$A, B$ を $f$ の $a$ における微分係数とします。このとき $\underset{v\to 0, \ v\neq 0}{\lim}\dfrac{|(B - A)v|}{|v|} = 0$ です。$A, B$ の $k$ 列目をそれぞれ $a_{k}, b_{k}$ と表すことにすれば、各 $1\leq k\leq n$ に対して\[|b_{k} - a_{k}| = \underset{t\to 0, \ t\neq 0}{\lim}\dfrac{|b_{k} - a_{k}||t|}{|t|} = \underset{t\to 0, \ t\neq 0}{\lim}\dfrac{|(B - A)(te_{k})|}{|te_{k}|} = 0\]より $a_{k} = b_{k}$ であり、$A = B$ です。

$A\in M(m, n; \R)$ を $f$ の $a$ における微分係数とします。$v\neq 0$ において\[0\leq |f(a + v) - f(a)|\leq \dfrac{|f(a + v) - f(a) - Av|}{|v|}|v| + |Av|\]であり、この極限を取ることで\[\underset{v\to 0, \ v\neq 0}{\lim}|f(a + v) - f(a)| = 0\]が得られます。これは $f$ の $a$ における連続性を意味します。

(1) ⇒ (2) 命題4.2.13より $f$ の各変数に関する偏導関数が存在し、それは単位ベクトル $e_{k}$ を用いて $f_{x_{k}}(x) = f'(x)e_{k}$ と表されます。導関数 $f'$ の連続性より各偏導関数 $f_{x_{k}}$ も連続です。また、命題4.2.11より $f$ 自身も連続であり、$f$ は $C^{1}$ 級です。

(2) ⇒ (1) $m = 1$ の場合に示せばよいです。関数 $g_{k}(a, v) \ (0\leq k\leq n)$ を定まる範囲で\[g_{0}(a, v) := f(a), \ g_{k}(a, v) := f(a_{1} + v_{1}, \dots, a_{k} + v_{k}, a_{k + 1}, \dots, a_{n}) \ (1\leq k\leq n)\]により定めます。また、関数 $J : U\to M(1, n; \R)$ を\[J(a) := \left[\begin{array}{ccc}f_{x_{1}}(a) & \dots & f_{x_{n}}(a)\end{array}\right]\]により定めます。各偏導関数 $f_{x_{k}}$ の連続性からこの $J$ も連続です。また、$J(a)e_{k} = f_{x_{k}}(a)$ です。

関数 $f$ が任意に取った点 $a\in U$ において微分係数 $J(a)$ を持つことを示せばよいです。まず、十分小さい $v\in \R^{n}\setminus \{0\}$ に対して\[|f(a + v) - f(a) - J(a)v| \leq \sum_{k = 1}^{n}|g_{k}(a, v) - g_{k - 1}(a, v) - J(a)(v_{k}e_{k})|\]です。各 $1\leq k\leq n$ に対して中間値の定理 $($定理4.1.14$)$ よりある実数 $t_{k}\in (0, 1)$ が存在して\[g_{k}(a, v) - g_{k - 1}(a, v) = f_{x_{k}}(\dots, a_{k - 1} + v_{k - 1}, a_{k} + t_{k}v_{k}, a_{k + 1}, \dots)v_{k}\]であり、\begin{eqnarray*}|g_{k}(a, v) - g_{k - 1}(a, v) - J(a)(v_{k}e_{k})| & = & |f_{x_{k}}(\dots, a_{k - 1} + v_{k - 1}, a_{k} + t_{k}v_{k}, a_{k + 1}, \dots)v_{k} - f_{x_{k}}(a)v_{k}| \\&\leq & |f_{x_{k}}(\dots, a_{k - 1} + v_{k - 1}, a_{k} + t_{k}v_{k}, a_{k + 1}, \dots) - f_{x_{k}}(a)||v|\end{eqnarray*}と評価できます。よって、\[\dfrac{|f(a + v) - f(a) - J(a)v|}{|v|} \leq \sum_{k = 1}^{n}|f_{x_{k}}(\dots, a_{k - 1} + v_{k - 1}, a_{k} + t_{k}v_{k}, a_{k + 1}, \dots) - f_{x_{k}}(a)|\]ですが、各偏導関数 $f_{x_{k}}$ の連続性から右辺の $v\to 0$ とした極限は $0$ であり、これは $f$ が $a$ において微分係数 $J(a)$ を持つことを意味します。

一変数関数の場合 $($補題4.1.5$)$ と同じです。

一変数関数の場合 $($命題4.1.6$)$ と本質的に同じですが、ちょっとだけ違うので繰り返します。

補題4.2.16より関数 $\delta : [0, \varepsilon)\to [0, +\infty)$ であって $\underset{t\to 0}{\lim}\delta(t) = 0$ かつ $|v| < \varepsilon$ において $|g(f(a) + v) - g(f(a)) - g'(f(a))v|\leq \delta(|v|)|v|$ を満たすものを取ります。まず、\begin{eqnarray*}&& \dfrac{|g(f(a + v)) - g(f(a)) - g'(f(a))f'(a)v|}{|v|}\\& \leq & \dfrac{|g(f(a + v)) - g(f(a)) - g'(f(a))(f(a + v) - f(a))|}{|v|} \\& + & \dfrac{|g'(f(a))(f(a + v) - f(a)) - g'(f(a))f'(a)v|}{|v|}\end{eqnarray*}であり、第 $1$ 項について\begin{eqnarray*}&& \dfrac{|g(f(a + v)) - g(f(a)) - g'(f(a))(f(a + v) - f(a))|}{|v|} \\& \leq & \delta(|f(a + v) - f(a)|)\cdot \dfrac{|f(a + v) - f(a)|}{|v|} \\& \leq & \delta(|f(a + v) - f(a)|)\cdot \left(\dfrac{|f(a + v) - f(a) - f'(a)v|}{|v|} + \|f'(a)\|\right)\to 0 \ (v\to 0)\end{eqnarray*}であること、第 $2$ 項について\begin{eqnarray*}&& \dfrac{|g'(f(a))(f(a + v) - f(a)) - g'(f(a))f'(a)v|}{|v|} \\& \leq & \|g'(f(a))\|\cdot \dfrac{|f(a + v) - f(a) - f'(a)v|}{|v|}\to 0 \ (v\to 0)\end{eqnarray*}であることから\[\lim_{v\to 0}\dfrac{|g(f(a + v)) - g(f(a)) - g'(f(a))f'(a)v|}{|v|} = 0\]です。つまり、合成 $g\circ f$ は $a$ において微分可能であり、微分係数は $g'(f(a))f'(a)$ です。

最後の偏導関数の表示は単に行列の積を計算するだけです。

(1) 明らかです。

(2) 命題4.2.12より対 $(f, g) : U\to \R^{2}$ は点 $a$ において全微分可能です。これと関数 $h : \R^{2}\to \R : (x, y)\mapsto xy$ との合成 $h\circ (f, g)$ が $fg$ であるので、その点 $a$ における微分係数を計算して\[(fg)'(a) = h'(f(a), g(a))(f, g)'(a)= \left[\begin{array}{cc}g(a) & f(a)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f'(a) \\g'(a)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}g(a)f'(a) + f(a)g'(a)\end{array}\right]\]となります。

