{\sigma}}$ と表すことにします。各 $\alpha\in \pi_{1}$ に対して $\gamma_{\tilde{\sigma}\cdot \alpha} = \gamma_{\tilde{\sigma}}\cdot \alpha$ が成立します $($補足3.4.33$)$。$\Z[\pi_{1}]$ バランス写像 $\varphi : S_{\bullet}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z)\times M\to S_{\bullet}(X, A; \mathcal{M})$ を\[\varphi(\tilde{\sigma}, m) := (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}\in M_{\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}}\]により定めます。実際に $\Z[\pi_{1}]$ バランス写像であることは任意の $\tilde{\sigma}\in C(\Delta^{k}, \tilde{X})$, $m\in M$, $\alpha\in \pi_{1}$ に対して\begin{eqnarray*}\varphi(\tilde{\sigma}\cdot \alpha, m) & = & (\gamma_{\tilde{\sigma}\cdot \alpha})_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}(\tilde{\sigma}\cdot \alpha) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}}\cdot \alpha)_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma} \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(\alpha\cdot m)\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma} \\& = & \varphi(\tilde{\sigma}, \alpha\cdot m)\end{eqnarray*}であることから容易に確かめられます。従って、普遍性より次数付き $R$ 加群の準同型\[\tilde{\varphi} : S_{\bullet}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z)\otimes_{\Z[\pi_{1}]} M\to S_{\bullet}(X, A; \mathcal{M})\]が誘導されます。また、任意の $\tilde{\sigma}\in C(\Delta^{k}, \tilde{X})$, $m\in M$ に対して\begin{eqnarray*}\tilde{\varphi}(\partial (\tilde{\sigma}\otimes m)) & = & \tilde{\varphi}\left(\sum_{l = 0}^{k}(-1)^{l}(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k})\otimes m\right) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{0}^{k}})_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{0}^{k}) + \sum_{l = 1}^{k}(-1)^{l}(\gamma_{\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k}})_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k}) \\& = & (\theta_{\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}}\cdot \gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(m)((\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma})\circ \varepsilon_{0}^{k}) + \sum_{l = 1}^{k}(-1)^{l}(\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(m)((\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma})\circ \varepsilon_{l}^{k}) \\& = & \partial((\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(m)\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}) \\& = & \partial(\tilde{\varphi}(\tilde{\sigma}\otimes m))\end{eqnarray*}であるので $R$ 加群のチェイン写像になっています。あとはこれが全単射であることを示せば $R$ 加群のチェイン複体としての同型が従いますが、これは射影 $\tilde{\pi}$ が全単射\[C(\Delta^{k}, \tilde{X})/\pi_{1}\to C(\Delta^{k}, X),\]\[C(\Delta^{k}, \tilde{A})/\pi_{1}\to C(\Delta^{k}, A)\]を誘導することから $S_{k}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z)$ は集合 $C(\Delta^{k}, X)\setminus C(\Delta^{k}, A)$ で生成する自由な右 $\Z[\pi_{1}]$ 加群とみなせるので明らかです。

命題4.2.11の証明の冒頭で導入した記号を使います。$R$ 加群の準同型\[\varphi : \Hom_{\Z[\pi_{1}]}(S_{\bullet}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z), \overline{M})\to S^{\bullet}(X, A; \mathcal{M})\]を各 $v\in \Hom_{\Z[\pi_{1}]}(S_{k}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z), \overline{M})$, $\sigma\in C(\Delta^{k}, X)$ に対して $\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}$ を満たす $\tilde{\sigma}\in C(\Delta^{k}, \tilde{X})$ を固定して\[\varphi(v)(\sigma) := (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(v(\tilde{\sigma}))\in M_{\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}}\]と定めます。これが $\tilde{\sigma}$ の取り方によらないことは任意の $\alpha\in \pi_{1}$ に対して\begin{eqnarray*}(\gamma_{\tilde{\sigma}\cdot \alpha})_{*}(v(\tilde{\sigma}\cdot \alpha)) & = & (\gamma_{\tilde{\sigma}}\cdot \alpha)_{*}(v(\tilde{\sigma})\cdot \alpha) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}}\cdot \alpha)_{*}(\alpha_{*}^{-1}(v(\tilde{\sigma}))) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(v(\tilde{\sigma})) \\\end{eqnarray*}であることからよいです。また、任意の $v\in \Hom_{\Z[\pi_{1}]}(S_{k}(\tilde{X}, \tilde{A}; \Z), \overline{M})$, $\tilde{\sigma}\in C(\Delta^{k}, \tilde{X})$ に対して\begin{eqnarray*}\varphi(\delta v)(\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}) & = & (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(\delta v(\tilde{\sigma})) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(v(\partial \tilde{\sigma})) \\& = & (\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}\left(v\left(\sum_{l = 0}^{k + 1}(-1)^{l}\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k + 1}\right)\right) \\& = & \sum_{l = 0}^{k + 1}(-1)^{l}(\gamma_{\tilde{\sigma}})_{*}(v(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k + 1})) \\& = & (\overline{\theta_{\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}}})_{*}(\gamma_{\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{0}^{k + 1}})_{*}(v(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{0}^{k + 1})) + \sum_{l = 1}^{k + 1}(-1)^{l}(\gamma_{\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k + 1}})_{*}(v(\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k + 1})) \\& = & (\overline{\theta_{\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}}})_{*}(\varphi(u)(\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{0}^{k + 1})) + \sum_{l = 1}^{k + 1}(-1)^{l}\varphi(u)(\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma}\circ \varepsilon_{l}^{k + 1}) \\& = & \delta\varphi(u)(\tilde{\pi}_{*}\tilde{\sigma})\end{eqnarray*}であるので $\varphi$ は $R$ 加群のコチェイン写像です。そして、全単射であることも容易に確かめられ同型です。

