第一可算公理、第二可算公理についてまとめます。位相空間を調べる際、その基本開近傍系や開基に着目することは多々ありますが、これらの濃度が高々可算である場合は何かと都合がよいです。
第一可算公理についてまとめます。
$X$ を位相空間とする。$X$ が第一可算公理を満たすとは、任意の点 $x\in X$ に対して高々可算濃度を持つ基本開近傍系が存在することをいう。つまり、任意の点 $x\in X$ に対し、$x$ の開近傍からなる族 $\mathcal{V}_{x}$ であって次の条件を満たすものが存在することをいう。
Euclid空間 $\R^{n}$ は第一可算公理をみたします。実際、各点 $x\in \R^{n}$ に対してその高々可算な基本開近傍基が\[\{O_{1/n}(x)\mid n\in \N_{+}\}\]により得られます。
第一可算公理を満たす位相空間においては部分集合の閉包を収束点列を用いて言い表すことができます。
$X$ を第一可算公理を満たす位相空間とし、$A$ をその部分集合とする。$x\in X$ に対し、次は同値である。
(1) ⇒ (2) $x$ の高々有限濃度を持つ基本開近傍系 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ を取ります。添字集合 $\Lambda$ が有限集合のときは適当に $x$ の開近傍を族に加えて可算集合の場合に帰着できるので、最初から $\Lambda$ は可算集合とし、添字集合を $\N$ で取り換え $\{U_{n}\}_{n\in\N}$ を考えます。各 $x_{n}$ を $x_{n}\in A\cap \bigcap_{0\leq k\leq n}U_{k}$ となるように取るとし、この点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ が $x$ に収束することを示します。$U$ を $x$ の開近傍とします。$U_{N}\subset U$ を満たす $N$ を取れば、$n > N$ に対して $x_{n}\in U_{N}\subset U$ です。よって、点列は $x$ に収束します。
(2) ⇒ (1) 補足2.3.9参照。
第一可算公理を満たすという仮定がない場合については $x\in \Cl A$ に対して必ずしも $x$ に収束する $A$ の点列が存在するとは限りません。具体例については補足2.3.9を参照。
さて、第一可算公理に関係する重要事項として写像の点列連続性があります。
$X, Y$ を位相空間とし、$f : X\to Y$ を写像とする。$f$ が点列連続であるとは、$X$ の任意の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ に対し、この点列がある点 $a\in X$ に収束するならば $Y$ の点列 $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ が $f(a)$ に収束するということをいう。
$X, Y$ を位相空間とし、$X$ は第一可算公理を満たすとする。写像 $f : X\to Y$ について次は同値である。
(1) ⇒ (2) $f$ は連続とします。$a\in X$ に収束する点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。$f(a)\in Y$ の開近傍 $V$ に対し、$f^{-1}(V)$ は $a$ の開近傍であり、ある非負整数 $N$ であって $n > N$ ならば $x_{n}\in f^{-1}(V)$ となるものが取れます。この $N$ に対して $n > N$ ならば $f(x_{n})\in V$ であり、点列 $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ は $f(a)$ に収束します。
(2) ⇒ (1) 対偶を示します。$f$ は連続ではないとします。$Y$ の開集合 $V$ であって $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合ではないものを取ります。$f^{-1}(V)$ には境界点が存在するので、それを $a$ とし、$a$ に収束する $(f^{-1}(V))^{c}$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります$a\in \Cl((f^{-1}(V))^{c})$ と命題2.4.3から取れます。ここで $X$ が第一可算公理を満たすという仮定を使用。。しかし、常に $f(x_{n})\notin V$ なので $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ は $f(a)\in V$ には収束しません。
$X$ が第一可算公理を満たすという仮定が無い場合にも連続写像 $f : X\to Y$ は点列連続ですが証明において $X$ が第一可算公理を満たすという仮定を使用していません。、逆は必ずしも成立しません。任意に非可算集合を取り、そこに補加算位相を与えた位相空間を $X$ とし、離散位相を与えたものを $X'$ とします。恒等写像 $f : X\to X'$ は点列連続ですが、連続ではない $($こちらは自明$)$ です。点列連続性ですが、補加算位相を与えた位相空間においてある点 $a\in X$ に収束する点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ はある非負整数 $N$ から先の $n$ において $x_{n} = a$ を満たさなければならず $($補足2.3.8$)$、当然 $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ は $f(a)$ に収束するので点列連続です。
