可微分多様体上の滑らかなファイバー束・ベクトル束を導入します。ただし、一般の位相空間上のファイバー束・ベクトル束については既知として $($予備知識 第9章参照$)$、そちらと同じことを繰り返すだけになる部分は簡単に流します。

まずは滑らかなファイバー束を定義します。

定義1.4.1

(滑らかなファイバー束)

$F,E,M$ を可微分多様体、$\pi :E\to M$ を $C^{\mathrm{\infty }}$ 級の全射とする。

(1) $M$ の開集合 $U$ と $C^{\mathrm{\infty }}$ 級同相写像 $\phi :{\pi }^{-1}(U)\to U\times F$ の対 $(U,\phi )$ であって ${\mathrm{pr}}_1\circ \phi =\pi {|}_{{\pi }^{-1}(U)}$、ただし ${\mathrm{pr}}_1:U\times F\to U$ は射影、を満たすものを $F$ をファイバーとする $U$ 上の滑らかな局所自明化と呼ぶ。$\phi$ のことも滑らかな局所自明化と呼ぶ。$M$ の開集合 $U$ 上の滑らかな局所自明化が存在するとき、$M$ は $U$ 上滑らかに自明化可能という。

(2) 各 $x\in M$ の周り $($ある開近傍上$)$ で $F$ をファイバーとする滑らかな局所自明化が存在するとき、組 $(E,M,\pi )$ を $F$ をファイバーとする $M$ 上の滑らかなファイバー束、もしくは簡単に $M$ 上の滑らかな $F$ 束という。位相版と同じく、滑らかなファイバー束を単に $\pi :E\to M$ や $E$ とも表すことにする。

滑らかなファイバー束の間の束写像、束同型写像も $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像を用いて考える以外は位相版と同じです。

続いて滑らかなベクトル束を定義します。

定義1.4.2

(滑らかなベクトル束)

$\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ とし、いずれについても数ベクトル空間 ${\mathbb{K}}^n$ には通常の可微分構造を考えるとする。

(1) $\pi :E\to M$ を ${\mathbb{K}}^n$ をファイバーとする滑らかなファイバー束とし、各ファイバー $E_x$ には $n$ 次元 $\mathbb{K}$ 線型空間の構造が与えられているとする。各 $x\in M$ に対してその周りの滑らかなファイバー束の局所自明化 $\phi :E{|}_U\to U\times {\mathbb{K}}^n$ であって、各 $y\in U$ に対して制限 $({\mathrm{pr}}_2\circ \phi ){|}_{E_y}:E_y\to {\mathbb{K}}^n$ が $\mathbb{K}$ 線型同型となるもの $($$\mathbb{K}$ ベクトル束の局所自明化という$)$ が取れるとき $\pi :E\to B$ を階数 $n$ の滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束という。ただし、${\mathrm{pr}}_2:U\times {\mathbb{K}}^n\to {\mathbb{K}}^n$ は射影である。

(2) ${\pi }_i:E_i\to M_i(i=1,2)$ を滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束とする。滑らかなファイバー束の束写像 $f:E_1\to E_2$ であって各ファイバーへの制限が $\mathbb{K}$ 線型写像であるものを滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束の束写像と呼ぶことにする。

(3) 滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束の束写像 $f:E_1\to E_2$ であって底空間 $M_1,M_2$ が同一の可微分多様体 $M$ かつ底空間成分が恒等写像 ${\mathrm{Id}}_M$ であるもの、つまり、次の図式を可換にするものを滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束の束準同型 $($写像$)$ と呼ぶことにする。

(4) 滑らかな $\mathbb{C}$ ベクトル束 $\pi :E\to M$ であって全空間 $E$ および底空間 $M$ が複素多様体であり、各点 $x\in M$ の周りで双正則写像による局所自明化ただし、ファイバーとする複素数ベクトル空間 ${\mathbb{C}}^n$ は標準的な方法で複素多様体とみなす。が取れるものを正則ベクトル束と呼ぶ。$($射影が勝手に正則写像になることには注意。$)$

