(1) $i = 0$ の場合は自明です。$i\geq 1$ の場合 $[G, H_{i}]\leq H_{i - 1}\leq H_{i}$ であり、これは任意の $h\in H_{i}$ に対してそのどの共役元も $H_{i}$ に属すことを意味するので $H_{i}$ の正規性が従います。

(2) $h\in H_{i + 1}$ を取ります。$[G, H_{i + 1}]\leq H_{i}$ より任意の $g\in G$ に対して $[gH_{i}, hH_{i}] = [g, h]H_{i} = H_{i}$ です。これは $hH_{i}\in Z(G/H_{i})$ を意味します。

(3) 中心の可換性と(2)より明らか。

これは\begin{eqnarray*}h\in \pi^{-1}(Z(G/N)) & \Leftrightarrow & hN\in Z(G/N) \\& \Leftrightarrow & {}^{\forall}g\in G, \ [gN, hN] = N \\& \Leftrightarrow & {}^{\forall}g\in G, \ [g, h]N = N \\& \Leftrightarrow & {}^{\forall}g\in G, \ [g, h] \in N\end{eqnarray*}よりよいです。

(1) 帰納法より示します。$U_{0}\triangleleft G$ は自明です。$U_{i}\triangleleft G$ であったとき、剰余群 $G/U_{i}$ とそこへの射影 $\pi_{i} : G\to G/U_{i}$ が定まり、正規部分群の準同型による逆像である $U_{i + 1} := \pi_{i}^{-1}(Z(G/U_{i}))$ はまた正規部分群です。よって、常に $U_{i}\triangleleft G$ が成立します。

(2) 補題3.4.5から明らかです。

(3) (2)より $[G, U_{i + 1}]\leq U_{i}$ であり、正規部分群どうしの交換子群が正規であることから正規性も従います。

(1) ⇒ (2) 中心列 $\{H_{i}\}_{0\leq i\leq n}$ を取ります。昇中心列 $\{U_{i}\}_{i\in\N}$ と任意の $0\leq i\leq n$ に対して $U_{i}\geq H_{i}$ が成立することを示します。まず、$U_{0}\geq H_{0}$ は自明です。$U_{i}\geq H_{i}$ が分かっているとき、$[G, H_{i + 1}]\leq H_{i}\leq U_{i}$ から任意の $h\in H_{i + 1}$, $g\in G$ に対して $[g, h]\in U_{i}$ であることが分かり、補題3.4.6より\[H_{i + 1}\leq \{h\in G\mid {}^{\forall}g\in G, \ [g, h]\in U_{i}\} = U_{i + 1}\]です。よって、帰納法から全ての $0\leq i\leq n$ に対して $U_{i}\geq H_{i}$ です。特に、$U_{n}\geq H_{n} = G$ です。

(2) ⇒ (1) 補題3.4.6からただちに従います。

(1) ⇒ (3) 中心列 $\{H_{i}\}_{0\leq i\leq n}$ を取ります。降中心列 $\{L_{i}\}_{i\in\N}$ と任意の $0\leq i\leq n$ に対して $L_{i}\leq H_{n - i}$ が成立することを示します。まず、$L_{0}\leq H_{n}$ は自明であり、$L_{i}\leq H_{n - i}$ が分かっているとき\[L_{i + 1} = [G, L_{i}]\leq [G, H_{n - i}]\leq H_{n - (i + 1)}\]です。よって、帰納法から全ての $0\leq i\leq n$ に対して $L_{i}\leq H_{n - i}$ です。特に、$L_{n}\leq H_{0} = e$ です。

(3) ⇒ (1) 降中心列 $\{L_{i}\}_{i\in\N}$ と $L_{n} = e$ となる $n\in \N$ を取れば列\[e = L_{n}\leq L_{n - 1}\leq \dots\leq L_{0} = G\]が中心列になります。

