(1) 接ベクトル $v$ に対して $v_{c} = v$ を満たす $C^{r}$ 級曲線 $c : J\to M$ を取ります。このとき、\begin{eqnarray*}v(fg) & = & \dfrac{d((fg)\circ c)}{dt}(0) = \dfrac{d((f\circ c)(g\circ c))}{dt}(0) \\& = & \dfrac{d(f\circ c)}{dt}(0)g(p) + f(p)\dfrac{d(g\circ c)}{dt}(0) = v(f)g(p) + f(p)v(g)\end{eqnarray*}となっています。

(2) 明らかです。

(3) $p$ の周りの座標近傍 $(U, \varphi)$ を取ります。また、正実数 $\varepsilon > 0$ を固定し、開区間 $I_{\varepsilon} := (-\varepsilon, \varepsilon)$ を取ります。次の流れで示します。

(step 1) 任意の $f\in C^{r}(M)$ に対して $v_{c_{i}}(f)$ の値は合成 $f\circ c_{i}$ の $t = 0$ におけるJacobi行列 $J_{f\circ c_{i}}(0)$ $($の唯一の成分$)$ ですが、これは合成関数の微分法より\[J_{f\circ c_{i}}(0) = J_{f\circ \varphi^{-1}}(\varphi(p))\cdot J_{\varphi\circ c_{i}}(0)\]であり、$J_{\varphi\circ c_{1}}(0) = J_{\varphi\circ c_{2}}(0)$ ならば $v_{c_{1}}(f) = v_{c_{2}}(f)$ です。よって、$v_{c_{1}} = v_{c_{2}}$ です。

あとは $J_{\varphi\circ c_{1}}(0)\neq J_{\varphi\circ c_{2}}(0)$ として $v_{c_{1}}\neq v_{c_{2}}$ を示せばよいです。$J_{\varphi\circ c_{i}}(0)$ の $k$ 行目の成分が異なっていたとします。$C^{r}$ 級関数 $f\in C^{r}(M)$ を合成 $f\circ \varphi^{-1}$ が $\varphi(p)\in \varphi(U)$ の近傍で $(f\circ \varphi^{-1})(x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{k}$ を満たすよう取ります。Jacobi行列 $J_{f\circ \varphi^{-1}}(\varphi(p))$ の各成分はちょうど $k$ 列目が $1$ である以外は $0$ であり、\[v_{c_{1}}(f) = J_{f\circ \varphi^{-1}}(\varphi(p))\cdot J_{\varphi\circ c_{1}}(0)\neq J_{f\circ \varphi^{-1}}(\varphi(p))\cdot J_{\varphi\circ c_{2}}(0) = v_{c_{2}}(f)\]となるので $v_{c_{1}}\neq v_{c_{2}}$ です。

(step 2) $\varphi(p) = (p_{1}, \dots, p_{n})$ とします。行列 $A = \left[\begin{array}{c}a_{1} \\\vdots \\a_{n}\end{array}\right]$ に対して $C^{r}$ 級曲線 $c\in C^{r}(I_{\varepsilon}, U)$ を $($原点近傍において$)$\[c(t) := \varphi^{-1}(a_{1}t + p_{1}, \dots, a_{n}t + p_{n})\]となるように定めることでこの $c$ の $t = 0$ におけるJacobi行列が $A$ になります。

(step 3) $\varPhi$ が写像として定まって全単射であることは(step 1)と(step 2)から分かるので、あとは線型写像になっていることを示せばよいです。線型写像 $D : C^{r}(M)\to M(1, n; \R)$ を\[D(f) := J_{f\circ \varphi^{-1}}(\varphi(p))\]と定めます。標準的な同一視\[M(n, 1; \R)\cong M(1, n; \R)^{*} : A\mapsto F_{A} := {}\cdot A\]に注意して、任意の $f\in C^{r}(M)$, $A\in M(n, 1; \R)$ に対して\[\varPhi(A)(f) = D(f)\cdot A = F_{A}(D(f)) = D^{*}(A)(f)\]が成立します。つまり、$\varPhi$ は $D$ の双対写像であり線型写像です。

