$\sim$ が実際に同値関係になっていることは念のため示しておきます。反射律は $(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda)$ に対して $g_{\lambda\lambda}(x_{\lambda})(a_{\lambda}) = \Id_{F}(a_{\lambda}) = a_{\lambda}$ なのでよいです。対称律は $(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda)\sim (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)$ に対して $g_{\lambda\mu}(x_{\mu})(a_{\mu}) = g_{\lambda\mu}(x_{\mu})(g_{\mu\lambda}(x_{\lambda})(a_{\lambda})) = \Id_{F}(a_{\lambda}) = a_{\lambda}$ なのでよいです。推移律は $(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda)\sim (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\sim (x_{\nu}, a_{\nu}, \nu)$ に対して $g_{\nu\lambda}(x_{\lambda})(a_{\lambda}) = g_{\nu\mu}(x_{\mu})(g_{\mu\lambda}(x_{\lambda})(a_{\lambda})) = g_{\nu\mu}(x_{\mu})(a_{\mu}) = a_{\nu}$ なのでよいです。

(1) 任意の $(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda), (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\in \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\times F$ に対して\[(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda)\sim (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\Rightarrow \pr_{B}(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda) = x_{\lambda} = x_{\mu} = \pr_{B}(x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\]なので商空間の普遍性より連続写像 $\pi : E\to B$ が誘導されます。全射性は明らかです。

(2) まず、任意の $(x, a, \lambda), (x', a', \lambda)\in U_{\lambda}\times F\times \{\lambda\}$ に対して\[(x, a, \lambda)\sim (x', a', \lambda)\Rightarrow x = x', \ a' = g_{\lambda\lambda}(x)(a) = \Id_{F}(a) = a\Rightarrow (x, a, \lambda) = (x', a', \lambda)\]であることから各 $p_{\lambda}$ は単射です。各 $\lambda, \mu\in \Lambda$ に対して\[V_{\lambda}^{\mu} := p_{\lambda}^{-1}(\Img p_{\lambda}\cap \Img p_{\mu}) = U_{\lambda\mu}\times F\times \{\lambda\}\]とおき、$p_{\lambda}$ の制限 $q_{\lambda}^{\mu} : V_{\lambda}^{\mu}\to p_{\lambda}(V_{\lambda}^{\mu})$ を取ります。写像 $\psi_{\mu\lambda} := (q_{\mu}^{\lambda})^{-1}\circ q_{\lambda}^{\mu} : U_{\lambda\mu}\times F\to U_{\lambda\mu}\times F$ は具体的に\[\psi_{\mu\lambda}(x, a) = (x, g_{\mu\lambda}(x)(a)) = (x, \adj^{-1}(g_{\mu\lambda})(x, a))\]と表すことができ連続です。同様に $\psi_{\lambda\mu}$ も連続であり、各 $\psi_{\mu\lambda}$ は $U_{\lambda}\times F\times \{\lambda\}$ と $U_{\mu}\times F\times \{\mu\}$ それぞれの開集合の間の同相写像になっています。よって、補題2.7.32より $p_{\lambda}$ は開埋め込みです。

対 $(U_{\lambda}, p_{\lambda}^{-1} : \Img p_{\lambda}\to U_{\lambda}\times F)$ が局所自明化であることを示します。まず、$\pr_{B} = \pi\circ p$ より $\pi|_{\pi^{-1}(U_{\lambda})} = \pr_{1}\circ p_{\lambda}^{-1}$ です。

あとは $\Img p_{\lambda} = \pi^{-1}(U_{\lambda})$ を示せばよいですが、$\Img p_{\lambda}\subset \pi^{-1}(U_{\lambda})$ は自明であり、この逆の包含関係を示せばよいです。$e\in \pi^{-1}(U_{\lambda})$ とします。$(x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\in \pi^{-1}(e)$ を取ります。$x_{\mu}\in U_{\lambda\mu}$ なので $g_{\lambda\mu}(x_{\mu})$ を取ることができ、明らかに $(x_{\lambda}, g_{\lambda\mu}(x_{\mu})(a_{\mu}), \lambda)\sim (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)$ なので $e\in \Img p_{\lambda}$ です。よって、$\pi^{-1}(U_{\lambda})\subset \Img p_{\lambda}$ です。

