(1) まず、$p\in \Int N$ の場合について示します。予備知識 定理4.2.66より $p$ の $\Int N$ における開近傍 $U'$ と $f(p)\in M$ の周りの座標近傍 $(U, \varphi : U\to V)$ であって $f(U')\subset U$ かつ\[\varphi(f(U')) = V \cap (\R^{n}\times\{0\}^{m - n})\]となるものが取れます。$f : N\to f(N)$ は同相なので $f(U')\subset f(N)$ は $f(N)$ の開集合、よって、ある開集合 $U''\subset M$ が存在して $f(U') = f(N)\cap U''$ です。$U$ を $U\cap U''$ で置き換えればよいです。

$p\in\partial N$ の場合を示します。$p\in N$ の周りの局所座標系 $\varphi_{N} : U_{N}\to V_{N}\subset \Rp^{n}$ を固定し、$f\circ \varphi_{N}^{-1} : V_{N}\to M$ の定義域を $\R^{n}$ における開集合 $V'$ に拡張したものを固定し $\psi : V'\to M$ とします。この $\psi$ に対して予備知識 定理4.2.66を用いることで、$\varphi_{N}(p)$ の開近傍 $V''\subset V'$ と $f(p)\in M$ の周りの局所座標系 $\varphi_{M} : U_{M}\to V_{M}$ であって $(\varphi_{M}\circ \psi)(V'') = V_{M}\cap(\R^{n}\times \{0\}^{m - n})$ かつ\[\varphi_{M}\circ \psi : (x_{1}, \dots, x_{n})\mapsto (x_{1}, \dots, x_{n}, 0, \dots, 0)\]を満たすものが取れます。必要であれば $U_{M}$ を小さく取り直すことで $\varphi_{M}$ が欲しかった座標近傍を与えます。

(2) $N\subset M$ がHausdorff空間であることは自明です。仮定により得られる局所座標系たちをを制限することで $N$ の座標近傍系が得られるので $N$ は多様体であり、包含写像が埋め込みを与えます。よって、$N\subset M$ は部分多様体です。

正則値の定義から任意の $q\in f^{-1}(p)$ に対して $(f_{*})_{q} : T_{q}M\to T_{p}N$ は全射なので、陰関数定理 $($予備知識 定理4.2.64$)$ より各 $q\in f^{-1}(p)$ において局所平坦です。

命題3.1.3から分かります。つまり、$df$ が $A$ の各点で $0$ でないことから $0\in \R$ は $f$ の正則値になるので命題3.2.8から $A$ は部分多様体です。

この写像 $f : M\to N$ の全射性を示します。まず、沈め込みであることから $f$ は開写像であり $\Img f\subset N$ は開集合です。像 $\Img f$ の位相空間としての境界 $\partial\Img f$ が空でないとしたとき、その点 $p\in \partial\Img f$ における連結コンパクト近傍 $K$ を取れば $f(f^{-1}(K)) = \Img f\cap K$ はコンパクト、よって $K$ における閉集合であり、$\Img f\cap K$ は $K$ の空でない閉かつ開な部分集合になるので $\Img f\cap K = K$ です。これは $p\in \partial\Img f$ に矛盾するので $\partial\Img f = \emptyset$ が分かります。これと $N$ の連結性により $\Img f = N$、つまり、$f$ の全射性が分かります。

各点 $p\in N$ に対し、その周りの局所自明化を構成します。命題3.2.8により $F = f^{-1}(p)$ は境界を持たない部分多様体であり、$f$ が固有であったことよりコンパクト、よって閉部分多様体です。$p\in N$ の周りの局所座標系 $\psi : U''\to V''$ を一つ取り、各 $q\in F$ に対してその周りの $M$ における局所座標系 $\varphi_{q} : U_{q}\to V_{q}$ であって条件

を満たすものを取ります。有限個の $q_{1}, \dots, q_{r}\in F$ を選んで $\{F\cap U_{q_{k}}\}_{1\leq k \leq r}$ が $F$ の開被覆となるように取ります。いま、上で取った局所座標系たちを適当に制限および整形して $V'' = V''_{1} = \dots = V''_{r}$ としてよいです。あとは以下の流れで示されます。