(1) $C^{r}$ 級関数 $h\in C^{r}(M)$ であって $h(p)\neq 0$ かつ $\supp h\subset U$ を満たすものを取ります。仮定より $hf = hg$ なので\[v(h)f(p) + h(p)v(f) = v(hf) = v(hg) = v(h)g(p) + h(p)v(g)\]となります。よって、$f(p) = g(p)$ と $h(p)\neq 0$ により $v(f) = v(g)$ です。

(2) 定数関数 $\cst_{1} : M\to \R : q\mapsto 1$ に対して $v(\cst_{1}) = 0$ を示せばよいですが、これは\[v(\cst_{1}) = v(\cst_{1}\cdot \cst_{1}) = 2v(\cst_{1})\]より分かります。

(3) $u, v\in D_{p}^{r}(M)\subset (C^{r}(M))^{*}$ と $a, b\in \R$ に対し、$au + bv\in (C^{r}(M))^{*}$ は\[(au + bv)(f) = a\cdot u(f) + b\cdot v(f)\]として定まります。これが方向微分であることを示せばよいですが、それは $f, g\in C^{r}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}(au + bv)(fg) & = & a\cdot u(fg) + b\cdot v(fg) \\& = & a\cdot (u(f)g(p) + f(p)u(g)) + b\cdot (v(f)g(p) + f(p)v(g)) \\& = & (a\cdot u(f) + b\cdot v(f))g(p) + f(p)(a\cdot u(g) + b\cdot v(g)) \\& = & (au + bv)(f)g(p) + f(p)(au + bv)(g)\end{eqnarray*}なのでよいです。$T_{p}^{r}(M)\subset D_{p}^{r}(M)$ は明らかです。

(4) 点 $p$ を原点とする座標近傍 $(U, \varphi)$ を固定します。$C^{\infty}$ 級関数 $f\in C^{\infty}(M)$ に対してその局所表示 $f\circ \varphi^{-1}$ をそのまま $f$ で表すとして、これは $C^{\infty}$ 級関数 $g_{ij} : \varphi(U)\to \R$ を用いて\[f = f(0) + \sum_{k = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial x_{k}}(0)x_{k} + \sum_{1\leq i, j\leq n}g_{ij}x_{i}x_{j}\]と表せます予備知識 補題4.2.73を繰り返し適用。。そして、方向微分 $v\in D_{p}^{\infty}(M)$ に対して\[v(g_{ij}x_{i}x_{j}) = v(g_{ij})x_{i}(0)x_{j}(0) + g_{ij}(0)v(x_{i})x_{j}(0) + g_{ij}(0)x_{i}(0)v(x_{j}) = 0\]であることから\[v(f) = \sum_{k = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial x_{k}}(0)v(x_{k})\]が成立します。任意の $f, v$ でこれが成立することから各 $v\in D_{p}^{\infty}(M)$ は $v(x_{1}), \dots, v(x_{n})$ の値で決まり、よって、$\dim D_{p}^{\infty}(M)\leq n = \dim T_{p}^{\infty}(M)$ です。$T_{p}^{\infty}(M)\subset D_{p}^{\infty}(M)$ なので $T_{p}^{\infty}(M) = D_{p}^{\infty}(M)$ です。

(1) 点 $p\in U_{\lambda\mu}$ における接ベクトル $v\in T_{p}^{r}(M)$ に対し、$v$ を $t = 0$ における速度ベクトルとする $C^{r}$ 級曲線 $c$ を取れば、$\varphi_{\mu}\circ c = f_{\mu\lambda}\circ \varphi_{\lambda}\circ c$ と合成関数の微分法より $J_{\varphi_{\mu}\circ c}(0) = J_{f_{\mu\lambda}}(\varphi_{\lambda}(p))\cdot J_{\varphi_{\lambda}\circ c}(0)$ です。よって、$g_{\mu\lambda}(p) = J_{f_{\mu\lambda}}(\varphi_{\lambda}(p))$ であり、$g_{\mu\lambda} = J_{f_{\mu\lambda}}\circ \varphi_{\lambda}$ です。残りも明らかです。