(3) 構成から明らかです。

写像 $p : \bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\times F\to E$ を $\varphi_{\lambda}^{-1} : U_{\lambda}\times F\to \pi^{-1}(U_{\lambda})\subset E$ たちの直和とします。これは開写像であり商写像になっています。変換関数の族から定まる命題9.1.5の同値関係 $\sim$ について\[(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda)\sim (x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\Leftrightarrow p(x_{\lambda}, a_{\lambda}, \lambda) = p(x_{\mu}, a_{\mu}, \mu)\]が成立するため、各種普遍性より可逆な束写像 $E\leftrightarrows E'$ が誘導されます。

写像 $\iota$ の連続性とその $($連続な$)$ 左逆写像の存在を確認すればよいです。

まず、$\iota$ は命題2.10.30で考えた写像\[\adj : C(M(n; \K)\times \K^{n}, \K^{n})\to C(M(n; \K), C(\K^{n}, \K^{n}))\]による連続写像 $\varphi : M(n; \K)\times \K^{n}\to \K^{n} : (A, v)\mapsto Av$ の像 $\adj(\varphi)$ に $($写像として$)$ 一致しているので連続です。

左逆写像 $\psi : C(\K^{n}, \K^{n})\to M(n; \K)$ を構成します。$e_{1}, \dots, e_{n}$ を $\K^{n}$ の標準基底とします。包含写像 $i_{k} : \{e_{k}\}\to \K^{n}$ による引き戻し\[(i_{k})^{*} : C(\K^{n}, \K^{n})\to C(\{e_{k}\}, \K^{n})\]は連続であり、一般の一点空間 $\{p\}$ と位相空間 $X$ に対して写像 $C(\{p\}, X)\to X : f\mapsto f(p)$ が同相写像であることから終域は $\K^{n}$ と同一視され、よって、連続写像\[\psi : C(\K^{n}, \K^{n})\to \prod_{k = 1}^{n}\K^{n}\cong M(n; \K) : f\mapsto \left[\begin{array}{ccc}(i_{1})^{*}(f) & \dots & (i_{n})^{*}(f)\end{array}\right]\]が得られます。これは明らかに $\iota$ の左逆写像です。

補題9.1.16とほぼ同じ要領で $L$ の連続性と左逆写像の存在を確かめられます。(コンパクト開位相の定義からも容易に確認可能です。)

まず、積 $\mu : G\times G\to G$ の連続性から $L = \adj(\mu)\in C(G, C(G, G))$ です。また、引き戻し\[i^{*} : C(G, G)\to C(\{e\}, G)\cong G\]は連続であり、これが $L$ に対する左逆写像です。

(1) ⇒ (2) 自明です。

(2) ⇒ (1) 明らかに $f$ は全単射であり、問題となるのは逆写像 $f^{-1}$ の連続性のみです。$E_{1}, E_{2}$ の階数はともに $n$ としてよいです。共通の自明化開集合 $U$ 上でそれぞれの局所自明化 $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ を固定して局所表示 $h : U\to M(n; \K)$ を取れば仮定から終域は $GL(n; \K)$ で取り換えられ、連続写像 $\inv\circ h$ が得られます。ここで、逆写像の制限 $f^{-1}|_{E_{2}|_{U}} : E_{2}|_{U}\to E_{1}|_{U}$ は合成 $\varphi_{1}\circ (f^{-1}|_{E_{2}|_{U}})\circ \varphi_{2}^{-1}$ が\[(\varphi_{1}\circ (f^{-1}|_{E_{2}|_{U}})\circ \varphi_{2}^{-1})(x, u) = (x, (\inv\circ h)(x)(u))\]と表されることから連続です。これより逆写像 $f^{-1}$ の連続性が分かります。

またまた命題2.10.30を使います。

$F$ の局所コンパクトHausdorff性から評価写像 $\ev : \Homeo(F)\times F\to F : (\xi, x)\mapsto \xi(x)$ は連続であり、$\varPhi$ は束写像になっています。また、写像 $\adj : C(\Homeo(F)\times F, F)\to C(\Homeo(F), C(F, F))$ が定まりますが、もし $\varPhi^{-1}$ が束写像 $($連続写像$)$ になっているとすると連続写像 $\adj(\pr_{2}\circ \varPhi^{-1})\in C(\Homeo(F), C(F, F))$ を取ることができ、これは各自己同相写像に逆写像を対応させる $($仮定から連続ではない$)$ 写像 $\inv$ であるので矛盾です。

