いずれも容易です。

$p = +\infty$ の場合は容易。$p\in [1, +\infty)$ の場合は任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して\[\mu(X(|f_{n} - f| > \varepsilon))\cdot \varepsilon^{p}\leq \int_{X(|f_{n} - f| > \varepsilon)}|f_{n} - f|^{p}d\mu\leq \int_{X}|f_{n} - f|^{p}d\mu\xrightarrow{n\to\infty}0\]と評価できることから従います。

部分列 $\{f_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を全ての $k\in \N$ に対して $\mu(X(|f_{n_{k}} - f| > 2^{-k})) < 2^{-k}$ となるように取ればよいです。実際、各 $A_{k} := \bigcup_{l\geq k}X(|f_{n_{l}} - f| > 2^{-l})$ に対して $\mu(A_{k})\leq 2^{-(k - 1)}$ であることから $A := \underset{k\to\infty}{\varlimsup}X(|f_{n_{k}} - f| > 2^{-k})$ に対して $\mu(A) = 0$ であり、また、各 $x\in X\setminus A$ ごとあるところから先の $k\in \N$ に対して $|f_{n_{k}}(x) - f(x)|\leq 2^{-k}$ なので $\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_{k}}(x) = f(x)$ です。

(a) $\R$ から $\R$ への写像 $f_{n} := 2^{n/p}\cdot \chi_{[0, 2^{-n}]}$, $f := 0$ が反例になります。

(b) ほとんどいたるところ収束していれば任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $\mu(\underset{n\to\infty}{\varlimsup}X(|f_{n} - f| < \varepsilon)) = 0$ であり、有限測度空間においては $\mu$ と $\varlimsup$ が交換できて測度収束が分かります。一般には $\R$ から $\R$ への写像 $f_{n} := \chi_{[n, +\infty)}$, $f := 0$ が反例になります。

各 $n\in \N$ に対して非負値単関数 $g_{n} : X\to [0, +\infty)$ を\[g_{n}(x) := \left\{\begin{array}{ll}\lfloor 2^{n}f_{n}(x)\rfloor/ 2^{n} & (f_{n}(x) < n) \\n & (f_{n}(x)\geq n)\end{array}\right.\]と定めることで広義単調増加な非負値単関数列 $\{g_{n}\}_{n\in\N}$ が取れます。これは $\underset{n\to\infty}{\lim}f_{n}$ に各点収束しており、命題4.6.25より\[\lim_{n\to\infty}\int_{X}g_{n}d\mu = \int_{X}\lim_{n\to\infty}f_{n}d\mu\]です。そして、常に $g_{n}\leq f_{n}\leq \underset{n\to\infty}{\lim}f_{n}$ であることとはさみうちの原理から\[\lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu = \int_{X}\lim_{n\to\infty}f_{n}d\mu\]が従います。

各 $n\in \N$ に対して $\underset{k\geq n}{\inf}f_{k}\leq f_{n}$ なので\[\int_{X}\inf_{k\geq n}f_{k}d\mu\leq \int_{X}f_{n}d\mu\]であり、この下極限を取って\[\varliminf_{n\to\infty}\int_{X}\inf_{k\geq n}f_{k}d\mu\leq \varliminf_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu\]です。列 $\{\underset{k\geq n}{\inf}f_{k}\}_{n\in\N}$ は広義単調増加な非負値可測関数列なので左辺に単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ を適用して\[\int_{X}\varliminf_{n\to\infty}f_{n}d\mu \leq \varliminf_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu\]です。

$f_{n}$ たちは実部と虚部に分けて議論すればよいので最初から実数値であるとします。まず、常に $|f_{n}|\leq g_{n}$ であることから $|f|\leq g$ であり、$g$ の可積分性と合わせて $f$ は可積分です。

等式を示します。常に $g_{n}\pm f_{n}\geq 0$ なのでFatouの補題 $($補題4.7.9$)$ から\[\varliminf_{n\to\infty}\int_{X}g_{n} \pm f_{n}d\mu \geq \int_{X}\varliminf_{n\to\infty}(g_{n} \pm f_{n})d\mu = \int_{X}g \pm fd\mu = \int_{X}gd\mu \pm \int_{X}fd\mu\]です。$\underset{n\to\infty}{\lim}\int_{X}g_{n}d\mu = \int_{X}gd\mu$ より\[\varliminf_{n\to\infty}\int_{X}g_{n}\pm f_{n}d\mu = \int_{X}gd\mu + \varliminf_{n\to\infty}\int_{X}(\pm f_{n})d\mu\]であり、あとは\[\varliminf_{n\to\infty}\int_{X}-f_{n}d\mu = -\varlimsup_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu\]に注意すれば\[\varlimsup_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu \leq \int_{X}fd\mu \leq \varliminf_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu\]です。

$f_{n}$ たちは実部と虚部に分けて議論すればよいので最初から実数値であるとします。まず、常に $|f_{n}|\leq g_{n}$ であることから $|f|\leq g$ であり、$g$ の $p$ 乗可積分性と合わせて $f$ は $p$ 乗可積分です。

等式を示します。$F_{n} := |f_{n} - f|^{p}$ とします。$F_{n}$ は $F := 0$ に各点収束します。いま、$|f_{n}| \leq g_{n}$ と $|f| \leq g$ より\[|f_{n} - f|^{p} \leq (g_{n} + g)^{p} \leq (|g_{n} - g| + 2g)^{p} \leq 2^{p}(|g_{n} - g|^{p} + (2g)^{p})\]であり、$F_{n}$ の優関数として可積分関数 $G_{n} := 2^{p}(|g_{n} - g|^{p} + (2g)^{p})$ が取れますが、この $G_{n}$ は可積分関数 $G := 2^{p}(2g)^{p}$ に各点収束します。また、仮定から\[\lim_{n\to\infty}\int_{X}G_{n}d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_{X}2^{p}|g_{n} - g|^{p}d\mu + \int_{X}2^{p}(2g)d\mu = \int_{X}Gd\mu\]です。よって、この $F_{n}$, $F$, $G_{n}$, $G$ に対して一般化Lebesgue収束定理 $($定理4.7.10$)$ を適用することができ、\[\lim_{n\to\infty}\int_{X}|f_{n} - f|^{p}d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_{X}F_{n}dx = \int_{X}Fd\mu = 0\]が分かります。

一般に第一可算な位相空間 $Y$ 上で定義された実数値関数 $h : Y\to \R$ が点 $y_{0}\in Y$ において連続であるということは $y_{0}$ に収束する $Y$ の任意の点列 $\{t_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $\underset{n\to\infty}{\lim}h(t_{n}) = h(y_{0})$ が成立することと同値であり $($命題2.4.6$)$、主張は仮定とLebesgue収束定理 $($定理4.7.12$)$ から直ちに従います。

まず、任意の $u < v\in J$ に対して常に\[\left|\dfrac{f(x, v) - f(x, u)}{v - u}\right|\leq g(x)\]が成立します。実際、平均値の定理より各 $x\in X$ に対してある $u\leq \theta_{x}\leq v$ が存在して $\tfrac{f(x, v) - f(x, u)}{v - u} = \partial_{t}f(x, \theta_{x})$ であり、その絶対値は $g(x)$ 以下です。