(step 1) $A = \{p'\subset U''\mid f^{-1}(p')\subset \tilde{U}\}$ と定めます。また、$U''$ における $p$ のコンパクト近傍 $K$ を取っておきます。$K\setminus A$ の点列 $\{y_{k}\}_{k\in \N}$ であって $y_{k}\xrightarrow{k\to\infty} p$ となるものが存在したとします。このとき、$f^{-1}(K)$ の点列 $\{x_{k}\}_{k\in \N}$ であって各 $k$ に対して $f(x_{k}) = y_{k}$ かつ $x_{k}\in f^{-1}(K)\setminus \tilde{U}$ を満たすものが存在します。$f^{-1}(K)$ がコンパクトなので $F = f^{-1}(p)$ の点に収束する部分列が存在しますが収束部分列の存在については、例えば、$f^{-1}(K)$ を高々有限個のコンパクト集合の和集合に分割し、それぞれを定義域に含む座標近傍たちが取れるようにしておけばBolzano–Weierstrassの定理に帰着できるのでよいです。、これは $\tilde{U}$ が $F$ の開近傍であることに矛盾します。よって、$K\setminus A$ の点列 $\{y_{k}\}_{k\in \N}$ であって $y_{k}\xrightarrow{k\to\infty} p$ となるものは存在せず $A$ は $p$ の近傍です。$A$ を適当な開近傍に制限して本当は $A$ 自体が開近傍になるので制限しなくても大丈夫です。$U'''$ を得ます。

(step 2) $U''$ 上のベクトル場 $Y$ を任意に取り、これを $V''$ のベクトル場ともみなすことにします。各 $1\leq k\leq r$ に対して $V_{k} = V'_{k}\times V''$ 上のベクトル場 $W^{k}$ を $(s, t)\in V'_{k}\times V''$ において\[W_{(s, t)}^{k} = Y_{t}\in T_{s}V'_{k}\oplus T_{t}V'' = T_{(s, t)}(V'_{k}\times V'')\]とすることで定めます。コンパクト台を持つ非負値 $C^{\infty}$ 級関数 $h : V''\to [0, \infty)$ であって $h(\psi(p)) = 1$ となるものと $F$ の開被覆 $\{F\cap U_{q_{k}}\}_{1\leq k \leq r}$ に対する $1$ の分割 $\{h_{k}\}_{1\leq k\leq r}$ を取ります。$h_{k}$ たちについては $V'_{k}$ 上の関数ともみなすことにします。$V_{k}$ 上のコンパクト台を持つ $C^{\infty}$ 級写像 $\tilde{h}_{k} : V_{k}\to \R : (s, t)\mapsto h_{k}(s)\cdot h(t)$ を取り、これより $M$ 上のベクトル場 $X^{k}$ を $(\varphi_{k}^{-1})_{*}(\tilde{h}W^{k})$ として定め、$X' = \sum_{k = 1}^{r}X^{k}$ とおきます。また、$M$ 上の $C^{\infty}$ 級関数 $H : M\to \R$ を $H = \sum_{k = 1}^{r}\varphi_{k}^{*}\tilde{h}_{k}$ により定めておきます。このとき、各点 $q\in f^{-1}(U'')$ において $f_{*}X'_{q} = H(q)Y_{f(q)}$ が成立しているので、あとは $H$ が $F$ の近傍で正値であることに注意して $\tilde{U} = \{q\in M\mid H(q) > 0\}$ に対して(step 1)を適用して $U'''\subset U''$ を取り、$f^{-1}(U''')$ 上で $X = (1/H)X'$ とすればよいです。

(step 3) 自明です。

(step 4) ベクトル場 $X^{1}, \dots, X^{n}$ を(step 3)により取ります。$M\times \R^{n}$ 上のベクトル場 $Z$ を $(q, t) = (q, t_{1}, \dots, t_{n})\in M\times \R^{n}$ において\[Z_{(q, t)} = \sum_{k = 1}^{n}t_{k}X_{q}^{k}\in T_{q}M\oplus T_{t}\R^{n} = T_{(q, t)}(M\times \R^{n})\]とすることで定めます。各 $X^{k}$ がコンパクト台を持つこと、および $Z$ の $\R^{n}$ 方向成分が常に $0$ であることから $Z$ は完備なベクトル場であり、フロー $G_{M} : M\times \R^{n}\times \R\to M\times \R^{n}$ とその制限による $C^{\infty}$ 級同相写像 $G_{M}^{u} = G_{M}|_{M\times \R^{n}\times \{u\}}$ が取れます。射影 $P_{M} : M\times \R^{n}\to M$ との合成 $P_{M}\circ G_{M}|_{F\times \R^{n}\times \{1\}} : F\times \R^{n}\to M$ を $\varPhi$ とおきます。さて、$X^{k}$ の取り方から $N$ 上のコンパクト台を持つベクトル場 $Y^{k}$ であって任意の $q\in M$ に対して $f_{*}X_{q} = Y_{f(q)}$ を満たすものが取れます。この $Y^{k}$ たちから同様に $N\times \R^{n}$ 上のベクトル場 $W$ とフロー $G_{N} : N\times \R^{n}\times \R\to N\times \R^{n}$、$C^{\infty}$ 級写像 $\varPsi : \{p\}\times \R^{n} = \R^{n}\to N$ を構成します。確かめたいことは