(2) 変換関数 $g_{\mu\lambda}$ たちがコサイクル条件を満たすことは例1.4.4の通り。ベクトル束が定まることについては予備知識 命題9.1.5と予備知識 9.1.2.2節を参照。

(3) 明らかです。

(1) 接ベクトル $v\in T_{p}^{r}(M)$ に対し、$v$ を $t = 0$ における速度ベクトルとする $C^{r}$ 級曲線 $c$ を取ります。このとき、任意の $g\in C^{r}(N)$ に対して\[\varPhi(v)(g) = v(g\circ f) = \dfrac{d(g\circ f\circ c)}{dt}(0) = v_{f\circ c}(g)\]が成立するので $\varPhi(v) = v_{f\circ c}\in T_{f(p)}N$ です。よって、ファイバーごとに線型写像 $(Tf)_{p} : T_{p}M\to T_{f(p)}N$ が定まります。

(2) 容易に分かります。

(3) (2)の局所表示から明らかです。

(1) 容易です。

(2) 明らかです。

(1) ⇒ (3) 明らかです。

(3) ⇒ (2) 明らかです。

(2) ⇒ (1) まず、接空間の次元が多様体の次元に一致することと束同型から $M, N$ の次元は一致します。局所表示を取って逆関数定理 $($予備知識 定理4.2.62$)$ を適用すれば逆写像 $f^{-1}$ が $C^{r}$ 級写像であることが分かり、よって、$f$ は $C^{r}$ 級同相写像です。

(1) ⇒ (2) 自明です。

(2) ⇒ (1) 恒等的に $1$ を値に取る関数 $\cst_{1}\in C^{\infty}(M)$ を取ります。任意の $f\in C^{\infty}(M)$ に対して\[u(f) = u(f\cdot \cst_{1}) = uf(\cst_{1}) = fu(\cst_{1}) = u(\cst_{1})\cdot f\]であり、$\End_{\R}(C^{\infty}(M))$ の元として $u(\cst_{1}) = u$ であり、$u\in C^{\infty}(M)$ です。

(2) ⇔ (3) 簡単な言い換えです。((3)の $f, g$ は入れ換えたほうが分かりやすい。)

(1) ⇒ (2) 各 $p\in M$ に対して\[(X(fg))(p) = X_{p}(fg) = X_{p}(f)\cdot g(p) + f(p)\cdot X_{p}(g) = X(f)(p)\cdot g(p) + f(p)\cdot X(g)(p)\]なのでそうです。

(2) ⇒ (1) 各 $p\in M$ に対して\[(X(fg))(p) = X(f)(p)\cdot g(p) + f(p)\cdot X(g)(p)\]であることから写像\[Y_{p} : C^{\infty}(M)\to \R : f\mapsto X(f)(p)\]は方向微分であり、点 $p$ における接ベクトルです。よって、写像 $Y : M\to TM : p\mapsto Y_{p}$ が定まります。これが $C^{\infty}$ 級であることは、各点の周りの座標近傍 $(U, x_{1}, \dots, x_{n})$ 上で標準的な基底に関する成分表示を行えばよいですもう少し詳しく言うと、局所的に座標関数 $x_{k}$ に一致するような $C^{\infty}$ 級関数 $f_{k}\in C^{\infty}(M)$ を考えれば、座標関数に一致している範囲 $($の内部$)$ において $Y$ の $\partial_{x_{k}}$ 成分は $X(f_{k})\in C^{\infty}(M)$ です。。$\End_{\R}(C^{\infty}(M))$ の元として $Y = X$ であることは明らかであり、$X\in \mathfrak{X}(M)$ です。

(1) 任意の $h\in C^{\infty}(M)$ に対して\[[X, f]h = X(fh) - f(Xh) = (Xf)h + f(Xh) - f(Xh)= (Xf)h\]なのでそうです。