$t_{0}\in J$ を固定し、$t = t_{0}$ における $F(t)$ の微分可能性と等式を示します。$t$ に関する微分可能性から\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x, t_{0} + h) - f(x, t_{0})}{h} = \partial_{t}f(x, t_{0})\]であることと優関数 $g(x)$ の存在から連続版Lebesgue収束定理 $($系4.7.14$)$ を適用して\[\dfrac{F(t_{0} + h) - F(t_{0})}{h} = \int_{X}\dfrac{f(x, t_{0} + h) - f(x, t_{0})}{h}dx\to \int_{X}\partial_{t}f(x, t_{0})dx \ (h\to 0)\]が分かります。これはつまり、$F(t)$ は $t = t_{0}$ において微分可能かつ $\partial_{t}F(t_{0}) = \int_{X}\partial_{t}f(x, t_{0})dx$ を満たすということです。よって、$F$ には導関数 $\partial_{t}F$ が存在して等式を満たします。

各 $\partial^{\alpha}F$ の存在と等式には微分版Lebesgue収束定理 $($系4.7.15$)$ を、連続性には連続版Lebesgue収束定理 $($系4.7.14$)$ を適用すればよいです。

ノルム空間であることは命題4.6.54で済ませてあるので、あとは完備性を示せばよいです。$p = +\infty$ の場合の完備性は明らかなので $p\in [1, +\infty)$ として示します。

$L^{p}(X)$ のCauchy列 $\{f_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。いったん、各 $f_{n}$ ごと適当な代表元を取って可測関数と考えます。狭義単調増加な非負整数列 $\{n_{k}\}_{k\in\N}$ であって任意の $n, m\geq n_{k}$ に対して $\|f_{m} - f_{n}\|_{p} < 4^{-k}$ となるものを取ります。部分列 $\{f_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ がほとんどいたるところ収束することを示します。各 $k\in \N$ に対して $A_{k} := X(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_{k}}| > 2^{-k})$ と定めれば\[2^{-kp}\cdot \mu(A_{k})\leq \int_{A_{k}}|f_{n_{k + 1}} - f_{n_{k}}|^{p}d\mu\leq \|f_{n_{k + 1}} - f_{n_{k}}\|_{p}^{p}\leq 4^{-kp}\]という評価から $\mu(A_{k})\leq 2^{-kp}$ であり $\mu\left(\bigcup_{l > k}A_{l}\right)\leq 2^{-(k - 1)}$ が分かります。$A := \underset{k\to\infty}{\varlimsup}A_{k}$ と定めれば $\mu(A) = 0$ です。あとは各 $x\in X\setminus A$ に対して極限 $\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_{k}}(x)$ が存在することを示せばよいですが、これは、各 $x\in X\setminus A$ に対する列 $\{f_{n_{k}}(x)\}_{k\in\N}$ が、あるところから先の $k\in \N$ で常に $|f_{n_{k + 1}}(x) - f_{n_{k}}(x)|\leq 2^{-k}$ を満たすことからCauchy列なのでよいです。

収束先の関数を $f$ と定め、$f$ の $p$ 乗可積分性と列 $\{f_{n}\}_{n\in\N}$ が $f$ に $L^{p}$ 収束することを示します。まず、広義単調増加な非負値可測関数列 $\{g_{k}\}_{k\in\N}$ と非負値可測関数 $g$ を\[g_{k} := |f_{n_{0}}| + \sum_{l = 0}^{k - 1}|f_{n_{l}} - f_{n_{l + 1}}|, \quad g := |f_{n_{0}}| + \sum_{l = 0}^{\infty}|f_{n_{l}} - f_{n_{l + 1}}|\]により定めれば単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ より\[\int_{X}g^{p}d\mu = \lim_{k\to\infty}\int_{X}g_{k}^{p}d\mu \leq \left(\|f_{n_{0}}\|_{p} + \sum_{k = 0}^{\infty}\|f_{n_{k}} - f_{n_{k + 1}}\|_{p}\right)^{p} < +\infty\]であり、$g$ は $p$ 乗可積分です。常に $|f_{n_{k}}|\leq g$ であることとLebesgue $L^{p}$ 収束定理 $($定理4.7.13$)$ より $f$ の $p$ 乗可積分性と $L^{p}$ 収束 $f_{n_{k}}\xrightarrow{L^{p}} f \ (k\to \infty)$ が従います。各 $m\in \N$ に対して $n_{k}\leq m$ となる最大の $k$ を $\varphi(m)$ で表すとして\[\|f_{m} - f\|_{p}\leq \|f_{m} - f_{n_{\varphi(m)}}\|_{p} + \|f_{n_{\varphi(m)}} - f\|_{p}\to 0 \ (m\to \infty)\]であるので $L^{p}$ 収束 $f_{n}\xrightarrow{L^{p}} f \ (n\to \infty)$ が従います。

(1) まず、$f$ が単関数であれば明らかです。一般には $f$ に各点収束する単調増加な単関数列 $\{f_{n}\}_{n\in\N}$ を取って単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ を適用することで\[\int_{X}fd\mu = \lim_{n\to\infty}\int_{X}f_{n}d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_{[0, +\infty)}\mu(X(f_{n} > t))dt = \int_{[0, +\infty)}\mu(X(f > t))dt\]です。

(2) (1)より\[\int_{X}fd\mu = \int_{[0, +\infty)}\mu(X(f > t))dt \leq \int_{[0, +\infty)}\mu(X(g > t))dt = \int_{X}gd\mu\]です。

Lebesgue収束定理 $($定理4.7.12$)$ より\[\lim_{r\to +\infty}\int_{X(f > r)}fd\mu = \int_{X(f = +\infty)}fd\mu\]ですが、$f$ の可積分性から $\mu(X(f = +\infty)) = 0$ なので右辺は $0$ です。

補題4.7.19よりある非負実数 $r\in [0, +\infty)$ であって $\int_{X(f > r)}fd\mu < \varepsilon$ となるものが存在します。$\delta := \mu(X(f > r))$ と定めれば $\mu(E) < \delta$ を満たす $E\in \mathcal{M}$ に対して常に\[\mu(E(f > t))\leq \mu(X(f > t)\cap X(f > r))\]であり、補題4.7.18より\[\int_{E}fd\mu\leq \int_{X(f > r)}fd\mu < \varepsilon\]です。

(1) ⇒ (i) 命題4.7.5です。

(1) ⇒ (ii) (1)より非負整数 $N$ であって任意の $n\geq N$ に対して $\int_{X}|f_{n} - f|^{p}d\mu < \varepsilon/3$ となるものを取ります。補題4.7.20より各 $n\in \N$ に対して正実数 $\delta_{n} > 0$ であって任意の $E\in \mathcal{M}$ に対して $\mu(E) < \delta_{n}$ ならば $\int_{E}|f_{n}|^{p}d\mu < \varepsilon/3$ となるものを固定し、$\delta := \underset{n\leq N}{\min}\delta_{n}$ と定めます。このとき、$\mu(E) < \delta$ を満たす $E\in \mathcal{M}$ に対して\[\int_{E}|f_{n}|^{p}d\mu\leq \left\{\begin{array}{ll}\varepsilon/3 & (n < N) \\\int_{E}|f_{N}|^{p} + |f_{N} - f|^{p} + |f_{n} - f|^{p}d\mu & (n\geq N)\end{array}\right\} < \varepsilon\]です。