$n$ 階の滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束 $\pi :E\to M$ について、$M$ の開被覆を与えるような滑らかな局所自明化の族 $\{(U_{\lambda },{\phi }_{\lambda }){\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ が与えられると変換関数の族 $\{g_{\mu \lambda }:U_{\lambda \mu }:=U_{\lambda }\cap U_{\mu }\to GL(n,\mathbb{K}){\}}_{\lambda ,\mu \in \mathrm{\Lambda }}$ が得られますが、$GL(n,\mathbb{K})$ を ${\mathbb{K}}^{n^2}$ の開集合とみなすとして、各 $g_{\mu \lambda }$ は $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像になります。逆に、コサイクル条件を満たす $C^{\mathrm{\infty }}$ 級の変換関数の族が与えられるとそこから滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束が得られます。

滑らかなファイバー束・ベクトル束 $\pi :E\to M$ に対する切断とは $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像 $M\to E$ であって $\pi \circ s={\mathrm{Id}}_M$ を満たすもののことです。連続の意味での切断との区別の意味で滑らかな切断と呼ぶことも多いです。これら滑らかな切断全体からなる集合をここでは ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$ により表すことにします。自明束 ${\underset{―}{F}}_M$ について滑らかな切断全体 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\underset{―}{F}}_M)$ と滑らかな写像全体 $C^{\mathrm{\infty }}(M,F)$ が自然に同一視できることには注意します。

滑らかな $\mathbb{K}$ ベクトル束 $\pi :E\to M$ について、その切断全体 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(E)$ は演算$$+:{\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(M)\times {\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(M)\to {\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(M):(s,t)\mapsto (x\mapsto s(x)+t(x)),$$$$\cdot :C^{\mathrm{\infty }}(M,\mathbb{K})\times {\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(M)\to {\mathrm{\Gamma }}_{\mathbb{K}}^{\mathrm{\infty }}(M):(f,s)\mapsto (x\mapsto f(x)\cdot s(x))$$によって $C^{\mathrm{\infty }}(M,\mathbb{K})$ 加群の構造を持ちます。特に、$\mathbb{K}$ 線型空間になります。

また、正則ベクトル束 $E$ の切断は正則写像であれば正則切断と呼ばれます。ここでは正則切断全体のなす集合を ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{hol}}(E)$ で表すことにします。これは明らかな方法で複素線型空間になります。

以下では滑らかな実ベクトル束を中心に考えるので、それらを単にベクトル束と呼ぶことにします。複素ベクトル束についても同様のことが成立します。

まず、ベクトル束 ${\pi }_k:E_k\to M(k=1,2)$ が与えられたとして、その直和 $E_1\oplus E_2$、テンソル積 $E_1\otimes E_2$ は位相版と全く同様に構成できます。切断について次が成立します。

双対束 $E^{\ast }$ や $\mathrm{Hom}$ 束 $\mathrm{Hom}(E,F):=E^{\ast }\otimes F$ なども位相版と全く同様に構成できます。次の束同型が成立します。

可微分多様体 $M$ 上のベクトル束 $E$ から $F$ への束準同型全体からなる $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ 加群を $\mathrm{HOM}(E,F)$ で表すとして、次が成立します。

対称積 ${\mathcal{S}}^{k}E$ や外積 ${\mathcal{A}}^{k}E$ については次が成立します。ただし、$R$ を可換環、$U,V$ を $R$ 加群として、$U$ 上の $V$ 値 $k$ 次 $($多重線型$)$ 形式全体、対象形式全体、交代形式全体からなる $R$ 加群をそれぞれ $L_R^k(U,V)$, $S_R^k(U,V)$, $A_R^k(U,V)$ で表すとします。

滑らかなファイバー束 $\pi :E\to M$ と可微分多様体 $N$ からの $C^{\mathrm{\infty }}$ 級写像 $f:N\to M$ が与えられたとします。位相空間$$f^{\ast }E:=\{(y,u)\in N\times E\mid f(y)=\pi (u)\}$$は位相多様体であり、包含写像 $f^{\ast }E\to E\times N$ を $C^{\mathrm{\infty }}$ 級埋め込み $($定義3.2.1$)$ とするような可微分構造が一意に定まり、第 $1$ 成分への射影$$f^{\ast }\pi :f^{\ast }E\to N:(y,u)\mapsto y$$と合わせて滑らかなファイバー束になります。滑らかなベクトル束でも同じです。

滑らかなベクトル束について、滑らかなhomotopyによる引き戻しの不変性が成立します。証明の流れは位相版と同様です。

以上です。

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