(1) 有限個の開球体の共通部分 $U := \bigcap_{k = 1}^{n}O_{r_{k}}(x_{k})$ の各点 $x\in U$ に対して $x$ を中心とする開球体 $O_{r}(x)$ であって $O_{r}(x)\subset U$ を満たすものが存在することを示せばよく、そのためには半径 $r$ として\[r := \min\{r_{k} - d(x_{k}, x)\mid 1\leq k\leq n\}\]を取ればよいです。実際、任意の $y\in O_{r}(x)$ に対して常に\[d(x_{k}, y)\leq d(x_{k}, x) + d(x, y)\leq d(x_{k}, x) + r\leq d(x_{k}, x) + (r_{k} - d(x_{k}, x)) = r_{k}\]であることから $y\in \bigcap_{k = 1}^{n}O_{r_{k}}(x_{k})$ が成立しているので $O_{r}(x)\subset U$ です。

(2) 点 $x\in X$ の開近傍 $U$ に対し、(1)より $U$ に含まれる $x$ の開近傍として開球体 $O_{r}(x')$ を取ることができます。正整数 $n$ を $1/n < r - d(x, x')$ を満たす様に十分大きく取れば $O_{1/n}(x)\subset O_{r}(x')\subset U$ であり、基本開近傍系であることが従います。よって、距離空間 $X$ は第一可算公理を満たします。

(3) $X$ の相異なる $2$ つの点 $x\neq y$ に対し、$r := d(x, y)/2$ とおけば $O_{r}(x), O_{r}(y)$ が $x, y$ を分離する開集合になるので、距離空間 $X$ はHausdorff空間です。

$\mathcal{O}_{1}, \mathcal{O}_{2}$ に関する開球体をそれぞれ $O_{r}(x), O'_{r}(x)$ と書くことにします。正実数 $m, M$ を $m\cdot d_{2}\leq d_{1}\leq M\cdot d_{2}$ であるように固定します。任意の点 $x, y\in X$ と正実数 $r > 0$ に対して\[d_{2}(x, y) < M^{-1}\cdot r\Rightarrow d_{1}(x, y) < r\]であることから常に $O'_{M^{-1}r}(x)\subset O_{r}(x)$ であり、$\mathcal{O}_{1}\leq \mathcal{O}_{2}$ が分かります。同様に、\[d_{1}(x, y) < m\cdot r\Rightarrow d_{2}(x, y) < r\]であることから常に $O_{mr}(x)\subset O'_{r}(x)$ であり、$\mathcal{O}_{2}\leq \mathcal{O}_{1}$ が分かります。

$X$ における距離関数 $d$ に関する開球体を $O_{r}(x)$ と書き、$A$ における距離関数 $d_{A}$ に関する開球体を $O'_{r}(x)$ と書くことにします。$\mathcal{O}$ に関する $x\in A$ の基本開近傍系として $\{O_{r}(x)\cap A\mid r\in (0, +\infty)\}$ を取ることができ、また、任意の $r > 0$ に対して $O_{r}(x)\cap A = O'_{r}(x)$ であることからこれは $\mathcal{O}'$ に関する $x$ の基本開近傍系でもあります。$A$ の各点で共通の基本開近傍系が取れるので両者は一致します。

(1) まず、$p\in [1, +\infty)$ に対して $d_{p}$ が距離関数であることについて、正値性と対称性は明らかであり、三角不等式もMinkowski不等式 $($命題1.7.7$)$ から直ちに従います。$d_{\infty}$ についても正値性と対称性は明らかであり、三角不等式は\begin{eqnarray*}\max\{d_{k}(x_{k}, z_{k})\mid 1\leq k\leq n\} & \leq & \max\{d_{k}(x_{k}, y_{k}) + d_{k}(y_{k}, z_{k})\mid 1\leq k\leq n\} \\& \leq & \max\{d_{k}(x_{k}, y_{k})\mid 1\leq k\leq n\} + \max\{d_{k}(y_{k}, z_{k})\mid 1\leq k\leq n\}\end{eqnarray*}よりよいです。

これらが互いに同値な距離関数であることは、各 $p\in [1, +\infty)$ に対して $d_{\infty}\leq d_{p}\leq n^{1/p}\cdot d_{\infty}$ であることからよいです。

(2) $X_{k}$ における開球体を $O_{r}^{k}(x_{k})$ と書くことにすると、距離関数 $d_{\infty}$ に関する点 $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ を中心とする半径 $r$ の開球体 $O'_{r}(x)$ は $\prod_{k = 1}^{n}O_{r}^{k}(x_{k})$ であり、これは直積位相における開集合です。よって、$\mathcal{O}'\leq \mathcal{O}$ です。