です。これらが分かれば、$\varPhi$ を $F\times \hat{V}$ に制限して $\hat{V}$ を $\hat{U}$ で置き換えることで局所自明化の逆写像が得られます。

(i) もう少し一般に、任意の $p'\in N$ と $t\in \R^{n}$ に対して $G_{M}^{1}(f^{-1}(p')\times \{t\}) = f^{-1}(G_{N}^{1}(p', t))$ であることを示します。$q'\in f^{-1}(p')$ とし、$M\times \R^{n}$ 上のベクトル場 $Z$ に対する $(q', t)$ を始点とする積分曲線 $c : I\to M\times \R^{n}$ と $N\times \R^{n}$ 上のベクトル場 $W$ に対する $(p', t)$ を始点とする積分曲線 $\tilde{c} : I\to N\times \R^{n}$ を考えるとき、いずれも $\R^{n}$ 成分が一定であることと任意の $q''\in M$ に対して $f_{*}(\sum_{k = 1}^{n}t_{k}X_{q''}^{k}) = \sum_{k = 1}^{n}t_{k}Y_{f(q'')}^{k}$ であることにより $(f\times \Id_{\R^{n}})\circ c : I\to N\times \R^{n}$ は $(f(q') = p', t)$ を始点とするベクトル場 $W$ に関する積分曲線なので $\tilde{c}$ に一致します。$((f\times \Id_{\R^{n}})\circ c)(1) = \tilde{c}(1)$ から $(f\times \Id_{\R^{n}})(G_{M}(q', t, 1)) = G_{N}(p', t, 1)$ なので、$q'\in f^{-1}(p')$ が任意より $G_{M}^{1}(f^{-1}(p')\times \{t\})\subset f^{-1}(G_{N}^{1}(p', t))$ が分かりました。$G_{N}^{1}$ が単射であることと $G_{M}^{1}$ が全射であることに注意して $G_{M}^{1}(f^{-1}(p')\times \{t\}) = f^{-1}(G_{N}^{1}(p', t))$ が分かります。最後に、$p' = p$ とすることで任意の $t\in \R^{n}$ に対して $\varPhi(F\times \{t\}) = f^{-1}(\varPsi(t))$ であることが分かります。$\varPhi : F\times \{t\}\to f^{-1}(\varPsi(t))$ が $C^{\infty}$ 級同相写像であることは構成を追えば明らかです。

(ii) 任意の $(p', t, u)\in N\times \R^{n}\times \R$ に対して $G_{N}(p', ut, 1) = G_{N}(p', t, u)$ であることに注意し、$\R^{n}$ の座標を $y_{1}, \dots, y_{n}$ と書くことにすれば $\varPsi_{*}(\partial_{y_{k}}) = Y_{k}$ なので分かります。

像への制限が同相であることを示せばよいですが、これは一点コンパクト化 $\hat{f} : \hat{N}\to \hat{M}$ を考え、一般にコンパクト集合からHausdorff空間への連続全単射が同相であることを使えばよいです。

