$n$ 次元Euclid空間 $\R^{n}$ は恒等写像からなる座標近傍 $(\R^{n}, \Id_{\R^{n}} : \R^{n}\to\R^{n})$ のみを持つ座標近傍系により $n$ 次元実解析的多様体になります。また、$\R^{n}$ の空でない開集合も同様に $n$ 次元実解析的多様体になります。さらに、$\C^{n}$ およびその空でない開集合は同様に複素多様体になります。

$n$ 次元単位球面\[S^{n} := \left\{x = (x_{1}, \dots, x_{n + 1})\in\R^{n + 1}\relmid \sum_{k = 1}^{n + 1}x_{k}^{2} = 1\right\}\]は適当な座標近傍系を与えることで $n$ 次元実解析的多様体になります。まず、$S^{n}$ の開集合 $U_{k}^{\pm} := S^{n}\cap \{x\in \R^{n + 1}\mid \pm x_{k} > 0\}$ を取り、連続写像 $\varphi_{k}^{\pm}$ を包含写像 $i_{k}^{\pm} : U_{k}^{\pm}\to \R^{n + 1}$ と射影\[\hat{p}_{k} : \R^{n + 1}\to \R^{n} : (x_{1}, \dots, x_{n + 1})\mapsto (x_{1}, \dots, \hat{x}_{k}, \dots, x_{n + 1})\]の合成 $\varphi_{k}^{\pm} = \hat{p}_{k}\circ i_{k}^{\pm}$ として定めます。ただし、$\hat{x}_{k}$ は $x_{k}$ を取り除く $($飛ばす$)$ という意味で用いています。$\varphi_{k}^{\pm}$ の終域を単位開球体 $\Int D^{n}$ $D^{n}$ で $n$ 次元Euclid空間の単位閉球体を表すとしています。つまり、$D^{n} := \{(x_{1}, \dots, x_{n})\in\R^{n}\mid \sum_{k = 1}^{n}x_{k}^{2} \leq 1\}$ です。に制限すれば同相写像であり、これから座標近傍 $(U_{k}^{\pm}, \varphi_{k}^{\pm})$ が得られます。実際、例えば、$\varphi_{n + 1}^{+}$ に対しては\[\psi_{n + 1}^{+} : \Int D^{n}\to U_{n + 1}^{+}\subset\R^{n + 1} : (x_{1}, \dots, x_{n})\mapsto \left(x_{1}, \dots, x_{n}, \left(1 - \sum_{k = 1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{1/2}\right)\]が連続な逆写像を与えます。$S^{n}$ が $U_{k}^{\pm}$ たちにより被覆されていることは明らかであり、よって、$S^{n}$ の座標近傍系が得られました。ここで用いた写像たちが実解析的なので座標変換 $\varphi_{l}^{\pm}\circ \psi_{k}^{\pm}$ も実解析的であることが分かり、$S^{n}$ はこの座標近傍系によって $n$ 次元実解析的多様体になります。

また、これとは別の座標近傍系を与えることによっても $n$ 次元実解析的多様体になります。まずは $S^{n}$ の開集合\[U_{\pm} := S^{n}\setminus\{(0, \dots, 0, \mp 1)\}\]を取り、連続写像 $\varphi_{\pm} : U_{\pm}\to \R^{n}$ を\[\varphi_{\pm} : (x_{1}, \dots, x_{n}, x_{n + 1})\mapsto \left(\dfrac{x_{1}}{1 \pm x_{n + 1}}, \dots, \dfrac{x_{n}}{1 \pm x_{n + 1}}\right)\]により与えます。連続写像\[\psi_{\pm} : \R^{n}\to U_{\pm} : (y_{1}, \dots, y_{n})\mapsto \dfrac{2}{1 + \|y\|^{2}}\left(y_{1}, \dots, y_{n}, \pm\dfrac{1 - \|y\|^{2}}{2}\right)\]が逆写像を与えているので同相写像であり、座標近傍 $(U_{\pm}, \varphi_{\pm})$ が得られ、これらから座標近傍系が定まります。また、ここで用いた写像たちが実解析的なので座標変換も実解析的であることが分かりちなみに、座標変換 $f_{-+} : \R^{n}\setminus \{0\}\to \R^{n}\setminus \{0\}$ は具体的に計算すると $f_{-+}(y) = \|y\|^{-2}y$ です。、$S^{n}$ はこの座標近傍系によっても $n$ 次元実解析的多様体になります。