また、直積位相に関する点 $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ の開近傍 $U$ に対し、各 $X_{k}$ における $x_{k}$ の開近傍 $U_{k}$ たちを $\prod_{k = 1}^{n}U_{k}\subset U$ を満たすように取り、さらに正実数 $r > 0$ を全ての $1\leq k\leq n$ に対して $O_{r}(x_{k})\subset U_{k}$ を満たす様に小さく取れば $O'_{r}(x)\subset \prod_{k = 1}^{n}U_{k}\subset U$ となります。よって、$\mathcal{O}\leq \mathcal{O}'$ です。

(1) ⇒ (2) (1)より任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N\in \N$ であって $n > N\Rightarrow x_{n}\in O_{\varepsilon}(x)$ を満たすものが取れます。ここから直ちに $\underset{n\to\infty}{\lim}d(x_{n}, x) = 0$ が得られます。

(2) ⇒ (1) $U$ を $x$ の開近傍とします。ある正実数 $\varepsilon > 0$ であって $O_{\varepsilon}(x)\subset U$ となるものを取り、さらにこの $\varepsilon$ に対して(2)より非負整数 $N\in \N$ であって $n > N\Rightarrow d(x_{n}, x) < \varepsilon$ を満たすものを取ります。この $N$ に対して $n > N\Rightarrow x_{n}\in U$ です。よって、点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ は $x$ に収束します。

$X, Y$ における開球体をそれぞれ $O_{r}(x), O'_{r}(y)$ と書くことにします。

(1) ⇒ (2) 正実数 $\varepsilon > 0$ を固定します。$f(x)$ の開近傍 $O'_{\varepsilon}(f(x))$ に対して(1)より $f^{-1}(O'_{\varepsilon}(f(x)))$ は $x$ の近傍であり、正実数 $\delta > 0$ であって $O_{\delta}(x)\subset f^{-1}(O'_{\varepsilon}(f(x)))$ を満たすものが取れます。この $\delta$ に関して常に $d_{X}(x, x') < \delta\Rightarrow d_{Y}(f(x), f(x')) < \varepsilon$ を満たします。

(2) ⇒ (1) $V$ を $f(x)$ の開近傍とします。正実数 $\varepsilon > 0$ であって $O'_{\varepsilon}(f(x))\subset V$ となるものを取り、(2)より正実数 $\delta > 0$ であって常に $d_{X}(x, x') < \delta\Rightarrow d_{Y}(f(x), f(x')) < \varepsilon$ を満たすものを取れば、$f(O_{\delta}(x))\subset O'_{\varepsilon}(f(x))$ であり、$O_{\delta}(x)\subset f^{-1}(V)$ が従います。これは $f^{-1}(V)$ が $x$ の近傍であることを意味し、よって、$f$ は $x$ において連続です。

(1) ⇔ (3) $X$ が第一可算公理を満たしているので、各点での連続性と点列連続性は同値です。$($命題2.4.6$)$

(3) ⇔ (4) 命題2.8.9より明らかです。

(1) 任意の $x, y\in X$ と $\varepsilon > 0$ に対して\[O_{\varepsilon/2}(x)\times O_{\varepsilon/2}(y)\subset d^{-1}((f(x, y) - \varepsilon, f(x, y) + \varepsilon))\]であるので距離関数 $d$ は連続です。

(2) 任意の $x, y\in X$ に対して\begin{eqnarray*}f(x) - f(y) & = & \inf\{d(x, a)\mid a\in A\} - \inf\{d(y, a)\mid a\in A\} \\& \leq & \inf\{d(x, y) + d(y, a)\mid a\in A\} - \inf\{d(y, a)\mid a\in A\} \\& = & d(x, y) + \inf\{d(y, a)\mid a\in A\} - \inf\{d(y, a)\mid a\in A\} \\& = & d(x, y)\end{eqnarray*}であり、同様に $f(y) - f(x)\leq d(x, y)$ なので $|f(x) - f(y)| \leq d(x, y)$ です。これにより $f_{A}$ の各点での連続性が従うので $f_{A}$ は連続です。$f_{A}^{-1}(0) = \overline{A}$ は容易です。

$A, B$ を非交叉な $X$ の閉集合とします。連続写像 $f_{A}, f_{B} : X\to \R$ を\[f_{A}(x) := \inf\{d(x, a)\mid a\in A\}, \ f_{B}(x) := \inf\{d(x, b)\mid b\in B\}\]により定めます。このとき連続写像 $F := f_{A}/(f_{A} + f_{B}) : X\to [0, 1]$ は $F|_{A}\equiv 0$, $F|_{B}\equiv 1$ を満たします$f_{A}$ は $A^{c}$ 上で正値、$f_{B}$ は $B^{c}$ 上で正値を取るので $A^{c}\cup B^{c} = X$ より $f_{A} + f_{B}$ は $X$ 上で正値を取ります。よって、$F$ は $X$ 上の連続関数として定まっています。区間 $[0, 1]$ に値を取ることも明らか。$F|_{A}\equiv 0$ は $f_{A}|_{A}\equiv 0$ から、$F|_{B}\equiv 1$ は $f_{B}|_{B}\equiv 0$ から従います。。よって、$F^{-1}([0, 1/2))$ と $F^{-1}((1/2, 1])$ が $A, B$ を分離する開集合として得られます。よって、距離空間 $X$ は正規です。

