(1) $O(n + k)$ のコンパクト性から明らかです。

(2) 連結性は $G$ が $GL(n + k; \R)$ の各連結成分と交わることから、Hausdorff性は位相群の閉部分群による剰余であることから $($命題3.2.54$)$ 分かります。

(3) 連続全単射を誘導することは容易です。そして、コンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射は同相写像でした $($定理2.6.13$)$。

(1) 包含写像\[i : M(k, n; \R)\to M(k, n; \R)\times G : A\mapsto (A, I_{n + k})\]と明らかな作用による商空間への射影\[\pi' : M(k, n; \R)\times G\to (M(k, n; \R)\times G)/G\]と $C^{\infty}$ 級写像\[\xi_{P} : M(k, n; \R)\times G\to GL(n + k; \R) : (A, B)\mapsto \iota_{P}(A)B\]を取り、次の図式を考えます。

次が容易に確かめられます。

$\xi_{P}$ が開埋め込みであることを示します。$\xi_{P}$ が $(n + k)^{2}$ 次元可微分多様体の間の写像であることから単射なはめ込みであることを示せばよく、これは具体的な表示\[\xi_{P}\left(A, \left[\begin{array}{cc}Q & R \\O_{k, n} & S\end{array}\right]\right)= P\left[\begin{array}{cc}I_{n} & O_{n, k} \\A & I_{k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}Q & R \\O_{k, n} & S\end{array}\right]= P\left[\begin{array}{cc}Q & R \\AQ & AR + S\end{array}\right]\]を持つことから容易に確かめられます。

$\tilde{\xi}_{P}$ が開埋め込みであることを示します。まず、$\xi_{P}$ の制限 $M(k, n; \R)\times G\to \Img \xi_{P}$ が $G$ 同変な同相写像であることから商空間の間の同相 $(M(k, n; \R)\times G)/G\cong (\Img \xi_{P})/G$ が従います。商空間 $(\Img \xi_{P})/G$ は集合として部分空間 $\pi(\Img \xi_{P})\subset GL(n + k; \R)/G$ に一致しますが、商写像の制限 $\pi|_{\Img \xi_{P}} : \Img \xi_{P}\to \pi(\Img \xi_{P})$ が商写像であること $($商写像 $\pi$ が開写像であることと命題2.7.19$)$ から両者の位相は一致します。これより $\tilde{\xi}_{P}$ は埋め込みです。

$\tilde{\xi}_{P}$ が開埋め込みであることを示すためにあとは開写像であることを示せばよく、そのためには $\Img \tilde{\xi}_{P}\subset GL(n + k; \R)/G$ が開集合であればよいですが、これは $\Img \xi_{P} = \pi^{-1}(\Img \tilde{\xi}_{P})\subset GL(n + k; \R)$ が開集合であることから従います。

以上より $\psi_{P} = \pi\circ \xi_{P}\circ i = \tilde{\xi}_{P}\circ \pi'\circ i$ は開埋め込みです。

(2) 各 $P\in GL(n + k; \R)$ に対して $U_{P}$ が $\pi(P)$ の開近傍になります。

(3) $\varphi_{P}, \varphi_{Q}$ の間の座標変換 $f_{QP} : \varphi_{P}(U_{P}\cap U_{Q})\to \varphi_{Q}(U_{P}\cap U_{Q})$ を取ります。行列 $A\in \varphi_{P}(U_{P}\cap U_{Q})$ に対して $\psi_{P}(A) = \psi_{Q}(f_{QP}(A))$ であり、ある $X\in G$ が存在して $\iota_{P}(A)X = \iota_{Q}(f_{QP}(A))$ です。簡単な変形より\[Q^{-1}P\left[\begin{array}{cc}I_{n} & O_{n, k} \\A & I_{k}\end{array}\right]X= \left[\begin{array}{cc}I_{n} & O_{n, k} \\f_{QP}(A) & I_{k}\end{array}\right]\]が得られます。これを\[Q^{-1}P = \left[\begin{array}{cc}R_{11} & R_{12} \\R_{21} & R_{22}\end{array}\right],\ X = \left[\begin{array}{cc}X_{11} & X_{12} \\O_{k, n} & X_{22}\end{array}\right]\]と表すとして書き下すと\[\left[\begin{array}{cc}R_{11} + R_{12}A & R_{12} \\R_{21} + R_{22}A & R_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}X_{11} & X_{12} \\O_{k, n} & X_{22}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}I_{n} & O_{n, k} \\f_{QP}(A) & I_{k}\end{array}\right]\]です。$(R_{11} + R_{12}A)X_{11} = I_{n}$ から $X_{11} = (R_{11} + R_{12}A)^{-1}$ が必要になり、よって、$f_{QP}(A) = (R_{21} + R_{22}A)X_{11} = (R_{21} + R_{22}A)(R_{11} + R_{12}A)^{-1}$ です。つまり、$f_{QP}$ は各成分を変数とする関数として実解析的です。