これらの座標近傍系は定義1.2.7で考える同値になっており、多様体を調べる際には本質的に同等のものとみなされます。

$C^{r}$ 級多様体 $(M^{m}, \{(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda} : U_{\lambda}\to V_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda})$, $(N^{n}, \{(U'_{\lambda'}, \varphi'_{\lambda'} : U'_{\lambda'}\to V'_{\lambda'})\}_{\lambda'\in\Lambda'})$ が与えられたとします。それぞれの座標近傍の直積 $(U_{\lambda}\times U'_{\lambda'}, \varphi_{\lambda}\times \varphi'_{\lambda'} : U_{\lambda}\times U'_{\lambda'}\to V_{\lambda}\times V'_{\lambda'})$ は直積空間 $M\times N$ の座標近傍であり、これらを集めて $M\times N$ の $m + n$ 次元 $C^{r}$ 級座標近傍系が得られます。これにより直積空間 $M\times N$ は $m + n$ 次元 $C^{r}$ 級多様体になります。

有限個の直積でも同様であり、例えば $n$ 次元トーラス $T^{n} := \overbrace{S^{1}\times \dots \times S^{1}}^{n}$ は $n$ 次元実解析的多様体になります。

Riemann球面 $\hat{\C} := \C\sqcup \{\infty\}$ を考えます位相的には $\C\cong \R^{2}$ の一点コンパクト化であり $2$ 次元球面 $S^{2}$ に同相です。。$\hat{\C}$ の局所 $($複素$)$ 座標系として\[\varphi_{0} : U_{0} := \hat{\C}\setminus \{\infty\}\to \C : z\mapsto z,\]\[\varphi_{\infty} : U_{\infty} := \hat{\C}\setminus \{0\}\to \C : z\mapsto z^{-1}\]が考えられ、これらによる $($複素$)$ 座標近傍系 $\{(U_{0}, \varphi_{0}), (U_{\infty}, \varphi_{\infty})\}$ が取れます。座標変換 $f_{\infty 0} : \C^{\times}\to \C^{\times}$ は $f_{\infty 0}(z) = z^{-1}$ と計算でき正則であり、この座標近傍系によってRiemann球面は複素多様体です。

$\R^{n + 1}\setminus\{0\}$ の同値関係 $\sim$ を\[(x_{1}, \dots, x_{n + 1})\sim (y_{1}, \dots, y_{y + 1}) :\Leftrightarrow {}^{\exists}r\in \R^{\times} = \R\setminus\{0\} \text{ s.t. } (rx_{1}, \dots, rx_{n + 1}) = (y_{1}, \dots, y_{y + 1})\]により定めるとします。この同値関係による商空間を $n$ 次元実射影空間といい $\RP^{n}$ と書きます。$(x_{1}, \dots, x_{n + 1})$ の代表する点はよく $[x_{1}: \dots: x_{n + 1}]$ と表します。

各 $1 \leq k \leq n + 1$ に対して $\RP^{n}$ の部分集合 $U_{k}$ と写像 $\varphi_{k} : U_{k}\to \R^{n}$ を\[U_{k} := \{[x_{1}: \dots : x_{n + 1}]\in \RP^{n}\mid x_{k} = 1\},\]\[\varphi_{k}([x_{1}: \dots, x_{k - 1}: 1: x_{k + 1}: \dots: x_{n + 1}]) := (x_{1}, \dots, x_{k - 1}, x_{k + 1}, \dots, x_{n + 1})\]により定めます。これは座標近傍 $(U_{k}, \varphi_{k})$ を与え、それらによる座標近傍系によって $\RP^{n}$ は $n$ 次元実解析的多様体になります。