(1) $X$ が全有界であるとき、有限個の半径 $1$ の開球体 $O_{1}(x_{0}), \dots, O_{1}(x_{n})$ たちによる $X$ の被覆を取り、$r := 1 + \max\{d(x_{0}, x_{k})\mid 1\leq k\leq n\}$ とすれば $X\subset O_{r}(x_{0})$ であるので $X$ は有界です。

(2) コンパクト性から任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して開被覆 $\{O_{\varepsilon}(x)\}_{x\in X}$ の有限部分被覆が取れるので全有界です。また、(1)より有界です有界性だけであれば距離関数 $d$ がコンパクト空間上の連続関数であることに注意して、その最大値の存在からも示されます。。

(3) 自明に見えますが少し注意が必要です。任意に正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。$X$ が全有界なので半径 $\varepsilon / 2$ の開球体 $O_{\varepsilon / 2}(x_{1}), \dots, O_{\varepsilon / 2}(x_{n})$ たちによる $X$ の被覆が取れます。添字の順番を適当に取り換え、ちょうど最初 $m$ 個の $O_{\varepsilon / 2}(x_{1}), \dots, O_{\varepsilon / 2}(x_{m})$ が $A$ と交わるとするとき、各 $1\leq k\leq m$ に対して $a_{k}\in A\cap O_{\varepsilon / 2}(x_{k})$ を固定することで\[A\subset \bigcup_{k = 1}^{m}O_{\varepsilon / 2}(x_{k})\subset \bigcup_{k = 1}^{m}O_{\varepsilon}(a_{k})\]です。以上より $A$ は全有界です。

各正整数 $n\in \Np$ に対して有限個の半径 $\tfrac{1}{n}$ の開球体 $O_{1/n}(x_{n, 1}), \dots, O_{1/n}(x_{n, m_{n}})$ であって $X$ を被覆するものを固定します。$\mathcal{U} := \{O_{1/n}(x_{n, k})\mid n\in \Np, 1\leq k\leq m_{n}\}$ は明らかに高々可算であり、これが開基であることを示せばよいです。$X$ の開集合 $U$ とその点 $x$ を取り、$\mathcal{U}$ に属す $x$ の開近傍であって $U$ に含まれるものが存在することを示せばよいです。まず、正実数 $r > 0$ を $O_{r}(x)\subset U$ であるように取ります。$\tfrac{1}{n} < \tfrac{r}{2}$ を満たすような $n\in \Np$ を取ります。ある $1\leq k\leq m_{n}$ が存在して $x\in O_{1/n}(x_{n, k})$ ですが、$n$ の取り方から\[O_{1/n}(x_{n, k})\subset O_{r/2}(x_{n, k})\subset O_{r}(x)\subset U\]です。この $O_{1/n}(x_{n, k})$ が欲しかった $\mathcal{U}$ の元です。

有限部分被覆を取り、添字を取り換えて $U_{1}, \dots, U_{n}$ により $X$ が被覆されているとします。各 $1\leq k\leq n$ に対して連続関数 $f_{k}(x) := \min\{d(x, u)\mid u\in U_{k}^{c}\}$ を取ります。関数 $F := \max\{f_{k}\mid 1\leq k\leq n\}$ はコンパクト空間上の連続関数なので最小値をある点 $x_{0}$ において取ります。$x_{0}\in U_{k}$ とするとき、$f_{k}(x_{0}) > 0$ であるのでその最小値 $\delta$ は正値です。

この状況において、直径 $\delta$ 未満の部分集合 $A$ はある $U_{k}$ に含まれます。実際、適当に固定した点 $a\in A$ に対してある $k$ であって $f_{k}(a)\geq \delta$ となるものを取ることができ、その $k$ について $O_{\delta}(a)\subset U_{k}$ であるので $A\subset O_{\delta}(a)$ と合わせて $A\subset U_{k}$ が従います。

部分空間 $A$ のCauchy列は全空間 $X$ のCauchy列でもあるので $X$ の完備性から $X$ のある点 $x$ に収束しますが、$A$ が閉集合だったので $x\in A$ です。よって、閉集合 $A$ は完備です。