第一可算公理を満たす空間の部分集合や第一可算公理を満たす空間どうしの直積空間がまた第一可算公理を満たすことを確かめておきます。
(1) $x\in A$ に対し、$X$ における $x$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{U}_{x}$ を取れば、\[\mathcal{V}_{x} := \{U\cap A\mid U\subset \mathcal{U}_{x}\}\]は $A$ における $x$ の基本開近傍系であり、これが高々可算であることは明らかです。
(2) $z = (x, y)\in X\times Y$ に対し、$X$ における $x$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{U}_{x}$ と $Y$ における $y$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{V}_{y}$ をとれば、\[\mathcal{W}_{z} := \{U\times V\mid U\in \mathcal{U}_{x}, \ V\in \mathcal{V}_{y}\}\]は $X\times Y$ における $z$ の基本開近傍系であり $($補題2.1.42$)$、これが高々可算であることは明らかです。
第二可算公理についてまとめます。
$X$ を位相空間とする。$X$ が第二可算公理を満たすとは、高々可算濃度を持つ開基が存在することをいう。
これは第一可算公理よりは強い条件です。
第二可算公理を満たす位相空間は第一可算公理を満たす。
位相空間 $X$ は第二可算公理を満たすとし、高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を固定します。このとき、任意の $x\in X$ に対して $\mathcal{U}_{x} = \{U\in\mathcal{U}\mid x\in U\}$ は $x$ の基本開近傍系であり $($命題2.1.35$)$、明らかにこれは高々可算です。よって、$X$ は第一可算公理を満たします。
Euclid空間が第二可算公理を満たすことは重要です。
Euclid空間 $\R^{n}$ は第二可算公理をみたします。開集合による族\[\mathcal{U} := \{O_{r}(x)\mid x\in \Q^{n}, \ r\in \Q, \ r > 0\}\]が開基であることを示せばよいです。$($可算濃度を持つことは明らかです。$)$
$U$ を $\R^{n}$ の開集合としてその点 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})\in U$ を取り、$a\in O_{r}(x)\subset U$ を満たす $x\in \Q^{n}$ と正有理数 $r > 0$ を見つければよいです。まず、ある正実数 $r' > 0$ が存在して $O_{r'}(a)\subset U$ です。有理数 $r$ を $0 < r < \tfrac{r'}{2}$ であるように取り、各 $a_{i}$ に対して $|x_{i} - a_{i}| < \tfrac{r}{\sqrt{n}}$ を満たす有理数 $x_{r}\in \Q$ を固定します。$x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ に対して $\|x - a\| < r$ であるので、\[a\in O_{r}(x)\subset O_{2r}(a)\subset O_{r'}(a)\subset U\]です。よって、$\mathcal{U}$ は開基です。
非可算濃度を持つ集合に離散位相を入れた位相空間 $X$ は第一可算公理をみたしますが、第二可算公理は満たしません。第一可算公理を満たすことは、各 $x\in X$ に対して $\{\{x\}\}$ が高々可算な基本開近傍基になることから分かります。第二可算公理を満たさないことは、$X$ の任意の開基 $\mathcal{U}$ に対し、$\{\{x\}\mid x\in X\}\subset \mathcal{U}$ となることから従います。実際、任意の $x\in X$ に対し、その開近傍 $\{x\}$ を取れば開基の元 $U\in \mathcal{U}$ であって $x\in U$ かつ $U\subset \{x\}$ を満たすものが存在しますが、これは $U = \{x\}$ 以外にあり得ず、$\{x\}\in \mathcal{U}$ が分かります。
次のことは明らかですが、割と使います。
位相空間であって第二可算公理を満たす開集合による高々可算な被覆を持つものは第二可算公理を満たす。
そのような開被覆を取り、それぞれの高々可算な開基を取って合わせたものが全空間の高々可算な開基になります。
関連して、可分という概念を導入しておきます。
第二可算公理を満たす位相空間は可分である。
$X$ を第二可算公理を満たす位相空間とし、その高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を固定します。各 $U\in \mathcal{U}$ に対して $x_{U}\in U$ となる点 $x_{U}$ を固定し、$A := \{x_{U}\mid U\in \mathcal{U}\}$ と定めます。$A$ が高々可算な部分集合であることは明らかであり、あとは $\Cl A = X$ を示せばよいです。$x\in X$ とします。任意に取った $x$ の開近傍 $U'$ に対し、$U\subset U'$ を満たす $U\subset \mathcal{U}$ が取れるので、$x_{U}\in U'\cap A$ が従います。よって、$x\in \Cl A$ であり、$\Cl A = X$ です。
第二可算公理を満たす空間の部分集合や第二可算公理を満たす空間どうしの積空間がまた第二可算公理を満たすことを確かめておきます。