次数に関する議論は明らかなので省略します。位相空間 $X$ とその上の $R$ 加群の局所系 $\mathcal{M}$ に対し、写像\[\varphi : S_{\bullet}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet - l}(X; \mathcal{M})\]を $X$ の各特異 $k$ 単体 $\sigma$ と $a_{\sigma}\in M_{\sigma}$ に対して\[\varphi(a_{\sigma}\sigma) := \overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}}))\]として定めます。自明な局所系 $\underline{M}_{X}$ が係数の場合については通常の $R$ 加群が係数の場合との同一視のもとで\[\varphi(\sigma\otimes a_{\sigma}) = \varphi'(\sigma)\otimes a_{\sigma}\]と表示され、少なくとも $\Top\times \Modwc{R}$ までの自然な拡張になっていることは明らかです。次のことを確認します。

(i) 任意の $a_{\sigma}, b_{\sigma}\in M_{\sigma}$ と $r, s\in R$ に対して準同型\[(\overline{r}, \overline{s}) : R\to R\oplus R : t\mapsto (rt, st),\]\[\overline{a_{\sigma}} + \overline{b_{\sigma}} : R\oplus R\to M_{\sigma} : (u, v)\mapsto a_{\sigma}u + b_{\sigma}v\]の誘導する図式

の上側の可換性に注意して\begin{eqnarray*}\varphi((ra_{\sigma} + sb_{\sigma})\sigma) & = & \overline{ra_{\sigma} + sb_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}})) \\& = & ((\overline{a_{\sigma}} + \overline{b_{\sigma}})\sigma_{\sharp}\circ (\overline{r}, \overline{s})(\Id_{\Delta^{k}})_{\sharp})(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}})) \\& = &(\overline{a_{\sigma}} + \overline{b_{\sigma}})\sigma_{\sharp}(\varphi((r, s)\Id_{\Delta^{k}})) \\& = & (\overline{a_{\sigma}} + \overline{b_{\sigma}})\sigma_{\sharp}(r\cdot \varphi((1, 0)\Id_{\Delta^{k}}) + s\cdot \varphi((0, 1)\Id_{\Delta^{k}})) \\& = & r\cdot \overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}})) + s\cdot \overline{b_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}})) \\& = & r\cdot \varphi(a_{\sigma}\sigma) + s\cdot \varphi(b_{\sigma}\sigma) \\\end{eqnarray*}です。よって、$\varphi$ は準同型です。

(ii) 準同型 $(f, F) : (X, \mathcal{M})\to (Y, \mathcal{N})$ が与えられたとして、$X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ と $a_{\sigma}\in M_{\sigma}$ ごとに次のような図式を考えればよいです。$\Id_{\Delta^{k}}\in S_{k}(\Delta^{k}; R)$ の行き先についての可換性内側の四角形が図式として可換であることはまだ示しておらず、あくまでも $\varphi$ の定義から分かる $\Id_{\Delta^{k}}$ の行き先についての可換性を使っていることに注意。ちなみに、この部分の可換性はここで示した自然性と $\varphi$ が $\varphi'$ の拡張であることを合わせて確認されます。から $F_{\sharp}(\varphi(a_{\sigma}\sigma)) = \varphi(F_{\sharp}(a_{\sigma}\sigma))$ です。

(iii) $\varphi$ を $\varphi'$ の自然な拡張とします。$\varphi$ の自然性から $X$ の任意の特異 $k$ 単体 $\sigma$ と $a_{\sigma}\in M_{\sigma}$ に対して\[\varphi(a_{\sigma}\sigma) = \varphi(\overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\Id_{\Delta^{k}})) = \overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi(\Id_{\Delta^{k}}))\]であり、また、$\varphi$ が $\varphi'$ の拡張であることから\[\varphi(a_{\sigma}\sigma) = \overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}}))\]です。これは冒頭の定義に一致しており、自然な拡張 $\varphi$ の一意性が従います。

(1) 拡張であることはで命題4.2.2示しています。

(2) 自然な準同型 $\partial'\varphi' = \varphi'\partial'$ の自然な拡張の一意性から $\partial\varphi = \varphi\partial$ です。

(3) 自然な準同型 $\psi' - \varphi' - (D'\partial' + \partial'D') = 0$ の自然な拡張の一意性から $\psi - \varphi - (D\partial + \partial D) = 0$ です。