$f_{N} : N\to M$ と $f_{L} : L\to M$ を包含写像とします。予備知識 定理4.2.66より $p$ の周りの $M, N$ に関する局所座標系 $\varphi_{X} : U_{X}\to V_{X} \ (X = M, N)$ であって $\varphi_{M}(p) = 0$ かつ\[\varphi_{M}\circ f_{N}\circ\varphi_{N}^{-1} : (x_{1}, \dots, x_{n})\mapsto (0, \dots, 0, x_{1}, \dots, x_{n})\]を満たすものが存在します。$p\in L$ の周りの局所座標系 $\varphi_{L} : U_{L}\to V_{L}$ を取り、\[\varphi_{M}\circ f_{L}\circ\varphi_{L}^{-1} : x\mapsto (g(x), h(x))\]と $C^{\infty}$ 級写像 $g : V_{L}\to \R^{l}$, $h : V_{L}\to \R^{m - l}$ を用いて表されるようにします。必要であれば $\varphi_{M}$ の座標の順番を $($後ろの $n$ 個の内で$)$ 取り換え、$g$ の $p$ におけるJacobi行列は正則であるとします。逆関数定理 $($予備知識 定理4.2.62$)$ より、必要なら $V_{L}$ を小さく取り直して $g : V_{L}\to g(V_{L})$ は $C^{\infty}$ 級同相としてよく、よって、$\varphi_{L}$ と $g$ との合成 $\varphi'_{L}$ を局所座標系として取ることで $g$ は始めから恒等写像としてよいです。必要であれば $V_{M}$ を小さく取り直して $V_{M}\subset V_{L}\times \R^{m - l}$ とした後、$\varphi_{M}$ と写像\[\psi_{M} : V_{M}\to \R^{m} : (x, \tilde{x})\mapsto (x, \tilde{x} - h(x)),\]ただし $x\in\R^{l}, \tilde{x}\in\R^{m - l}$ とする、との合成により新たな $p\in M$ の周りの局所座標系 $\varphi'_{M}$ を取り、最後に必要であれば $U_{M}$ を小さく取り直して $N\cap U_{M} = U_{N}$, $L\cap U_{M} = U_{L}$ となるようにすればよいです。

(1) $p\in \Int N$ の場合は $p\in \Int M$ により命題3.2.5から分かります。$p\in \partial N$ とします。包含写像 $i_{N} : N\to M$ を考え、$p\in N$ のまわり局所座標系 $\varphi_{N} : U_{N}\to V_{N}\subset \Rp^{n}$ と $p\in M$ の周りの局所座標系 $\varphi_{M} : U_{M}\to V_{M}\subset \Rp^{m}$ を取ります。$\varphi_{N}(p)$ の $\R^{n}$ における開近傍 $V'_{N}$ 上で定義された $C^{\infty}$ 級写像 $\psi : V'_{N}\to \R^{m}$ であって $V'_{N}\cap V_{N}$ 上 $\varphi_{M}\circ i_{N}\circ \varphi_{N}^{-1}$ に一致するものを取り、必要なら $V'_{N}$ を小さく取り直して

となるようにします。この $\psi$ $($の定める部分多様体$)$ と部分多様体 $\varphi_{M}(\partial M\cap U_{M})\subset \partial\Rp^{m}\subset \R^{m}$ に対して命題3.2.17を用いて $\R^{m}$ の開集合の間の $C^{\infty}$ 級同相写像 $\psi_{M} : V'_{M}\to V''_{M}$ であって

を満たすものを取ります。$\psi_{M}\circ (\varphi_{M}|_{\varphi_{M}^{-1}(V'_{M}\cap V_{M})})$ が欲しかった $p\in M$ の周りの局所座標系です。

(2) 自明です。

局所座標系 $\varphi_{M} : U_{M}\to V_{M}$, $\varphi_{N} : U_{N}\to V_{N}$ を $p\in U_{M}$, $f(p)\in U_{N}$ かつ $f(U_{M})\subset U_{N}$ となるように取り、適当に $\varphi_{M}$ の座標の順番を $($初めの $m - 1$ 個の内で$)$ 取り換えてJacobi行列 $J_{\varphi_{N}\circ f\circ \varphi_{M}^{-1}}(\varphi_{M}(p))$ の最初の $n$ 行 $n$ 列からなる正方行列が正則となるようにしておきます。$\varphi_{M}(p)$ の $\R^{m}$ における開近傍 $V'_{M}$ 上で定義された $C^{\infty}$ 級写像 $\psi : V'_{M}\to \R^{n}$ であって $V'_{M}\cap V_{M}$ 上 $\varphi_{N}\circ f\circ \varphi_{M}^{-1}$ に一致するものを取ります。$\varphi_{M}(p)$ ついての陰関数定理 $($予備知識 定理4.2.64$)$ により $\R^{m}$ の開集合の間の $C^{\infty}$ 級同相写像 $\varphi : V''_{M}\to V'''_{M}$ であって $V'''_{M}\subset V'_{M}$ かつ $\varphi_{M}(p)\in V'''_{M}$ と常に\[\psi\circ \varphi : (x_{1}, \dots, x_{m})\mapsto(x_{1}, \dots, x_{n})\]を満たすものが取れます。予備知識 補足4.2.65より構成した $\varphi$ は第 $m$ 成分を保つとしてよく、必要であれば定義域を小さく取り直したのち $\varphi^{-1}\circ \varphi_{M}$ はまた局所座標系になるので $\varphi_{M}$ を $\varphi^{-1}\circ \varphi_{M}$ で置き換えればよいです。