(2) 自明です。

(3) 任意の $f, g\in C^{\infty}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}[X, Y](fg) & = & X(Y(fg)) - Y(X(fg)) \\& = & X((Yf)\cdot g + f\cdot (Yg)) - Y((Xf)\cdot g + f\cdot (Xg)) \\& = & (XYf)\cdot g + (Yf)\cdot (Xg) + f\cdot (XYg) + (Xf)\cdot (Yg) \\&& - (YXf)\cdot g - (Xf)\cdot (Yg) - f\cdot (YXg) - (Yf)\cdot (Xg) \\& = & (XYf)\cdot g + f\cdot (XYg) - (YXf)\cdot g - f\cdot (YXg) \\& = & [X, Y](f)\cdot g + f\cdot [X, Y](g)\end{eqnarray*}であり、命題2.1.19より $[X, Y]\in \mathfrak{X}(M)$ です。

(4) 直接計算すると\begin{eqnarray*}[fX, gY] & = & fXgY - gYfX \\& = & f((Xg)Y + gXY) - g((Yf)X + fYX) \\& = & f(Xg)Y - g(Yf)X + fg[X, Y]\end{eqnarray*}です。

(3) 局所座標を用いて計算より示します。局所的に $X = \sum\xi_{k}\partial_{x_{k}}$, $Y = \sum\eta_{k}\partial_{x_{k}}$ と表されるとします。このとき、任意の $f \in C^{\infty}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}XYf & = & X\left(\sum_{l = 1}^{n}\eta_{l}f_{x_{l}}\right) = \sum_{k = 1}^{n}\xi_{k}\left(\sum_{l = 1}^{n}(\eta_{l})_{x_{k}}f_{x_{l}} + \eta_{l}f_{x_{l}x_{k}}\right), \\YXf & = & Y\left(\sum_{k = 1}^{n}\xi_{k}f_{x_{k}}\right) = \sum_{l = 1}^{n}\eta_{l}\left(\sum_{k = 1}^{n}(\xi_{k})_{x_{l}}f_{x_{k}} + \xi_{k}f_{x_{k}x_{l}}\right)\end{eqnarray*}であり\[(XY - YX)f = \sum_{k = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}(\xi_{l}(\eta_{k})_{x_{l}} - \eta_{l}(\xi_{k})_{x_{l}})f_{x_{k}}\]を得ます。よって、\[XY - YX = \sum_{k = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}(\xi_{l}(\eta_{k})_{x_{l}} - \eta_{l}(\xi_{k})_{x_{l}})\partial_{x_{k}}\]です。よって、$[X, Y]\in\mathfrak{X}(M)$ となります。

(1) 命題2.1.18で示されています。

(2) $A\in C^{\infty}(M) + \mathfrak{X}(M)$ ならば任意の $f_{0}, f_{1}\in C^{\infty}(M)$ に対して $[[A, f_{1}], f_{0}] = 0$ であることは容易です。逆を示します。仮定と(1)より任意の $f\in C^{\infty}(M)$ に対して $[A, f]\in C^{\infty}(M)$ です。そこで、$X\in \End_{\R}(C^{\infty}(M))$ を $X(f) := [A, f]$ により定めます。これは任意の $f, g, h\in C^{\infty}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}X(fg)h & = & [A, fg](h) = A(fgh) - fgA(h) \\& = & (Af)(gh) - fA(gh) + fA(gh) - fgA(h) \\& = & [A, f]gh + f[A, g]h = (X(f)g + fX(g))h\end{eqnarray*}を満たし、つまり、任意の $f, g\in C^{\infty}(M)$ に対して\[X(fg) = X(f)g + fX(g)\]を満たすので命題2.1.19より $X\in \mathfrak{X}(M)$ です。ここで、任意の $f\in C^{\infty}(M)$ に対して\[[A - X, f] = [A, f] - [X, f]= Xf - Xf = 0\]であるので $A - X\in C^{\infty}(M)$ です。よって、$A\in C^{\infty}(M) + \mathfrak{X}(M)$ です。