$(X, d_{1})$ が完備であったとします。$(X, d_{2})$ に関するCauchy列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ は $d_{1}, d_{2}$ の同値性から $(X, d_{1})$ のCauchy列であるので $(X, d_{1})$ において収束する点列です。$d_{1}, d_{2}$ の同値性から $(X, d_{1})$ と $(X, d_{2})$ が同相であるので $(X, d_{2})$ においても収束する点列です。よって、$(X, d_{2})$ は完備です。$(X, d_{2})$ が完備なときに $(X, d_{1})$ が完備であることも同様です。

(1) $d_{p}$ の定め方から容易に分かります。

(2) 直積集合におけるCauchy列 $\{(x_{\lambda, n})_{\lambda\in\Lambda}\}_{n\in\N}$ に対して\[\lim_{n\to\infty}(x_{\lambda, n})_{\lambda\in\Lambda} = \left(\lim_{n\in\N}x_{\lambda, n}\right)_{\lambda\in\Lambda}\]が容易に分かります。

$x\in X$ とその開近傍 $V$ を任意に取り、$V\cap \left(\bigcap_{n\in\N}U_{n}\right) \neq \varnothing$ を示します。まず、以下のように閉球体の列 $\{B_{n}\}_{n\in\N}$ を構成します。

実際に構成できることですが、まず $B_{0}$ について、$U_{0}$ の稠密性から $V\cap U_{0}$ は空でない開集合であり、適当に固定した点 $x_{0}\in V\cap U_{0}$ を中心とする閉球体であって $V\cap U_{0}$ に含まれるものを取ることができるので、それを $B_{0}$ とすればよいです。以下、$B_{n}$ についても同様に取っていけばよいです。

各 $B_{n}$ の中心を $x_{n}$ とするとき、任意の $n\leq m$ に対して $x_{m}\in B_{m}\subset B_{n}$ であることから $d(x_{n}, x_{m})\leq 1/n$ が従うので点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ はCauchy列です。その収束点 $x_{\infty}$ は各 $B_{n}$ の元になっているので\[x_{\infty}\in \bigcap_{n\in\N}B_{n}\subset V\cap \bigcap_{n\in\N}U_{n}\]が従います。以上により稠密性が示されました。

任意に点 $x_{0}\in X$ を固定し、$x_{n + 1} = f(x_{n})$ として点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を構成します。$a := d(x_{0}, x_{1})$ とおくと、任意の $n\in \N$ に対して $d(x_{n}, x_{n + 1})\leq ar^{n}$ が成立します。非負整数 $N\in \N$ に対し、非負整数 $n\leq m$ が $n, m > N$ を満たせば\[d(x_{n}, x_{m})\leq \sum_{k = n}^{m - 1}d(x_{k}, x_{k + 1})\leq \sum_{k = N + 1}^{\infty}ar^{k} = \dfrac{ar^{N + 1}}{1 - r}\]であるので点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ はCauchy列です。そして、これは $X$ の完備性からある点 $x_{\infty}$ に収束し、\[d(f(x_{\infty}), x_{\infty}) = d(f(x_{\infty}), \lim_{n\to\infty}x_{n + 1}) = \lim_{n\to\infty}d(f(x_{\infty}), f(x_{n}))\leq \lim_{n\to\infty}r\cdot d(x_{\infty}, x_{n}) = 0\]であるので $f(x_{\infty}) = x_{\infty}$ です。

一意性を示します。点 $x_{\infty}, x'_{\infty}$ に対して $f(x_{\infty}) = x_{\infty}$, $f(x'_{\infty}) = x'_{\infty}$ であったとします。仮定から\[d(x_{\infty}, x'_{\infty}) = d(f(x_{\infty}), f(x'_{\infty})) \leq r\cdot d(x_{\infty}, x'_{\infty})\]であり、$0\leq r < 1$ と合わせて $d(x_{\infty}, x'_{\infty}) = 0$、つまり、$x_{\infty} = x'_{\infty}$ が従います。

$Y$ に与えた距離関数を $d$、その距離関数に関する開球体を $O_{r}(y)$ と表すことにします。

各点 $a\in X$ での $f$ の連続性を示せばよく、そのためには任意に取った正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $f^{-1}(O_{\varepsilon}(f(a)))$ が $a$ の近傍であることを示せばよいです。$n\in \N$ を $\sup\{d(f_{n}(x), f(x))\mid x\in X\} < \varepsilon/3$ に取り、$a$ の近傍 $U := f_{n}^{-1}(O_{\varepsilon/3}(f(a)))$ を取ります。このとき、任意の $x\in U$ に対して\[d(f(x), f(a))\leq d(f(x), f_{n}(x)) + d(f_{n}(x), f_{n}(a)) + d(f_{n}(a), f(a)) < \varepsilon\]であるので $U\subset f^{-1}(O_{\varepsilon}(f(a)))$ です。よって、$f^{-1}(O_{\varepsilon}(f(a)))$ は $a$ の近傍であり、$f$ は $a\in X$ において連続です。

