(1) ⇒ (2) $x$ の高々有限濃度を持つ基本開近傍系 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ を取ります。添字集合 $\Lambda$ が有限集合のときは適当に $x$ の開近傍を族に加えて可算集合の場合に帰着できるので、最初から $\Lambda$ は可算集合とし、添字集合を $\N$ で取り換え $\{U_{n}\}_{n\in\N}$ を考えます。各 $x_{n}$ を $x_{n}\in A\cap \bigcap_{0\leq k\leq n}U_{k}$ となるように取るとし、この点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ が $x$ に収束することを示します。$U$ を $x$ の開近傍とします。$U_{N}\subset U$ を満たす $N$ を取れば、$n > N$ に対して $x_{n}\in U_{N}\subset U$ です。よって、点列は $x$ に収束します。

(2) ⇒ (1) 補足2.3.9参照。

(1) ⇒ (2) $f$ は連続とします。$a\in X$ に収束する点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。$f(a)\in Y$ の開近傍 $V$ に対し、$f^{-1}(V)$ は $a$ の開近傍であり、ある非負整数 $N$ であって $n > N$ ならば $x_{n}\in f^{-1}(V)$ となるものが取れます。この $N$ に対して $n > N$ ならば $f(x_{n})\in V$ であり、点列 $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ は $f(a)$ に収束します。

(2) ⇒ (1) 対偶を示します。$f$ は連続ではないとします。$Y$ の開集合 $V$ であって $f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合ではないものを取ります。$f^{-1}(V)$ には境界点が存在するので、それを $a$ とし、$a$ に収束する $(f^{-1}(V))^{c}$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります$a\in \Cl((f^{-1}(V))^{c})$ と命題2.4.3から取れます。ここで $X$ が第一可算公理を満たすという仮定を使用。。しかし、常に $f(x_{n})\notin V$ なので $\{f(x_{n})\}_{n\in\N}$ は $f(a)\in V$ には収束しません。

(1) $x\in A$ に対し、$X$ における $x$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{U}_{x}$ を取れば、\[\mathcal{V}_{x} := \{U\cap A\mid U\subset \mathcal{U}_{x}\}\]は $A$ における $x$ の基本開近傍系であり、これが高々可算であることは明らかです。

(2) $z = (x, y)\in X\times Y$ に対し、$X$ における $x$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{U}_{x}$ と $Y$ における $y$ の高々可算な基本開近傍系 $\mathcal{V}_{y}$ をとれば、\[\mathcal{W}_{z} := \{U\times V\mid U\in \mathcal{U}_{x}, \ V\in \mathcal{V}_{y}\}\]は $X\times Y$ における $z$ の基本開近傍系であり $($補題2.1.42$)$、これが高々可算であることは明らかです。

位相空間 $X$ は第二可算公理を満たすとし、高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を固定します。このとき、任意の $x\in X$ に対して $\mathcal{U}_{x} = \{U\in\mathcal{U}\mid x\in U\}$ は $x$ の基本開近傍系であり $($命題2.1.35$)$、明らかにこれは高々可算です。よって、$X$ は第一可算公理を満たします。

$X$ を第二可算公理を満たす位相空間とし、その高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を固定します。各 $U\in \mathcal{U}$ に対して $x_{U}\in U$ となる点 $x_{U}$ を固定し、$A := \{x_{U}\mid U\in \mathcal{U}\}$ と定めます。$A$ が高々可算な部分集合であることは明らかであり、あとは $\Cl A = X$ を示せばよいです。$x\in X$ とします。任意に取った $x$ の開近傍 $U'$ に対し、$U\subset U'$ を満たす $U\subset \mathcal{U}$ が取れるので、$x_{U}\in U'\cap A$ が従います。よって、$x\in \Cl A$ であり、$\Cl A = X$ です。

(1) $X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を取れば、\[\mathcal{V} := \{U\cap A\mid U\subset \mathcal{U}\}\]は $A$ の開基であり、これが高々可算であることは明らかです。

(2) $X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ と $Y$ の高々可算な開基 $\mathcal{V}$ をとれば、\[\mathcal{W} := \{U\times V\mid U\in \mathcal{U}, \ V\in \mathcal{V}\}\]は $X\times Y$ の開基であり $($補題2.1.42$)$、これが高々可算であることは明らかです。