局所自明化を取れば各点での連続性が分かり、切断です。

まずは各演算が定まっていることですが、$s + t$ や $f\cdot s$ の各点での連続性を確認すればよく、これは局所自明化を取って各切断を局所的に $\K^{n}$ への連続写像と同一視すれば明らかです。$C(B, \K)$ 加群になっていることも容易です。

$U$ 上の局所枠 $e_{1}, \dots, e_{n}$ が与えられたとき、同相写像\[\psi : U\times \K^{n}\to E|_{U} : (x, (t_{1}, \dots, t_{n}))\mapsto \sum_{k = 1}t_{k}e_{k}(x)\in E_{x}\subset E|_{U}\]の逆写像が局所自明化を与えており、この対応により定まる写像 $\varPsi : \mathcal{Q}\to \mathcal{P}$ が $\varPhi$ の逆写像になっています。

(a) 連続写像 $s_{p} : U_{p}\to \R$, $s_{q} : U_{q}\to \R$ を $1$ に値を取る定値写像とすると $W_{+}\sqcup W_{-}$ 上で $s_{q} = g_{qp}^{+}\cdot s_{p}$ を満たし、これが大域的に零点を持たない切断 $s : S^{1}\to L_{+}$ を与えます。

(b) 零点を持たない切断 $s$ がを存在したとして矛盾を導きます。制限 $s_{p} := s|_{U_{p}}, s_{q} := s|_{U_{q}}$ を $L_{-}$ の構成から定まる局所自明化によって $\R$ への連続関数とみなします。$W_{+}\sqcup W_{-}$ 上で $s_{q} = g_{qp}^{-}\cdot s_{p}$ という関係式があるため\[s_{q}(0, +1)s_{q}(0, -1) = g_{qp}^{-}(0, +1)s_{p}(0, +1)g_{qp}^{-}(0, -1)s_{p}(0, -1) = -s_{p}(0, +1)s_{p}(0, -1)\]です。しかし、中間値の定理と $s_{p}, s_{q}$ が零点を持たないことから $s_{p}(0, +1)$ と $s_{p}(0, -1)$ の符号および $s_{q}(0, +1)$ と $s_{q}(0, -1)$ の符号は一致しており、これは矛盾です。

homotopy論 $($特に基本群$)$ に関する事実を少し使用します。

(a) $n = m$ ならば $L_{n}\cong L_{m}$ は自明なのでその逆を示します。同型 $f : L_{n}\to L_{m}$ が取れたとします。各 $k = n, m$ と $r = p, q$ について $L_{k}$ の $U_{r}$ 上の局所自明化 $\varphi_{r}^{k} : L_{k}|_{U_{r}}\to U_{r}\times \C$ を $L_{k}$ の構成から明らかに定まるものに取ります。各 $r = p, q$ について次の図式を可換にする同相写像 $\theta_{r}$ が一意に定まり、さらに、変換関数を定めたのと同様に連続写像 $h_{r} : U_{r}\to \C^{\times}$ が得られます。

局所自明化 $\varphi_{p}^{k}, \varphi_{q}^{k}$ の定める変換 $\psi_{qp}^{k} : \C^{\times}\times \C\to \C^{\times}\times \C$ を用いて表される次の図式は可換であり、よって、$h_{q}\cdot g_{qp}^{n} = g_{qp}^{m}\cdot h_{p}$ です。

ここで $U_{p}, U_{q}$ の可縮性から $h_{p}, h_{q}$ は定値写像にhomotopicであり、$\C^{\times}$ の弧状連結性からより強く常に $1\in \C^{\times}$ を値に取る定値写像にhomotopicと分かります。よって、$g_{qp}^{n}\sim g_{qp}^{m}$ です。標準的な同一視\[[\C^{\times}, \C^{\times}]\cong [S^{1}, S^{1}]\cong [S^{1}, S^{1}]_{0} = \pi_{1}(S^{1})\cong \Z\]のもと、$g_{pq}^{k}$ の代表するhomotopy類は $k\in \Z$ に対応するため $n = m$ が従います。

(b) まずは $|n| = |m|$ ならば $L_{n}\cong L_{m}$ を示します。$n = m$ の場合は自明なので一般に $L_{k}\cong L_{-k}$ であることを示します。(a)の証明中の記号 $\varphi_{r}^{k}, \psi_{qp}^{k}$ を使います。同相写像 $\xi : U_{r}\times \C\to U_{r}\times \C$ を $\xi(z, w) := (z, \overline{w})$ により定め、$L_{k}$ の $U_{r}$ 上の局所自明化 $\tilde{\varphi}_{r}^{k}$ を $\tilde{\varphi}_{r}^{k} := \xi\circ \varphi_{r}^{k}$ に取ります。この新たな局所自明化から定まる同相写像 $\tilde{\psi}_{qp}^{k} : \C^{\times}\times \C \to \C^{\times}\times \C$ は図式