標準 $k$ 単体 $\Delta^{k}$ の $l$ 番目の頂点を $e_{l}^{k}$ で表すとします。$\Delta^{k}$ の特異 $k - l$ 単体 $\tau$ に対して頂点 $e_{0}^{k}$ と $\tau(e_{0}^{k - l})$ をつなぐ一意な道のhomotopy類 $\gamma_{\tau}\in \Pi(\Delta^{k}; e_{0}^{k}, \tau(e_{0}^{k - l}))$ が取れます。また、コチェイン $u\in S^{k}(X; \mathcal{M})$ に対し、$X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ による引き戻し $\sigma^{\sharp}u\in S^{k - l}(\Delta^{k}; \sigma^{*}\mathcal{M})$ を同型\[S^{k - l}(\Delta^{k}; \sigma^{*}\mathcal{M})\cong S^{k - l}(\Delta^{k}; M_{\sigma}) = \Hom(S_{k - l}(\Delta^{k}; R), M_{\sigma})\]による同一視のもと $\Hom(S_{k - l}(\Delta^{k}; R), M_{\sigma})$ の元とみなしたものを $\sigma^{\natural}u$ で表すとします。具体的には、$\Delta^{k}$ の特異 $k - l$ 単体 $\tau$ ごと $\sigma^{\natural}u(\tau) = (\sigma_{*}\overline{\gamma_{\tau}})_{*}(u(\sigma\circ \tau))\in M_{\sigma}$ として定まる準同型です。

そこで、準同型\[\varphi^{\sharp} : S^{\bullet - l}(X; \mathcal{M})\to S^{\bullet}(X; \mathcal{M})\]をコチェイン $u\in S^{k - l}(X; \mathcal{M})$ と $X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して\[\varphi^{\sharp}u(\sigma) := \sigma^{\natural}u(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}}))\in M_{\sigma}\]として定めます。次のことを確認します。

(i) 明らかです。

(ii) 準同型 $(f, \overline{F}) : (X, \mathcal{M})\to (Y, \mathcal{N})$ が与えられたとします。$\varphi'(\Id_{\Delta^{k}}) = \sum_{i = 1}^{p}r_{i}\tau_{i}$ と表し、一意な道のhomotopy類 $\alpha_{i}:= \gamma_{\tau_{i}}\in \Pi(\Delta^{k}; e_{0}^{k}, \tau_{i}(e_{0}^{k - l}))$ を取ります。コチェイン $v\in S^{k - l}(Y; \mathcal{N})$ と $X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して\begin{eqnarray*}F^{\sharp}\varphi^{\sharp}v(\sigma) & = & \overline{F}_{\sigma}(\varphi^{\sharp}v(f_{*}\sigma)) \\& = & \overline{F}_{\sigma}((f_{*}\sigma)^{\natural}v(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}}))) \\& = & \overline{F}_{\sigma}\left((f_{*}\sigma)^{\natural}v\left(\sum_{i = 1}^{p}r_{i}\tau_{i}\right)\right) \\& = & \overline{F}_{\sigma}\left(\sum_{i = 1}^{p}r_{i}\cdot ((f\circ \sigma)_{*}\overline{\alpha_{i}})_{*}(v(f\circ \sigma\circ \tau_{i}))\right) \\& = & \sum_{i = 1}^{p}r_{i}\cdot \overline{F}_{\sigma}(((f\circ \sigma)_{*}\overline{\alpha_{i}})_{*}(v(f\circ \sigma\circ \tau_{i}))) \\& = & \sum_{i = 1}^{p}r_{i}\cdot (\sigma_{*}\overline{\alpha_{i}})_{*}(\overline{F}_{\sigma\circ \tau_{i}}(v(f\circ \sigma\circ \tau_{i}))) \\& = & \sum_{i = 1}^{p}r_{i}\cdot (\sigma_{*}\overline{\alpha_{i}})_{*}(F^{\sharp}v(\sigma\circ \tau_{i})) \\& = & \sigma^{\natural}F^{\sharp}v(\varphi'(\Id_{\Delta^{k}})) \\& = & \varphi^{\sharp}F^{\sharp}(\sigma)\end{eqnarray*}であり、$\varphi^{\sharp}$ は自然です。

(iii) 明らかです。

(iv) 明らかです。

$i_{X, t} : X\to X\times I : x\mapsto (x, t)$ と連続写像を定めるとして、自然なチェイン写像 $(i_{X, 0})_{\sharp}, (i_{X, 1})_{\sharp} : S_{\bullet}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet}(X\times I; \mathcal{M}\hatotimes \underline{R}_{I})$ をつなぐ自然なchain homotopy\[P_{X, \mathcal{M}} : S_{\bullet}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet + 1}(X\times I; \mathcal{M}\hatotimes \underline{R}_{I})\]が $R$ 係数のときに構成したプリズム作用素 $($補題2.1.10$)$ の補題4.2.13による一意な拡張として取れます。実際にchain homotopyであることは系4.2.14から従います。従って、準同型 $(f_{0}, F_{0}), (f_{1}, F_{1})$ をつなぐhomotopy $(f, F) : (X\times I, \mathcal{M}\hatotimes \underline{R}_{I})\to (Y, \mathcal{N})$ が与えられたとき、$(i_{X, 0})_{\sharp}\sim (i_{X, 1})_{\sharp}$ より\[(F_{0})_{\sharp} = F_{\sharp}\circ (i_{X, 0})_{\sharp}\sim F_{\sharp}\circ (i_{X, 1})_{\sharp} = (F_{1})_{\sharp}\]が成立します。

コチェイン複体については補題4.2.15と同様の構成によって $i_{X, 0}^{\sharp}$ を $i_{X, 1}^{\sharp}$ につなぐ自然なcochain homotopy $P_{X, \mathcal{M}}^{\sharp} : S^{\bullet}(X\times I; \mathcal{M}\hatotimes \underline{R}_{I})\to S^{\bullet - 1}(X; \mathcal{M})$ が得られるので、準同型 $(f_{0}, \overline{F_{0}}), (f_{1}, \overline{F_{1}})$ をつなぐhomotopy $(f, \overline{F}) : (X\times I, \mathcal{M}\hatotimes \underline{R}_{I})\to (Y, \mathcal{N})$ が与えられたとき\[(F_{0})^{\sharp} = (i_{X, 0})^{\sharp}\circ F^{\sharp}\sim (i_{X, 1})^{\sharp}\circ F^{\sharp} = (F_{1})^{\sharp}\]が成立します。