(3) $h(x, y) := x/y$ について(2)と同じことをするだけです。

簡単のため $n = 2$ として変数は $x, y$ とします。点 $(a, b)\in U$ において等号が成立することを示します。まず、絶対値の十分小さい実数 $s, t$ に対して\[\varphi(s, t) := f(a + s, b + t) - f(a + s, b) - f(a, b + t) + f(a, b)\]とおきます。$g(x) := f(a + x, b + t) - f(a + x, b)$ とおけば $\varphi(s, t) = g(s) - g(0)$ であり、変数 $x$ について平均値の定理を用いて実数 $0 < \theta_{s, t} < 1$ を\[\varphi(s, t) = s \dfrac{dg}{dx}(\theta_{s, t} s) = s\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(a + \theta_{s, t} s, b + t) - \dfrac{\partial f}{\partial x}(a + \theta_{s, t} s, b)\right)\]を満たすように取れます。さらに、変数 $y$ について平均値の定理を用いて実数 $0 < \theta'_{s, t} < 1$ を\[\varphi(s, t) = st \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(a + \theta_{s, t} s, b + \theta'_{s, t} t)\]を満たすように取れます。よって、極限\[\lim_{(s, t)\to (0, 0), \ st \neq 0}\dfrac{\varphi(s, t)}{st} = \lim_{(s, t)\to (0, 0), \ st \neq 0} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(a + \theta_{s, t} s, b + \theta'_{s, t} t) = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(a, b)\]が成立します。同様に、$y, x$ の順で平均値の定理を用いることで実数 $0 < \tau_{s, t}, \tau'_{s, t} < 1$ を\[\varphi(s, t) = st \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(a + \tau_{s, t} s, b + \tau'_{s, t} t)\]であるように取ることができ、極限\[\lim_{(s, t)\to (0, 0), \ st \neq 0}\dfrac{\varphi(s, t)}{st} = \lim_{(s, t)\to (0, 0), \ st \neq 0} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(a + \tau_{s, t} s, b + \tau'_{s, t} t) = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(a, b)\]が成立するので、結果\[\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(a, b) = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(a, b)\]が従います。

(1) これは\[\dbinom{\alpha}{\beta - e_{k}} + \dbinom{\alpha}{\beta} = \left(\dbinom{\alpha_{k}}{\beta_{k} - 1} + \dbinom{\alpha_{k}}{\beta_{k}}\right)\prod_{l\neq k}\dbinom{\alpha_{l}}{\beta_{l}} = \dbinom{\alpha_{k} + 1}{\beta_{k}}\prod_{l\neq k}\dbinom{\alpha_{l}}{\beta_{l}} = \dbinom{\alpha + e_{k}}{\beta}\]と計算できるのでよいです。

(2) ある $\alpha\in \mathcal{I}_{n}$ について主張の展開が得られているとき、$\alpha + e_{k}$ について\begin{eqnarray*}(x + y)^{\alpha + e_{k}} & = & (x_{k} + y_{k})(x + y)^{\alpha} = (x_{k} + y_{k})\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha - \beta} = \sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(x^{\beta + e_{k}}y^{\alpha - \beta} + x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta}) \\& = & \sum_{e_{k}\leq \beta\leq \alpha + e_{k}}\dbinom{\alpha}{\beta - e_{k}}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} + \sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} \\& = & \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ \beta_{k} = \alpha_{k} + 1}}\dbinom{\alpha}{\beta - e_{k}}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} + \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ 1\leq \beta_{k} \leq \alpha_{k}}}\left(\dbinom{\alpha}{\beta - e_{k}} + \dbinom{\alpha}{\beta}\right)x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} + \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ \beta_{k} = 0}}\dbinom{\alpha}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} \\& = & \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ \beta_{k} = \alpha_{k} + 1}}\dbinom{\alpha + e_{k}}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} + \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ 1\leq \beta_{k} \leq \alpha_{k}}}\dbinom{\alpha + e_{k}}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} + \sum_{\substack{\beta\leq \alpha + e_{k} \\ \beta_{k} = 0}}\dbinom{\alpha + e_{k}}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta} \\& = & \sum_{\beta\leq \alpha + e_{k}}\dbinom{\alpha + e_{k}}{\beta}x^{\beta}y^{\alpha + e_{k} - \beta}\end{eqnarray*}であるので、帰納法により全ての $\alpha\in \mathcal{I}_{n}$ で主張の展開が成立することが分かります。

(3) $\beta = e_{k}$ の場合が容易に示され、あとは帰納法により完結します。

(4) 仮定から偏微分の順序が交換可能なこと $($命題4.2.19$)$ より明らかです。

(5) ある $\alpha\in \mathcal{I}_{n}$ について主張の展開が得られているとき、$\alpha + e_{k}$ について\[\partial^{\alpha + e_{k}}(fg) = \partial^{e_{k}}\sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\partial^{\beta}f)(\partial^{\alpha - \beta}g) = \sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}((\partial^{\beta + e_{k}}f)(\partial^{\alpha - \beta}g) + (\partial^{\beta}f)(\partial^{\alpha + e_{k} - \beta}g))\]であるので(2)と同じような計算ができ、帰納法が上手くいきます。

(6) 基本的事実です。

(7) (6)を用いた帰納法より分かります。

極大点における任意の方向微分は $0$ なので、その点におけるJacobi行列の階数は $0$ になり、つまり、臨界点です。極小点でも同様です。

$r$ に関する帰納法により示します。$r = 0$ の場合は明らかです。$r = s - 1$ の場合まで確かめられたとます。$C^{s}$ 級関数 $f(x)$ に対して関数 $R(x) := f(x) - \sum_{\alpha\in \mathcal{I}_{n, s}}\tfrac{\partial^{\alpha}f(a)}{\alpha!}(x - a)^{\alpha}$ は $C^{s}$ 級であり、その $s$ 階以下の偏導関数 $\partial^{\alpha}R$ はいずれも $a$ において $0$ を値に取ります。帰納法の仮定より $1$ 階の各偏導関数 $\partial_{x_{k}}R$ について $\partial_{x_{k}}R(x) = o(|x - a|^{s - 1}) \ (x\to a)$ です。点 $a$ の凸開近傍 $V$ を取るとき、各 $x\in V$ に対して可微分曲線 $c_{x} : I\to V : t\mapsto t(x - a) + a$ と $R$ との合成 $R\circ c_{x}$ を考えることができ、この合成に対する平均値の定理 $($定理4.1.14$)$ より実数 $0 < t_{x} < 1$ であって\[R(x) = J_{R}(c_{x}(t_{x}))J_{c_{x}}(t_{x}) = J_{R}(t_{x}(x - a) + a)(x - a)\]となるものが取れます。$J_{R}$ の各成分が $o(|x - a|^{s - 1}) \ (x\to a)$ であることから\[R(x) = o(|x - a|^{s}) \ (x\to a)\]です。よって、$r = s$ の場合が示されました。

ある $1\leq k\leq n$ に対して $\eta_{k} = \xi_{k}$ となったら $s(\eta; \xi) = \varnothing$ となり自明なのでそうではないとします。$($空でない$)$ コンパクト部分集合 $K\subset s(\eta; \xi)$ を取ります。$r := \max_{z\in K, \ 1\leq k\leq n}\tfrac{|z_{k} - \xi_{k}|}{|\eta_{k} - \xi_{k}|}$ と定めます。$0\leq r < 1$ です。仮定の $z = \eta$ における収束性から $S := \sup_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}|a_{\alpha}(\eta - \xi)^{\alpha}| < +\infty$ であり、級数 $\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}a_{\alpha}(z - \xi)^{\alpha}$ の $\prod_{k = 1}^{n}D_{r|\eta_{k} - \xi_{k}|}(\xi_{k})$ 上で一様な優級数 $\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}Sr^{|\alpha|}$ が取れます。この優級数の収束を示せばもとの級数が $K$ 上で一様絶対収束していることが分かります。