内点においては通常に陰関数定理 $($予備知識 定理4.2.64$)$、境界においては補題3.2.21を使えば分かります。

命題3.2.12の証明においてベクトル場を構成する際、それらが境界に適合するように気を付ければあとは同じです。

(1) $p\in f^{-1}(L)$ とします。$M$ における $f(p)$ の周りの局所座標系 $\varphi : U\to V$ であって\[\varphi(L\cap U) = V\cap (\R^{l}\times \{0\}^{m - l})\]となるものを取ります。また、$P : \R^{l}\times \R^{m - l}\to \R^{m - l}$ を第 $2$ 成分への射影とします。$p$ のまわりの開近傍 $U'$ を $f(U')\subset U$ となるように取るとき、$\psi = P\circ \varphi \circ f|_{U'}$ に対して

が成立するので陰関数定理 $($予備知識 定理4.2.64$)$ より $f^{-1}(L)$ は $p$ において局所平坦です。$p\in f^{-1}(L)$ は任意なので $f^{-1}(L)$ は $N$ の部分多様体です。

(2) まず、$p\in f^{-1}(L)\cap \Int N$ においては(1)から局所平坦であることが分かるので $p\in f^{-1}(L)\cap \partial N$ における局所平坦性を示せばよいです。命題3.2.20を用いて $M$ における $f(p)\in\partial L$ の周りの局所座標系 $\varphi : U\to V$ であって\[\varphi(L\cap U) = V\cap (\{0\}^{m - l}\times \Rp^{l})\subset \Rp^{m}\]となるものを取ります。また、$P : \R^{m - l}\times \Rp^{l}\to \R^{m - l}$ を第 $1$ 成分への射影とします。$p$ のまわりの開近傍 $U'$ を $f(U')\subset U$ となるように取るとき、$\psi = P\circ \varphi \circ f|_{U'}$ に対して

が成立するので補題3.2.21より $f^{-1}(L)$ は $p$ において局所平坦です。以上より $f^{-1}(L)$ は $N$ の境界に適合した部分多様体です。$\partial(f^{-1}(L)) = f^{-1}(\partial L)$ も自明です。

(2), (3), (4)の同値性と(2) ⇒ (1)は自明なので(1) ⇒ (2)のみ示します。

(1) ⇒ (2) $f_{0}$ を $f_{1}$ に結ぶisotopy $F$ を一つ固定します。$C^{\infty}$ 級写像 $h : I\to I$ であって

を満たすものを取り、$C^{\infty}$ 級写像 $G : N\times I\to M$ を\[G = F\circ (\Id_{N}\times h) : (p, t)\mapsto F(p, h(t))\]により定めれば $G_{t} = F_{h(t)}$ であり、これが(2)についてほしかった写像になります。

反射律は埋め込み $f\in \Emb(N, M)$ に対して $f$ を $f$ につなぐisotopy $F$ を $F(p, t) = f(p)$ とすることで構成できるので分かり、対称律は $f_{0}\simeq f_{1}$ に対し $f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐisotopy $F$ から $f_{1}$ を $f_{0}$ につなぐisotopy $G$ を $G(p, t) = F(p, 1 - t)$ とすることで構成できるので分かります。

推移律を示します。$f_{0}\simeq f_{1}, f_{1}\simeq f_{2}$ とし、$f_{0}$ を $f_{1}$ につなぐisotopy $F$ と $f_{1}$ を $f_{2}$ につなぐisotopy $G$ をそれぞれ補題3.2.27の(2)の条件を満たすように取ります。このとき、$f_{0}$ を $f_{2}$ につなぐisotopy $H$ が\[H_{t} = \left\{\begin{array}{ll}F_{2t} & (0 \leq t \leq 1/2)\\G_{2t - 1} & (1/2 \leq t \leq 1)\end{array}\right.\]とすることで構成できるので $f_{0}\simeq f_{2}$ が分かります。