補題4.2.13より $R$ 係数で構成した重心細分作用素 $\sd$ とそれを恒等チェイン写像 $1$ につなぐchain homotopy $D$ は局所系係数に拡張します。$X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して $m(\sigma)$ で $\sd_{k}^{m}(\sigma)\in S_{k}\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}; R\right)$ を満たす最小の非負整数を表すとして、準同型 $\tilde{D} : S_{\bullet}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet + 1}(X; \mathcal{M})$ を\[\tilde{D}_{k}(a_{\sigma}\sigma) := \sum_{0\leq j < m(\sigma)}D_{k}\circ \sd_{k}^{j}(a_{\sigma}\sigma)\]により定義します。そして、準同型 $\varphi : S_{\bullet}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet}\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}; \mathcal{M}\right)$ を $\varphi := 1 + \partial\circ \tilde{D} + \tilde{D}\circ \partial$ により定めます。$\varphi$ がきちんと定義されていてチェイン写像になっていることが通常 $($命題2.2.5$)$ と同様の計算により確かめられ、$\tilde{D}$ は $1$ を $\iota\circ \varphi$ につなぐchain homotopyです。また、明らかに $\varphi\circ \iota = 1$ なので $\iota$ はchain homotopy同値写像です。

コチェイン複体の場合は準同型 $\tilde{D}^{\sharp} : S^{\bullet + 1}(X; \mathcal{M})\to S^{\bullet}(X; \mathcal{M})$ をコチェイン $u\in S^{k + 1}(X; \mathcal{M})$ と $X$ の特異 $k$ 単体 $\sigma$ に対して\[\tilde{D}_{k}^{\sharp}u(\sigma) := \sum_{0\leq j < m(\sigma)}(\sd_{k}^{\sharp})^{j}D_{k}^{\sharp}u(\sigma)\]であるように定義し、これを用いて準同型 $\varphi^{\sharp} : S^{\bullet}\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}; \mathcal{M}\right)\to S^{\bullet}(X; \mathcal{M})$ を $\varphi^{\sharp} = 1 + \tilde{D}^{\sharp}\circ \partial^{\sharp} + \partial^{\sharp}\circ \tilde{D}^{\sharp}$ により定めれば同様に確認できます。

$X = \Int (X\setminus U)\cup \Int A$ であり、命題4.2.18より同型\[H_{\bullet}((X\setminus U) + A)\cong H_{\bullet}(X)\]が成立します。従って、補題2.2.7と同様の議論により\[H_{\bullet}(X\setminus U, A\setminus U)\cong H_{\bullet}(X, A)\]が成立します。cohomology群についても同様です。

自然な短完全系列\[0\to S_{\bullet}(A_{1}\cap A_{2})\xrightarrow{(i_{1\sharp}, -i_{2\sharp})} S_{\bullet}(A_{1})\oplus S_{\bullet}(A_{2})\xrightarrow{j_{1\sharp} + j_{2\sharp}} S_{\bullet}(A_{1} + A_{2})\to 0\]のhomology完全系列と同型\[H_{\bullet}(X)\cong H_{\bullet}(A_{1} + A_{2})\]から従います。cohomology群についても同様です。

自然な短完全系列\[0\to S_{\bullet}(U_{1}\cap U_{2}, V_{1}\cap V_{2})\xrightarrow{(i_{1\sharp}, -i_{2\sharp})} S_{\bullet}(U_{1}, V_{1})\oplus S_{\bullet}(U_{2}, V_{2})\xrightarrow{j_{1\sharp} + j_{2\sharp}} S_{\bullet}(U_{1} + U_{2}, V_{1} + V_{2})\to 0\]のhomology完全系列を考えます。自然な短完全系列の間の射

についてhomology完全系列を取り、5項補題を用いることで同型\[H_{\bullet}(U_{1}\cup U_{2}, V_{1}\cup V_{2})\cong H_{\bullet}(U_{1} + U_{2}, V_{1} + V_{2})\]が得られるので主張の自然な短完全系列が従います。

cohomology群については、自然な短完全系列\[0\to S^{\bullet}(U_{1} + U_{2}, V_{1} + V_{2})\xrightarrow{(j_{1}^{\sharp}, j_{2}^{\sharp})} S^{\bullet}(U_{1}, V_{1})\oplus S^{\bullet}(U_{2}, V_{2})\xrightarrow{i_{1}^{\sharp} - i_{2}^{\sharp}} S^{\bullet}(U_{1}\cap U_{2}, V_{1}\cap V_{2})\to 0\]のcohomology完全系列とhomology群の場合と同様にして分かる同型\[H^{\bullet}(U_{1}\cup U_{2}, V_{1}\cup V_{2})\cong H^{\bullet}(U_{1} + U_{2}, V_{1} + V_{2})\]から従います。