(1) ⇒ (iii) (1)より非負整数 $N$ であって任意の $n\geq N$ に対して $\int_{X}|f_{n} - f|^{p}d\mu < \varepsilon/3$ となるものを取ります。Lebesgue収束定理 $($定理4.7.12$)$ より各 $n\in \N$ に対して\[\lim_{r\to +0}\int_{X(|f_{n}| < r)}fd\mu = \int_{X}0d\mu = 0\]であり、このことから各 $n\in \N$ に対して $\int_{X(|f_{n}| < r_{n})}|f_{n}|^{p}d\mu < \varepsilon/3$ となる正実数 $r_{n} > 0$ を固定して $E := \bigcup_{n\leq N}X(|f_{n}|\geq r_{n})$ と定めます。各 $n\in \N$ に対して\[\mu(X(|f_{n}|\geq r_{n}))\cdot r_{n}^{p}\leq \int_{X(|f_{n}|\geq r_{n})}|f_{n}|^{p}d\mu < +\infty\]という評価があるので $\mu(E) < +\infty$ です。そして\[\int_{E^{c}}|f_{n}|^{p}d\mu\leq \left\{\begin{array}{ll}\varepsilon/3 & (n < N) \\\int_{E^{c}}|f_{N}|^{p} + |f_{N} - f|^{p} + |f_{n} - f|^{p}d\mu & (n\geq N)\end{array}\right\} < \varepsilon\]です。

(2) ⇒ (1) 以下の流れで示します。

(step 1) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。(iii)より $\mu(E) < +\infty$ を満たす $E\in \mathcal{M}$ であって任意の $n\in \N$ に対して $\int_{E^{c}}|f_{n}|^{p}d\mu < \varepsilon^{p}/5$ を満たすものを取ります。(ii)より正実数 $\delta > 0$ を任意の $E'\in \mathcal{M}$ と $n\in \N$ に対して $\mu(E') < \delta$ ならば $\int_{E'}|f_{n}|^{p}d\mu < \varepsilon^{p}/5$ となるように取ります。そして、(i)より非負整数 $N\in \N$ を任意の $n, m\geq N$ に対して $\mu(X(|f_{m} - f_{n}|^{p} > \varepsilon^{p}/5\mu(E))) < \delta$ となるように取ります。このとき任意の $n, m\geq N$ に対して\begin{eqnarray*}\|f_{m} - f_{n}\|_{p}^{p} & \leq & \int_{E^{c}\sqcup E(|f_{m} - f_{n}|^{p} > \varepsilon^{p}/5\mu(E))}|f_{n}|^{p} + |f_{m}|^{p}d\mu + \int_{E(|f_{m} - f_{n}|^{p}\leq \varepsilon^{p}/5\mu(E))}|f_{m} - f_{n}|^{p}d\mu \\& \leq & 4\varepsilon^{p}/5 + \varepsilon^{p}/5 = \varepsilon^{p}\end{eqnarray*}です。よって、$\{f_{n}\}_{n\in\N}$ はCauchy列である。

(step 2) $L^{p}$ 空間の完備性 $($定理4.7.17$)$ からある $p$ 乗可積分関数 $g$ が存在して $f_{n}\xrightarrow{L^{p}} g \ (n\to \infty)$ ですが、$L^{p}$ 収束が測度収束であったことと測度収束極限の一意性から $g = f$ です。

少なくとも冪集合 $2^{X}$ が $\mathcal{A}$ を含む単調族として存在することに注意すれば、あとは簡単な定義の確認です。

$\sigma(\mathcal{F})$ が $\mathcal{F}$ を含む単調族であることは明らかであり、$\mathcal{M}(\mathcal{F})\subset \sigma(\mathcal{F})$ です。

逆の包含関係を次の流れで示します。

(step 1) $\varnothing\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ は自明。$E\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ に対して $E^{c}\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ であることは部分集合族\[\mathcal{A} := \{E\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\mid E^{c}\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\}\]が $\mathcal{F}$ を含む単調族であり$\mathcal{A}$ の元による広義単調増加列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ に対し、列 $\{A_{n}^{c}\}_{n\in\N}$ が $\mathcal{A}$ の元による広義単調減少列であることに注意して\[(\lim_{n\to\infty}A_{n})^{c} = \lim_{n\to\infty}A_{n}^{c}\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\]であり、$\underset{n\to\infty}{\lim}A_{n}\in \mathcal{A}$ です。広義単調減少列の極限に対しても同様です。、つまりは $\mathcal{M}(\mathcal{F})$ に一致することからよいです。あとは $E, F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ に対して $E\cap F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ であることを示せばよいです。まず、部分集合族\[\mathcal{B} := \{E\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\mid {}^{\forall}F\in \mathcal{F}, E\cap F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\}\]は $\mathcal{F}$ を含む単調族であり、$\mathcal{M}(\mathcal{F})$ に一致します。このことから\[\mathcal{C} := \{E\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\mid {}^{\forall}F\in \mathcal{M}(\mathcal{F}), E\cap F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})\}\]は $\mathcal{F}$ を含み、さらに $\mathcal{C}$ が単調族であることも明らかであり、これも $\mathcal{M}(\mathcal{F})$ に一致します。これより任意の $E, F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ に対して $E\cap F\in \mathcal{M}(\mathcal{F})$ です。以上により $\mathcal{M}(\mathcal{F})$ は有限加法族です。

(step 2) $\mathcal{D}$ の可算列 $\{E_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $\bigcup_{n\in\N}E_{n}\in \mathcal{D}$ を示せばよいです。$F_{n} := \bigcup_{k = 0}^{n}E_{n}$ とおいて広義単調増加列 $\{F_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。$\mathcal{D}$ の有限加法性から $F_{n}\in \mathcal{D}$ であり、また、$\mathcal{D}$ が単調族であることから\[\bigcup_{n\in\N}E_{n} = \lim_{n\to\infty}F_{n}\in \mathcal{D}\]となります。よって、$\mathcal{D}$ は $\sigma$ 加法族です。

(step 3) 以上から $\mathcal{M}(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ を含む $\sigma$ 加法族であり、$\sigma(\mathcal{F})\subset \mathcal{M}(\mathcal{F})$ です。

$\mathcal{M}\times \mathcal{N} := \{E\times F\subset Z\mid E\in \mathcal{M}, F\in\mathcal{N}\}$ で生成する有限加法族を $\mathcal{F}$ とします。

(1) $\mathcal{L}$-可測集合 $E\in \mathcal{L}$ であって次の条件を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とおきます。

この $\mathcal{A}$ が $\mathcal{L}$ に一致することを示せばよいですが、$\mathcal{A}$ が $\mathcal{F}$ を含む単調族であることを示せば補題4.7.25より\[\mathcal{L}\supset \mathcal{A}\supset \mathcal{M}(\mathcal{F}) = \sigma(\mathcal{F}) = \mathcal{L}\]であり $\mathcal{A} = \mathcal{L}$ が分かります。$\mathcal{F}\subset \mathcal{A}$ は明らかであり$\mathcal{F}$ の元は $\mathcal{M}$ の元と $\mathcal{N}$ の元の直積たち有限個の直和として表せました。、あとは $\mathcal{A}$ が単調族であることを示せばよいです。

$\mathcal{A}$ の元による広義単調増加列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $A := \underset{n\to\infty}{\lim}A_{n}\in \mathcal{A}$ を示します。まず、全ての $x\in X$ に対して $A_{x} = \underset{n\to\infty}{\lim}(A_{n})_{x}\in \mathcal{N}$ です。そして、関数 $\nu(A_{x})$ は $\mathcal{M}$-可測関数列 $\{\nu((A_{n})_{x})\}_{n\in\N}$ の極限であるので $\mathcal{M}$-可測です。よって、$A\in \mathcal{A}$ です。$\mathcal{A}$ の元による広義単調減少列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $A := \underset{n\to\infty}{\lim}A_{n}\in \mathcal{A}$ であることも同様であり、$\mathcal{A}$ は単調族です。