まず、\[\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}r^{|\alpha|} = \sum_{m = 0}^{\infty}\dbinom{m + n - 1}{m}r^{m}\leq \sum_{m = 0}^{\infty}\prod_{k = 1}^{m}\left(\dfrac{k + n - 1}{k}r\right)\]と評価でき、$\tfrac{m_{0} + n - 1}{m_{0}} < r^{-1}$ となる $m_{0}\in \N$ を固定すれば右辺の $m \geq m_{0}$ に渡る総和は実数\[\sum_{m = m_{0}}^{\infty}\left(\dfrac{m_{0} + n - 1}{m_{0}}r\right)^{m - m_{0}}\prod_{k = 1}^{m_{0}}\left(\dfrac{k + n - 1}{k}r\right)\]によって上から評価されます。これは級数 $\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}r^{|\alpha|}$ の収束を意味します。

(1) $\varepsilon\in \C^{n}$ を $\eta + \varepsilon\in U$ かつ各 $1\leq k\leq n$ に対して $|\varepsilon_{k}| > 0$ かつ $|\eta_{k} + \varepsilon_{k} - \xi_{k}| = |\eta_{k} - \xi_{k}| + |\varepsilon_{k}|$ であるように取ります。任意の $\alpha\in \mathcal{I}_{n}$ に対して\[|(\eta + \varepsilon - \xi)^{\alpha}| = \prod_{k = 1}^{n}|\eta_{k} + \varepsilon_{k} - \xi_{k}|^{\alpha_{k}} = \prod_{k = 1}^{n}\left(\sum_{l = 0}^{\alpha_{k}}\dbinom{\alpha_{k}}{\beta_{k}}|\eta_{k} - \xi_{k}|^{\alpha_{k} - l}|\varepsilon_{k}|^{l}\right) = \sum_{\beta\leq \alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}|(\eta - \xi)^{\alpha - \beta}|\cdot |\varepsilon^{\beta}|\]です。$z = \eta + \xi$ において整級数 $f(z)$ は絶対収束するので級数\[\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}|a_{\alpha}|\cdot |(\eta + \varepsilon - \xi)^{\alpha}|\]は収束し、これを上記の等式で崩した級数\[\sum_{\substack{\alpha, \beta\in\mathcal{I}_{n} \\ \beta\leq \alpha}}|a_{\alpha}|\dbinom{\alpha}{\beta}|(\eta - \xi)^{\alpha - \beta}|\cdot |\varepsilon^{\beta}|\]も収束します。この $|\varepsilon^{\beta}|^{-1} \ (> 0)$ 倍が級数 $b_{\beta}$ の収束する優級数になっています。

(2) (1)で取った $\varepsilon$ を用いて $V := s(\eta + \varepsilon; \eta)$ とすればよいです。実際、$z\in V$ に対して常に $|(z - \eta)^{\beta}| < |\varepsilon^{\beta}|$ と評価できるので級数\[\sum_{\substack{\alpha, \beta\in\mathcal{I}_{n} \\ \beta\leq \alpha}}a_{\alpha}\dbinom{\alpha}{\beta}(\eta - \xi)^{\alpha - \beta}(z - \eta)^{\beta}\]は絶対収束しており、これを整理して $f(z)$ と $g(z)$ が得られます。

整級数関数 $f(x)$ はその絶対収束性から和の取り方を整理して固定した変数 $x_{k}$ に関する $a_{k}$ を中心とする一変数の整級数関数\[f(x) = \sum_{m = 0}^{\infty}\left(\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ \alpha_{k} = m}c_{\alpha}(x - a)^{\alpha - me_{k}}\right)(x_{k} - a_{k})^{m}\]と考えることができ、ここに一変数の場合の項別微分 $($命題4.1.33$)$ を適用して\[\dfrac{\partial f}{\partial x_{k}}(x) = \sum_{m = 1}^{\infty}m\left(\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ \alpha_{k} = m}c_{\alpha}(x - a)^{\alpha - me_{k}}\right)(x_{k} - a_{k})^{m - 1} = \sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ \alpha_{k}\geq 1}\alpha_{k}c_{\alpha}(x - a)^{\alpha - e_{k}}\]です最後の等式は形式的には自明ですが、$2$ 段階で取っていた総和を $1$ つにまとめてよいかというところで右辺の絶対収束性の確認が必要になります。実際、整級数関数 $f(x)$ が開集合上で定まっていることからある正実数 $\varepsilon > 0$ が存在して級数 $\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}c_{\alpha}(x - a)^{\alpha}(1 + \varepsilon)^{|\alpha|}$ は絶対収束しており、これと $m(1 + \varepsilon)^{-m}$ の有界性から右辺の絶対収束性が従います。。

命題4.2.33より $f$ は $a$ の近傍において $C^{\infty}$ 級であり、繰り返し偏微分することで $a$ の近傍において\[\partial^{\alpha}f(x) = \sum_{\beta\geq \alpha}\dfrac{\beta!}{(\beta - \alpha)!}a_{\beta}(x - a)^{\beta - \alpha}\]が得られます。$x = a$ を代入して $\partial^{\alpha}f(a) = \alpha!a_{\alpha}$ が必要と分かります。これは整級数がTaylor級数に一致することを意味します。

$f$ は各点の近傍においてその点を中心とする整級数展開を持ちます $($命題4.2.32$)$。系4.2.34より各点においてTaylor展開可能であり、実解析的です。

$l = 1$ としてよいです。合成 $g\circ f$ の点 $a\in U$ における整級数展開が存在することを示します。$f$ を成分ごとの組 $(f_{1}, \dots, f_{m})$ に分け、各 $f_{j}$ の $a$ を中心とする整級数展開が $f_{j}(x) = \sum_{\alpha\in \mathcal{I}_{n}}c_{j, \alpha}(x - a)^{\alpha}$ で表されるとします。そして、$g$ の $f(a) = (f_{1}(a), \dots, f_{m}(a))$ を中心とする整級数展開が $g(y) = \sum_{\beta\in\mathcal{I}_{n}}d_{\beta}(y - f(a))^{\beta}$ で表されるとします。正実数 $\varepsilon > 0$ を $y = f(a) + (\varepsilon, \dots, \varepsilon)$ において級数 $\sum_{\beta\in\mathcal{I}_{n}}d_{\beta}(y - f(a))^{\beta}$ が絶対収束するように取ります。さらに、各 $1\leq j\leq m$ ごと正実数 $\delta_{j} > 0$ を $x = a + (\delta_{j}, \dots, \delta_{j})$ において\[\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ |\alpha|\geq 1}|c_{j, \alpha}||(x - a)^{\alpha}| < \varepsilon\]であるように取り例えば、正実数 $\delta'_{j} > 0$ を $x = a + (\delta'_{j}, \dots, \delta'_{j})$ において級数 $\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}}c_{j, \alpha}(x - a)^{\alpha}$ が絶対収束するように取り、$\delta_{j} := \delta'_{j}\min\{\varepsilon(1 + \sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ |\alpha|\geq 1}|c_{j, \alpha}|{\delta'_{j}}^{|\alpha|})^{-1}, 1\}$ とする。、$\delta := \min \{\delta_{1}, \dots, \delta_{m}\}$ とおきます。