命題4.2.21において $U_{1} = U_{2} = X$ としたものです。

まず、通常の $R$ 係数でのEilenberg-Zilber写像 $\rho', \kappa'$ が与えられたとして

を確認し、その後で

を確かめればよいです。

(i) (ii) 補題4.2.13と同様の事実、$R$ 係数で考えた自然な準同型\[\varphi' : S_{\bullet}(X\times Y; R)\to S_{\bullet}(X; R)\otimes S_{\bullet}(Y; R),\]\[\psi' : S_{\bullet}(X; R)\otimes S_{\bullet}(Y; R)\to S_{\bullet}(X\times Y; R)\]が局所系係数における自然な準同型 $\varphi, \psi$ に一意に拡張することから従います。$\varphi, \psi$ は具体的には\[\varphi((a_{\sigma}\otimes b_{\tau})(\sigma, \tau)) = ((\overline{a_{\sigma}}\sigma_{\sharp}\otimes \overline{b_{\tau}}\tau_{\sharp})\circ \varphi')((\Id_{\Delta^{k}}, \Id_{\Delta^{k}})),\]\[\psi(a_{\sigma}\sigma\otimes b_{\tau}\tau) = ((\overline{a_{\sigma}}\sigma\hatotimes \overline{b_{\tau}}\tau)_{\sharp}\circ \psi')(\Id_{\Delta^{k}}\otimes \Id_{\Delta^{l}})\]により与えられます。ただし、$\overline{a_{\sigma}}\sigma\hatotimes \overline{b_{\tau}}\tau$ は準同型 $\overline{a_{\sigma}}\sigma : \underline{R}_{\Delta^{k}}\to \mathcal{M}$, $\overline{b_{\tau}}\tau : \underline{R}_{\Delta^{l}}\to \mathcal{N}$ の誘導する準同型 $\underline{R}_{\Delta^{k}}\hatotimes \underline{R}_{\Delta^{l}}\to \mathcal{M}\hatotimes \mathcal{N}$ です。

(iii) 主張の条件を満たす自然なチェイン写像 $\rho_{0}, \rho_{1}$ が与えられたとき、その $R$ 係数の場合への制限 $\rho_{0}', \rho_{1}'$ が $R$ 係数の場合のEilenberg-Zilber写像であることに注意して、その間の自然なchain homotopyを局所系係数の場合に拡張することで $\rho_{0}$ を $\rho_{1}$ につなぐchain homotopyが得られます。$\kappa$ についても同様です。

通常 $($定理2.3.6$)$ と全く同様です。

(1) $R$ 係数のクロス積の場合の証明 $($命題2.3.13$)$ で構成したチェイン写像\[\mu := \kappa\circ(\kappa\otimes \Id): S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z)\xrightarrow{\kappa\otimes \Id} S_{\bullet}(X\times Y)\otimes S_{\bullet}(Z)\xrightarrow{\kappa} S_{\bullet}(X\times Y\times Z),\]\[\nu := \kappa\circ(\Id\otimes \kappa): S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y)\otimes S_{\bullet}(Z)\xrightarrow{\Id\otimes \kappa} S_{\bullet}(X)\otimes S_{\bullet}(Y\times Z)\xrightarrow{\kappa} S_{\bullet}(X\times Y\times Z)\]および $\mu, \nu$ をつなぐchain homotopyの局所系係数への自然な拡張を考えればよいです。

(2) (1)と同様に、$R$ 係数のクロス積の場合の証明で構成したチェイン写像などの局所系係数への自然な拡張を考えればよいです。

通常 $($命題2.3.15$)$ と同様です。

通常 $($命題2.3.16$)$ と同様です。

通常 $($命題2.3.17$)$ と同様です。

局所有限な特異 $k$ チェイン $c = \sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma\in S_{k}^{\lf}(X; \mathcal{M})$ を取り、次のことを確かめればよいです。

(i) 特異 $k - 1$ 単体 $\tau$ を面に持つ特異 $k$ 単体 $\sigma$ であって $a_{\sigma}\neq 0$ であるものが高々有限個であることを示せばよいです。$|\tau|$ の点 $x$ を取り、この $x$ の開近傍 $U$ であって $a_{\sigma}\neq 0$ を満たす特異 $k$ 単体 $\sigma$ と高々有限個しか交わらないものを取ります。$\tau$ を面にもつ特異 $k$ 単体は $U$ とも交わるため、$a_{\sigma}\neq 0$ かつ $\tau$ を面にもつ特異 $k$ 単体 $\sigma$ は高々有限個です。よって、$\partial c$ は形式無限和として定義されています。

(ii) $\partial c = \sum_{\tau}b_{\tau}\tau$ とおきます。点 $x\in X$ に対し、その開近傍 $U$ であって $a_{\sigma}\neq 0$ を満たす特異 $k$ 単体 $\sigma$ と高々有限個しか交わらないものを取り、その個数を $m$ とおきます。$U$ と交わる特異 $k - 1$ 単体 $\tau$ であって $b_{\tau}\neq 0$ であるものは $a_{\sigma}\neq 0$ かつ $U$ と交わる特異 $k$ 単体 $\sigma$ の面に限られるため、高々 $m(k + 1)$ 個しか存在しません。よって、$\partial c$ は局所有限です。