座標変換 $f_{lk} : \varphi_{k}(U_{kl})\to \varphi_{l}(U_{kl})$ は\[(x_{1}, \dots, x_{k - 1}, x_{k + 1}, \dots, x_{n + 1})\mapsto \left(\dfrac{x_{1}}{x_{l}}, \dots, \dfrac{x_{k - 1}}{x_{l}}, \dfrac{1}{x_{l}}, \dfrac{x_{k + 1}}{x_{l}}, \dots, \dfrac{x_{l - 1}}{x_{l}}, \dfrac{x_{l + 1}}{x_{l}}, \dots, \dfrac{x_{n + 1}}{x_{l}}\right)\]と表されます。

$\C^{n + 1}\setminus\{0\}$ の同値関係 $\sim$ を\[(z_{1}, \dots, z_{n + 1})\sim (w_{1}, \dots, w_{y + 1}) :\Leftrightarrow {}^{\exists}r\in \C^{\times} = \C\setminus\{0\} \text{ s.t. } (rz_{1}, \dots, rz_{n + 1}) = (w_{1}, \dots, w_{y + 1})\]により定めるとします。この同値関係による商空間を $n$ 次元複素射影空間といい $\CP^{n}$ と書きます。$(z_{1}, \dots, z_{n + 1})$ の代表する点はよく $[z_{1}: \dots: z_{n + 1}]$ と表します。

各 $1 \leq k \leq n + 1$ に対して $\CP^{n}$ の部分集合 $U_{k}$ と写像 $\varphi_{k} : U_{k}\to \C^{n}$ を\[U_{k} := \{[z_{1}: \dots : z_{n + 1}]\in \CP^{n}\mid z_{k} = 1\},\]\[\varphi_{k}([z_{1}: \dots, z_{k - 1}: 1: z_{k + 1}: \dots: z_{n + 1}]) := (z_{1}, \dots, z_{k - 1}, z_{k + 1}, \dots, z_{n + 1})\]により定めます。これは座標近傍 $(U_{k}, \varphi_{k})$ を与え、それらによる座標近傍系によって $\CP^{n}$ は $n$ 次元複素多様体になります。

座標変換 $f_{lk} : \varphi_{k}(U_{kl})\to \varphi_{l}(U_{kl})$ は\[(z_{1}, \dots, z_{k - 1}, z_{k + 1}, \dots, z_{n + 1})\mapsto \left(\dfrac{z_{1}}{z_{l}}, \dots, \dfrac{z_{k - 1}}{z_{l}}, \dfrac{1}{z_{l}}, \dfrac{z_{k + 1}}{z_{l}}, \dots, \dfrac{z_{l - 1}}{z_{l}}, \dfrac{z_{l + 1}}{z_{l}}, \dots, \dfrac{z_{n + 1}}{z_{l}}\right)\]と表されます。

閉上半空間 $\Rp^{n}$ は座標近傍 $(\Rp^{n}, \Id_{\Rp^{n}} : \Rp^{n}\to \Rp^{n})$ のみを持つ座標近傍系により境界を持つ $n$ 次元実解析的多様体になります。境界は前に定めた $\partial \Rp^{n}$ です。閉上半空間 $\Rp^{n}$ の開集合 $U$ であって境界 $\partial \Rp^{n}$ の点を持つものも同様に境界を持つ $n$ 次元実解析的多様体になります。こちらも境界は前に定めた $\partial U$ です。(つまり、冒頭の $\Rp^{n}$ の境界の定義は多様体としての境界になっているのでした。)

$n$ 次元単位球体\[D^{n} := \left\{x = (x_{1}, \dots, x_{n})\in \R\relmid \sum_{k = 1}^{n}x_{k}^{2}\leq 1\right\}\]は適当な座標近傍系を与えることで境界を持つ $n$ 次元実解析的多様体になります。境界は $n - 1$ 次元単位球面 $S^{n - 1}$ です。