(1) 明らかです。

(2) 第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間は $\sigma$ コンパクトでした。$($予備知識 命題2.6.28$)$

(3) 第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間はパラコンパクト空間でした。$($予備知識 命題2.9.11$)$

(4) パラコンパクトHausdorff空間の正規性 $($予備知識 命題2.9.7$)$ とUrysohnの距離化定理から従います。$($予備知識 定理2.8.43$)$

(5) 距離化可能ならば完全正規でした。$($予備知識 系2.8.12$)$

(6) 明らかです。

(7) 連結位相多様体の直和で表されることは明らかです。そして、第二可算性から連結成分は高々可算です。

$\sigma$ コンパクト性と局所コンパクトHausdorff性からコンパクト集合の増大列 $\{L_{n}\}_{n\in\N}$ であって常に $L_{n}\subset \Int L_{n + 1}$ かつ $M = \bigcup_{n\in\N}L_{n}$ を満たすものが取れます。$L_{-2} = L_{-1} = \varnothing$ を付け加え、各 $n\in \N$ に対して $K_{n} := L_{n}\setminus \Int L_{n - 1}$, $W_{n} := \Int L_{n + 1}\setminus L_{n - 2}$ と定めます。各 $K_{n}$ の有限開被覆 $V_{n, 1}, \dots, V_{n, m_{n}}$ を次の条件を満たすように取ります。

族 $\{V_{n, i}\}_{n\in \N, 1\leq i\leq m_{n}}$ が局所有限な開細分です。実際、開細分であることは自明であり、局所有限性は $n, n'\in \N$ と $1\leq i\leq m_{n'}$ に対して $W_{n}\cap V_{n', i}\neq \varnothing$ となるのが $|n' - n|\leq 2$ の範囲に限られることから分かります。

命題1.3.3の証明のように $K_{n}, W_{n}, V_{n, i}$ を取ります。各 $V_{n, i}$ に対して開球体との $C^{r}$ 級同相 $\varphi_{n, i} : V_{n, i}\to \Int D_{1}$ を固定します。ただし、原点を中心とする半径 $r$ の閉球体を $D_{r}$ で表すとします。各 $n\in \N$ に対して実数 $0 < r_{n} < 1$ を $\varphi_{n, 1}^{-1}(\Int D_{r_{n}}), \dots, \varphi_{n, m_{n}}^{-1}(\Int D_{r_{n}})$ が $K_{n}$ の開被覆となるように取ります。

$N$ で $V_{n, i}$ の定まる $n, i$ の組み合わせ全体を表すとして、各 $(n, i)\in N$ に対して $C^{r}$ 級関数 $k_{n, i} : M\to [0, 1]$ を $\supp k_{n, i}\subset V_{n, i}$ かつ $\varphi_{n, i}^{-1}(D_{r_{n}})\subset k_{n, i}^{-1}(1)$ に取ります。写像 $\psi : N\to \Lambda$ を常に $V_{n, i}\subset U_{\psi(n, i)}$ であるように取り、各 $\lambda\in \Lambda$ に対して写像 $h_{\lambda} : M\to [0, 1]$ を\[h_{\lambda}(x) := \dfrac{\sum_{(n, i)\in \psi^{-1}(\lambda)}k_{n, i}(x)}{\sum_{(n, i)\in N}k_{n, i}(x)}\]と定めれば、族 $\{h_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ が $\mathcal{U}$ に従属する $C^{r}$ 級の $1$ の分割です。

命題1.3.5の証明のように $K_{n}, W_{n}, V_{n, i}, k_{n, i}, \psi$ を取り、さらに $C^{r}$ 級関数 $G : \R\to [0, 1]$ を $x\leq 0$ においては $G(x) = 0$ かつ $x\geq 1$ においては $G(x) = 1$ であるように取ります。各 $C^{r}$ 級関数 $h_{\lambda}$ を\[h_{\lambda}(x) := G\left(\sum_{(n, i)\in \psi^{-1}(\lambda)}k_{n, i}(x)\right)\]に取ればよいです。