(1) 座標近傍 $(U, \varphi)$ を取ります。このとき、$(f^{-1}(U), \varphi\circ f)$ も座標近傍です。$f_{*}X, h$ の $(U, \varphi)$ における表示と $X, f^{*}h$ の $(f^{-1}(U), \varphi\circ f)$ における表示は等しいので、それぞれにおける $(f_{*}X)h$ と $X(f^{*}h)$ の表示は等しくなります。よって、$U$ 上で $(f_{*}X)h = (f^{-1})^{*}(X(f^{*}h))$ です。全体でもそうです。

(2) 上の結果を用いて直接計算します。任意の $C^{\infty}$ 級関数 $h\in C^{\infty}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}(f_{*}X)(f_{*}Y)h & = & (f_{*}X)(f^{-1})^{*}(Y(f^{*}h)) \\& = & (f^{-1})^{*}(X(f^{*}(f^{-1})^{*}(Y(f^{*}h)))) = (f^{-1})^{*}(XY(f^{*}h)), \\(f_{*}Y)(f_{*}X)h & = & (f^{-1})^{*}(YX(f^{*}h)) \end{eqnarray*}なので\begin{eqnarray*}[f_{*}X, f_{*}Y]h & = & (f^{-1})^{*}(XY(f^{*}h)) - (f^{-1})^{*}(YX(f^{*}h)) \\& = & (f^{-1})^{*}((XY - YX)(f^{*}h)) = (f^{-1})^{*}([X, Y](f^{*}h)) = f_{*}[X, Y]h\end{eqnarray*}が成立します。

(1) $p$ の周りの座標近傍 $(U, \varphi : U\to V)$ を取ります。$U$ 上で $X^{t}$ が\[X^{t}_{q} = \sum_{k = 1}^{n}\xi_{k}(q, t)(\partial_{x_{k}})_{q}\]という表示を持つとします。常微分方程式の解の存在から、$s$ を元に持つ開区間 $I$ と $C^{\infty}$ 級写像 $\tilde{c} : I\to V$ であって微分方程式\[\dfrac{d\tilde{c}}{dt}(t) = \left[\begin{array}{c}\xi_{1}(\varphi^{-1}(\tilde{c}(t)), t) \\\vdots \\\xi_{n}(\varphi^{-1}(\tilde{c}(t)), t)\end{array}\right],\ \tilde{c}(s) = \varphi(p)\]の解になるものが取れます。これを用いて $c(t) := \varphi^{-1}(\tilde{c}(t))$ と定めればよいです。

(2) $A := \{t\in I\mid c(t) = c'(t)\}\neq I$ として矛盾を導きます。まず、$M$ のHausdorff性より $A$ は $I$ における閉集合です。そこで $s\in J\subset A$ を満たす最大の区間 $J$ が取ればそれは $I$ における閉集合であり、$A\neq I$ より $J$ の端点の一方 $a$ は $J$ に属します。$c(a) = c'(a)$ の周りの座標近傍 $(U, \varphi : U\to V)$ を取ります。$V$ に値を取る $C^{\infty}$ 級曲線 $\tilde{c}(t) := \varphi(c(t))$, $\tilde{c}'(t) := \varphi(c'(t))$ が $a$ を元に持つある開区間上で定まり、これらは(1)で考えた微分方程式の同じ初期条件に対する解なので、常微分方程式の解の一意性より一致します。これは $a\in J$ が $A$ の内点であることを意味し、$J$ の最大性に矛盾します。

常微分方程式の一般論については既知として、ここでは概略だけを述べます。

まず、定理は常微分方程式

が初期条件 $F_{0} = \Id_{M}$ のもとで一意な大域解を持ち、各時刻において $C^{\infty}$ 級同相写像を与えることを主張しています。前半は以下の流れで示されます。

(step 1) 各 $q\in U$ に対して制限 $f|_{\{q\}\times I}$ と $g|_{\{q\}\times I}$ は時間変化するベクトル場 $\tilde{X}$ の同一の初期条件に対する積分曲線であり補題2.1.24より一致します。よって、$f = g$ です。