前半の $C^{\infty}$ 級写像 $\hat{F} : M\times [0, 1)\to M$ が得られることは $\hat{F}_{1 - 2^{-(k + 1)}} = \hat{F}_{1}^{k} = \hat{F}_{0}^{k + 1}$ から明らかです。

後半を以下の流れで示します。

(step 1) $V_{l} = \overline{\bigcup_{i \leq l}U_{i}}$ は各 $U_{i}$ の相対コンパクト性よりコンパクト。そして、$\{U_{k}\}_{k\in \N}$ が局所有限であったことから $V_{l}$ と交わる $U_{k}$ は高々有限個です。よって、ある整数 $L > l$ が存在して任意の $l'\geq L$ に対して $\supp F^{l'}\cap V_{l} = \emptyset$ を満たすので $T_{l} = 1 - 2^{L}$ とすればよいです。

(step 2) (iii)より任意の $l'\in \N$ と $t\in [0, 1)$ に対して $\hat{F}_{t}(\bigcup_{i \leq l'}K_{i})\subset V_{l'}$ であり、$\hat{F}_{t}$ が $C^{\infty}$ 同相写像より $\bigcup_{i \leq l'}K_{i}\subset (\hat{F}_{t})^{-1}(V_{l'})$ なので、各 $l\in \N$ に対して $V_{l}\subset \bigcup_{i \leq l'}K_{i}$ となるような十分大きな $l'$ を取ればよいです。$\{K_{k}\}_{k\in \N}$ が局所有限な被覆であることには注意。

(step 3) 各点 $p\in M$ において $\hat{F}_{1}(p) = \lim_{t\to 1}\hat{F}_{t}(p)$ とすることで $M\times I\to M$ への拡張を構成したいわけですが、各 $l\in \N$ に対して(step 1)の $T_{l}$ を取れば $(\hat{F}_{T_{l}})^{-1}(V_{l})$ においてこのような極限が存在することが分かり、(step 2)と合わせれば任意の $p\in M$ で極限が存在することが分かります。得られた拡張 $\hat{F} : M\times I\to M$ が $C^{\infty}$ 級写像であることと $C^{\infty}$ 級写像への一意な拡張であることは明らかです。また、一番最後の主張も明らかです。

あとは $\hat{F}_{1}$ が $C^{\infty}$ 級同相写像であることを示せばよいです。まず、全射性は(step 1)の $T_{l}$ に対して $\hat{F}_{1}((\hat{F}_{T_{l}})^{-1}(V_{l})) = \hat{F}_{T_{l}}((\hat{F}_{T_{l}})^{-1}(V_{l})) = V_{l}\xrightarrow{l\to\infty} M$ であることから分かり、単射性及び各点が正則点であることは各 $l\in \N$ に対して $\hat{F}_{1}|_{(\hat{F}_{T_{l}})^{-1}(\bigcup_{i\leq l}U_{i})} : (\hat{F}_{T_{l}})^{-1}(\bigcup_{i\leq l}U_{i})\to \bigcup_{i\leq l}U_{i}$ が $C^{\infty}$ 級同相写像であることから分かります。よって $\hat{F}_{1}$ は $C^{\infty}$ 級同相写像です。

$\Img F\cap L = \emptyset$ なら自明なので $\Img F\cap L \neq \emptyset$ とします。まず、命題3.2.24により $\tilde{N} = F^{-1}(L)$ は $N\times U$ の境界に適合した部分多様体です。第 $2$ 成分への射影 $p_{2} : N\times U\to U$ の $\tilde{N}$ への制限 $\psi : \tilde{N}\to U$ および $\psi|_{\partial\tilde{N}} : \partial\tilde{N}\to U$ の両方の正則値となる点がSardの定理 $($命題3.1.6$)$ から保証されているので、それを $x$ として取ります。$F|_{N\times \{x\}}$ をその定義域を $N$ とみなしたうえで単に $f : N\to M$ と書くことにします。