(1) 原点から十分遠くにおける $f$ の値を適当に取り換えて示してもよいことは明らかであり、追加で $f$ はコンパクト台を持つとしておきます。コンパクト台を持つ非負値 $C^{\infty}$ 級関数 $h : \R^{n}\to [0, +\infty)$ であって $\int_{\R^{n}}h(x)dx = 1$ を満たすものを取り、正実数 $r > 0$ に対して $C^{\infty}$ 級関数 $h_{r} : \R^{n}\to [0, +\infty)$ を $h_{r}(x) := r^{-n}h_{r}(r^{-1}x)$ と定め、畳み込み積分 $f_{r} := h_{r} * f$ を取ります。$C^{\infty}$ 級関数 $\xi : \R^{n}\to [0, 1]$ を $D_{1}^{n}\subset \xi^{-1}(1)$ かつ $\supp\xi\subset O_{2}^{n}$ に取り、正実数 $r > 0$ に対して連続写像 $g_{r} : \R^{n}\to \R^{m}$ を\[g_{r}(x) := (1 - \xi(x))f(x) + \xi(x)f_{r}(x)\]と定め、連続写像 $H_{r} : \R^{n}\times I\to \R^{m}$ を\[H_{r}(x, t) := (1 - t\xi(x))f(x) + t\xi(x)f_{r}(x)\]と定めます。$g_{r}$ は $U\cap O_{1}^{r}$ 上で $C^{\infty}$ 級であり、$H_{r}$ は $f$ を $g_{r}$ につなぐhomotopyであり、さらに台 $\supp H_{r}$ は $D^{2}$ に含まれます。

$\underset{r\to +0}{\lim}\|f_{r} - f\|_{\infty} = 0$ であることから十分小さい $r$ に対して $g_{r}$ および各 $H_{r}|_{\R^{n}\times \{t\}}$ は $f$ の $\delta$ 近似になるので、それを $g, H$ とすればよいです。

(2) $A$ の開近傍 $V := \bigcup_{x\in A}V_{x}$ の開被覆 $\{V_{x}\}_{x\in A}$ に従属する滑らかな $1$ の分割 $\{h_{x} : V\to [0, 1]\}_{x\in A}$ を取り、$C^{\infty}$ 級写像 $g' : V\to \R^{m}$ を $g' := \sum_{x\in A}h_{x}g_{x}$ と定めます。これは $g'|_{A} = f|_{A}$ を満たします。ここで、$C^{\infty}$ 級写像 $\eta : \R^{n}\to [0, 1]$ であって $A\cap D_{1}^{n}\subset \Int\eta^{-1}(1)$ かつ $\supp\eta\subset V\cap O_{2}^{n}$ を満たすものに対して連続写像 $g_{\eta} : \R^{n}\to \R^{m}$ を\[g_{\eta}(x) := (1 - \eta(x))f(x) + \eta(x)g'(x)\]と定め、連続写像 $H_{\eta} : \R^{n}\times I\to \R^{m}$ を\[H_{\eta}(x, t) := (1 - t\eta(x))f(x) + t\eta(x)g'(x)\]と定めます。$g_{\eta}$ は $g_{\eta}|_{A} = f|_{A}$ を満たし、$U\cup \Int \eta^{-1}(1)$ 上で $C^{\infty}$ 級です。また、$H_{\eta}$ は $f$ を $g_{\eta}$ につなぐ $A$ を保つhomotopyであり、台 $\supp H_{\eta}$ は $D_{2}^{n}$ に含まれます。

$\supp\eta$ を十分小さくなるように $\eta$ を取れば $g_{\eta}$ および各 $H_{\eta}|_{\R^{n}\times \{t\}}$ は $f$ の $\delta$ 近似になるので、それを $g, H$ とすればよいです。

(1) $f$ を $\R^{n}$ 上で定義された $($コンパクト台を持つ$)$ 連続写像に任意に拡張してから補題1.3.10の(1)の証明を繰り返せばよいです連続な拡張を取るのは畳み込み積分 $f_{r} := h_{r} * f$ が定義出来て $\underset{r\to +0}{\lim}\|f_{r} - f\|_{\infty} = 0$ を満たすようにするため。$h_{r}$ が非負値を取ることから $f_{r}$ が $\Rp^{m}$ に値を取ることにも注意。。