(1) $X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を取れば、\[\mathcal{V} := \{U\cap A\mid U\subset \mathcal{U}\}\]は $A$ の開基であり、これが高々可算であることは明らかです。
(2) $X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ と $Y$ の高々可算な開基 $\mathcal{V}$ をとれば、\[\mathcal{W} := \{U\times V\mid U\in \mathcal{U}, \ V\in \mathcal{V}\}\]は $X\times Y$ の開基であり $($補題2.1.42$)$、これが高々可算であることは明らかです。
最後に、分離公理との関連として次のことを示します。
第二可算公理を満たす正則空間 $X$ は正規空間である。
$A, B$ を $X$ の互いに交わらない閉集合とし、それらを分離する開集合を構成します。$X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を取り、その部分族 $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ を\[\mathcal{V} := \{V\in \mathcal{U}\mid \overline{V}\cap B = \varnothing\}\]\[\mathcal{W} := \{W\in \mathcal{U}\mid \overline{W}\cap A = \varnothing\}\]と定め、添字を付けて $\mathcal{V} = \{V_{n}\}_{n\in\N}$, $\mathcal{W} = \{W_{n}\}_{n\in\N}$ とみなすことにします。ただし、もとの $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ が有限な場合は適当に空集合を付け加えるとします。まず、
を示します。
(i) $a\in A$ に対し、正則性からその開近傍 $U$ であって $\overline{U}\subset B^{c}$ を満たすものを取り、この $U$ に対して $a$ の開近傍 $V$ であって $V\subset \mathcal{U}$ かつ $V\subset U$ となるものを取ります。$\overline{V}\subset \overline{U}\subset B^{c}$ より $\overline{V}\cap B = \varnothing$ であり、$V\subset \mathcal{V}$ です。よって、$a\in \bigcup_{n\in\N}V_{n}$ であり、$A\subset \bigcup_{n\in\N}V_{n}$ です。$B\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n} = \varnothing$ は $\mathcal{V}$ の定義から明らかです。
(ii) (i)と同じです。
続いて、各 $m\in \N$ に対して以下のようにして開集合列 $\mathcal{V}_{m} = \{V_{n, m}\}_{n\in\N}$, $\mathcal{W}_{m} = \{W_{n, m}\}_{n\in\N}$ を構成します。
$V_{n, m}, W_{n, m}$ が $m$ に関して単調減少であることは明らかでしょう。以下のことを示します。
(iii) 任意の $n, m$ に対して $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m}$ であることを示せば十分です。$m\leq n$ の場合、\[V_{n, n + 1}\subset V_{n, m + 1} = V_{n, m}\setminus \overline{W_{m, m}}\]より $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m} = \varnothing$ です。$n < m$ の場合、\[W_{m, m}\subset W_{m, n + 1} = W_{m, n}\setminus \overline{V_{n, n + 1}}\]より $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m} = \varnothing$ です。
(iv) 任意の $m\in \N$ に対して $A\cap V_{n, m + 1} = A\cap V_{n, m}$ であることを示せば十分です。$A\cap V_{n, m + 1} =A\cap (V_{n, m}\setminus \overline{W_{m, m}}) = (A\cap V_{n, m})\setminus (A\cap \overline{W_{m, m}})$ なので、$A\cap \overline{W_{m, m}} = \varnothing$ を示せばよいですが、これは $A\cap \overline{W_{m, m}}\subset A\cap \overline{W_{m}} = \varnothing$ よりよいです。
(v) (iv)と同じです。
(vi) (iv)より $A\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1} = A\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n} = A$ であり、$A\subset \bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1}$ です。同様に $B\subset \bigcup_{n\in\N}W_{n, n}$ です。