(2) (1)と同じです。

(3) $\mathcal{L}$-可測集合 $E\in \mathcal{L}$ であって次の条件を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とおきます。

この $\mathcal{A}$ が $\mathcal{L}$ に一致することを示せばよいですが、そのためには $\mathcal{A}$ が $\mathcal{F}$ を含む単調族であることを示せばよいです。$\mathcal{F}\subset \mathcal{A}$ は明らかであり、あとは $\mathcal{A}$ が単調族であることを示せばよいです。

$\mathcal{A}$ の元による広義単調増加列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $A := \underset{n\to\infty}{\lim}A_{n}\in \mathcal{A}$ であることは単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ より\[\xi(A) = \lim_{n\to\infty}\xi(A_{n}) = \lim_{n\to\infty}\int_{X}\nu((A_{n})_{x})dx = \int_{X}\nu(A_{x})dx\]なのでよいです。

$\mathcal{A}$ の元による広義単調減少列 $\{A_{n}\}_{n\in\N}$ に対して $A := \underset{n\to\infty}{\lim}A_{n}\in \mathcal{A}$ であることは $\xi(Z) = \int_{X}\nu(Y)dx < +\infty$ に注意すればLebesgue収束定理 $($定理4.7.12$)$ から\[\xi(A) = \lim_{n\to\infty}\xi(A_{n}) = \lim_{n\to\infty}\int_{X}\nu((A_{n})_{x})dx = \int_{X}\nu(A_{x})dx\]なのでよいです。

(4) (3)と同じです。

広義単調増加な $\mathcal{M}$-可測集合列 $\{X_{n}\}_{n\in\N}$ を $\underset{n\to\infty}{\lim}X_{n} = X$ かつ常に $\mu(X_{n}) < +\infty$ であるように取り、広義単調増加な $\mathcal{N}$-可測集合列 $\{Y_{n}\}_{n\in\N}$ を $\underset{n\to\infty}{\lim}Y_{n} = Y$ かつ常に $\nu(Y_{n}) < +\infty$ であるように取ります。また、$f$ に各点収束する広義単調増加な非負値単関数列 $\{h_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。列 $\{f_{n} := h_{n}\cdot \chi_{X_{n}\times Y_{n}}\}_{n\in\N}$ を取れば、これは $f$ に各点収束する広義単調増加な非負値単関数列であり、さらに各 $f_{n}$ について(1)から(3)に相当する性質が成立することが補題4.7.26より容易に分かります。

(1) $x\in X$ を固定するとして、各 $f_{n}(x, y)$ が $\mathcal{N}$-可測なのでその極限である $f(x, y)$ も $\mathcal{N}$-可測です。単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ より $\underset{n\to\infty}{\lim}\int_{Y}f_{n}(x, y)dy = \int_{Y}f(x, y)dy$ であり、各 $\int_{Y}f_{n}(x, y)dy$ が $x$ の関数として $\mathcal{M}$-可測であることと合わせて $\int_{Y}f(x, y)dy$ は $\mathcal{M}$-可測です。

(2) (1)と同じです。

(3) 最初の等式は単調収束定理より\[\int_{Z}f(z)dz = \lim_{n\to\infty}\int_{Z}f_{n}(z)dz = \lim_{n\to\infty}\int_{X}\int_{Y}f_{n}(x, y)dydx = \int_{X}\lim_{n\to\infty}\int_{Y}f_{n}(x, y)dydx = \int_{X}\int_{Y}f(x, y)dydx\]でありよいです。残りも同じです。

命題4.6.34と補題4.7.27より明らかです。

$f$ を $f_{+} := \max\{f, 0\}$ と $f_{-} := \max\{-f, 0\}$ の差 $f_{+} - f_{-}$ に分けて補題4.7.27を適用すればよいです。

(1) $f$ の $\xi$-可積分性と補題4.7.27より\[\int_{X}\int_{Y}f_{\pm}(x, y)dydx < +\infty\]であり、まず $\int_{Y}f_{\pm}(x, y)dy$ は $\mu$-可積分です。ほとんど全ての $x\in X$ に対して $\int_{Y}f_{\pm}(x, y)dy < +\infty$ であり、よって、ほとんど全ての $x\in X$ に対して $f(x, y)$ は $\nu$-可積分です。

(2) (1)と同じです。

(3) もう自明です。

$(X, \mathcal{M}, \mu)$ と $(Y, \mathcal{N}, \nu)$ の直積測度空間を $(Z, \mathcal{L}', \xi')$ で表すとして、$E$ を含む $\xi'$-零集合 $E'$ を取っておきます $($系4.5.31$)$。

(1) この $E'$ についてFubiniの定理 $($定理4.7.22$)$ より\[\int_{X}\nu(E'_{x})dx = \xi'(E') = 0\]であり、ほとんど全ての $x\in X$ に対して $\nu(E'_{x}) = 0$ です $($補題4.6.45$)$。そして、そのような $x\in X$ について $Y$ の完備性より $\nu$-零集合 $E'_{x}$ の部分集合である $E_{x}$ は $\nu$-零集合です。

(2) (1)と同じです。

各 $r\in \Q$ に対して $\mathcal{M}$-可測集合 $E_{r}$ を $E_{r}\subset X(f\geq r)$ かつ $\overline{\mu}(X(f\geq r)\setminus E_{r}) = 0$ に取ります。そして、関数 $g$ を\[g(x) := \sup\{r\in \Q\mid x\in E_{r}\}\]と定めます。次によりこれが主張の条件を満たす $\mathcal{M}$-可測関数と分かります。

(i) 各 $r\in \R$ に対して $X(g\geq r) = \bigcap_{s\in\Q, \, s < r}\bigcup_{t\in\Q, \, t\geq s}E_{t}$ であり、これは $\mathcal{M}$-可測集合です。

(ii) 各 $x\in \left(\bigcup_{r\in\Q}X(f\geq r)\setminus E_{r}\right)^{c}$ と $r\in \Q$ に対して $x\in E_{r}\Leftrightarrow f(x)\geq r$ なのでそうです。

(iii) 自明です。

$(X, \mathcal{M}, \mu)$ と $(Y, \mathcal{N}, \nu)$ の直積測度空間を $(Z, \mathcal{L}', \xi')$ で表すとして、補題4.7.31より $\mathcal{L}'$-可測関数 $g : Z\to \overline{\R}$ を $\xi(Z(f\neq g)) = 0$ に取ります。この $g$ は $\xi'$-可積分であり、定理4.7.22が成立します。

(1) 補題4.7.30よりほとんど全ての $x\in X$ に対して $Y(f(x, y)\neq g(x, y)) = Z(f\neq g)_{x}$ は $\nu$-零集合です。また、定理4.7.22よりほとんど全ての $x\in X$ に対して $g(x, y)$ は $y$ の関数として $\nu$-可積分です。$\xi(Z(f\neq g)_{x}) = 0$ かつ $g(x, y)$ が $\nu$-可積分となる $x\in X$ に対しては $f(x, y)$ も $\nu$-可積分であり、よって、ほとんど全ての $x\in X$ に対して $f(x, y)$ は $\nu$-可積分です。そのような $x\in X$ についてさらには $\int_{Y}f(x, y)dy = \int_{Y}g(x, y)dy$ であるので、$\int_{Y}g(x, y)dy$ の $\mu$-可積分性と合わせて $\int_{Y}f(x, y)dy$ は $\mu$-可積分です。