命題9.4.2の記号を使いますが、区別のために $G_{k, n}(\R)$ に対応するものは $U'_{P}$ や $\varphi'_{P}$ と表すことにします。

$\psi_{I_{n + k}}(A)$ の代表する $G_{n, k}(\R)$ の点は $\iota_{I_{n + 1}}(A)$ の最初の $n$ 個の列ベクトルの張る空間です。そこで、各 $A\in M(k, n; \R)$ に対して行列 $X\in M(n, k; \R)$ であって行列\[\left[\begin{array}{cc}I_{n} & X \\A & I_{k}\end{array}\right]\]の最初の $n$ 個の列ベクトルの張る空間と最後の $k$ 個の列ベクトルの張る空間が直交するようなものを返す写像 $\tau : M(k, n; \R)\to M(n, k; \R)$ を取ります。これは一意かつ $C^{\omega}$ 級写像として定まります具体的には $\tau(A) = -A^{T}$ です。。行列\[Q := \left[\begin{array}{cc}O & I_{n} \\I_{k} & O\end{array}\right]\in O(n + k)\]を取るとして、$\iota'_{Q}(\tau(A)) = \left[\begin{smallmatrix}\tau(A) & I_{n} \\I_{k} & O_{k, n}\end{smallmatrix}\right]$ の最初の $k$ 個の列ベクトルの張る空間が $\iota_{I_{n + k}}(A) = \left[\begin{smallmatrix}I_{n} & O_{n, k} \\A & I_{k}\end{smallmatrix}\right]$ の最初の $n$ 個の列ベクトルの張る空間の直交補空間です。つまり、座標近傍 $\varphi_{I_{n + k}}, \varphi'_{Q}$ に関する局所表示は $\tau$ になります。より一般に $P\in O(n + k)$ に対して座標近傍 $\varphi_{P}, \varphi'_{PQ}$ に関する局所表示も $\tau$ になります。よって、$T$ は $C^{\omega}$ 級同相写像です。

各 $V\in G_{n, k}(\R)$ に対して $\#\tau_{n, k}^{-1}(V) = 2$ であることは明らか。あとは各 $P\in GL^{+}(n + k; \R)$ に対して $\varphi_{P}^{-1} = \tau_{n, k}\circ \tilde{\varphi}_{P}^{-1}$ であることから容易に確かめられます。

局所自明化を具体的に取ればよいですが、例えば、命題9.4.2の記号を用いて写像\[U_{P}\times \K^{n}\to E_{n, k}(\K) : (V, u)\mapsto (V, \iota_{P}(\varphi_{P}(V))\cdot (u\oplus (\overset{k}{\overbrace{0, \dots, 0}})))\]を取れば、これが $U_{P}$ 上の局所自明化 $($の逆写像$)$ になります。

(1) ⇒ (2) 束同型 $E\oplus F\cong \underline{\K^{n + k}}_{B}$ を固定し、$E\subset \underline{\K^{n + k}}_{B}$ とみなします。各ファイバー $E_{x}$ は $\K^{n + k}$ の $n$ 次元部分空間と考えられます。写像 $f : B\to G_{n, k}(\K) : x\mapsto E_{x}$ を取ればこれについて以下が分かります。

(i) 各点 $x\in B$ のある開近傍上での連続性を確かめればよいです。$x$ の十分小さな開近傍 $U$ 上の $\underline{\K^{n + k}}_{B}$ の局所枠 $s_{1}, \dots, s_{n + k}$ をその最初の $n$ 個の切断が $E$ の局所枠であるように取ります。連続写像 $h : U\to GL(n + k; \K)$ を $h(y)$ の第 $l$ 列ベクトルが $s_{l}(y)$ であるように定めれば、命題9.4.2の射影 $\pi$ を用いて、$f = \pi\circ h$ なので $f$ は $U$ 上連続です。