$A, B$ を $X$ の互いに交わらない閉集合とし、それらを分離する開集合を構成します。$X$ の高々可算な開基 $\mathcal{U}$ を取り、その部分族 $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ を\[\mathcal{V} := \{V\in \mathcal{U}\mid \overline{V}\cap B = \varnothing\}\]\[\mathcal{W} := \{W\in \mathcal{U}\mid \overline{W}\cap A = \varnothing\}\]と定め、添字を付けて $\mathcal{V} = \{V_{n}\}_{n\in\N}$, $\mathcal{W} = \{W_{n}\}_{n\in\N}$ とみなすことにします。ただし、もとの $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ が有限な場合は適当に空集合を付け加えるとします。まず、

を示します。

(i) $a\in A$ に対し、正則性からその開近傍 $U$ であって $\overline{U}\subset B^{c}$ を満たすものを取り、この $U$ に対して $a$ の開近傍 $V$ であって $V\subset \mathcal{U}$ かつ $V\subset U$ となるものを取ります。$\overline{V}\subset \overline{U}\subset B^{c}$ より $\overline{V}\cap B = \varnothing$ であり、$V\subset \mathcal{V}$ です。よって、$a\in \bigcup_{n\in\N}V_{n}$ であり、$A\subset \bigcup_{n\in\N}V_{n}$ です。$B\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n} = \varnothing$ は $\mathcal{V}$ の定義から明らかです。

(ii) (i)と同じです。

続いて、各 $m\in \N$ に対して以下のようにして開集合列 $\mathcal{V}_{m} = \{V_{n, m}\}_{n\in\N}$, $\mathcal{W}_{m} = \{W_{n, m}\}_{n\in\N}$ を構成します。

$V_{n, m}, W_{n, m}$ が $m$ に関して単調減少であることは明らかでしょう。以下のことを示します。

(iii) 任意の $n, m$ に対して $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m}$ であることを示せば十分です。$m\leq n$ の場合、\[V_{n, n + 1}\subset V_{n, m + 1} = V_{n, m}\setminus \overline{W_{m, m}}\]より $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m} = \varnothing$ です。$n < m$ の場合、\[W_{m, m}\subset W_{m, n + 1} = W_{m, n}\setminus \overline{V_{n, n + 1}}\]より $V_{n, n + 1}\cap W_{m, m} = \varnothing$ です。

(iv) 任意の $m\in \N$ に対して $A\cap V_{n, m + 1} = A\cap V_{n, m}$ であることを示せば十分です。$A\cap V_{n, m + 1} =A\cap (V_{n, m}\setminus \overline{W_{m, m}}) = (A\cap V_{n, m})\setminus (A\cap \overline{W_{m, m}})$ なので、$A\cap \overline{W_{m, m}} = \varnothing$ を示せばよいですが、これは $A\cap \overline{W_{m, m}}\subset A\cap \overline{W_{m}} = \varnothing$ よりよいです。

(v) (iv)と同じです。

(vi) (iv)より $A\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1} = A\cap \bigcup_{n\in\N}V_{n} = A$ であり、$A\subset \bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1}$ です。同様に $B\subset \bigcup_{n\in\N}W_{n, n}$ です。

以上より $\bigcup_{n\in\N}V_{n, n + 1}$, $\bigcup_{n\in\N}W_{n, n}$ が $A, B$ を分離する開集合です。

$X, Y$ は第二可算公理を満たす正則空間なので $X\times Y$ も第二可算公理を満たす正則空間、従って、正規空間でもあります。

直積空間 $X\times Y$ が第二可算公理を満たすHausdorff空間であることはよいので、各点 $(x, y)\in X\times Y$ に対してその周りの座標近傍が存在することを示せばよいです。これは、$x\in X$ の周りの $n$ 次元座標近傍 $\varphi_{x} : U_{x}\to V_{x}$ と $y\in Y$ の周りの $m$ 次元座標近傍 $\varphi_{y} : U_{y}\to V_{y}$ を取れば $\varphi_{x}\times \varphi_{y} : U_{x}\times U_{y}\to V_{x}\times V_{y}$ が $(x, y)$ の周りの $n + m$ 次元座標近傍になるのでよいです。