(1) 可換群 $G$ を取ります。降中心列 $\{L_{i}\}_{i\in\N}$ に対して可換性から $L_{1} = [G, G] = e$ です。

(2) 冪零群 $G$ とその部分群 $G'$ を取ります。それぞれの降中心列 $\{L_{i}\}_{i\in\N}$, $\{L'_{i}\}_{i\in\N}$ に対して常に $L'_{i}\leq L_{i}$ であることは明らかであり、$L_{n} = e$ を満たす $n\in \N$ を取ればこの $n$ に対して $L'_{n} = e$ が成立します。よって、$G'$ は冪零です。

(3) 一般に群 $G$ とその正規部分群 $N_{1}, N_{2}$ が与えられたとき、$\pi_{1} : G\to G/N_{1}$, $\pi_{2} : G\to G/N_{2}$ を射影として、$N_{1}\leq N_{2}$ ならば $\pi_{1}^{-1}(Z(G/N_{1}))\leq \pi_{2}^{-1}(Z(G/N_{2}))$ であることが補題3.4.5よりただちに分かります。

冪零群 $G$ とその正規部分群 $N$ を取り、剰余群 $G/N$ が冪零であることを示します。$\pi : G\to G/N$ を剰余群への射影とします。$G, G/N$ の昇中心列 $\{U_{i}\}_{i\in \N}$, $\{U'_{i}\}_{i\in\N}$ を取り、$\pi_{i} : G\to G/U_{i}$, $\pi'_{i} : G/N\to (G/N)/U'_{i}$ を射影とします。まず明らかに $\pi^{-1}(U'_{0})\geq U_{0}$ であり、もし $\pi^{-1}(U'_{i})\geq U_{i}$ が分かっていれば最初の注意と同型 $G/\pi^{-1}(U'_{i})\cong (G/N)/U'_{i}$ より\begin{eqnarray*}U_{i + 1} = \pi_{i}^{-1}(Z(G/U_{i})) & \leq & (\pi'_{i}\circ \pi)^{-1}(Z(G/\pi^{-1}(U'_{i}))) \\& = & (\pi'_{i}\circ \pi)^{-1}(Z((G/N)/U'_{i})) = \pi^{-1}(U'_{i + 1})\end{eqnarray*}です。よって、帰納法より常に $\pi^{-1}(U'_{i})\geq U_{i}$ が成立し、$U_{n} = G$ となる $n\in \N$ に対して $U'_{n} = G/N$ となります。以上より $G/N$ は冪零です。

(4) 一般の群 $G, H$ とそれぞれの部分群 $G', H'$ に対して $[G\times H, G'\times H'] = [G, G']\times [H, H']$ が成立することに注意すれば、冪零群どうしの直積の降中心列がどこかで自明になることは明らかです。

$G$ の中心列 $\{H_{i}\}_{0\leq i\leq n}$ を取ります。$k$ を $H_{i}\leq H$ を満たす最大の $i$ に取ります$H$ が真部分群なので $k < n$ です。。$k$ の取り方から元 $g\in H_{k + 1}\setminus H$ が取れます。$H_{k + 1}/H_{k}\leq Z(G/H_{k})$ であることから\[gHg^{-1} = g\left(\bigcup_{h\in H}hH_{k}\right)g^{-1} = \left(\bigcup_{h\in H}ghg^{-1}H_{k}\right) = \left(\bigcup_{h\in H}hH_{k}\right) = H\]であり、$H$ に属さない元 $g$ が正規化群 $N_{G}(H)$ に属すことになり、これは $H\lneq N_{G}(H)$ を意味します。

(1) ⇒ (2) 素数 $p$ を固定し、対応するSylow $p$ 部分群 $P$ を取り、これが正規部分群であることを示します。$N_{G}(N_{G}(P)) = N_{G}(P)$ を示せば補題3.4.10より $N_{G}(P) = G$ が従うのでこれを示します。$g\in N_{G}(N_{G}(P))$ を取ります。$N_{G}(gPg^{-1}) = gN_{G}(P)g^{-1} = N_{G}(P)$ であり、$gPg^{-1}\leq N_{G}(P)$ ですが、$P$ は $N_{G}(P)$ の唯一のSylow $p$ 部分群なので $gPg^{-1} = P$ です。よって、$g\in N_{G}(P)$ であり、$N_{G}(N_{G}(P))\leq N_{G}(P)$ です。逆の包含関係は自明です。