合成 $g\circ f$ は成分ごとに $|x_{i} - a_{i}| < \delta$ となる範囲の $x\in U$ において\[(g\circ f)(x) = \sum_{\beta\in\mathcal{I}_{n}}d_{\beta}\prod_{j = 1}^{m}\left(\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_{n}, \ |\alpha|\geq 1}c_{j, \alpha}(x - a)^{\alpha}\right)^{\beta_{j}}\]と表されますが、これをさらに単一の級数にまで $($形式的に$)$ 展開したものは $\varepsilon, \delta$ の取り方から絶対収束しています。よって、展開した後に次数ごと係数をまとめることで定まる整級数が $g\circ f$ の $a$ を中心とする整級数展開を与えます。

関数 $h(x, y) := xy$ および $h(x, y) := x/y$ が実解析的であることに注意すれば系4.2.18と同様です。一応、$y^{-1}$ の $b\neq 0$ における実解析性はその開近傍において\[y^{-1} = \dfrac{1}{b}\dfrac{1}{1 - \tfrac{b - y}{b}} = \dfrac{1}{b}\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\dfrac{b - y}{b}\right)^{n}\]であることから。

一変数の場合 $($定理4.1.37$)$ と全く同じですが繰り返します。

(1) 部分集合 $A := \{x\in U\mid \partial^{\alpha}f(x) = \partial^{\alpha}g(x) \ ({}^{\forall}\alpha\in \mathcal{I}_{n})\}$ が空ではなく開かつ閉であることを示せばよいです。空でないことは仮定から。開であることは $A$ の各点において $f, g$ のTaylor展開が存在して一致することからよく、閉であることは偏導関数の連続性からよいです。

(2) (1)より明らか。

各点 $a\in U$ ごとに示せばよいです。$e_{1}, \dots, e_{n}$ を $\C^{n}$ の標準基底とします。$a$ において複素全微分可能なことから各 $1\leq l\leq n$ に対して\[\lim_{t\to 0}\dfrac{f(a + te_{l}) - f(a)}{t} = \lim_{t\to 0}\dfrac{f'(a)(te_{l})}{t} = f'(a)e_{l},\]\[\lim_{t\to 0}\dfrac{f(a + t(e_{l}i)) - f(a)}{t} = \lim_{t\to 0}\dfrac{f'(a)(t(e_{l}i))}{t} = f'(a)(e_{l}i)\]です。前者は $\tfrac{\partial f}{\partial x_{l}}(a)$ であり、後者は $\tfrac{\partial f}{\partial y_{l}}(a)$ であるので\[\dfrac{\partial f}{\partial x_{l}}(a) = -i\dfrac{\partial f}{\partial y_{l}}(a)\]です。成分ごとにばらすことで\[\left[\begin{array}{c}\tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{l}} + \tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{l}}i \\\vdots \\\tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}} + \tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{l}}i\end{array}\right]= -i\left[\begin{array}{c}\tfrac{\partial u_{1}}{\partial y_{l}} + \tfrac{\partial v_{1}}{\partial y_{l}}i \\\vdots \\\tfrac{\partial u_{m}}{\partial y_{l}} + \tfrac{\partial v_{m}}{\partial y_{l}}i\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}\tfrac{\partial v_{1}}{\partial y_{l}} - \tfrac{\partial u_{1}}{\partial y_{l}}i \\\vdots \\\tfrac{\partial v_{m}}{\partial y_{l}} - \tfrac{\partial u_{m}}{\partial y_{l}}i\end{array}\right]\]であり、Cauchy-Riemann方程式が得られます。

(1) ⇒ (5) 命題4.2.42です。

(5) ⇒ (4) 命題4.2.42の実数値関数 $u_{k}, v_{k} : U\to \R$ を用いてJacobi行列は\[J_{f}= \left[\begin{array}{ccccc}\tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial y_{1}} & \dots & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial y_{n}} \\\tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial v_{1}}{\partial y_{1}} & \dots & \tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial v_{1}}{\partial y_{n}} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial y_{1}} & \dots & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial y_{n}} \\\tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial v_{m}}{\partial y_{1}} & \dots & \tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial v_{m}}{\partial y_{n}}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccc}\tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & -\tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}} & -\tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}} \\\tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \tfrac{\partial v_{1}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial u_{1}}{\partial x_{n}} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{1}} & -\tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{n}} & -\tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{n}} \\\tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{1}} & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \tfrac{\partial v_{m}}{\partial x_{n}} & \tfrac{\partial u_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right]\]と表され、これは標準的な同一視のもと $M(m, n; \C)$ に属します。

(4) ⇒ (1) 明らかです。

(1) ⇔ (2) 容易です。

(1) ⇔ (3) 容易です。

標準的な写像 $M(m, n; \C)\to M(2m, 2n; \R)$ が行列の積を保つことに注意すれば明らかです。

系4.2.18と同様です。

$C^{1}$ 級同相写像 $f : U\to V$ とその逆写像 $g : V\to U$ と適当な点 $a\in U$ を取ります。合成関数の微分法より\[E_{n} = J_{g\circ f}(a) = J_{g}(f(a))J_{f}(a),\]\[E_{m} = J_{f\circ g}(f(a)) = J_{f}(g(f(a)))J_{g}(f(a)) = J_{f}(a)J_{g}(f(a))\]であり、$J_{f}(a)$ と $J_{g}(f(a))$ は互いに逆行列です。これは $n = m$ を意味します。

(a) 明らかな実解析的微分同相として拡大と平行移動と反転があるので、$\R$ と $(0, +\infty)$ と $(0, 1)$ が互いに実解析的微分同相であることを示せばよいですが、指数関数 $e^{x}$ が $\R$ から $(0, +\infty)$ への実解析的微分同相写像を定め、同じく指数関数 $e^{-x}$ が $(0, +\infty)$ から $(0, 1)$ への実解析的微分同相写像を定めます。逆関数である対数関数の実解析性については例4.1.39を参照。

(b) $\R^{n}$ と $\Int I^{n}$ の実解析的微分同相性については成分ごとに(a)の結果を用いれば分かります。$\R^{n}$ と $O^{n}$ の実解析的微分同相性は互いに逆関数である実解析関数 $f : \R^{n}\to O^{n}$, $g : O^{n}\to \R^{n}$ を\[f(x) := \dfrac{x}{\sqrt{1 + |x|^{2}}}, \ g(y) := \dfrac{y}{\sqrt{1 - |y|^{2}}}\]に取れるので分かります。

(c) その他 命題C.1.2を参照。

(d) 逆行列の各成分がもとの行列の各成分の有理式として表されることから分かります。

最初の不等式は\[\inf_{v\in \R^{n}, \ |v| = 1}|J_{f}(a)v|\leq \dfrac{|J_{f}(a)(x - a)|}{|x - a|}\leq \dfrac{|f(x) - f(a)|}{|x - a|} + \dfrac{|J_{f}(a)(x - a) - (f(x) - f(a))|}{|x - a|}\]の下極限を取ることで得られ、最後の不等式は\[\dfrac{|f(x) - f(a)|}{|x - a|} - \dfrac{|f(x) - f(a) - J_{f}(a)(x - a)|}{|x - a|}\leq \dfrac{|J_{f}(a)(x - a)|}{|x - a|}\leq \|J_{f}(a)\|\]の上極限を取ることで得られます。