$f\pitchfork L$ を示すためには各 $(p, x)\in \tilde{N}\cap (N\times \{x\})\subset N\times U$ に対して $f_{*}(T_{p}N) + T_{f(p)}L = T_{f(p)}M$ を示せばよいです。まず、$x\in U$ が $\psi : \tilde{N}\to U$ の正則値であったことにより\[T_{(p, x)}\tilde{N} + T_{(p, x)}(N\times \{x\}) = T_{(p, x)}(N\times U)\]であり、そして $F\pitchfork L$ により\[F_{*}(T_{(p, x)}\tilde{N} + T_{(p, x)}(N\times \{x\})) + T_{f(p)}L = F_{*}(T_{(p, x)}(N\times U)) + T_{f(p)}L = T_{f(p)}M\]です。$F_{*}(T_{(p, x)}\tilde{N})\subset T_{f(p)}L$ に注意すれば $F_{*}(T_{(p, x)}(N\times \{x\})) + T_{f(p)}L = T_{f(p)}M$ が分かります。$F_{*}(T_{(p, x)}(N\times \{x\})) = f_{*}(T_{p}N)$ なので $f_{*}(T_{p}N) + T_{f(p)}L = T_{f(p)}M$ であり、各点 $(p, x)\in \tilde{N}\cap (N\times \{x\})$ でそうなので $f\pitchfork L$ です。境界での横断性も同様です。

$C^{\infty}$ 級関数 $h : \Int D_{2}^{m - l}\times \Int D_{2}^{l}\to [0, 1]$ を\[h(x, y) > 0 \Leftrightarrow (x, y)\in \Int D_{1}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}\]となるように取り、$C^{\infty}$ 級関数 $\varPhi : \Int D_{2}^{m - l}\times \Int D_{2}^{l}\times \Int D_{1}^{m - l}\to \Int D_{2}^{m - l}\times \Int D_{2}^{l}$ を\[\varPhi : (x, y, z)\mapsto (x + h(x, y)z, y)\]とすることで定めます。以下のことを示します。

そうすれば、(iii)と補題3.2.30によりある $z\in \Int D_{\delta}^{m - l}$ が存在して $G|_{N\times \{z\}}\pitchfork \{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}$ となるので、この $z$ と(ii)から欲しかったambient isotopyが取れます。

(i) 明らか。$h$ のJacobi行列のノルム $\|J_{h}\|$ の最大値を $H$ として、$H\delta < 1$ となるように取ればよいです。$($ただ、きちんと証明するのは少し面倒…$)$

(ii) $\delta$ の取り方から明らか。

(iii) 各 $p\in N$ に対して $G|_{\{p\}\times \Int D_{\delta}^{m - l}}$ は\[G|_{\{p\}\times \Int D_{\delta}^{m - l}} : z\mapsto \varPhi(f(p), z) = f(p) + (h(f(p))z, 0)\]と表されるので、$(p, z)\in G^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})$ ならば $h(f(p))\neq 0$ であることを示せば横断性が従います。そのために対偶を示しますが、これは $h(f(p)) = 0$ とすると、$h$ の取り方から $f(p)\notin \Int D_{1}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}$ であり、また、$G$ の取り方から任意の $z\in \Int D_{\delta}^{m - l}$ に対して $G(p, z) = f(p)\notin \Int D_{1}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}$ なのでよいです。

境界も込みで考えた場合も同様です。

$M$ がコンパクトでない場合を示しますコンパクトな場合は以下の議論を追った後なら自明です。。$M$ の局所座標系の高々可算列 $\{\varphi_{k} : U_{k}\to V_{k}\}_{k\in \Lambda}$ であって条件

を満たすものを取ります。あとで補題3.2.29を適用するための下準備として、上記の添字集合 $\Lambda$ を $\Lambda\subset \N$ かつ $\N\setminus \Lambda$ は可算無限集合となるよう取り直し、さらに $M$ の相対コンパクト開集合による可算列 $\{U_{k}\}_{k\in \N}$ とコンパクト集合による可算列 $\{K_{k}\}_{k\in \N}$ を

となるように取っておきます。

以下、各 $k$ に対してambient isotopy $F^{k} : M\times I\to M$ とisotopy $\hat{F}^{k} : M\times I\to M$ を条件

を満たすように構成していきます。もしそのように構成できれば、補題3.2.29によりambient isotopy $\hat{F}$ が得られ、$L$ の各点についてコンパクト近傍 $K'$ を取り $K = (\hat{F}_{1})^{-1}(K')$ として補題3.2.29の一番最後の主張を用いることで $\hat{F}_{1}\circ f\pitchfork (L\cap \Int K')$ が分かるため、$\hat{F}_{1}\circ f\pitchfork L$ となります。