を可換にすることから\[\tilde{\psi}_{qp}^{k}(z, w) = (z, \overline{z^{k}\overline{w}}) = (z, |z|^{2k}z^{-k}w)\]という表示を持ち$\overline{z} = |z|^{2}z^{-1}$ に注意。、その定める変換関数 $\tilde{g}_{qp}^{k}$ は $\tilde{g}_{qp}^{k}(z) = |z|^{2k}z^{-k}$ と表されます。$\hat{\C}$ の閉被覆 $\{F_{p}, F_{q}\}$ を\[F_{p} := \{z\in \hat{\C}\mid |z|\leq 1\},\]\[F_{q} := \{z\in \hat{\C}\mid |z|\geq 1\}\]に取ります。この閉被覆と変換関数の制限 $\tilde{g}_{qp}^{k}|_{S^{1}}$ から開被覆からベクトル束を作るのと同じ要領でベクトル束が得られますが、それは当然 $L_{k}$ に同型ですもとの開被覆と新しい局所自明化から得られるベクトル束が $L_{k}$ に束同型なことは系9.1.6から。新たに作った局所自明化について、閉被覆から作ったものと開被覆から作ったものが束同型であることは明らかな包含写像 $(F_{p}\sqcup F_{q})\times \C\to (U_{p}\sqcup U_{q})\times \C$ が商空間として定まるベクトル束の間の同相写像を誘導することから分かります。。ここで $S^{1} = \{z\in \C^{\times}\mid |z| = 1\}$ 上 $\tilde{g}_{qp}^{k} = g_{qp}^{-k}$ であることから $L_{-k}$ にも束同型と分かり、束同型 $L_{k}\cong L_{-k}$ が得られます。

逆を示します。(a)と全く同様にして $\theta_{r}, h_{r}$ を取ります。$h_{q}\cdot g_{qp}^{n} = g_{qp}^{m}\cdot h_{p}$ です。$U_{p}, U_{q}$ の可縮性と\[h_{q}(1) = (h_{q}\cdot g_{qp}^{n})(1) = (g_{qp}^{m}\cdot h_{p})(1) = h_{p}(1)\]から $h_{p}, h_{q}$ はともにある定値写像 $c : \C^{\times}\to GL(2; \R)$ にhomotopicです。従って、$c\cdot g_{qp}^{n}\cdot c^{-1}\sim g_{qp}^{m}$ ですが、標準的な同一視\[[\C^{\times}, GL(2; \R)]\cong [S^{1}, O(2)]\cong [S^{1}, S^{1}]\cong [S^{1}, S^{1}]_{0} = \pi_{1}(S^{1})\cong \Z\]のもと$O(n)\subset GL(n; \R)$ が強変位レトラクトであることに注意。、$c\cdot g_{qp}^{n}\cdot c^{-1}$ の代表するhomotopy類は $\pm n\in \Z$ のいずれかに対応し$h_{p}(1)$ が $GL(n; \R)$ のどの連結成分に属すかに応じて $c$ は単位行列もしくはその $(2, 2)$ 成分の符号を反転させた行列に値を取るとしてよく、すると $S^{1}$ 上では $c\cdot g_{qp}^{n}\cdot c^{-1} = g_{qp}^{\pm n}$ と計算でき、homotopy類が $S^{1}$ への制限で決まることから $\pm n$ が対応します。、$g_{qp}^{m}$ の代表するhomotopy類は $m\in \Z$ に対応するため $|n| = |m|$ が分かります。