(2) (1)と同じです。

(3) 最初の等号は定理4.7.22より\[\int_{Z}f(z)d\xi = \int_{Z}g(z)d\xi' = \int_{X}\int_{Y}g(x, y)d\nu d\mu = \int_{X}\int_{Y}f(x, y)d\nu d\mu \]なのでよく、残りも同様です。

Affine変換 $\varphi$ は基本行列の定める線型変換の列 $\varphi_{1},\dots, \varphi_{n}$ と平行移動 $\psi$ の合成 $\psi\circ \varphi_{n}\circ \dots\circ \varphi_{1}$ として表すことができ、各 $\varphi_{k}$ が正則行列 $A_{k}$ に対応しているとすれば $|\det A| = \prod_{k = 1}^{n}|\det A_{k}|$ であるので、結局 $\varphi$ が次の場合に示せばよいです。

どの場合も同じなので、$A$ が行基本変形として $k$ 行目に $l \ (\neq k)$ 行目の $c$ 倍を加える行列の場合 $($$A = E_{m} + cE_{kl}$$)$ を以下の流れで示します。ただし、$\mathcal{B}^{m}$ で $\R^{m}$ から標準的に定まるBorel集合族、$\mathcal{L}^{m}$ で $\R^{m}$ のLebesgue可測集合族を表すとします。

(step 1) $E\in \mathcal{B}^{m}$ とします。同相写像による像 $\varphi(E)$ は当然 $\mathcal{B}^{m}$ に属します $($命題4.5.40$)$。ここで補題4.7.26より\begin{eqnarray*}\mu(\varphi(E)) & = & \int_{\R^{m}}\chi_{\varphi(E)}d\mu \\& = & \int_{\R}\dots \int_{\R}\chi_{\varphi(E)}(x_{1}, \dots, x_{m})dx_{1}\dots dx_{m} \\& = & \int_{\R}\dots \int_{\R}\chi_{\varphi(E)}(x_{1}, \dots, x_{m})dx_{k}dx_{1}\dots \hat{dx_{k}}\dots dx_{m} \\& = & \int_{\R}\dots \int_{\R}\chi_{E}(x_{1}, \dots, x_{m})dx_{k}dx_{1}\dots \hat{dx_{k}}\dots dx_{m} \\& = & \int_{\R}\dots \int_{\R}\chi_{E}(x_{1}, \dots, x_{m})dx_{1}\dots dx_{m} \\& = & \int_{\R^{m}}\chi_{E}d\mu = \mu(E)\end{eqnarray*}となります。この場合は $|\det A| = 1$ であるので等式が成立しています。

(step 2) $E\in \mathcal{L}^{m}$ とします。$F, G\in \mathcal{B}$ を $F\subset E\subset G$ かつ $\mu(G\setminus F) = 0$ に取ります $($系4.5.31$)$。$\mu(F) = \mu(E) = \mu(G)$ です。そして、(step 1)より\[|\det A|\cdot \mu(E) = \mu(\varphi(F))\leq \mu(\varphi(E))\leq \mu(\varphi(G)) = |\det A|\cdot \mu(E)\]であり、$\mu(\varphi(E)) = |\det A|\cdot \mu(E)$ です。

(a) 自明です。

(b) 完全加法性はLebesgue収束定理 $($定理4.7.12$)$ から分かります。

(1) $0 = \varPhi(\varnothing)\leq \underset{A\in\mathcal{M}, \, A\subset E}{\sup}\varPhi(A) = \overline{V}(\varPhi, E)$.

(2) (1)と同じです。

(3) (1)と(2)より明らかです。

(4) (5) 定義より明らかです。

(6) 任意の $A\subset E\cup F$ に対して\[\varPhi(A) = \varPhi(A\cap E) + \varPhi(A\cap (F\setminus E))\leq \overline{V}(E) + \overline{V}(F\setminus E)\leq \overline{V}(E) + \overline{V}(F)\]なので上限を取って $\overline{V}(E\cup F)\leq \overline{V}(E) + \overline{V}(F)$ です。同様に $\underline{V}(E\cup F)\geq \underline{V}(E) + \underline{V}(F)$ が分かります。これらと(3)から主張が従います。

(7) $V(X) = +\infty$ として矛盾を導きます。まず、$V(E) = +\infty$ を満たす可測集合 $E$ に対して互いに非交叉な可測集合 $A, B\subset E$ であって $|\varPhi(A)|\geq 1$ かつ $V(B) = +\infty$ を満たすものが存在することを示します。まず、$V(E) = +\infty$ より $\overline{V}(E) = +\infty$ または $\underline{V}(E) = -\infty$ であるので、ある可測集合 $F\subset E$ であって $|\varPhi(F)|\geq 1$ を満たすものが取れます。ここで、$V(E\setminus F) = +\infty$ であれば $A := F$, $B = E\setminus F$ とすればよいので $V(E\setminus F) < +\infty$ とします。このとき、(6)より $V(F) = +\infty$ です。そこで可測集合 $G\subset F$ を $|\varPhi(G)|\geq |\varPhi(F)| + 1$ に取ります。$|\varPhi(F\setminus G)| = |\varPhi(F) - \varPhi(G)|\geq 1$ です。もし $V(F\setminus G) = +\infty$ であれば $A := G$, $B := F\setminus G$ とすればよく、$V(F\setminus G) < +\infty$ であれば $V(G) = +\infty$ なので $A := F\setminus G$, $B := G$ とすればよいです。

このことより互いに非交叉な可測集合列 $\{E_{n}\}_{n\in\N}$ であって常に $|\varPhi(E_{n})|\geq 1$ を満たすものが取れますが、これは $\varPhi$ の完全加法性に矛盾します。

$\K = \R$ の場合は任意の可測集合 $E$ に対して $|\varPhi(E)|\leq V(X) < +\infty$ であり有界です。$\K = \C$ の場合も実部と虚部がそれぞれ有界なのでそうです。

(1) 互いに非交叉な可測集合列 $\{E_{n}\}_{n\in\N}$ を取り、$E := \bigsqcup_{n\in\N}E_{n}$ と定めます。正実数 $\varepsilon > 0$ を取り、各 $n\in \N$ に対して可測集合 $A_{n}\subset E_{n}$ を $\overline{V}(E_{n}) - 2^{-n}\varepsilon\leq \varPhi(A_{n})$ であるように取り、$A := \bigsqcup_{n\in\N}A_{n}$ と定めます。このとき\[\sum_{n\in \N}\overline{V}(E_{n}) - 2\varepsilon\leq \sum_{n\in\N}\varPhi(A_{n}) = \varPhi(A)\leq \overline{V}(E)\]です。$\varepsilon > 0$ が任意であることから $\sum_{n\in\N}\overline{V}(E_{n})\leq \overline{V}(E)$ が従います。また、任意の可測集合 $A\subset E$ に対して\[\varPhi(A) = \sum_{n\in\N}\varPhi(A\cap E_{n})\leq \sum_{n\in\N}\overline{V}(E_{n})\]なので $\overline{V}(E)\leq \sum_{n\in\N}\overline{V}(E_{n})$ です。よって、$\overline{V}(E) = \sum_{n\in\N}\overline{V}(E_{n})$ です。単調増加であることは自明です。