$k - 1$ まで構成され、その範囲で上記の条件が満たされているとします。

($k\notin \Lambda$ の場合) $F_{t}^{k} = \Id_{M}$, $\hat{F}^{k} = F^{k}\circ (\hat{F}_{1}^{k - 1}\times \Id_{I})$ とすればよいです。

($k\in \Lambda$ の場合) $U_{k}$ と $\Int D_{2}^{m - l}\times \Int D_{2}^{l}$、もしくは $\Int D_{2}^{m - l}\times (\Int D_{2}^{l}\cap \Rp^{l})$ との同一視のもと、$N' = (\hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f)^{-1}(U_{k})$ と $\hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f|_{N'}$ に対して補題3.2.31を適用することで $U_{k}$ のambient isotopyを構成し、これを明らかな方法で $M$ のambient isotopy $F^{k}$ に拡張します。このとき、\[F_{1}^{k}\circ \hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f\pitchfork \bigcup_{i\leq k, \, i\in \Lambda}\varphi_{i}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}),\]\[F_{1}^{k}\circ \hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f|_{\partial N}\pitchfork \bigcup_{i\leq k, \, i\in \Lambda}\varphi_{i}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})\]が成立してることを示します。まず、$F^{k}$ の構成から\[F_{1}^{k}\circ \hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f\pitchfork \varphi_{k}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l}),\]は明らかです。ここで、$F_{1}^{k}$ の定める接写像 $TM\to TM$ の\[\left(\bigcup_{i\leq k - 1, \, i\in \Lambda}\varphi_{i}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})\right)\setminus \varphi_{k}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})\subset M\]への制限が恒等的であることと $\hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f\pitchfork \bigcup_{i\leq k - 1, \, i\in \Lambda}\varphi_{i}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})$ に注意すれば\[F_{1}^{k}\circ \hat{F}_{1}^{k - 1}\circ f\pitchfork \bigcup_{i\leq k, \, i\in \Lambda}\varphi_{i}^{-1}(\{0\}^{m - l}\times \Int D_{1}^{l})\]が分かります。もう一方の境界に対する横断性も同様です。

あとは補題3.2.31の証明中に取った $z\in \Int D_{\delta}^{m - l}$ を原点の十分近くに取っておけば、任意の $l\in \N$ と $t\in I$ に対して $F_{t}^{k}\circ \hat{F}_{1}^{k - 1}(K_{l})\subset U_{l}$ が成立することを示します。集合 $A_{k} = \{l\in \N\mid U_{l}\cap U_{k}\neq \emptyset\}$ を取ります。$z\in \Int D_{\delta}^{m - l}$ をどう取っても $\supp F^{k}\subset U_{k}$ であることに注意すれば、この $A_{k}$ についてのみ考慮すればよいです。補題3.2.31の証明中の $\varPhi$ を $\varphi_{k}$ により引き戻すことで、$M$ の自己 $C^{\infty}$ 級同相写像の族 $H : M\times \Int D_{\delta}^{m - l}\to M$ を取ります。各 $l\in A_{k}$ に対して $\Int D_{\delta}^{m - l}$ における原点の近傍 $B_{l}$ を\[\{z\in \Int D_{\delta}^{m - l}\mid H_{z}(\hat{F}_{1}^{k - 1}(K_{l}))\subset U_{l}\}\]により定め実際に近傍となることは $H^{-1}(U_{l})$ における $\hat{F}_{1}^{k - 1}(K_{l})\times \{0\}^{m - l}$ の近傍を直積形となるように構成することで分かります。、正実数 $\delta' > 0$ を $\Int D_{\delta'}^{m - l}\subset \bigcap_{l\in A_{k}}B_{l}$ となるように取ったうえで $z\in \Int D_{\delta'}^{m - l}$ に取ればよいです。$A_{k}$ が有限集合であることには注意します。

$N$ の定める包含写像に対して命題3.2.32を適用すればいいです。

$2$ つの零切断 $($片方は写像として、もう片方は部分多様体として$)$ を考えれば良いです。命題3.2.32の証明においてambient isotopyたちをファイバーを保つように注意して構成すればあとは同じです。