一様Cauchy列であることから各点 $x\in X$ ごとに定まる $Y$ の点列 $\{f_{n}(x)\}_{n\in\N}$ はCauchy列になっており、$Y$ の完備性からある点 $f(x)$ に収束します。これより定まる写像 $f : X\to Y$ に一様収束することを示します。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。非負整数 $N\in \N$ であって任意の $n, m > N$ に対して\[\sup\{d(f_{n}(x), f_{m}(x))\mid x\in X\} < \varepsilon\]となるものを取ります。このとき、任意の $n > N$, $x\in X$ に対して\[d(f_{n}(x), f(x)) = \lim_{m\to\infty}d(f_{n}(x), f_{m}(x))\leq \varepsilon\]であることから任意の $n > N$ に対して $\sup\{d(f_{n}(x), f(x))\mid x\in X\}\leq \varepsilon$ です。これは連続写像列の一様収束性を意味し、その一様収束極限である $f$ は命題2.8.31より連続です。

$X$ のCauchy列全体からなる集合 $\mathcal{C}$ に対して同値関係 $\sim$ を\[\{x_{n}\}_{n\in\N}\sim \{x'_{n}\}_{n\in\N} :\Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}d_{X}(x'_{n}, x_{n}) = 0\]により与えます。この同値関係による商集合を $Y$、距離関数 $d_{Y}$ を\[d_{Y}([\{x_{n}\}_{n\in\N}], [\{x'_{n}\}_{n\in\N}]) := \lim_{n\to \infty}d_{X}(x_{n}, x'_{n})\]により定義し、そして、写像 $\iota : X\to Y$ を\[\iota(x) := [\{x_{n} := x\}_{n\in\N}]\]により定義すれば主張の条件を満たす $Y, d_{Y}, \iota$ になります。このことと最後の一意性を以下の流れで示します。

また、点 $x\in X$ に対してCauchy列 $\{x_{n} := x\}_{n\in\N}$ の代表する $Y$ の元を単に $[x]$ と書くことにします。

(step 1) 実数列 $\{d_{X}(x_{n}, x'_{n})\}_{n\in\N}$ がCauchy列であることを示せば実数体の完備性より従います。正実数 $\varepsilon > 0$ に対して非負整数 $N\in \N$ を任意の $n, m > N$ に対して\[d_{X}(x_{n}, x_{m}), d_{X}(x'_{n}, x'_{m}) < \varepsilon / 2\]を満たすように取るとき、$n, m > N$ に対して常に\[d_{X}(x_{n}, x'_{n})\leq d_{X}(x_{n}, x_{m}) + d_{X}(x_{m}, x'_{m}) + d_{X}(x'_{m}, x'_{n}) < d_{X}(x_{m}, x'_{m}) + \varepsilon,\]\[d_{X}(x_{m}, x'_{m})\leq d_{X}(x_{m}, x_{n}) + d_{X}(x_{n}, x'_{n}) + d_{X}(x'_{n}, x'_{m}) < d_{X}(x_{n}, x'_{n}) + \varepsilon\]であるので\[|d_{X}(x_{n}, x'_{n}) - d_{X}(x_{m}, x'_{m})| < \varepsilon\]が成立します。よって、実数列 $\{d_{X}(x_{n}, x'_{n})\}_{n\in\N}$ はCauchy列です。

(step 2) $d_{Y}$ が代表元の取り方によらないことを示します。$\{x_{n}\}_{n\in\N}\sim \{\bar{x}_{n}\}_{n\in\N}$, $\{x'_{n}\}_{n\in\N}\sim \{\bar{x}'_{n}\}_{n\in\N}$ とします。正実数 $\varepsilon > 0$ に対して非負整数 $N\in \N$ であって任意の $n > N$ に対して\[d_{X}(x_{n}, \bar{x}_{n}), d_{X}(x'_{n}, \bar{x}'_{n}) < \varepsilon / 2\]を満たすものを取ることができ、このとき、$n > N$ において\[d_{X}(x_{n}, x'_{n})\leq d_{X}(x_{n}, \bar{x}_{n}) + d_{X}(\bar{x}_{n}, \bar{x}'_{n}) + d_{X}(\bar{x}'_{n}, x'_{n}) < d_{X}(\bar{x}_{n}, \bar{x}'_{n}) + \varepsilon\]が成立します。従って、\[\lim_{n\to\infty}d_{X}(x_{n}, x'_{n})\leq \lim_{n\to\infty}d_{X}(\bar{x}_{n}, \bar{x}'_{n}) + \varepsilon\]であり、$\varepsilon > 0$ が任意なので\[\lim_{n\to\infty}d_{X}(x_{n}, x'_{n})\leq \lim_{n\to\infty}d_{X}(\bar{x}_{n}, \bar{x}'_{n})\]が成立します。逆の不等式も同様に示され、$d_{Y}$ がwell-definedであることが従いました。