まずは $\varPhi_{\C}$ について考えます。$\varPhi_{\C}$ が定まっていることを示します。互いにhomotopicな連続写像 $g_{0}, g_{1} : S^{n - 1}\to GL(m; \C)$ を取り、それらから定まるベクトル束 $E_{0}, E_{1}\to S^{n}$ を考え、これらが互いに同型であることを示します。$g_{0}$ を $g_{1}$ につなぐhomotopy $g : S^{n - 1}\times I\to GL(m; \C)$ を取り、さらに、連続写像 $h : S^{n - 1}\times I\to GL(m; \C)$ を\[h(x, t) := g(x, t)^{-1}g_{0}(x)\]により定めます。制限 $h|_{S^{n - 1}\times \{0\}}$ が定値写像であることから連続写像 $\tilde{h} : F_{p}\to GL(m; \C)$ を常に\[h(x, t) = \tilde{h}(tx)\]であるように定義できます。この $\tilde{h}$ を用いて同相写像 $\tilde{\xi} : F_{p}\times \C^{m}\to F_{p}\times \C^{m}$ を\[\tilde{\xi}(x, v) = (x, \tilde{h}(x)(v))\]と定めます。構成から $S^{1}$ 上で $\tilde{\xi} = \psi_{0}\circ \psi_{1}^{-1}$ です。$\psi_{0}, \psi_{1}$ で $E_{0}, E_{1}$ を作るときの貼り合わせ方を指定する同相写像を表すとして、次の図式は可換です。

これは同相写像 $\tilde{\xi}\coprod \Id : F_{p}\times \C^{m}\sqcup F_{q}\times \C^{m}\to F_{p}\times \C^{m}\sqcup F_{q}\times \C^{m}$ が束同型 $E_{0}\to E_{1}$ を誘導することを意味します。よって、$\varPhi_{\C}$ が定まります。

$\varPhi_{\C}$ の逆写像 $\varPsi_{\C} : \Vect_{\C}^{m}(S^{n})\to [S^{n - 1}, GL(m; \C)]$ を構成します。階数 $m$ の複素ベクトル束 $\pi : E\to S^{n}$ が与えられたとします。事実として $F_{p}, F_{q}$ 上の局所自明化 $\varphi_{p}, \varphi_{q}$ を取ることができ可縮なパラコンパクトHausdorff空間上のベクトル束が自明束に限ることから。これは定理9.2.44で示されます。、それらから貼り合わせ方を指定する同相写像 $\psi_{qp} : S^{n - 1}\times \C^{m}\to S^{n - 1}\times \C^{m}$ と変換関数 $g_{qp} : S^{n - 1}\to GL(m; \C)$ が定まります。この $g_{qp}$ の代表するhomotopy類が $E$ の同型類で決まることが示されれば同型類 $[E]$ にhomotopy類 $[g_{qp}]$ を対応させる写像として $\varPsi_{\C}$ が定まります。

互いに束同型な階数 $m$ の複素ベクトル束 $E_{0}, E_{1}\to S^{n}$ を取ります。各 $i = 0, 1$ について $E_{i}$ から先程のようにして写像 $\varphi_{p}^{i}, \varphi_{q}^{i}, \psi_{qp}^{i}, g_{qp}^{i}$ を取ります。さらに固定した束同型 $f : E_{0}\to E_{1}$ から各 $r = p, q$ について例9.1.28の証明と同様に写像 $\theta_{r} : U_{r}\times \C^{m}\to U_{r}\times \C^{m}$ と $h_{r} : S^{n - 1}\to GL(m; \C)$ を取ります。あとも例9.1.28の証明と同様で、$h_{q}\cdot g_{qp}^{0} = g_{qp}^{1}\cdot h_{p}$ が成立すること、$h_{p}, h_{q}$ がともに単位行列に値を取る定値写像にhomotopicであることから $g_{qp}^{0}\sim g_{qp}^{1}$ が従います。よって、写像 $\varPsi_{\C}$ が定まります。

$\varPhi_{\C}$ と $\varPsi_{\C}$ が互いに逆写像であることは明らかです。

$\varPhi_{\R}$ について、これが定まることは $\varPhi_{\C}$ と全く同様に分かり、全射性は $S^{n}$ 上のベクトル束が必ず $F_{p}, F_{q}$ 上の局所自明化を持つことからただちに従います。

一般のバラコンパクトHausdorff空間 $X$ について、懸垂 $SX$ が錐 $CX$ を $2$ つ貼り合わせた空間であることとこの場合に錐 $CX$ が可縮なパラコンパクトHausdoeff空間であること可縮性は錐の一般的性質。パラコンパクトHausdorff空間であることはパラコンパクトHausdorff空間 $X$ と局所コンパクトなパラコンパクトHausdorff空間である区間 $I$ の直積 $X\times I$ がパラコンパクトHausdorff空間であること $($命題2.9.22$)$ とパラコンパクトHausdorff空間について閉集合を一点につぶした空間が再びパラコンパクトHausdorff空間であること $($系2.9.31$)$ からよいです。からその上のベクトル束が常に自明であること $($定理9.2.44で確認する$)$ に注意すれば同じことです。