(2) (1)と同じです。

可測集合列 $\{E_{n}\}_{n\in\N}$ を常に $\overline{V}(X) - 2^{-n}\leq \varPhi(E_{n})$ であるように取ります。任意の $A, B\in \mathcal{M}$ に対して\begin{eqnarray*}\overline{V}(X) - \varPhi(A\cap B) & = & (\overline{V}(X) - \varPhi(A)) + (\overline{V}(X) - \varPhi(B)) - (\overline{V}(X) - \varPhi(A\cup B)) \\& \leq & (\overline{V}(X) - \varPhi(A)) + (\overline{V}(X) - \varPhi(B))\end{eqnarray*}が成立することから任意の $n\leq m\in \N$ に対して\[\overline{V}(X) - \varPhi\left(\bigcap_{k = n}^{m}E_{k}\right)\leq \sum_{k = n}^{m}(\overline{V}(X) - \varPhi(E_{k}))\leq \sum_{k = n}^{m}2^{-k}\]と評価でき、$m\to \infty$ と極限を取って\[\varPhi\left(\bigcap_{k = n}^{\infty}E_{k}\right)\geq \overline{V}(X) - 2\cdot 2^{-n}\]です。さらに $n\to \infty$ と極限を取って\[\varPhi\left(\varliminf_{n\to\infty}E_{n}\right)\geq \overline{V}(X)\]です。逆向きの不等式が成立することは明らかであり、$E := \underset{n\to\infty}{\varliminf}E_{n}$ とおけば $\varPhi(E) = \overline{V}(X)$ です。

この $E$ が主張の条件を満たすことを示します。まず、任意の可測集合 $A\subset E^{c}$ に対して\[\overline{V}(X)\geq \varPhi(E\sqcup A) = \varPhi(E) + \varPhi(A) = \overline{V}(X) + \varPhi(A)\]より $\varPhi(A)\leq 0$ なので $\overline{V}(E^{c}) = 0$ です。そして、任意の可測集合 $A\subset E$ に対して\[\varPhi(A) = \varPhi(E) - \varPhi(E\setminus A) = \overline{V}(X) - \varPhi(E\setminus A)\geq 0\]なので $\underline{V}(E) = 0$ です。

Hahn分解定理 $($定理4.7.39$)$ より可測集合 $E\in \mathcal{M}$ を $\overline{V}(E^{c}) = \underline{V}(E) = 0$ に取ります。任意の可測集合 $B\subset E$ に対して $\varPhi(B)\geq 0$ であり、任意の可測集合 $A\subset E$ に対して\[\varPhi(A) = \sup_{B\in\mathcal{M}, \, B\subset A}\varPhi(B) = \overline{V}(A)\]です。同様に、任意の可測集合 $A\subset E^{c}$ に対して $\varPhi(A) = \underline{V}(A)$ です。よって、任意の可測集合 $A\in \mathcal{M}$ に対して\begin{eqnarray*}\varPhi(A) = \varPhi(A\cap E) + \varPhi(A\cap E^{c}) & = & \overline{V}(A\cap E) + \underline{V}(A\cap E^{c}) \\& = & \overline{V}(A\cap E) + \overline{V}(A\cap E^{c}) + \underline{V}(A\cap E) + \underline{V}(A\cap E^{c}) \\& = & \overline{V}(A) + \underline{V}(A)\end{eqnarray*}です。

いずれも容易です。

もし絶対連続な加法的集合関数 $F_{1}, F_{2}$ と特異な加法的集合関数 $\varPsi_{1}, \varPsi_{2}$ が $F_{1} + \varPsi_{1} = F_{2} + \varPsi_{2}$ を満たしているとすると $F_{1} - F_{2} = \varPsi_{2} - \varPsi_{1}$ であり、絶対連続かつ特異な加法的集合関数が自明なものに限られることから $F_{1} = F_{2}$ と $\varPsi_{1} = \varPsi_{2}$ が従います。これが分解 $\varPhi = F + \varPsi$ の一意性を意味します。

分解の存在について示します。$\K = \C$ の場合は実部と虚部に分ければよいので $\K = \R$ の場合に帰着でき、Jordan分解定理 $($定理4.7.40$)$ より単調増加な場合に帰着できます。また、有限測度空間について主張が成立していれば一般の $\sigma$ 有限な測度空間に対しては高々可算個の有限測度空間の直和に表してから直和成分ごとに主張を適用して示せるので、最初から $\mu(X) < +\infty$ としてよいです。

非負値可測関数 $g : X\to [0, +\infty]$ であって全ての可測集合 $E$ に対して\[\int_{E}gd\mu\leq \varPhi(E)\]を満たすもの全体を $\mathcal{C}$ で表し、$C := \underset{g\in \mathcal{C}}{\sup}\int_{X}gd\mu$ とおきます。明らかに $0\leq C\leq \varPhi(X)$ です。$\mathcal{C}$ の元の列 $\{g_{n}\}_{n\in\N}$ を常に $C - \int_{X}g_{n}d\mu < 2^{-n}$ であるように取り、$h_{n} := \max\{g_{0}, \dots, g_{n}\}$ として広義単調増加列 $\{h_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。任意の $p, q\in \mathcal{C}$ に対して $\max\{p, q\}\in \mathcal{C}$ であることから任意の可測集合 $E$ に対して\[\int_{E}\max\{p, q\}d\mu = \int_{E(p < q)}qd\mu + \int_{E(q\leq p)}pd\mu\leq \varPhi(E)\]です。各 $h_{n}$ は $\mathcal{C}$ に属します。もちろん $0\leq C - \int_{X}h_{n}d\mu < 2^{-n}$ を満たします。

$f := \underset{n\to\infty}{\lim}h_{n}$ とし、写像 $F : \mathcal{M}\to \R$ を $F(E) := \int_{E}fd\mu$ により定め、さらに $\varPsi := \varPhi - F$ と定めます。次のことを示せばよいです。

(i) 可測集合 $E$ に対して $F(E)$ が実数値として定まっていることと $F$ の完全加法性は単調収束定理 $($補題4.7.8$)$ から従い、$F$ は加法的集合関数です。そして、零集合上の積分が自明なことから絶対連続です。

(ii) $\varPsi$ が加法的集合関数であることは自明。単調収束定理より任意の可測集合 $E$ に対して\[F(E) = \int_{E}fd\mu = \lim_{n\to\infty}\int_{E}h_{n}d\mu\leq \varPhi(E)\]であり、$\varPsi$ は単調増加です。

Hahn分解定理より各正整数 $k\in \Np$ に対して可測集合 $N_{k}$ を $\overline{V}(\varPsi - k^{-1}\mu, N_{k}^{c}) = \underline{V}(\varPsi - k^{-1}\mu, N_{k}) = 0$ に取ります。任意の可測集合 $E$ に対して\begin{eqnarray*}\varPhi(E) - \int_{E}f + k^{-1}\chi_{N_{k}}d\mu & = & \varPhi(E\cap N_{k}) - \int_{E\cap N_{k}}f + k^{-1}d\mu + \varPhi(E\cap N_{k}^{c}) - \int_{E\cap N_{k}^{c}}fd\mu \\& = & (\varPsi - k^{-1}\mu)(E\cap N_{k}) + \varPsi(E\cap N_{k}^{c}) \geq 0\end{eqnarray*}なので $f + k^{-1}\chi_{N_{k}}\in \mathcal{C}$ です。ここで単調収束定理より $\int_{X}fd\mu = C$ なので\[C = \sup_{g\in \mathcal{C}}\int_{X}gd\mu \geq \int_{X}(f + k^{-1}\chi_{N_{k}})d\mu = C + k^{-1}\mu(N_{k})\geq C\]が分かり $\mu(N_{k}) = 0$ が得られます。また、$\overline{V}(\varPsi - k^{-1}\mu, N_{k}^{c}) = 0$ より任意の可測集合 $E\subset X\setminus N_{k}$ に対して $\varPsi(E)\leq k^{-1}\mu(E)$ です。