(step 2) 点 $(p, s)\in M\times \R$ を取ります。$p$ の周りの座標近傍 $(U, \varphi : U\to V)$ を取ります。$U$ 上で $X^{t}$ が\[X^{t}_{q} = \sum_{k = 1}^{n}\xi_{k}(q, t)(\partial_{x_{k}})_{q}\]という表示を持つとします。常微分方程式の解の存在より、$\varphi(p)\in V$ の開近傍 $W$ と $s$ を元に持つ開区間 $I$ と $C^{\infty}$ 級写像 $G : W\times I\to V$ であって微分方程式\[\dfrac{dG}{dt}(x, t) = \left[\begin{array}{c}\xi_{1}(\varphi^{-1}(G(x, t)), t) \\\vdots \\\xi_{n}(\varphi^{-1}(G(x, t)), t)\end{array}\right],\ G(x, s) = x\]の解になるものが取れます。これを用いて $U_{p, s} := \varphi^{-1}(W)$, $I_{p, s} := I$, $f_{p, s}(q, t) := \varphi^{-1}(G(\varphi(q), t))$ と定めればよいです。

(step 3) $M$ のコンパクト性から有限個の $p_{1}, \dots, p_{a}\in M$ を選んで $M$ の有限開被覆 $U_{p_{1}, s}, \dots, U_{p_{a}, s}$ が得られます。(step 1)より任意の $p, q\in M$ に対して $f_{p, s}, f_{q, s}$ は始域の共通部分 $(U_{p, s}\cap U_{q, s})\times (I_{p, s}\cap I_{q, s})$ において一致するため、$I_{s} := \bigcap_{1\leq i\leq a}I_{p_{i}, s}$ とおいて、$C^{\infty}$ 級写像 $f_{s} : M\times I_{s}\to M$ を全ての $1\leq i\leq a$ に対して $f_{s}|_{U_{p_{i}, s}\times I_{s}} = f_{p_{i}, s}|_{U_{p_{i}, s}\times I_{s}}$ を満たすように取れます。これが条件を満たすことは明らかです。

(step 4) 次のことから分かります。

(i) $f_{s}(p, s') = f_{s}(q, s')$ を満たす任意の $p, q\in M$ に対して制限 $f_{s}|_{\{p\}\times I_{s}}$, $f_{s}|_{\{q\}\times I_{s}}$ はともに時間変化するベクトル場 $\tilde{X}$ に対する積分曲線かつ $t = s'$ において一致しているので $I_{s}$ 全体で一致し、$p = f_{s}(p, s) = f_{s}(q, s) = q$ です。

(ii) コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像なのでそうです。

(iii) 微分写像\[((f_{s}|_{M\times \{t\}})_{*})_{q} = ((f_{s})_{*})_{(q, t)}|_{T_{q}M} : T_{q}M\to T_{f_{s}(q, t)}M\]が同型となる $(q, t)\in M\times I_{s}$ 全体は開集合であり、明らかに $M\times \{s\}$ を含みます。$M$ のコンパクト性から必要であれば $I_{s}$ を小さく取り直すことで $M\times I_{s}$ 全体で微分写像 $((f_{s}|_{M\times \{t\}})_{*})_{q}$ は同型にできます。言い換えると、各 $q\in M$, $t\in I_{s}$ に対して $q$ は $f_{s}|_{M\times \{t\}}$ の正則点になり、よって、各 $t\in I_{s}$ に対して $f_{s}|_{M\times \{t\}}$ は開写像です。

(iv) $M$ の連結成分 $M'$ と $t\in I_{s}$ に対して $f_{s}|_{M\times \{t\}}(M')\subset M'$ であることは明らかです。(ii)と(iii)より $f_{s}|_{M\times \{t\}}(M')$ は開かつ閉かつ非空なので $f_{s}|_{M\times \{t\}}(M') = M'$ です。よって、$f_{s}|_{M\times \{t\}}$ は $C^{\infty}$ 級全単射かつ始域の各点は正則点なので、命題2.1.16より $C^{\infty}$ 級同相写像です。