線分 $L$ 上の点 $c$ を $f(c) = f(a)$ を満たすもののうちで最も点 $b$ に近いものに取り、この点について\[|f(b) - f(c)|\leq \sup_{x\in L}\|J_{f}(x)\|\cdot |b - c|\]を示せば $|f(b) - f(c)| = |f(b) - f(a)|$ と $|b - c|\leq |b - a|$ から主張の不等式が得られます。また、$c = b$ のときは明らかに成立するので $c\neq b$ としてこの不等式を示せばよいです。

関数 $g : I\to \R$ を\[g(t) := |f(t(b - c) + c) - f(c)|^{2}\]により定めます。これは $C^{1}$ 級関数であり、導関数は\[g'(t) = 2(J_{f}(t(b - c) + c)(b - c))\cdot (f(t(b - c) + c) - f(c))\]です$g(t)$ は $f(t(b - c) + c) - f(c)$ どうしの内積です。その微分は系4.1.54より計算されます。。関数 $h(t) := \sqrt{g(t)}$ は $g(t)$ が区間 $(0, 1)$ において正値であることからこの区間上の各点で微分可能であり、平均値の定理 $($定理4.1.14$)$ よりある $t_{0}\in (0, 1)$ が存在して\[h(1) = h'(t_{0}) = \dfrac{g'(t_{0})}{2\sqrt{g(t_{0})}} = \dfrac{2(J_{f}(t_{0}(b - c) + c)(b - c))\cdot (f(t_{0}(b - c) + c) - f(c))}{2|f(t_{0}(b - c) + c) - f(c)|}\]です。これより\[|f(b) - f(c)|\leq |J_{f}(t_{0}(b - c) + c)(b - c)|\leq \sup_{x\in L}\|J_{f}(x)\|\cdot |b - c|\]です。

積分の一般論をすでに知っている前提での証明も書いておきます。

一般に $a$ を $b$ につなぐ $C^{1}$ 級曲線 $c : I\to U$ について\[f(b) - f(a) = \int_{0}^{1} J_{f}(c(t))c'(t)dt\]であり、曲線の長さを $l$ とおくとすれば\begin{eqnarray*}|f(b) - f(a)| & = & \left|\int_{0}^{1} J_{f}(c(t))c'(t)dt\right|\leq \int_{0}^{1} \|J_{f}(c(t))\|\cdot |c'(t)|dt \\& \leq & \sup_{x\in c(I)}\|J_{f}(x)\|\cdot \int_{0}^{1}|c'(t)|dt = \sup_{x\in c(I)}\|J_{f}(x)\|\cdot l\end{eqnarray*}です。主張はこれの特別な場合です。

(1) 点 $a\in U$ における $f$ のJacobi行列 $J_{f}(a)$ の逆行列の定める線型写像 $g : \R^{n}\to \R^{n} : v\mapsto (J_{f}(a))^{-1}v$ は同相写像であり、これを合成した $g\circ f$ による $a$ の近傍の像が $(g\circ f)(a)$ の近傍であることを示せばよいですが、$J_{g\circ f}(a)$ は単位行列 $E_{n}$ であり、つまり、最初から $J_{f}(a) = E_{n}$ だったとして示せばよいです。

$a$ の近傍 $V\subset U$ を取り、その像が $f(a)$ の近傍であることを示します。正実数 $\delta > 0$ であって次の条件を満たすものを取ります。

$D_{\delta}(f(a))\subset f(D_{2\delta}(a))$ を示せばよく、そのためには点 $c\in D_{\delta}(f(a))$ を取って $f(b) = c$ となる点 $b\in D_{2\delta}(a)$ を見つけます。

まず、$D_{2\delta}(a)$ の点列 $\{b_{k}\}_{k\in\N}$ を $b_{0} := a$, $b_{k + 1} := b_{k} + (c - f(b_{k}))$ として定められることを確かめます。そのためには $b_{k}$ まで $D_{2\delta}(a)$ の点として取れているとして $|b_{k + 1} - a|\leq 2\delta$ であることを示せばよいです。関数 $g : U\to \R^{n}$ を $g(x) := x - f(x)$ により定めると、各 $1\leq l < k$ に対して\begin{eqnarray*}|c - f(b_{l + 1})| & = & |c - f(b_{l} + (c - f(b_{l})))| \\& = & |(b_{l} + (c - f(b_{l})) - f(b_{l} + (c - f(b_{l})))) - (b_{l} - f(b_{l}))| \\& = & |g(b_{l} + (c - f(b_{l}))) - g(b_{l})| \\& \leq & \sup_{x\in D_{2\delta}(a)}\|J_{g}(x)\|\cdot |c - f(b_{l})| \\& = & \sup_{x\in D_{2\delta}(a)}\|E_{n} - J_{f}(x)\|\cdot |c - f(b_{l})|\leq \dfrac{1}{2}|c - f(b_{l})| \\\end{eqnarray*}であり $($$g$ に補題4.2.59を適用$)$、よって、各 $0\leq l\leq k$ に対して $|c - f(b_{l})|\leq 2^{-l}|c - f(b_{0})|\leq 2^{-l}\delta$ であり、これより\[|b_{k + 1} - a| = |b_{k + 1} - b_{0}| = \left|\sum_{l = 0}^{k}(b_{l + 1} - b_{l})\right| = \left|\sum_{l = 0}^{k}(c - f(b_{l}))\right|\leq \sum_{l = 0}^{k}|c - f(b_{l})| < 2\delta\]です。

これで点列 $\{b_{k}\}_{k\in \N}$ が定まりましたが、上の評価 $($常に $|b_{k + 1} - b_{k}| = |c - f(b_{k})|\leq 2^{-k}\delta$ であること$)$ からこの点列はある点 $b\in D_{2\delta}(a)$ に収束し、また、点列 $\{f(b_{k})\}_{k\in\N}$ は $c$ に収束します。よって、この $b$ について $f(b) = c$ です。

(2) 正実数 $\delta > 0$ を $D_{\delta}(a)\subset U$ かつ各 $x\in D_{\delta}(a)$ に対して $\|J_{f}(x) - E_{n}\|\leq \tfrac{1}{2}$ であるように取ります。任意の $x, y\in D_{\delta}(a)$ に対して\[|(y - f(y)) - (x - f(x))|\leq \sup_{z\in D_{\delta}(a)}\|E_{n} - J_{f}(z)\|\cdot |y - x|\leq \dfrac{1}{2}|y - x|\]であり、$|f(y) - f(x)|\geq \tfrac{1}{2}|y - x|$ です。これは $f$ の $D_{\delta}(a)$ への制限が単射であることを意味します。