$N := \bigcup_{k\in\Np}N_{k}$ と定めればこれは零集合であり、任意の可測集合 $E\subset X\setminus N$ に対して $\varPsi(E) = 0$ が成立するので $\varPsi$ は特異です。

以上で絶対連続な加法的集合関数 $F$ と特異な加法的集合関数 $\varPsi$ による分解 $\varPhi = F + \varPsi$ と $F(E) = \int_{E}fd\mu$ を満たす可積分関数 $f$ が得られました。

まず、$h(x, y) := f(x - y)g(y)$ は $\R^{2m}$ 上で定義されたLebesgue可測関数であり$f(x)g(y)$ とAffine変換の合成なため。、Fubiniの定理より $f * g$ はほとんどいたるところ定まっていればLebesgue可測関数です補題4.7.31により $h(x, y)$ をBorel可測関数 $h'(x, y)$ で取り換え、その後に $h'_{\pm} := \max\{\pm h', 0\}$ に対してFubiniの定理 $($補題4.7.27$)$ を適用してBorel可測関数 $\int_{\R^{m}}h'_{\pm}(x, y)dy$ が得られます。$f * g$ はこれらの差にほとんどいたるところ一致するのでLebesgue可測関数です。。

以下の場合に分けて示します。

(i) $p = +\infty$ のときは $q = 1$ なので $r = +\infty$ となり、$q = +\infty$ のときも同じく $r = +\infty$ となります。よって、$r = +\infty$ の場合を示せばよいですが、この場合は任意の $x\in \R^{m}$ に対してHölder不等式 $($命題4.6.51$)$ より\[|f * g(x)| \leq \left|\int_{\R^{m}}f(x - y)g(y)dy\right| \leq \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\]なので $\|f * g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$ です。

(ii) $p^{-1} + (p/(p - 1))^{-1} = 1$ としたHölder不等式より\begin{eqnarray*}\int_{\R^{m}}|f(x - y)||g(y)|dy & = & \int_{\R^{m}}|f(x - y)||g(y)|^{1 - q(p - 1)/p}|g(y)|^{q(p - 1)/p}dy \\& \leq &\left(\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{p + q - pq}dy\right)^{1/p}\|g\|_{q}^{q(p - 1)/p}\end{eqnarray*}であり、再び $(r/(r - p))^{-1} + (r/p)^{-1} = 1$ としたHölder不等式より\begin{eqnarray*}\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{p + q - pq}dy & = & \int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p - p^{2}/r}|f(x - y)|^{p^{2}/r}|g(y)|^{pq/r}dy \\& \leq & \|f\|_{p}^{p(1 - p/r)}\left(\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{q}dy\right)^{p/r}\end{eqnarray*}です。よって\[\int_{\R^{m}}|f(x - y)||g(y)|dy \leq \|f\|_{p}^{1 - p/r}\|g\|_{q}^{q(p - 1)/p}\left(\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{q}dy\right)^{1/r}\]です。Fubiniの定理より\[\int_{\R^{m}}\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{q}dydx = \int_{\R^{m}}\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{q}dxdy = \|f\|_{p}^{p}\|g\|_{q}^{q}\]であることに注意して\begin{eqnarray*}\||f| * |g|\|_{r}^{r} & \leq & \int_{\R^{m}}\left(\int_{\R^{m}}|f(x - y)||g(y)|dy\right)^{r}dx \\& \leq & \int_{\R^{m}}\left(\|f\|_{p}^{r - p}\|g\|_{q}^{qr(p - 1)/p}\int_{\R^{m}}|f(x - y)|^{p}|g(y)|^{q}dy\right)dx \\& \leq & \|f\|_{p}^{r - p}\|g\|_{q}^{qr(p - 1)/p}\|f\|_{p}^{p}\|g\|_{q}^{q} = \|f\|_{p}^{r}\|g\|_{q}^{q + qr(p - 1)/p}\end{eqnarray*}です。ここで\[q + qr(p - 1)/p = qr(1 + r^{-1} - p^{-1}) = qrq^{-1} = r\]より\[\||f| * |g|\|_{r}^{r} \leq \|f\|_{p}^{r}\|g\|_{q}^{r}\]です。当然 $|f| * |g|$ が有界値に定まっている点においては $f * g$ も定まっており、主張の不等式も成立します。

(1) $z = x - y$ とする変数変換この後で証明する変数変換公式 $($定理4.7.57$)$ を使うわけですが、affine変換についてはそちらを待たずとも命題4.7.32から容易に正当化できます。を介して\[f * g(x) = \int_{\R^{m}}f(x - y)g(y)dy = \int_{\R^{m}}f(z)g(x - z)dz = \int_{\R^{m}}g(x - z)f(z)dz = g * f(x)\]です。

(2) 明らかです。

まず、$f * g$ が定義されていることは $r^{-1}\in [0, 1]$ より $p^{-1} + q^{-1} - 1 \geq 0$ なのでよく、$(f * g) * h$ が定義されていることは $s\in [1, +\infty]$ を $p^{-1} + q^{-1} - 1 = s^{-1}$ に取れば $f * g\in L^{s}(\R^{m})$ かつ $s^{-1} + r^{-1} - 1 \geq 0$ なのでよいです。$f * (g * h)$ も同様に定義されています。あとは $w = x - z - y$ とする変数変換を介して\begin{eqnarray*}((f * g) * h)(x) & = & \int_{\R^{m}}\left(\int_{\R^{m}}f(x - z - y)g(y)dy\right)h(z)dz \\& = & \int_{\R^{m}}f(w)\left(\int_{\R^{m}}g(y)h(x - w - y)dy\right)dw \\& = & (f * (g * h))(x)\end{eqnarray*}と計算できるのでよいです。

帰納法により示すことができます。

$f * h\in L^{p}(\R^{m})$ は $h\in L^{1}(\R^{m})$ とYoung不等式 $($命題4.7.46$)$ から従います。

$\R^{m}$ の相対コンパクト開集合 $U$ を固定し、$U$ 上で $f * h$ が $C^{\infty}$ 級に定まり、等式も成立することを示します。系4.7.16を使えばよく、そのための仮定を確かめていきます。まず、$h\in L^{p/(p - 1)}(\R^{m})$ より各 $x\in \R^{m}$ ごと $f(y)h(x - y)$ は変数 $y$ の関数として可積分です。特に $f * h$ は $U$ 上の実関数として定まります。また、明らかに各 $y\in \R^{m}$ ごと $f(y)h(x - y)$ は変数 $x$ の関数として $C^{\infty}$ 級です。各多重指数 $\alpha\in \mathcal{I}_{m}$ に対してコンパクト台を持つ非負値 $C^{\infty}$ 級関数 $H_{\alpha}\in C_{0}^{\infty}(\R^{m})$ を全ての $x\in U$, $y\in \R^{m}$ に対して\[|\partial^{\alpha}h(x - y))| \leq H_{\alpha}(y)\]となるように取っておけばここで $U$ を相対コンパクトに取っていたことを使用。、同じ範囲で\[|\partial^{\alpha}(f(y)h(x - y))|\leq |f(y)H_{\alpha}(y)|\]であり、$fH_{\alpha}$ が $x$ に依存しない可積分な優関数になります。以上で系4.7.16の仮定が確かめられ、$f * h$ が $C^{\infty}$ 級であることが確かめられました。等式についても系4.7.16から\[(\partial^{\alpha}(f * h))(x) = \partial^{\alpha}\int_{\R^{m}}f(y)h(x - y)dy = \int_{\R^{m}}f(y)\partial^{\alpha}h(x - y)dy = (f * \partial^{\alpha}h)(x)\]なのでよいです。