(step 5) 存在を示します。$0$ を元に持つ開区間 $I$ であって次の条件を満たす $C^{\infty}$ 級写像 $f_{I} : M\times I\to M$ が存在するもの全体からなる集合を $\mathcal{I}$ とします。

各 $I\in \mathcal{I}$ に対してそのような解 $f_{I} : M\times I\to M$ を固定するとき、(step 1)より任意の $I, J\in \mathcal{I}$ に対して $f_{I}|_{M\times(I\cap J)} = f_{J}|_{M\times (I\cap J)}$ であり、写像 $\tilde{f} : M\times \tilde{I}\to M$ を全ての $I\in \mathcal{I}$ に対して $f_{I} = \tilde{f}|_{M\times I}$ であるように定めることができます。この $\tilde{f}$ は常微分方程式(A)の初期条件 $F_{0} = \Id_{M}$ に関する解になっており、また、各 $t\in \tilde{I}$ に対して制限 $\tilde{f}|_{M\times \{t\}}$ は $C^{\infty}$ 級同相写像です。よって、$\tilde{I}\in \mathcal{I}$ です。

$\tilde{I}\neq \R$ として矛盾を導きます。$\tilde{I}$ の端点 $s\in \R$ を取ります。(step 4)より常微分方程式(A)の初期条件 $F_{s} = \Id_{M}$ に関する解 $f_{s} : M\times I_{s}\to M$ であって各 $t\in I_{s}$ に対して制限 $f_{s}|_{M\times \{t\}}$ が $C^{\infty}$ 級同相写像になるものを取ります。点 $u\in \tilde{I}\cap I_{s}$ を取り、$g := (f_{s}|_{M\times \{u\}})^{-1}\circ \tilde{f}|_{M\times \{u\}}$ と定め、$C^{\infty}$ 級写像 $\hat{f} : M\times (\tilde{I}\cup I_{s})\to M$ を\[\hat{f}(q, t) := \left\{\begin{array}{ll}\tilde{f}(q, t) & (t\in \tilde{I}) \\f_{s}(g(q), t) & (t\in I_{s})\end{array}\right.\]により定めます。これは常微分方程式(A)の初期条件 $F_{0} = \Id_{M}$ に関する解かつ各 $t\in \tilde{I}\cup I_{s}$ に対して制限 $\hat{f}|_{M\times \{t\}}$ を $C^{\infty}$ 級同相写像にするので $\tilde{I}\cup I_{s}\in \mathcal{I}$ ですが、これは $\tilde{I}$ の最大性に矛盾します。

後半について示します。任意に $t\in\R$ を取り写像\[\tilde{F} : M\times\R\to M : (p, s)\mapsto (F_{s + t}\circ F_{t}^{-1})(p)\]を取ります。各 $\tilde{F}_{t}$ が $C^{\infty}$ 級同相写像であることと $\tilde{F}_{0} = \Id_{M}$ であることは明らかです。また、$\tilde{F}$ は\[\dfrac{d\tilde{F}}{ds}(p, s) = X_{F(F_{t}^{-1}(p), s + t)} = X_{\tilde{F}(p, s)}\]を満たします。よって、$F, \tilde{F}$ はともにベクトル場 $X$ から生成するフローであり、その一意性から $F = \tilde{F}$ です。よって、$F_{s + t} = \tilde{F}_{s}\circ F_{t} = F_{s}\circ F_{t}$ を得ます。