(3) (1)と(2)より明らかです。

補題4.2.60より開近傍 $U$ を制限 $f : U\to \R^{n}$ が単射であるように取り、必要であれば小さく取り直して各点において正則とします。この制限は補題4.2.60より開埋め込みであり、特に $V := f(U)$ は $\R^{n}$ の開集合です。さらに終域を $V$ に制限した関数の逆関数 $f^{-1}$ が $V$ の各点において全微分可能かつ導関数が $(f^{-1})'(y) = f'(f^{-1}(y))^{-1}$ で表せることを示します。点 $y_{0}\in V$ を取ります。$x_{0} := f^{-1}(y_{0})$ とおきます。まず、$f$ が $x_{0}$ において全微分可能かつ正則なことから\begin{eqnarray*}\dfrac{|J_{f}(x_{0})^{-1}(f(x) - f(x_{0})) - (x - x_{0})|}{|x - x_{0}|} & = & \dfrac{|J_{f}(x_{0})^{-1}(f(x) - f(x_{0}) - J_{f}(x_{0})(x - x_{0}))|}{|x - x_{0}|} \\& \leq & \|J_{f}(x_{0})^{-1}\|\cdot \dfrac{|f(x) - f(x_{0}) - J_{f}(x_{0})(x - x_{0})|}{|x - x_{0}|}\to 0 \ (x\to x_{0})\end{eqnarray*}であり、左辺の極限は $0$ に収束します。これと逆写像 $f^{-1}$ の連続性から\[\lim_{y\to y_{0}}\dfrac{|J_{f}(x_{0})^{-1}(y - y_{0}) - (f^{-1}(y) - f^{-1}(y_{0}))|}{|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_{0})|} = 0\]です。補題4.2.58と $f$ の $x_{0}$ における正則性から\[0 < \inf_{v\in \R^{n}, \ |v| = 1}|J_{f}(a)v|\leq \varliminf_{x\to a}\dfrac{|f(x) - f(x_{0})|}{|x - x_{0}|}\]ですが、これは\[\varlimsup_{x\to x_{0}}\dfrac{|x - x_{0}|}{|f(x) - f(x_{0})|}\leq \left(\inf_{v\in \R^{n}, \ |v| = 1}|J_{f}(a)v|\right)^{-1} < +\infty\]を意味し、再び $f^{-1}$ の連続性から\[\varlimsup_{y\to y_{0}}\dfrac{|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_{0})|}{|y - y_{0}|} < +\infty\]が従います。以上により極限\[\lim_{y\to y_{0}}\dfrac{|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_{0}) - J_{f}(x_{0})^{-1}(y - y_{0})|}{|y - y_{0}|} = 0\]が得られ、つまり、逆関数 $f^{-1}$ は点 $y_{0}\in f(V)$ において全微分可能かつ微分係数は $f'(f^{-1}(y_{0}))^{-1}$ です。

最後に逆関数 $f^{-1}$ が $C^{r}$ 級であることを示します。まず、既に $f^{-1}$ が $C^{0}$ 級であることは分かっています。ある $0\leq s < r$ に対して $f^{-1}$ が $C^{s}$ 級であったとします。$C^{s}$ 級関数どうしの合成関数 $f'\circ f^{-1}$ は $C^{s}$ 級であり、逆関数の導関数 $(f^{-1})'$ はこの $C^{s}$ 級関数と各正則行列に逆行列を対応させる $C^{\infty}$ 級関数 $\inv : GL(n; \R)\to GL(n; \R) : A\mapsto A^{-1}$ との合成なので $C^{s}$ 級です。従って、$f^{-1}$ は $C^{s + 1}$ 級です。結果、帰納法より $f^{-1}$ が $C^{r}$ 級であることが従います。

始域側の座標の順番の取り換えにより点 $a$ におけるJacobi行列 $J_{f}(a)\in M(k, n; \R)$ の第 $1, 2, \dots, k$ 列からなる $k$ 次正方行列が正則として問題ありません。写像 $g : W\to \R^{k}\times \R^{n - k}$ を各 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\in W$ に対して\[g(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (f(x), x_{k + 1}, \dots, x_{n})\]として定めます。$g$ の $a$ におけるJacobi行列は正則なので逆関数定理 $($定理4.2.62$)$ により $a$ の開近傍 $V$ と $g(a)$ の開近傍 $U$ であって制限 $g|_{V} : V\to U$ が $C^{r}$ 級同相となるものが存在します。この $g$ の逆関数を $\varphi$ とすればよいです。

$\R^{k}\times \R^{n - k}$ の第 $i$ 成分への射影を $\pr_{i}$ とし、$g := \pr_{1}\circ f$, $h := \pr_{2}\circ f$ と定めます。終域側の座標の順番の取り換えにより $g$ の $a$ におけるJacobi行列が正則として問題ありません。いま、逆関数定理 $($定理4.2.62$)$ により $a$ の開近傍 $U'$ と $g(a)$ の開近傍 $U''$ であって制限 $g|_{V} : U'\to U''$ が $C^{r}$ 級同相となるものが取れます。この制限の逆写像を $\psi$ とおくとき\[(\psi\times \Id_{\R^{n - k}})\circ (f|_{U'}) : U'\to U'\times \R^{n - k} : x\mapsto ((\psi\circ g)(x), h(x)) = (x, h(x))\]であり、$\varphi$ を $\psi\times \Id_{\R^{n - k}}$ と $U'\times \R^{n - k}$ の自己 $C^{r}$ 級同相\[(\pr_{1}, \pr_{2} - h\circ \pr_{1}) : (x, x')\mapsto (x, x' - h(x))\]との合成 $(\pr_{1}, \pr_{2} - h\circ \pr_{1})\circ (\psi\times \Id_{\R^{n - k}})$ の $V' := V\cap (U''\times \R^{n - k})$ への制限とすればよいです。もちろん、$W'$ はその像 $\varphi(V')$ とします。

(1) 自明です。

(2) $f$ の変数を $y_{1}, \dots, y_{n}$ とし、$\varphi$ の変数を $x_{1}, \dots, x_{n}$ とします。関数 $f\circ \varphi$ の $2$ 階偏導関数を計算すると\begin{eqnarray*}\dfrac{\partial}{\partial x_{j}}\dfrac{\partial(f\circ \varphi)}{\partial x_{i}}(x) & = & \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial y_{k}}(\varphi(x))\dfrac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}(x) \\& = & \sum_{k = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y_{l} \partial y_{k}}(\varphi(x))\dfrac{\partial \varphi_{l}}{\partial x_{j}}(x)\dfrac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}(x) + \sum_{k = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial y_{k}}(\varphi(x))\dfrac{\partial^{2} \varphi_{k}}{\partial x_{j} \partial x_{i}}(x)\end{eqnarray*}であり、臨界点 $a$ においては $f$ の $1$ 階導関数は $0$ を値に取るので\[\dfrac{\partial^{2}(f\circ \varphi)}{\partial x_{j} \partial x_{i}}(a) = \sum_{k = 1}^{n}\sum_{l = 1}^{n}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y_{l} \partial y_{k}}(\varphi(a))\dfrac{\partial \varphi_{l}}{\partial x_{j}}(a)\dfrac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{i}}(a)\]です。よって、主張の表示が得られます。最後はSylvesterの慣性法則から。