各 $K\in \mathcal{K}_{X}$ に対し、チェイン写像 $S_{\bullet}^{\lf}(X; \mathcal{M})\to S_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})$ を各局所有限な特異チェイン $\sum_{\sigma}a_{\sigma}\sigma$ に対して $|\sigma|\subset X\setminus K$ を満たす特異単体の係数のみ $0$ で置き換えた特異チェインを対応させることで与えますこれが実際に $S_{k}(X, X\setminus K; \mathcal{M})$ の元を定めている、つまり、有限和になっていることは補足4.2.33の同値性から従います。。そして、射影極限の普遍性からチェイン写像 $S_{\bullet}^{\lf}(X; \mathcal{M})\to \underset{K}{\varprojlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})$ を取ります。このチェイン逆写像は $\left(c_{K} = \sum_{\sigma} a_{K, \sigma}\sigma\right)_{K\in \mathcal{K}_{X}}\in \underset{K}{\varprojlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})$ に対して局所有限な特異チェイン $c = \sum_{\sigma} a_{\sigma}\sigma\in S_{\bullet}^{\lf}(X; \mathcal{M})$ を特異単体 $\sigma$ ごと $|\sigma|\cap K\neq \varnothing$ となる $K\in \mathcal{K}_{X}$ を選んで $a_{\sigma} := a_{K, \sigma}$ として定めればよいです。$K$ の取り方によらないことは容易であり、局所有限性も各点に相対コンパクト開近傍が存在することから確かめられます。よって、自然な同型が従います。

主張の増大列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ は包含関係による有向集合としての $\mathcal{K}_{X}$ の中で共終予備知識 定義1.3.34参照。なので同型\[\underset{K}{\varprojlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})\cong \underset{m}{\varprojlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\]が従います。各 $i\leq j$ に対して包含写像による誘導チェイン写像\[S_{\bullet}(X, X\setminus K_{j}; \mathcal{M})\to S_{\bullet}(X, X\setminus K_{i}; \mathcal{M})\]が全射なので、列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ に関する射影系はMittag-Leffler条件 $($命題1.4.15$)$ を満たし、$\underset{m}{\varprojlim}^{1}S_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M}) = 0$ が成立します。よって、Milnor完全系列 $($命題1.4.18$)$\[0\to {\varprojlim_{m}}^{1}H_{\bullet + 1}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\to H_{\bullet}^{\lf}(X; \mathcal{M})\to \varprojlim_{m}H_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\to 0\]が成立します。

$c\in S_{n}(X, X\setminus A; \mathcal{M})$ を $\alpha$ の代表元とします。任意の $x\in X\setminus |c|$ に対し、$c$ は $S_{n}(X, X\setminus \{x\}; \mathcal{M})$ の中で $0$ なので $\varrho(\alpha)(x) = 0$ です。$|c|$ はコンパクト閉集合であるので $\varrho(\alpha)$ はコンパクト台を持ちます。

点 $x\in A$ における連続性を示します。$|\partial c|$ は $X\setminus A$ に含まれるコンパクト集合であり、その $X\setminus A$ における相対コンパクト開近傍 $W$ が取れます。点 $x\in A$ の閉近傍 $D$ であってある局所座標 $\varphi : U\to V$ によって $\R^{n}$ の単位閉球体に移されるものを取ります。包含写像による可換図式

から $\varrho_{D}(\alpha)|_{A\cap D} = \varrho_{A}(\alpha)|_{A\cap D}$ であり、$\varrho_{D}(\alpha)$ の連続性が示されれば $\varrho_{A}(\alpha)$ の $x$ における連続性が従います。

$D$ の閉近傍 $D'\subset U$ であって $($さっきの$)$ 座標近傍 $\varphi$ によって原点を中心とする閉球体に移るものを取り、同相写像 $\sigma : \Delta^{n}\to D'$ を取ります。$H_{n}(X, X\setminus D; \mathcal{M})$ の元としての $\alpha$ はある $a_{\sigma}\in M_{\sigma}$ を用いて $a_{\sigma}\sigma$ により代表されます。各 $x'\in D$ に対して $\varrho_{D}(\alpha)(x')\in H_{n}(X, X\setminus \{x'\}; \Z)\otimes M_{x'}$ は $\sigma$ の代表するhomology類 $o_{x'}\in H_{n}(X, X\setminus \{x'\}; \Z)$ と道のhomotopy類 $\gamma_{x'}\in \Pi(D'; \sigma(e_{0}), x')$ を用いて $o_{x'}\otimes (\gamma_{x'})_{*}(a_{\sigma})$ により表されるので $\varrho_{D}(\alpha)$ は連続です。

以下の順に示します。

(step 1) 部分複体としての $K$ の胞体の数に関する帰納法により示されます。全ての $l - 1$ 個以下の胞体からなる有限部分複体に対して真であるとしたとき、ちょうど $l$ 個の胞体を持つ有限部分複体 $K$ に対し、$\dim K$ 次元の胞体 $e$ を $1$ つ選んで $A = K\setminus e$, $B = \overline{e}$ とおけば、帰納法の仮定から $P(A), P(A\cap B)$ は真であり、(i)から $P(B)$ も真です。よって、(ii)より $P(A\cup B)$ も真です。

(step 2) 各正整数 $m\in \Np$ について、$\R^{n}$ に一辺 $1/m$ の超立方体による格子状の胞体構造を与え、$K$ を含む最小の部分複体を $K_{m}$ とおきます。$K = \bigcap_{m\in \Np}K_{m}$ であるので(step 1)と(iii)より $P(K)$ は真です。