(2) ⇒ (3) $|G|$ の素因数分解に現れる相異なる素数を $p_{1}, \dots, p_{n}$ とおき、$G$ のSylow $p_{i}$ 部分群を $P_{i}$ とおきます。$i\neq j$ に対し、明らかに $P_{i}\cap P_{j} = \{e\}$ であり、$P_{i}, P_{j}$ の正規性から任意の $g_{i}\in P_{i}$, $g_{j}\in P_{j}$ に対して $g_{i}g_{j} = g_{j}g_{i}$ が成立します$g_{j}g_{i}^{-1}g_{j}^{-1}\in P_{i}$ と $g_{i}g_{j}g_{i}^{-1}\in P_{j}$ から $g_{i}g_{j}g_{i}^{-1}g_{j}^{-1}\in P_{i}\cap P_{j} = \{e\}$ です。。このことから直積 $P := \prod_{i = 1}^{n}P_{i}$ からの準同型 $\varphi : P\to G$ が各 $P_{i}\leq P$ を $P_{i}\leq G$ に恒等的に移すように定まります。各 $i$ に対して $|P_{i}| = |\varphi(P_{i})|\mid|\Img \varphi|$ であることから $|G|\mid |\Img \varphi|$ であり、$\varphi$ が全単射 $($同型$)$ であることが分かります。よって、$G$ はSylow $p$ 部分群の直積に分解します。

(3) ⇒ (1) 冪零群どうしの直積が冪零であるので、$G$ が $p$ 群の場合に示せばよいです。$p$ 群の中心が常に非自明なこと $($補題3.2.38$)$ に注意すれば昇中心列は $G$ に一致するまで狭義に増加し、有限性から必ずどこかで $G$ に一致します。

(3) ⇔ (4) 自明です。

有限群がSylow $p$ 群の直積に分解している場合、各素数 $p$ に対してSylow $p$ 部分群は一意であり、位数が $p$ の元たち $($それら全体でなくともよい$)$ により生成する部分群はそのSylow $p$ 部分群の部分群になることから $p$ 群であることに注意します。

(1) $n\leq 2$ においては $S_{n}$ は可換なので冪零です。$n\geq 3$ においては $S_{n}$ が位数 $2$ の元 $($互換$)$ で生成することと $S_{n}$ の位数が $2$ の冪でないことから冪零ではないです。

(3) $n\leq 3$ においては $A_{n}$ は可換なので冪零です。$n\geq 4$ においては $A_{n}$ が位数 $3$ の元で生成することと $A_{n}$ の位数が $3$ の冪でないことから冪零ではないです。

(1) ⇒ (2) Abel正規列 $e = H_{0}\leq \cdots\leq H_{n} = G$ を取ります。常に $D^{i}G\leq H_{n - i}$ であることを帰納法により示します。$i = 0$ の場合は自明です。$D^{i}G\leq H_{n - i}$ が成立しているとき、$H_{n - (i + 1)}\triangleleft H_{n - i}$ かつ $H_{n - i}/H_{n - (i + 1)}$ が可換であることから\[[H_{n - i}, H_{n - i}]\leq H_{n - (i + 1)}\]であり、一般に群 $K\leq H$ に対して $[K, K]\leq [H, H]$ が成立することと帰納法の仮定より\[D^{i + 1}G = [D^{i}G, D^{i}G]\leq [H_{n - i}, H_{n - i}]\]であるので $D^{i + 1}G\leq H_{n - (i + 1)}$ が従います。よって、常に $D^{i}G\leq H_{n - i}$ が成立し $i = n$ として $D^{n}G = e$ が得られます。

(2) ⇒ (1) $D^{n}G = e$ となる $n\in \N$ を固定して $H_{i} := D^{n - i}G$ と定めればAbel正規列が得られます。