ここではあらかじめ定まっている $x = (x_{1}, \dots, x_{n})\in \R^{n}$ や $\alpha = (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})\in \mathcal{I}_{n}$ に対してその後ろ $n - 1$ 成分を $x', \alpha'$ で表すことにします。最初に各 $\beta'\in \mathcal{I}_{n - 1}$, $s\in \N$ に対して関数 $f_{\beta'}, g_{\beta'}, P_{\beta'}^{s}, Q_{\beta'}^{s}, R_{\beta'}^{s}, S_{\beta'}^{s}$ を\begin{eqnarray*}f_{\beta'}(x) & := & \partial^{(0, \beta')}f(x), \\g_{\beta'}(x) & := & \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{f_{\beta'}(x) - f_{\beta'}(a_{1}, x')}{x_{1} - a_{1}} & (x_{1}\neq a_{1}) \\\partial_{x_{1}}f_{\beta'}(x) & (x_{1} = a_{1})\end{array}\right., \\P_{\beta'}^{s}(x) & := & \sum_{k = 0}^{s}\dfrac{\partial_{x_{1}}^{k}f_{\beta'}(a_{1}, x')}{k!}(x_{1} - a_{1})^{k}, \\Q_{\beta'}^{s}(x) & := & \sum_{k = 1}^{s}\dfrac{\partial_{x_{1}}^{k}f_{\beta'}(a_{1}, x')}{k!}(x_{1} - a_{1})^{k - 1}, \\R_{\beta'}^{s}(x) & := & f_{\beta'}(x) - P_{\beta'}^{s}(x) \ (= f_{\beta'}(x) - f_{\beta'}(a_{1}, x') - Q_{\beta'}^{s}(x)(x_{1} - a_{1})), \\S_{\beta'}^{s}(x) & := & g_{\beta'}(x) - Q_{\beta'}^{s}(x) \ \left(= \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{R_{\beta'}^{s}(x)}{x_{1} - a_{1}} & (x_{1}\neq a_{1}) \\0 & (x_{1} = a_{1})\end{array}\right.\right), \\\end{eqnarray*}により定めます。以下のことが容易に確かめられます。

以下の流れで示します。ただし、関数 $h : J\times V\to \R$ に対して $h(x) = o((x_{1} - a_{1})^{r})$ であることを任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $\{a_{1}\}\times V\subset J\times V$ のある開近傍 $W$ が存在して $W\setminus (\{a_{1}\}\times V)$ 上 $|h(x)| < \varepsilon|x_{1} - a_{1}|^{r}$ と上から抑えられることと定めておきます。

(step 1) $t - s$ に関する帰納法で示されます。$t - s = 0$ のときは $\partial_{x_{1}}^{t}R_{\beta'}^{t}$ が連続かつ $\{a_{1}\}\times V$ 上で常に $0$ を値に取ることから明らかに $\partial_{x_{1}}^{t}R_{\beta'}^{t}(x) = o(1 = (x_{1} - a_{1})^{0})$ です。$t - s = k$ までよいとして $t - s = k + 1$ でもよいことを示します。固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対して帰納法の仮定から次の条件を満たす $\{a_{1}\}\times V$ の開近傍 $W$ が取れます。

各 $x\in W\setminus (\{a_{1}\}\times V)$ に対して平均値の定理より実数 $\theta\in (0, 1)$ であって\[\partial_{x_{1}}^{s}R_{\beta'}^{t}(x) = \partial_{x_{1}}^{s + 1}R_{\beta'}^{t}(a_{1} + \theta(x_{1} - a_{1}), x')(x_{1} - a_{1})\]を満たすものを取ることができ、$W$ の取り方からただちに\[|\partial_{x_{1}}^{s}R_{\beta'}^{t}(x)| < \varepsilon |x_{1} - a_{1}|^{k + 1}\]と評価できます。よって、$\partial_{x_{1}}^{s}R_{\beta'}^{t}(x) = o((x_{1} - a_{1})^{k + 1})$ です。

(step 2) 計算して\begin{eqnarray*}\partial_{x_{1}}^{s}S_{\beta'}^{t}(x) & = & \sum_{k = 0}^{s}\dbinom{s}{k}\partial_{x_{1}}^{k}R_{\beta'}^{t}(x)\dfrac{(-1)^{s - k}(s - k)!}{(x_{1} - a_{1})^{s - k + 1}} \\& = & \sum_{k = 0}^{s}\dbinom{s}{k}o((x_{1} - a_{1})^{t - k})\dfrac{(-1)^{s - k}(s - k)!}{(x_{1} - a_{1})^{s - k + 1}} \\& = & o((x_{1} - a_{1})^{t - s - 1})\end{eqnarray*}です。

(step 3) $S_{\beta'}^{1}$ が $\{a_{1}\}\times V$ 上で常に $0$ を値に取ることと(step 2)の評価 $S_{\beta'}^{1}(x) = o(1)$ より $S_{\beta'}^{1}$ は連続です。よって、$g_{\beta'}$ も連続です。

(step 4) まずは $i = 1$ の場合を示します。仮定より $J\times V$ 上で連続関数 $\partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta'}^{r + 2}$ が定まりますが、(step 2)の評価 $\partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta'}^{r + 2}(x) = o(x_{1} - a_{1})$ よりさらに $x_{1}$ 成分に関して偏微分可能であり、偏導関数 $\partial_{x_{1}}^{r + 1}S_{\beta'}^{r + 2}$ は $\{a_{1}\}\times V$ 上で常に $0$ を値に取ります。これと再び(step 2)の評価 $\partial_{x_{1}}^{r + 1}S_{\beta'}^{r + 2}(x) = o(1)$ から $\partial_{x_{1}}^{r + 1}S_{\beta'}^{r + 2}$ の連続性が従います。

続いて $i\neq 1$ の場合を示します。偏導関数 $\partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta'}^{r + 2}$ が $\{a_{1}\}\times V$ 上で常に $0$ を値に取ることから $x_{i}$ 成分に偏微分可能です。明らかに偏導関数 $\partial_{x_{i}}(\partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta'}^{r + 2})$ は $\{a_{1}\}\times V$ 上で常に $0$ を値に取ります。$(J\setminus \{a_{1}\})\times V$ 上で\[\partial_{x_{i}}(\partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta'}^{r + 2})(x) = \partial_{x_{1}}^{r}\partial_{x_{i}}S_{\beta'}^{r + 2}(x) = \partial_{x_{1}}^{r}S_{\beta' + e'_{i}}^{r + 2}(x) = o(x_{1} - a_{1})\]であることから連続性もよいです。

(step 5) 絶対値が $r$ の $\alpha = (\alpha_{1}, \alpha')\in \mathcal{I}_{n}$ と $1\leq i\leq n$ に対して偏導関数 $\partial_{x_{i}}(\partial^{\alpha}S_{\beta'}^{r + 2})$ が定まって連続であることを示せばよいです。$\alpha_{1} = r$ の場合は(step 4)よりよく、$\alpha_{1}\neq r$ の場合は $\partial_{x_{i}}(\partial^{\alpha}S_{\beta'}^{r + 2}) = \partial_{x_{i}}(\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}}S_{\beta' + \alpha'}^{r + 2})$ と $\alpha_{1} + 1\leq r$ と $S_{\beta' + \alpha'}^{r + 2}$ が $C^{r}$ 級であることからよいです。

よって、(step 3)と(step 5)から全ての $g_{\beta'}$ は $C^{\infty}$ 級ですが、$\beta' = 0$ に対応するものが欲しかった関数 $g$ です。