以上より $\bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1}$, $\bigcup_{n\in\N}W_{n, n}$ が $A, B$ を分離する開集合です。
$X, Y$ を第二可算公理を満たす正規空間とするとき、$X\times Y$ も第二可算公理を満たす正規空間である。
$X, Y$ は第二可算公理を満たす正則空間なので $X\times Y$ も第二可算公理を満たす正則空間、従って、正規空間でもあります。
幾何学において重要な考察対象となる多様体を導入します。
$X$ を位相空間とする。ある非負整数 $n\in \N$ に対して次の条件が満たされるとき、$X$ を位相多様体という。単に多様体とも呼ぶ。
$n$ を位相多様体 $X$ の次元といい $\dim X$ と表す$\dim X$ が意味を持つには多様体の次元の一意性、つまり、異なる非負整数 $n, m$ に対して $X$ が $n$ 次元多様体かつ $m$ 次元多様体となることはないことを確認する必要があります。事実としてはこれは正しく、多様体の次元はその位相構造により一意に決まります。証明には準備が必要で、詳しくは位相幾何学 系2.2.28を参照。。次元を明示したいときは $n$ 次元位相多様体といい $X^{n}$ などとも書く。
注意として、テキストやその場の議論の都合によって少し異なる定義が採用されることがあり、例えば最初の条件(i)を外して空集合も多様体として認めたり、最後の条件(iv)を別の条件で置き換えたものが採用されることがあります。また、条件(iii)は各点の周りに次の座標近傍が存在することと言い換えられます。
$X$ を位相空間とする。$X$ の開集合 $U$ から $\R^{n}$ の開集合 $V$ への同相写像 $\varphi : U\to V$ を $U$ 上の $n$ 次元局所座標系と呼び、対 $(U, \varphi)$ を $n$ 次元座標近傍と呼ぶ。
少し例を挙げます。
与えられた多様体から新たな多様体を構成する手法として単に直積を取る操作があります。
$n$ 次元位相多様体 $X$ と $m$ 次元位相多様体 $Y$ の直積空間 $X\times Y$ は $n + m$ 次元位相多様体である。
直積空間 $X\times Y$ が第二可算公理を満たすHausdorff空間であることはよいので、各点 $(x, y)\in X\times Y$ に対してその周りの座標近傍が存在することを示せばよいです。これは、$x\in X$ の周りの $n$ 次元座標近傍 $\varphi_{x} : U_{x}\to V_{x}$ と $y\in Y$ の周りの $m$ 次元座標近傍 $\varphi_{y} : U_{y}\to V_{y}$ を取れば $\varphi_{x}\times \varphi_{y} : U_{x}\times U_{y}\to V_{x}\times V_{y}$ が $(x, y)$ の周りの $n + m$ 次元座標近傍になるのでよいです。
位相多様体 $X_{1}^{n_{1}}, \dots, X_{p}^{n_{p}}$ の直積空間 $\prod_{k = 1}^{p}X_{p}$ は $\sum_{k = 1}^{p}n_{k}$ 次元位相多様体である。
単位円周 $S^{1}$ どうしの直積 $T^{2} := S^{1}\times S^{1}$ をトーラスといいます。一般に $n$ 個直積 $T^{n} := \overbrace{S^{1}\times \cdots \times S^{1}}^{n}$ を $n$ 次元トーラスといいます。
応用上はいわゆる境界を許容した多様体も扱う必要があるため、その導入もしておきます。正整数 $n\in \N_{+}$ に対して\[\Rp^{n} := \{(x_{1}, \dots, x_{n})\in \R^{n}\mid x_{n}\geq 0\},\]\[\partial\Rp^{n} := \{(x_{1}, \dots, x_{n})\in \R^{n}\mid x_{n} = 0\}\subset \Rp^{n},\]\[\Int\Rp^{n} := \{(x_{1}, \dots, x_{n})\in \R^{n}\mid x_{n} > 0\}\subset \Rp^{n}\]と記号を定め、ここでは $\Rp^{n}$ は $\R^{n}$ の部分空間とは見なさないことにします。
$X$ を位相空間とする。ある非負整数 $n\in \N$ に対して次の条件が満たされるとき、$X$ を境界を持ちうる位相多様体という。$($ここでは単に位相多様体とも呼ぶ。$)$
$n$ を位相多様体 $X$ の次元といい $\dim X$ と表す。次元を明示したいときは $n$ 次元位相多様体といい $X^{n}$ などとも書く。
次の条件を満たす点 $x\in X$ 全体からなる部分空間を位相多様体 $X$ の境界といい $\partial X$ と表す。
$\partial X\neq \varnothing$ であるとき $X$ は境界を持つといい、$\partial X = \varnothing$ であるとき $X$ は境界を持たないという。
また、$X\setminus \partial X$ を位相多様体 $X$ の内部といい $\Int X$ と表す。
注意として、位相多様体の境界 $\partial X$ や内部 $\Int X$ は位相空間の部分空間に対する境界や内部とは異なる意味で用いています。
境界を持つ位相多様体に関する基本的な事実をいくつか紹介しておきます。証明にはそこそこ準備が必要なのでここではしません。
(1) 多様体論 命題1.1.21参照。
(2) 多様体論 例1.1.35参照。
以上です。
特になし。
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