$d_{Y}$ が距離関数であることを示します。任意の $[\{x_{n}\}_{n\in\N}], [\{x'_{n}\}_{n\in\N}]\in Y$ に対して $d_{Y}([\{x_{n}\}_{n\in\N}], [\{x'_{n}\}_{n\in\N}])\geq 0$ であることは常に $d_{X}(x_{n}, x'_{n})\geq 0$ であることから従い、もし $d_{Y}([\{x_{n}\}_{n\in\N}], [\{x'_{n}\}_{n\in\N}]) = 0$ ならば $\mathcal{C}$ に定めた同値関係の定義により $\{x_{n}\}_{n\in\N}\sim \{x'_{n}\}_{n\in\N}$ であるので $[\{x_{n}\}_{n\in\N}] = [\{x'_{n}\}_{n\in\N}]$ となります。よって、正値性を満たします。対称性は明らかです。三角不等式は任意の $[\{x_{n}\}_{n\in\N}], [\{x'_{n}\}_{n\in\N}], [\{x''_{n}\}_{n\in\N}]\in Y$ に対して常に\[d_{X}(x_{n}, x''_{n})\leq d_{X}(x_{n}, x'_{n}) + d_{X}(x'_{n}, x''_{n})\]であることからその両辺の極限よりただちに従います。

(step 3) $\{y_{m}\}_{m\in\N}$ を $Y$ におけるCauchy列とします。$y_{m}$ の代表元を固定し $\{x_{m, n}\}_{n\in \N}$ と表すことにします。各 $m\in \N$ に対して非負整数 $N_{m}$ であって任意の $n, n' > N_{m}$ に対して $d_{X}(x_{m, n}, x_{m, n'}) < 2^{-m}$ を満たすものをとり、非負整数 $l_{m} > N_{m}$ を固定します。このとき、任意の $m\in \N$ に対して\[d_{Y}([x_{m, l_{m}}], y_{m}) = \lim_{n\to\infty}d_{X}(x_{m, l_{m}}, x_{m, n})\leq 2^{-m}\]です。$X$ の点列 $\{x_{m, l_{m}}\}_{m\in\N}$ を取ります。正実数 $\varepsilon > 0$ に対して非負整数 $M\in \N$ であって $m, m' > M$ ならば $d_{Y}(y_{m}, y_{m'}) < \varepsilon / 3$ を満たしかつ $2^{-M} < \varepsilon / 3$ であるものを取れば、任意の $m, m' > M$ に対して\begin{eqnarray*}d_{X}(x_{m, l_{m}}, x_{m', l_{m'}}) & = & d_{Y}([x_{m, l_{m}}], [x_{m', l_{m'}}]) \\& \leq & d_{Y}([x_{m, l_{m}}], y_{m}) + d_{Y}(y_{m}, y_{m'}) + d_{Y}(y_{m'}, [x_{m', l_{m'}}]) < \varepsilon\end{eqnarray*}であるのでこの点列 $\{x_{m, l_{m}}\}_{m\in\N}$ はCauchy列です。いま、正実数 $\varepsilon > 0$ に対して非負整数 $M$ を $m, m' > M$ ならば $d_{X}(x_{m, l_{m}}, x_{m', l_{m'}}) < \varepsilon / 2$ を満たしかつ $2^{-M} < \varepsilon / 2$ となるように取れば、任意の $m' > M$ に対して\begin{eqnarray*}d_{Y}([\{x_{m, l_{m}}\}_{m\in\N}], y_{m'}) & = & \lim_{m\to\infty}d_{X}(x_{m, l_{m}}, x_{m', m}) \\& \leq & \lim_{m\to\infty}(d_{X}(x_{m, l_{m}}, x_{m', l_{m'}}) + d_{X}(x_{m', l_{m'}}, x_{m', m}))\leq \varepsilon / 2 + 2^{-m'} < \varepsilon\end{eqnarray*}であるので点列 $\{y_{m}\}_{m\in\N}$ は $[\{x_{m, l_{m}}\}_{m\in\N}]$ に収束します。よって、$Y$ は完備です。