(ii) 自明です。

(2) ⇒ (3) 直交射影 $\underline{\K^{n + k}}_{G_{n, k}(\K)}\to E_{n, k}(\K)$ を引き戻せばよいです。

(3) ⇒ (1) 直和分解 $\underline{\K^{n + k}}_{B} = \Ker g\oplus (\Ker g)^{\bot}$ があること自明束には常に標準的なRiemann計量やHermite計量が入り、部分束には直交補空間束が取れました。と制限 $g|_{(\Ker g)^{\bot}} : (\Ker g)^{\bot}\to E$ が束同型であることから $F := \Ker g$ とすれば $E\oplus F$ が自明束です。

(3) ⇒ (4) 全射束準同型 $g : \underline{\K^{n + k}}_{B}\to E$ により積束 $\underline{\K^{n + k}}_{B}$ の枠を押し出して得られる切断たちを取ればよいです。

(4) ⇒ (3) 束準同型 $g : \underline{\R^{n + k}}_{B}\to E$ を\[g(x, t_{1}, \dots, t_{n + k})\mapsto \sum_{l = 1}^{n + k}t_{l}s_{l}(x)\in E_{x}\]と定めればこれは全射です。

底空間の間の写像 $g : B\to G_{n}(\K) : x\mapsto f(E_{x})$ を取ります。対 $\tilde{f} := (g\circ \pi, h) : E\to G_{n}(\K)\times \K^{\infty}$ は $E_{n}(\K)$ に値を取り、明らかに $h = \pr_{2}\circ \tilde{f}$ です。この $\tilde{f}$ が束写像であればよいですが、そのためには $g$ の連続性のみ確かめれば十分です。

点 $x_{0}\in B$ を取り、その適当な自明化開近傍 $U$ 上での連続性を示せばよいです。まず、自明化開近傍 $U$ を任意に取ります。$E$ の $U$ 上の局所自明化 $\varphi : E|_{U}\to U\times \K^{n}$ を取り、$e_{1}, \dots, e_{n}$ を $\K^{n}$ の標準基底として、合成 $h\circ \varphi^{-1} : U\times \K^{n}\to \K^{\infty}$ の $U\times \{e_{k}\}$ への制限を $s_{k}$ で表すとします。非負整数 $m\in \N$ を $s_{1}(x_{0}), \dots, s_{n}(x_{0})$ が最初の $n + m$ 成分のみで一次独立であるように取り、そこに $m$ 個のベクトル $v_{n + 1}, \dots, v_{n + m}\in \K^{n + m}$ を追加して $\K^{n + m}$ の基底を与えるようにします。連続写像 $S : U\to \underset{k}{\varinjlim}M(n + m; \K)$ を $S(x)$ の最初の $n$ 列が $s_{1}(x), \dots, s_{n}(x)$ かつその次の $m$ 列が $\K^{\infty}$ の元とみなした $v_{n + 1}, \dots, v_{n + m}$ かつ残りの対角成分が $1$ かつその他の成分が $0$ であるように取ります。必要であれば $U$ を小さく取り直すことで終域を $\underset{k}{\varinjlim}GL(n + k; \K)$ とします。命題9.4.2の射影 $\pi : GL(n + k; \K)\to G_{n, k}(\K)$ の帰納極限として連続写像 $\varPi : \underset{k}{\varinjlim}GL(n + k; \K)\to G_{n}(\K)$ が定まり $($命題2.7.42$)$、$g = \varPi\circ S$ なので $g$ は連続です。

(1) 連続写像 $\K^{n}\times I\to \K^{2n}$ の帰納極限として表されるため。$($命題2.7.42と系2.7.49$)$

(2) 連続写像 $\K^{n}\times \K^{n}\times I\to \K^{n}$ の帰納極限として表されるため。$($命題2.7.42と系2.7.49と補題2.7.50$)$