(2) 補題1.3.10の(2)と同じです。

(3) 成分ごとに考えればよいので $m = 1$ とします。$f$ を $D_{1}^{n - 1}\times \{0\}\subset \Rp^{n}$ の十分小さな近傍上で $0$ を値を取るよう最初に近似してから $\R^{n}$ 上の連続関数に自明に拡張すればあとは同じです。(必要に応じて $\supp \xi$ が小さくなるように気をつける必要はある。)

$\mathcal{K}$ が $X$ の被覆になっている場合に示します。そうでない場合は閉集合 $X' := \bigcup_{\lambda\in\Lambda}K_{\lambda}$ の被覆と思って主張のような $\delta'$ を取り、Tietzeの拡張定理 $($予備知識 定理2.3.30$)$ を用いて任意に $X$ 上定義された正値連続関数 $\delta$ に拡張すればよいです。

まず、$X$ の局所有限な開被覆 $\mathcal{U} = \{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ であって各 $U_{\lambda}$ が $K_{\lambda}$ の開近傍になるものを構成します。各 $\lambda\in \Lambda$ に対して $K_{\lambda}$ と交わる全ての $K_{\mu}$ たちの和集合を $A_{\lambda}$ とし、$K_{\lambda}$ と交わらない全ての $K_{\mu}$ たちの和集合を $B_{\lambda}$ とします。$\mathcal{K}$ の局所有限性と $K_{\lambda}$ のコンパクト性から各 $A_{\lambda}$ は高々有限個の $K_{\mu}$ たちの和集合であり、また、各 $B_{\lambda}$ は局所有限な閉集合族の和集合なので閉集合であり、$K_{\lambda}$ とは交わりません。これと $B_{\lambda}^{c}\subset A_{\lambda}$ から $A_{\lambda}$ は $K_{\lambda}$ の近傍です。あとは被覆 $\mathcal{A} := \{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の局所有限性を示せば $\mathcal{U} := \{U_{\lambda} := \Int A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ が求めていた開被覆と分かります。

そのためには $\lambda\in\Lambda$ を固定し、$A_{\lambda}$ の開近傍であって高々有限個の $A_{\mu}$ たちとしか交わらないものを構成すればよいです。$M_{0} := \{\lambda\}$ とし、以降、$M_{k}\subset \Lambda$ が定まったとして $M_{k + 1}$ をある $\mu\in M_{k}$ が存在して $K_{\nu}\cap K_{\mu}\neq \varnothing$ となる $\nu\in \Lambda$ 全体として定めていきます。各 $M_{k}$ は有限集合です。このとき、$M_{3}$ に属さない $\mu\in \Lambda$ に対して $A_{\mu}\cap A_{\lambda} = \varnothing$ です。そして、$M_{3}$ に属さない $\mu\in \Lambda$ にわたる $A_{\mu}$ たちの和集合 $C_{\lambda}$ は $A_{\lambda}$ とは交わらず、局所有限な閉集合族である $\mathcal{K}$ の部分族の和集合なので閉集合です。よって、$C_{\lambda}^{c}$ が $\mu\in M_{3}$ に対する $A_{\mu}$ としか交わらない $A_{\lambda}$ の開近傍です。

主張の連続関数 $\delta$ を構成します。各 $\lambda\in \Lambda$ に対して正実数 $\delta_{\lambda} := \min\{d(f(K_{\lambda}), V_{\lambda}^{c}), 1\}$ を取り$f(K_{\lambda})$ のコンパクト性より $d(f(K_{\lambda}), V_{\lambda}^{c}) > 0$ です。、Urysohnの補題 $($予備知識 定理2.3.26$)$ から正値連続関数 $h_{\lambda} : X\to (0, +\infty)$ を $h_{\lambda}|_{K_{\lambda}}\equiv \delta_{\lambda}$ かつ $h_{\lambda}|_{U_{\lambda}^{c}}\equiv 1$ であるように取ります。関数 $\delta$ を\[\delta(x) := \inf_{\lambda\in\Lambda}h_{\lambda}(x)\]と定めればよいです。実際、$\mathcal{U}$ の局所有限性から $X$ の各点の十分小さな開近傍上では $1$ 未満の値を取りうる $h_{\lambda}$ は高々有限個なので $\delta$ は連続写像として定まっており、残りの条件も容易に確かめられます。