(step 4) 写像 $\iota : X\to Y : x\mapsto [x]$ が等長であることは $d_{Y}$ の定義より明らかです。$y\in Y$ に対してその代表元 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取れば、(step 3)の議論により $Y$ の点列 $\{\iota(x_{n}) := [x_{n}]\}_{n\in\N}$ は $y$ に収束するので $y\in \overline{\Img\iota}$ です。従って、$\Img \iota$ は $Y$ の稠密部分集合です。

(step 5) 写像 $\varphi : Y\to Y'$ を各 $y\in Y$ に対して $y$ に収束する $\Img\iota$ の点列 $\{y_{n}\}_{n\in\N}$ を用いて\[\varphi(y) := \lim_{n\to\infty}\iota'(\iota^{-1}(y_{n}))\]とすることで定めます。実際に定義できていることですが、$\{y_{n}\}_{n\in\N}$ がCauchy列であることと $\iota, \iota'$ が等長写像であることから $\{\iota'(\iota^{-1}(y_{n}))\}_{n\in\N}$ は $Y'$ におけるCauchy列であり極限は存在し、$y$ に収束する別の点列 $\{\bar{y}_{n}\}_{n\in\N}$ に対しても\[d_{Y'}\left(\underset{n\to\infty}{\lim}\iota'(\iota^{-1}(y_{n})), \underset{n\to\infty}{\lim}\iota'(\iota^{-1}(\bar{y}_{n}))\right) = \underset{n\to\infty}{\lim}d_{Y'}(\iota'(\iota^{-1}(y_{n})), \iota'(\iota^{-1}(\bar{y}_{n}))) = \underset{n\to\infty}{\lim}d_{Y}(y_{n}, \bar{y}_{n}) = 0\]であり最初と最後の等式は距離関数 $d_{Y'}, d_{Y}$ の連続性によります。、収束点は同じであるので $\varphi$ はwell-definedです。

続いて、$\varphi$ が等長写像かつ全単射であることを示します。まず、等長写像であることは $y, \bar{y}\in Y$ に対してそれぞれに収束する $\Img \iota$ の点列 $\{y_{n}\}_{n\in\N}$, $\{\bar{y}_{n}\}_{n\in\N}$ 念のため、これらは $Y$ が第一可算公理を満たすことと $\Img \iota$ の稠密性から取れます。より直接的に、$y_{n}\in \Img \iota$ を $d_{Y}(y_{n}, y) < 1/(n + 1)$ であるように取ってもいいです。を経由して\[d_{Y'}(\varphi(y), \varphi(\bar{y})) = \lim_{n\to\infty}d_{Y'}(\iota'(\iota^{-1}(y_{n})), \iota'(\iota^{-1}(\bar{y}_{n}))) = \lim_{n\to\infty} d_{Y}(y_{n}, \bar{y}_{n}) = d_{Y}(y, \bar{y})\]であるのでよいです。単射性は $\varphi$ の等長性から従います。全射性を示します。$y'\in Y'$ を取ります。$y'$ に収束する $\Img \iota'$ の点列 $\{y'_{n}\}_{n\in\N}$ を取り、$y := \underset{n\to\infty}{\lim}\iota(\iota'^{-1}(y'_{n}))$ とおけば $\varphi(y) = y'$ なので $\varphi$ は全射です。

最後にこのような $\varphi$ の一意性を示します。$\varphi, \psi : Y\to Y'$ を条件を満たす等長同型とします。各 $y\in Y$ に対し、$y$ に収束する $\Img\iota$ の点列 $\{y_{n}\}_{n\in\N}$ を用いることで\[d_{Y'}(\varphi(y), \psi(y)) = \lim_{n\to\infty}d_{Y'}(\varphi(y_{n}), \psi(y_{n})) = \lim_{n\to\infty}d_{Y}(y_{n}, y_{n}) = 0\]なので $\varphi(y) = \psi(y)$ であり、よって、$\varphi = \psi$ です。

恒等写像 $\Id_{X} : X\to X$ は等長写像かつその像 $X$ は当然 $X$ の稠密部分集合なので $X$ 自身が $X$ の完備化です。

命題2.8.27より $Y_{1}\times Y_{2}$ は完備距離空間です。包含写像 $\iota_{1} : X_{1}\to Y_{1}$, $\iota_{2} : X_{2}\to Y_{2}$ の直積 $\iota_{1}\times \iota_{2} : X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$ は等長写像かつその像は $Y_{1}\times Y_{2}$ の稠密部分集合なので $Y_{1}\times Y_{2}$ が $X_{1}\times X_{2}$ の完備化になります。

(1) ⇒ (2) 点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。全有界であることから各正整数 $k > 0$ に対して有限個の点 $x_{k, 1}, \dots, x_{k, m_{k}}\in X$ を $\bigcup_{i = 1}^{m_{k}}O_{2^{-k}}(x_{k, i}) = X$ となるように選びます。各 $k$ に対して $1\leq l_{k}\leq m_{k}$ を以下の条件を満たす様に取ります。$($実際に取れることは簡単。$)$