微積分学の基本定理から\begin{eqnarray*}f(x) & = & f(a_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) + \int_{0}^{1}\dfrac{d}{dt}f(a_{1} + t(x_{1} - a_{1}), x_{2}, \dots, x_{n})dt \\& = & f(a_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) + \int_{0}^{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(a_{1} + t(x_{1} - a_{1}), x_{2}, \dots, x_{n})(x_{1} - a_{1})dt\end{eqnarray*}であるので\[g(x) := \int_{0}^{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(a_{1} + t(x_{1} - a_{1}), x_{2}, \dots, x_{n})dt\]と定めればよいです。積分の一般論から各 $x_{k}$ に関する偏微分と $t$ に関する積分は可換なので $g$ は $C^{\infty}$ 級です。

始域の次元に関する帰納法で示します。$n = 1$ の場合は補題4.2.72そのものです。$n = k$ の場合によいとして $n = k + 1$ の場合にもよいことは補題4.2.72による表示\[f(x) = g(x)(x_{1} - a_{1}) + f(a_{1}, x_{2}, \dots, x_{k + 1})\]の右辺の第 $2$ 項に帰納法の仮定を適用することで分かります。

微積分学の基本定理から\begin{eqnarray*}f(x) & = & f(a) + \int_{0}^{1}\dfrac{d}{dt}f(a + t(x - a))dt \\& = & f(a) + \int_{0}^{1}\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial x_{k}}(a + t(x - a))(x_{k} - a_{k})dt\end{eqnarray*}であるので\[g_{k}(x) := \int_{0}^{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{k}}(a + t(x - a))dt\]と定めればよいです。積分の一般論から各 $x_{k}$ に関する偏微分と $t$ に関する積分は可換なので $g$ は $C^{\infty}$ 級です。

適当な平行移動の合成により $a = 0$ としてよく、また、定数関数を足しても変わらないので $f(0)= 0$ とします。さらに、始域 $W$ は超直方体状の原点開近傍に取り直しておきます。補題4.2.73の展開\[f(x) = \sum_{k = 1}^{n}g_{k}(x)x_{k}\]において原点が臨界点であることから各 $g_{k}$ は $g_{k}(0) = 0$ を満たしており、これに再び補題4.2.73を適用して\[f(x) = \sum_{1\leq i, j\leq n}g_{ij}(x)x_{i}x_{j}\]という表示が得られます。必要であれば $g_{ij}$ と $g_{ji}$ を $(g_{ij} + g_{ji})/2$ で置き換えることで常に $g_{ij} = g_{ji}$ としてよいです。

$n$ 次実対称行列全体 $\Sym(n; \R)$ に値を取る $C^{\infty}$ 級関数 $G(x) := \left[\begin{array}{c}g_{ij}(x)\end{array}\right]_{1\leq i, j\leq n}$ を取ります。計算により $G(0) = 2H_{f}(0)$ であり、$G(0)$ は正則かつ負の指数は $p$ です。よって、ある正則行列 $A_{0}$ が存在して $A_{0}^{T}G(0)A_{0} = (-E_{p}\oplus E_{n - p})$ です。また、写像 $\varPsi : W\times GL(n; \R)\to W\times \Sym(n; \R)$ を\[\varPsi(x, X) := (x, X^{T}G(x)X)\]により定めます。$\varPsi(0, A_{0}) = (0, (-E_{p})\oplus E_{n - p})$ ですが、さらに点 $(0, A_{0})$ が $\varPsi$ の正則点であることを示します。そのためには制限\[\{0\}\times GL(n; \R)\to \{0\}\times \Sym(n; \R) : X\mapsto X^{T}G(0)X\]が $A_{0}$ において正則であることを示せばよいですが、写像\[GL(n; \R)\to GL(n; \R) : X\mapsto A_{0}X\]が $C^{\infty}$ 級同相写像であることから写像\[GL(n; \R)\to \Sym(n; \R) : X\mapsto X^{T}((-E_{p})\oplus E_{n - p})X\]の $E_{n}$ における正則性を確認すればよく、これは $X$ の $kl$ 成分 $x_{kl}$ に関する偏微分係数が\[E_{k, l}^{T}((-E_{p}) + E_{n - p}) + ((-E_{p}) + E_{n - p})E_{k, l} = \pm (E_{k, l} + E_{l, k})\]と計算できること $($命題4.1.53$)$ から明らかです。

ここで、$n$ 次実正方行列全体 $M(n; \R)$ が $n$ 次実対称行列全体 $\Sym(n; \R)$ と $n$ 次実交代行列全体 $\Alt(n; \R)$ との直和に分解することに注意して、陰関数定理 $($定理4.2.64$)$ より $W\times \Sym(n; \R)\times \Alt(n; \R)$ の開集合 $U'$ と点 $(0, A_{0})\in W\times GL(n; \R)$ の開近傍 $V'$ との間の $C^{\infty}$ 級同相写像 $\psi : U'\to V'$ であって常に $(\varPsi\circ \psi)(x, Y, Z) = (x, Y)$ を満たすものが得られます。$C\in \Alt(n; \R)$ を $\psi^{-1}(0, A_{0})$ の第 $3$ 成分とし、$W' := U'\cap (W\times \{((-E_{p})\oplus E_{n - p}, C)\})$ と定め、$C^{\infty}$ 級関数 $A : W'\to GL(n; \R)$ を\[A(x) := (\pr_{2}\circ \psi)(x, ((-E_{p})\oplus E_{n - p}), C)\]と定めると、これは $A(0) = A_{0}$ かつ常に $A(x)^{T}G(x)A(x) = (-E_{p})\oplus E_{n - p}$ を満たします。さらに $C^{\infty}$ 級関数 $B(x) := A(x)^{-1}$ を取ってその $kl$ 成分を $b_{kl}(x)$ とおけば\begin{eqnarray*}f(x) = x^{T}G(x)x & = & x^{T}B(x)^{T}((-E_{p})\oplus E_{n - p})B(x)x \\& = & - \sum_{k = 1}^{p}\left(\sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(x)x_{l}\right)^{2} + \sum_{k = p + 1}^{n}\left(\sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(x)x_{l}\right)^{2}\end{eqnarray*}です。

あとは $y_{k} = \sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(x)x_{l}$ という関係式から定まる座標変換を行えば主張の形の表示が得られます。きちんと書くと、写像 $\theta = (\theta_{1}, \dots, \theta_{n}) : W'\to \R^{n}$ を $\theta_{k}(x) := \sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(x)x_{l}$ により定めるとき、$J_{\theta}(0) = B(0)$ より原点は正則点であり、逆関数定理 $($定理4.2.62$)$ より $\theta$ のある原点開近傍への制限 $\theta|_{V} : V\to U$ には滑らかな逆写像 $\varphi$ が存在し、この $\varphi = (\varphi_{1}, \dots, \varphi_{n})$ について\begin{eqnarray*}(f\circ \varphi)(y) & = & - \sum_{k = 1}^{p}\left(\sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(\varphi(y))\varphi_{l}(y)\right)^{2} + \sum_{k = p + 1}^{n}\left(\sum_{l = 1}^{n}b_{kl}(\varphi(y))\varphi_{l}(y)\right)^{2} \\& = & - \sum_{k = 1}^{p}(\theta_{k}(\varphi(y)))^{2} + \sum_{k = p + 1}^{n}(\theta_{k}(\varphi(y)))^{2} = - \sum_{k = 1}^{p}y_{k}^{2} + \sum_{k = p + 1}^{n}y_{k}^{2}\end{eqnarray*}です。