$p\in \Int M$ の場合を示します。$p\in \partial M$ の場合でも同じです。

$p$ の周りの座標近傍 $(U', \varphi' = (y_{1}, \dots, y_{n}))$ であって、$p$ における $X$ の $\partial_{y_{1}}$ 成分が $0$ でないものを取ります。$p$ の周りで $X$ の生成する局所的なフロー $F : U''\times I\to U'$ を取り、$C^{\infty}$ 級写像\[\psi := F\circ(\varphi'^{-1}\times \Id_{I}) : (\varphi'(U'')\cap (\{y_{1}(p)\}\times \R^{n - 1}))\times I\to U''\times I\to U'\]を取ります。$\psi$ は $(\varphi'(p), 0)$ において正則であり、逆関数定理 $($予備知識 定理4.2.62$)$ を適用することで $\psi$ の適当な制限 $\psi : V'\times I'\to \psi(V'\times I')$ は $C^{\infty}$ 級同相写像です。$\psi^{-1}$ は局所座標系 $x_{2}, \dots, x_{n}, t$ を与え、常に\[(\psi_{*})_{(x, t)}(\partial_{t})_{(x, t)} = X_{\psi(x, t)}\]を満たし、つまり、$X$ のこの局所座標系による局所表示は $\partial_{t}$ です。局所座標系 $\psi^{-1}$ の座標の順番を適当に取り換えることで目的の座標近傍 $(U, \varphi)$ が得られます。

(1) 定義より明らかです。

(2) 容易です。

(1) 任意に $C^{\infty}$ 級関数 $f\in C^{\infty}(M)$ を取ります。まず、$X_{p}\neq 0$ である点 $p\in M$ においては $X$ についての流箱を取って局所表示を行い計算することで\[(\mathcal{L}_{X}Y)f = \left(\lim_{t\to 0}\dfrac{(F_{X, -t})_{*}Y - Y}{t}\right)f = \lim_{t\to 0}\left(\dfrac{(F_{X, -t})_{*}Y - Y}{t}f\right) \]が分かります。両辺の連続性から $X_{p}\neq 0$ である点全体の閉包においても同じ等式が成立し、その他の点では明らかに両辺 $0$ なので、結果として全体でこの等式は成立します。続いて、命題2.1.22などを用いて\begin{eqnarray*}\lim_{t\to 0}\left(\dfrac{(F_{X, -t})_{*}Y - Y}{t}f\right) & = & \lim_{t\to 0}\dfrac{((F_{X, -t})_{*}Y)f - Yf}{t} \\& = & \lim_{t\to 0}\dfrac{((F_{X, -t})^{-1})^{*}(Y(F_{X, -t})^{*}f) - Yf}{t} \\& = & \lim_{t\to 0}\dfrac{(F_{X, t})^{*}(Y(F_{X, -t})^{*}f) - (F_{X, t})^{*}(Yf) + (F_{X, t})^{*}(Yf) - Yf}{t} \\& = & \lim_{t\to 0}\dfrac{(F_{X, t})^{*}(Y((F_{X, -t})^{*}f - f))}{t} + XYf \\\end{eqnarray*}と式変形できます。最後の第 $1$ 項について再び流箱を取って局所的な計算をすることで\[\lim_{t\to 0}\dfrac{(F_{X, t})^{*}(Y((F_{X, -t})^{*}f - f))}{t} = -YXf\]であることが分かり、$(\mathcal{L}_{X}Y)f = -YXf + XYf = [X, Y]f$ です。

(2) 任意のベクトル場 $Z\in\mathfrak{X}(M)$ に対して\begin{eqnarray*}[\mathcal{L}_{X}, \mathcal{L}_{Y}]Z & = & \mathcal{L}_{X}[Y, Z] - \mathcal{L}_{Y}[X, Z] \\& = & [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] \\& = & -[[Y, Z], X] - [[Z, X], Y] \\& = & [[X, Y], Z] = \mathcal{L}_{[X, Y]}Z \end{eqnarray*}です。

$\mathcal{L}_{X}Y = [X, Y] = 0$ のとき $F_{X, s}$ と $F_{Y, t}$ が可換であることを示します。このとき、任意の $s\in\R$ に対して $(F_{X, s})_{*}Y = Y$ が成立するので、$F_{Y}(F_{X}(p, s), t)$, $F_{X}(F_{Y}(p, t), s)$ に対して $p$ と $s$ を固定して得られる $C^{\infty}$ 級曲線はともに $F_{X}(p, s)$ を始点とする $Y$ の積分曲線です。積分曲線の一意性より\[F_{Y}(F_{X}(p, s), t) = F_{X}(F_{Y}(p, t), s)\]であり、各パラメータは任意なので確かめられました。

逆は逆にたどればよいです。