部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を常に $x_{n_{k}}\in O_{2^{-k}}(x_{k, l_{k}})$ であるように取ります。この部分列がCauchy列であることを示せば完備性よりある点に収束し、つまり、点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ に収束部分列が存在すること、$X$ の点列コンパクト性が従います。そしてこれは、任意の $k < k'$ に対して\begin{eqnarray*}d(x_{n_{k}}, x_{n_{k'}}) & \leq & d(x_{n_{k}}, x_{k, l_{k}}) + d(x_{n_{k'}}, x_{k', l_{k'}}) + \sum_{i = k}^{k' - 1}d(x_{i, l_{i}}, x_{i + 1, l_{i + 1}}) \\& \leq & 2^{-k} + 2^{-k'} + \sum_{i = k}^{k' - 1}3\cdot 2^{-(i + 1)} < 5\cdot 2^{-k}\end{eqnarray*}と評価できるのでよいです。

(2) ⇒ (1) まずは点列コンパクトならば完備であることを示します。$X$ におけるCauchy列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。点列コンパクト性からその部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ であってある点 $x_{\infty}$ に収束するものが取れます。任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある非負整数 $N\in \N$ であって\[n, m > N\Rightarrow d(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon / 2\]を満たすものを取り、必要であればさらに大きく取り直して $n_{k} > N$ ならば $d(x_{n_{k}}, x_{\infty}) < \varepsilon / 2$ となるようにします。このとき、$n > N$ に対して適当に $n_{k} > N$ となる $k$ を取ることで\[d(x_{n}, x_{\infty})\leq d(x_{n}, x_{n_{k}}) + d(x_{n_{k}}, x_{\infty}) < \varepsilon\]が従い、これより点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ が $x_{\infty}$ に収束することが分かります。

続いて、点列コンパクトならば全有界であることを背理法により示します。$X$ は全有界でないとします。正実数 $\varepsilon > 0$ であって有限個の半径 $\varepsilon$ の開球体によって $X$ を被覆できないものを固定します。点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を以下のように構成します。

点列コンパクト性よりこの点列に対してある点 $x_{\infty}$ に収束する部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ が存在しますが、$k\neq l\in \N$ を $d(x_{n_{k}}, x_{\infty}), d(x_{n_{l}}, x_{\infty}) < \varepsilon / 2$ となるように取ると\[d(x_{n_{k}}, x_{n_{l}})\leq d(x_{n_{k}}, x_{\infty}) + d(x_{n_{l}}, x_{\infty}) < \varepsilon\]となり、点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ の取り方に矛盾します。

(1) ⇒ (3) $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の開被覆とします。正実数 $\varepsilon > 0$ であって条件

を満たすものが存在するとき、全有界性から半径 $\varepsilon$ の開球体 $O_{\varepsilon}(x_{1}), \dots, O_{\varepsilon}(x_{n})$ による開被覆を取り、さらにこの条件から各 $1\leq k\leq n$ に対して $O_{\varepsilon}(x_{k})\subset U_{\lambda_{k}}$ となる $\lambda_{k}\in \Lambda$ を取ることで開被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の有限部分被覆が構成されます。従って、条件を満たすような $\varepsilon$ が存在しないとして矛盾を導けばよいです。

正整数 $n\in \N_{+}$ に対して部分集合 $X_{n}\subset X$ を\[X_{n} := \{x\in X\mid {}^{\forall}\lambda\in \Lambda, \ O_{1/n}(x)\not\subset U_{\lambda}\}\]により定めます。仮定より $X_{n}\neq \varnothing$ であり、点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ であって常に $x_{n}\in X_{n}$ であるものが取れます。いま、$X$ は点列コンパクトなのでその部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \N}$ であってある点 $x_{\infty}$ に収束する部分列が取れます。$x_{\infty}\in U_{\lambda'}$ となる $\lambda'\in \Lambda$ を取り、さらに、$O_{\varepsilon'}(x_{\infty})\subset U_{\lambda'}$ となる正実数 $\varepsilon'$ を取ります。$1/n_{k} < \varepsilon' / 2$ かつ $d(x_{n_{k}}, x_{\infty}) < \varepsilon' / 2$ であるように $k$ を取るとき、$O_{1/n_{k}}(x_{n_{k}})\subset O_{\varepsilon'}(x_{\infty})\subset U_{\lambda'}$ となるので、これは $x_{n_{k}}\in X_{n_{k}}$ に矛盾です。

(3) ⇒ (2) 距離空間は第一可算公理を満たしており、そのとき、コンパクトならば点列コンパクトでした $($命題2.6.18$)$。