境界を持たない場合に示します。境界があっても補題1.3.11を使えば同じです。

以下を示せばよいです。

(step 1) $M$ の座標近傍系 $\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha\in A}\}$ を各 $\alpha\in A$ に対して $\varphi_{\alpha}(U_{\alpha}) = \R^{m}$ を満たすもので固定し、$N$ の座標近傍の族 $\{(V_{k}, \psi_{k})\}_{k\in \Np}$ と写像 $s : \Np\to A$ を次の条件を満たすように取ります。

ここで、必要であれば補題1.3.13を用いて $\delta$ を小さく取り換え、$f$ の $\delta$ 近似 $f'$ が必ず各 $k\in \Np$ に対して $f(\overline{V_{k}})\subset U_{s(k)}$ を満たすようにします。

以下のように連続写像の列 $\{f_{k} : N\to M\}_{k\in\N}$ と $\{H_{k} : N\times I\to M\}_{k\in\N}$ を取ります。

実際、$f_{k}, H_{k - 1}$ まで構成できているとき、同一視 $\psi_{k + 1} : V_{k + 1}\cong \R^{n}$, $\varphi_{s(k + 1)} : U_{s(k + 1)}\cong \R^{m}$ のもとで補題1.3.10を適用すれば $f_{k + 1}, H_{k}$ が構成できます。

ここで得られたhomotopyの列 $H_{0}, H_{1}, \dots$ を用いて連続写像 $H : N\times [0, 1)\to M$ を\[H(x, t) := H_{k}(x, t) \ \left(\sum_{0\leq l < k}2^{-(l + 1)}\leq t\leq \sum_{0\leq l\leq k}2^{-(l + 1)}\right)\]と定めます。これは一意な連続拡張 $H : N\times I\to M$ を持ちます$\{V_{k}\}_{k\in\Np}$ の局所有限性と $\supp H_{k}\subset V_{k + 1}$ から $\{\supp H_{k}\}_{k\in\N}$ も局所有限であり、各 $x\in N$ ごとそのある開近傍があって十分 $1$ に近い $t\in [0, 1)$ に対して $H|_{V\times \{t\}}$ は一定です。。$g := H_{N\times \{1\}}$ が目的の連続写像です。

(step 2) (step 1)の証明を少し修正すればよいので、修正点のみ書きます。まず、$N$ の座標近傍の族 $\{(V_{k}, \psi_{k})\}_{k\in \Np}$ と写像 $s : \Np\to A$ を次の条件を満たすように取ります。

あとは、以下のように連続写像の列 $\{f_{k} : N\to M\}_{k\in\N}$ と $\{H_{k} : N\times I\to M\}_{k\in\N}$ を取ればよいです。

(2), (3), (4)の同値性と(2) ⇒ (1)は自明なので(1) ⇒ (2)のみ示します。

(1) ⇒ (2) $f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐ滑らかなhomotopy $F$ を一つ固定します。$C^{\infty}$ 級写像 $h : I\to I$ であって次の条件を満たすものを取ります。

$C^{\infty}$ 級写像 $G : N\times I\to M$ を\[G := F\circ (\Id_{N}\times h) : (p, t)\mapsto F(p, h(t))\]により定めれば $G_{t} = F_{h(t)}$ であり、これが(2)について欲しかった写像になります。

(1) 滑らかなhomotopyは連続なhomotopyなので写像 $I_{*}$ は定まります。また、定理1.3.9から全射性も分かります。単射性を示すためには連続にhomotopicな $C^{\infty}$ 級写像 $f_{0}, f_{1} : N\to M$ が滑らかにhomotopicであることを示せばよいですが、これは $f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐ連続なhomotopy $F : N\times I\to M$ に対して定理1.3.9を適用して $F_{0}, F_{1}$ を保ったまま滑らかなhomotopyにできるのでよいです。

(2) (1)と同じです。