(step 3) $K$ のコンパクト性により有限コンパクト被覆 $\{K_{i}\}_{1\leq i\leq m}$ であって各 $K_{i}$ がある座標近傍に含まれるものが存在します。この被覆の濃度に関する帰納法により示されます。実際、$m - 1$ 個からなる被覆を持つ場合について示されたとき、$K$ の有限コンパクト被覆 $\{K_{i}\}_{1\leq i\leq m}$ が取れたとして、$P(K\cap K_{m}), P\left(K\cap K_{m}\cap \bigcup_{1\leq i\leq m - 1}K_{i}\right)$ は(step 2)より真、$P\left(K\cap \bigcup_{1\leq i\leq m - 1}K_{i}\right)$ は帰納法の仮定より真です。よって、(ii)より $P(K)$ は真です。

(step 4) $X$ のコンパクト集合の増大列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ を $\bigcup_{m\in\N}K_{m} = X$ かつ常に $K_{m - 1}\subset \Int K_{m}$ を満たすように取ります $($予備知識 命題2.6.28$)$。$K_{-1} := \varnothing$ とおき、各 $m\in \N$ に対して $L_{m} := A\cap (K_{m}\setminus \Int K_{m - 1})$ と定めます。$\mathcal{K}_{X}$ の列 $\{L_{2m}\}_{m\in\N}$, $\{L_{2m + 1}\}_{m\in\N}$, $\{L_{m}\cap L_{m + 1}\}_{m\in\N}$ はいずれも互いに非交叉かつ局所有限な $\mathcal{K}_{X}$ の列であり、また、(step 3)より各 $P(L_{2m}), P(L_{2m + 1}), P(L_{m}\cap L_{m + 1})$ は真なので(iv)より $P\left(\bigcup_{m\in\N}L_{2m}\right), P\left(\bigcup_{m\in\N}L_{2m + 1}\right), P\left(\bigcup_{m\in\N}L_{m}\cap L_{m + 1}\right)$ は真です。よって、(ii)より $P(A)$ は真です。

主張の条件について補題4.2.39の(i)から(iv)を示せばよいです。

(i) 自明です。

(ii) 相対版のMayer-Vietoris完全系列を含む可換図式

において $\varrho_{A}\times \varrho_{B}, \varrho_{A\cap B}$ が同型であることと図式の下側も完全であることから $\varrho_{A\cup B}$ は同型です。

また、$q > n$ において $H_{q}(X, X\setminus (A\cup B); \mathcal{M}) = 0$ であることは相対版のMayer-Vietoris完全系列から直ちに従います。

(iii) $K := \bigcap_{m\in\N}K_{m}$ とおき、以下のことを確認すればよいです。

(step 1) $K$ と交わらない特異単体 $\sigma$ に対してある非負整数 $m_{\sigma}\in \N$ が存在し、任意の $m > m_{\sigma}$ に対して $|\sigma|$ は $K_{m}$ と交わりません空でないコンパクト閉集合の広義単調減少列の極限が空でないことと $\lim_{m\to +\infty}(|\sigma|\cap K_{m}) = \varnothing$ から従います。。従って、特異チェイン複体について同型\[S_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})\cong \underset{m}{\varinjlim}S_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\]が従い、homology関手と帰納極限の可換性 $($命題1.4.16$)$ より同型\[H_{\bullet}(X, X\setminus K; \mathcal{M})\cong \underset{m}{\varinjlim}H_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\]が成立します。

(step 2) 各 $s_{m}\in \Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})$ に対して制限 $s_{m}|_{K}$ を対応させる準同型について帰納極限の普遍性を用いることで準同型\[\varphi : \underset{m}{\varinjlim}\Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\to \Gamma_{0}(K; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\]が定まります。この準同型が全単射であることを示せばよいです。

まずは単射性から。切断 $s_{m}\in \Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})$, $s_{l}\in \Gamma_{0}(K_{l}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})$ であって $\varphi([s_{m}]) = \varphi([s_{l}])$ を満たすものを取ります。$s_{m}|_{K} = s_{l}|_{K}$ です。対称性から $l > m$ とおきます。$A := \{x\in K_{l}\mid s_{m}(x) = s_{l}(x)\}$ は $K_{l}$ における $K$ の開近傍です。$\lim_{i\to +\infty} K_{i}\setminus A = \varnothing$ と空でないコンパクト閉集合の減少列の極限が空でないことより、ある非負整数 $p\geq l$ が存在して $K_{p}\subset A$ であり、従って、$s_{m}|_{K_{p}} = s_{l}|_{K_{p}}$ です。これは $[s_{m}] = [s_{l}]$ を意味し、$\varphi$ は単射です。

続いて全射性。切断 $s\in \Gamma_{0}(K; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})$ を取ります。その像 $s(K)\subset \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M}$ のコンパクト近傍の減少列 $\{L_{m}\}_{m\in \N}$ であって極限が $s(K)$ であるものを取りますEuclid空間のコンパクト部分集合 $L$ に対してはその $1/(m + 1)$ 閉近傍を $L_{m}$ として列を取ればその極限が $L$ になります。$s(K)$ に対しては座標近傍に含まれるコンパクト部分集合による有限和に分解してそれぞれに $L$ と同様の構成をすればよいです。。射影 $\pi : \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M}\to X$ を取り、$A_{m} := \{x\in X\mid \#(\pi^{-1}(x)\cap L_{m})\geq 1\}$ とおきます。各 $A_{m}$ はコンパクト閉集合であり、また、極限 $\lim_{m\to +\infty}A_{m} = \varnothing$ が成立します。よって、ある非負整数 $p$ について $\pi|_{L_{p}}$ は単射、従って、埋め込みですコンパクト空間からHausdorff空間への連続単射は埋め込みでした。。その像は $K$ の近傍であり、ある $K_{q}$ はそこに含まれ、$s$ は $K_{q}$ における切断 $s_{q}$ に拡張し $\varphi([s_{q}]) = s$ を満たします。以上により $\varphi$ は全射です。