(1) $e = H_{0}\leq H_{1} = G$ がAbel正規列を与えます。

(2) 可解群 $G$ とその部分群 $H$ を取ります。ある $n\in \N$ が存在して $D^{n}G = e$ ですが、常に $D^{i}H\leq D^{i}G$ であることからこの $n$ に対して $D^{n}H = e$ です。よって、$H$ は可解です。

(3) 可解群 $G$ とその正規部分群 $N$ を取ります。$G$ のAbel正規列 $e = H_{0}\leq \cdots\leq H_{n} = G$ を取ります。列\[H_{0}N/N\leq H_{1}N/N\leq \dots H_{n}N/N\]が剰余群 $G/N$ のAbel正規列になることを示せばよいです。$H_{0}N/N = e$ と $H_{n}N/N = G/N$ は明らか。常に $H_{i}N/N\triangleleft H_{i + 1}N/N$ である $($正規列である$)$ ことも明らか。また、包含写像 $H_{i + 1}\to H_{i + 1}N$ が全射準同型 $H_{i + 1}/H_{i}\to (H_{i + 1}N/N)/(H_{i}N/N)$ を誘導することと $H_{i + 1}/H_{i}$ の可換性から $(H_{i + 1}N/N)/(H_{i}N/N)$ は可換です。よって、Abel正規列であることが確かめられました。

(4) 半直積 $N\rtimes H$ は短完全系列 $e\to N\to N\rtimes H\to H\to e$ を与えるので(5)より従います。

(5) $G$ が可解ならばその部分群である $N$ および剰余群である $H$ は可解です。$N, H$ が可解とします。それぞれのAbel正規列\[e\leq N_{0}\leq N_{1}\leq \cdots N_{n} = N,\]\[e\leq H_{0}\leq H_{1}\leq \cdots H_{m} = H\]と射影 $\pi : G\to G/N\cong H$ を取ります。増大列\[N_{0}\leq \dots \leq N_{n} = \pi^{-1}(H_{0})\leq \dots \leq \pi^{-1}(H_{m})\]が $G$ のAbel正規列を与えることを示します。$N_{0} = e$ と $\pi^{-1}(H_{m}) = G$ は明らかです。あと非自明なのは $\pi^{-1}(H_{i})\triangleleft \pi^{-1}(H_{i + 1})$ と $\pi^{-1}(H_{i + 1})/\pi^{-1}(H_{i})$ の可換性ですが、前者は準同型による逆像を取る操作が正規性を保つこと $($命題3.1.62$)$ から、後者は同型定理を用いて\[\pi^{-1}(H_{i + 1})/\pi^{-1}(H_{i})\cong (\pi^{-1}(H_{i + 1})/N)/(\pi^{-1}(H_{i})/N) \cong H_{i + 1}/H_{n}\]となることからよいです。

補題3.4.2より中心列はAbel正規列です。

(1) 各 $n$ に対して短完全系列 $e\to A_{n}\to S_{n}\to \Z_{2}\to e$ の存在から $S_{n}$ の可解性と $A_{n}$ の可解性とは同値であり、(2)に帰着します。

(2) 可解群の部分群が可解であることに注意すれば、次のことを示せば十分です。

(i) 部分集合\[H := \left\{e,\left(\begin{array}{cc}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)\right\}\subset A_{4}\]が可換な正規部分群になるこが直接計算により確かめられ、これがAbel正規列\[e \leq H\leq A_{4}\]を与えます。$|A_{4}/H| = 3$ から $A_{4}/H\cong \Z_{3}$ であることは注意。

(ii) $1, 2, 3, 4, 5$ の任意の並び替え $a, b, c, d, e$ に対して\[\left[\left(\begin{array}{ccc}a & d & c\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}c & b & e\end{array}\right)\right]= \left(\begin{array}{ccc}a & b & c\end{array}\right)\]であることと $A_{n}$ が $\left(\begin{array}{ccc}a & b & c\end{array}\right)$ の形に表されるの元たちによって生成されること $($補足3.3.31$)$ から $[A_{5}, A_{5}] = A_{5}$ であり、全ての $i\in \N$ に対して $D^{i}A_{5} \neq e$ です。