階数 $n$ の $\K$ ベクトル束 $\pi : E\to B$ と束写像 $\tilde{f}_{0}, \tilde{f}_{1} : E\to E_{n}(\K)$ であってファイバーごと同型を定めるものが与えられているとする。この $\tilde{f}_{0}, \tilde{f}_{1}$ が底空間の間に定める写像 $f_{0}, f_{1} : B\to G_{n}(\K)$ がhomotopicであることを示せばよいです。射影 $\pr_{2} : E_{n}(\K)\to \K^{\infty}$ との合成 $h_{i} := \pr_{2}\circ \tilde{f}_{i} : E\to \K^{\infty}$ を取り、ファイバーごと単射を定める束写像のhomotopy $H : E\times I\to \K^{\infty}$ であって $h_{0}$ を $h_{1}$ につなぐものが存在すれば、その $H$ から補題9.4.19のリフトとして得られる束写像 $\tilde{H} : E\times I\to E_{n}(\K)$ が底空間の間に定める連続写像 $B\times I\to G_{n}(\K)$ が $f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐhomotopyです。

よって、その意味で $h_{0}$ と $h_{1}$ がhomotopicであることを示せばよいです。補題9.4.20のhomotopy $\xi, \eta$ を用いて\[h_{0} = \xi_{0}\circ h_{0}\sim \xi_{1}\circ h_{0},\]\[h_{1} = \eta_{0}\circ h_{1}\sim \eta_{1}\circ h_{1}\]ですが、各 $x\in B$ に対して $(\xi_{1}\circ h_{0})(E_{x})\cap (\eta_{1}\circ h_{1})(E_{x}) = \{0\}$ であるので $\xi_{1}\circ h_{0}$ を $\eta_{1}\circ h_{1}$ につなぐ $($ファイバーごとに単射を定める$)$ 束写像のhomotopy $H' : E\to \K^{\infty}$ が補題9.4.20のhomotopy $\mu$ を用いて\begin{eqnarray*}H'(x, v, t) & := & \mu((\xi_{1}\circ h_{0})(x, v), (\eta_{1}\circ h_{1})(x, v), t) \\& = & (1 - t)(\xi_{1}\circ h_{0})(x, v) + t(\eta_{1}\circ h_{1})(x, v)\end{eqnarray*}により定まり $\xi_{1}\circ h_{0}\sim \eta_{1}\circ h_{1}$ です。以上により $h_{0}\sim h_{1}$ です。

ほぼ[ミルナー, スタシェフ 特性類講義]の補題5.9の証明から。

自明化開集合による $B$ の開被覆 $\{U_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を取ります。ただし、必要であれば空集合を付け加えて添字集合 $\Lambda$ は無限集合としておきますこの後の $U(M)$ の定義において $\Lambda\setminus M = \varnothing$ となることを回避するためだけの処置。。この開被覆に従属する $1$ の分割 $\{h_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を取ります。そして、$($空でない$)$ 有限部分集合 $M\subset \Lambda$ に対して部分集合 $U(M)\subset B$ を\[U(M) := \{x\in B\mid \min_{\mu\in M}h_{\mu}(x) > \max_{\mu\in \Lambda\setminus M}h_{\mu}(x)\}\]により定め、各正整数 $n\in \Np$ に対して $U_{n}$ を\[U_{n} := \bigcup_{M\subset \Lambda, \ \#M = n}U(M)\]と定めます。以下のことが容易に確かめられます。

ここで、各 $n$ 元部分集合 $M\subset \Lambda$ に対する $U(M)$ 上の局所自明化たちを取ることで $U_{n}$ 上の局所自明化が構成でき、$U_{n}$ は自明化開集合です。よって、$\{U_{n}\}_{n\in \Np}$ が自明化開集合による可算開被覆です。

階数 $n$ の $\K$ ベクトル束 $\pi : E\to B$ に対して束写像 $\tilde{f} : E\to E_{n}(\K)$ であってファイバーごと同型を定めるものが存在することを示せばよいです。補題9.4.21より局所自明化による高々可算な開被覆 $\{(U_{k}, \varphi_{k})\}_{k\in \N}$ を取ります。これに従属する $1$ の分割 $\{g_{k}\}_{k\in \N}$ を取り、各 $k\in \N$ に対して束写像 $h_{k} : E\to \K^{n}$ を\[h_{k}(x, v) := \left\{\begin{array}{ll}g_{k}(x)(\pr_{2}\circ \varphi_{k})(x, v) & (x\in U_{k}) \\0 & (x\notin U_{k})\end{array}\right.\]により定め、これを用いて束写像 $h : E\to \K^{\infty}$ を\[h(x, v) := (h_{0}(x, v)), h_{1}(x, v), \dots )\in (\K^{n})^{\infty}\cong \K^{\infty}\]により定めます。この $h$ についての補題9.4.19のリフトが目的の束写像です。