(step 3) 容易です。

(iv) 互いに非交叉かつ局所有限な $\mathcal{K}_{X}$ の列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ であって各 $K_{m}$ について主張が成立しているものを取ります。$K := \bigcup_{m\in\N}K_{m}$ とおきます。列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ に対してこれを分離する互いに非交叉な開近傍列 $\{U_{m}\}_{m\in\N}$ を取れば各 $K_{m}$ のコンパクト近傍 $L_{m}$ を $i < m$ に対して $L_{i}\cap L_{m} = \varnothing$ かつ $i > m$ に対して $L_{m}\cap K_{i} = \varnothing$ であるように添字の小さいほうから順に取っていきます。仮定から $\bigcup_{i < m}L_{i}\cup \bigcup_{i > m}K_{i}$ が $K_{m}$ とは交わらない閉集合であることに注意。そして、$U_{m} := \Int L_{m}$ とおけばよいです。、切除同型\[H_{q}(X, X\setminus K; \mathcal{M})\cong \bigoplus_{m\in\N} H_{q}(U_{m}, U_{m}\setminus K_{m}; \mathcal{M})\]が成立します。同様の同型\[\Gamma_{0}(K; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\cong \bigoplus_{m\in\N} \Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\]も容易に確かめられます。各 $K_{m}$ に対する結果から $K$ についても主張は成立します。

(1) 命題4.2.41から従います。

(2) $X$ のコンパクト部分集合の増大列 $\{K_{m}\}_{m\in\N}$ であって $\bigcup_{m\in\N}K_{m} = X$ かつ常に $K_{m - 1}\subset \Int K_{m}$ を満たすものを取ります。命題4.2.35の短完全系列\[0\to {\varprojlim_{m}}^{1} H_{\bullet + 1}H(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\to H_{\bullet}^{\lf}(X; \mathcal{M})\to \varprojlim_{m}H_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\to 0\]と $H_{q + 1}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})$ が $q\geq n$ において自明であること $($命題4.2.41$)$ から同型\[H_{q}^{\lf}(X; \mathcal{M})\cong \left\{\begin{array}{ll}\underset{m}{\varprojlim}H_{q}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M}) & (q = n) \\0 & (q > n)\end{array}\right.\]が成立します。明らかに同型\[\varprojlim_{m}\varrho_{K_{m}} : \varprojlim_{m}H_{\bullet}(X, X\setminus K_{m}; \mathcal{M})\to \varprojlim_{m}\Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\]が成立し、あとは準同型\[\Gamma(X; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})\cong \varprojlim_{m}\Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M}) : s\mapsto (s|_{K_{m}})_{m\in\N}\]が同型であることを示せばよいです。単射性は自明であり、全射性も $(s_{m})_{m\in\N}\in \varprojlim_{m}\Gamma_{0}(K_{m}; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M})$ に対して $s(x) = s_{m}(x) \ (x\in K_{m})$ とすることで常に $s|_{K_{m}} = s_{m}$ を満たす切断がwell-definedに取れるのでよいです。よって、同型です。

(3) 境界 $\partial X$ のカラー近傍 $\partial X\times [0, 1]$ を固定します。このとき、\begin{eqnarray*}H_{n}(X, \partial X; \mathcal{M}) & \cong & \varprojlim_{m}H_{n}(X, \partial X\times [0, \tfrac{1}{m}); \mathcal{M}) \\& \cong & \varprojlim_{m}H_{n}(\Int X, \partial X\times (0, \tfrac{1}{m}); \mathcal{M}) \\& \cong & H_{n}^{\lf}(\Int X; \mathcal{M}) \\& \cong & \Gamma(\Int X; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M}) \\& \cong & \Gamma(X; \mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{M}) \\\end{eqnarray*}です。

同型 $\mathcal{O}_{X}\otimes \mathcal{O}_{X}\cong \underline{\Z}_{X}$ と定理4.2.42から従います。

空間対 $(W, \partial W)$ のhomology完全系列における連結準同型 $\partial_{*}$ に対して $\partial_{*}(\mu_{W, \partial W}) = \mu_{X_{1}} - \mu_{X_{0}}$ が成立することに注意します。連結準同型の自然性を連続写像 $F : (W, \partial W)\to (Y, Y)$ について用いて計算すると\begin{eqnarray*}(\deg f_{1} - \deg f_{0})\mu_{Y} & = & (f_{1})_{*}(\mu_{X_{1}}) - (f_{0})_{*}(\mu_{X_{0}}) \\ & = & (\partial F)_{*}(\mu_{X_{1}} - \mu_{X_{0}}) \\& = & ((\partial F)_{*}\circ \partial_{*})(\mu_{W, \partial W}) \\& = & (\partial_{*}\circ F_{*})(\mu_{W, \partial W}) \\& = & 0\end{eqnarray*}です。等式の最後は $F_{*}(\mu_{W, \partial W})\in H_{n + 1}(Y, Y; \Z) = 0$ から従います。