以下の流れで段階的に示します。

(step 1) $f\in C_{0}^{0}(\R^{m})$ とします。正実数 $0 < \varepsilon < 1$ を取り、$\|\varphi - f\|_{p} < C\varepsilon$、ただし $C > 0$ は $\varepsilon$ によらない正実数、となる $\varphi\in C_{0}^{\infty}(\R^{m})$ を見つければよいです。まず、$f$ の一様連続性からある正実数 $0 < \delta < 1$ であって $|x - y| < \delta$ を満たす任意の $x, y\in \R^{m}$ に対して $|f(y) - f(x)| < \varepsilon$ となるものが存在します。非負値関数 $h\in C_{0}^{\infty}(\R^{m})$ であって\[\int_{\R^{m}}hdx = 1, \quad \supp h \subset D_{\delta} := \{x\in \R^{m}\mid |x|\leq \delta\}\]となるものを取れば\begin{eqnarray*}|f * h(x) - f(x)| & = & \left|\int_{\R^{m}}f(x - y)h(y)dy - f(x)\right| \\& \leq & \int_{D_{\delta}}|f(x - y) - f(x)|h(y)dy < \varepsilon\end{eqnarray*}なので、$\supp f\subset D_{R}$ なる実数 $R > 0$ を固定していたとして\begin{eqnarray*}\|f * h - f\|_{p} & = & \left(\int_{\R^{m}}|f * h(x) - f(x)|^{p}dx\right)^{1/p} \\& \leq & \left(\int_{D_{R + \delta}}\varepsilon^{p}dx\right)^{1/p} \leq \mu (D_{R + 1})^{1/p}\varepsilon\end{eqnarray*}です。$\varphi := f * h$ とすればよいです。

(step 2) $f\in L^{p}(U)$ に対してそれを十分近似するコンパクト台を持つ単関数 $g$ が取れるので、さらにその $g$ を十分近似するコンパクト台を持つ連続関数の存在を示せばよいですが、$g$ が有限個の定義関数の線型結合なので最初から有限測度を持つ $($有界$)$ 可測集合 $E$ の定義関数 $\chi_{E}$ について考えれば十分です。ただこれは、$E$ を内側から十分近似する閉集合 $F$ と外側から十分近似する開集合 $G$ を取ってUrysohnの補題 $($定理2.3.26$)$ を適用すれば分かります。

(step 3) $f\in L^{p}(U)$ と正実数 $\varepsilon > 0$ を固定し、コンパクト台を持つ $C^{\infty}$ 級関数 $\varphi\in C_{0}^{\infty}(U)$ であって $\|\varphi - f\|_{p} < \varepsilon$ を満たすものを構成します。$f$ を $U^{c}$ において $0$ を値に取るように拡張して $L^{p}(\R^{m})$ に属すと思えば、(step 1)と(step 2)から $C^{\infty}$ 級関数 $g\in C^{\infty}(\R^{m})$ であって $\|g - f\|_{p} < \varepsilon/2$ を満たすものが取れます。$g$ の始域を $U$ に制限して $C^{\infty}(U)$ の関数と思っても同じ評価が成立するのでそうします。各正実数 $\delta > 0$ に対してコンパクト台を持つ非負値 $C^{\infty}$ 級関数 $h_{\delta}\in C_{0}^{\infty}(\R^{m})$ を\[\int_{\R^{m}}h_{\delta}dx = 1, \quad \supp h_{\delta} \subset D_{\delta}\]に取ります。$A_{\delta} := \{x\in \R^{m}\mid d(x, U^{c})\geq \delta\}$ とおき、$g_{\delta} := g\cdot (\chi_{A_{\delta}} * h_{\delta/2})$ と定めます。各 $\delta$ に対して $\supp g_{\delta}\subset A_{\delta/2}\subset U$ なので $g_{\delta}\in C_{0}^{\infty}(U)$ です。また、$\delta\to +0$ とする極限に関して $g_{\delta}$ が $g$ に各点収束することと各 $g_{\delta}$ に対する可積分な優関数として $|g|$ が取れることからLebesgue $L^{p}$ 収束定理を適用でき\[\lim_{\delta\to +0}\int_{\R^{m}}\|g_{\delta} - g\|_{p}d\mu = 0\]です。$\|g_{\delta} - g\|_{p} < \varepsilon/2$ となる $\delta$ を固定して $\varphi := g_{\delta}$ とすれば\[\|\varphi - f\|\leq \|\varphi - g\| + \|g - f\| < \varepsilon\]です。

$E_{t} := \{x\in \R^{m}\mid Mf(x) > t\}$ と定めます。全ての $t > 0$ に対して $E_{t}$ が開集合であることを示せば下半連続性が従います。そこで、$t > 0$ と $x\in E_{t}$ を取り、$x$ が $E_{t}$ の内点であることを示します。

$Mf(x) > t$ から正実数 $r > 0$ を\[\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y)|dy > t\]を満たすように取り、さらに正実数 $r' > r$ を\[\dfrac{1}{\vol(D_{r'}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y)|dy > t\]を満たすように取ります。$|x' - x| < r' - r$ を満たす $x'\in \R^{m}$ に対し、$D_{r}(x)\subset D_{r'}(x')$ であることに注意して\[\dfrac{1}{\vol(D_{r'}(x'))}\int_{D_{r'}(x')}|f(y)|dy\geq \dfrac{1}{\vol(D_{r'}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y)|dy > t\]であるので $Mf(x') > t$ が成立します。よって、$x$ の $(r' - r)$ 開近傍が $E_{t}$ に含まれます。

$t > 0$ を取り、$E_{t} := \{x\in \R^{m}\mid Mf(x) > t\}$ と定めます。$E_{t}$ は $\sigma$ コンパクトなので\[\mu(E_{t}) = \sup_{K\subset E_{t}: \text{ cpt.}}\mu(K)\]です。よって、コンパクト部分集合 $K\subset E_{t}$ に対して\[\mu(K)\leq \dfrac{3^{m}}{t}\|f\|_{1}\]を示せばよいです。

各 $x\in K$ に対して正実数 $r_{x} > 0$ を\[\dfrac{1}{\vol(D_{r_{x}}(x))}\int_{D_{r_{x}}(x)}|f(y)|dy > t\]であるように取り、$K$ の開被覆 $\{\Int D_{r_{x}}(x)\}_{x\in K}$ に対する有限部分被覆 $\{V_{k}\}_{1\leq k\leq n}$ を取ります。$V_{k}$ たちから有限個 $V'_{1}, \dots, V'_{n'}$ を互いに非交叉かつ\[\mu\left(\bigcup_{k = 1}^{n}V_{k}\right)\leq 3^{m}\sum_{l = 1}^{n'}\mu(V'_{l})\]に取ります$V_{k}$ たちのうちで最も半径の大きいものを $V'_{1}$ とし、以下、$V'_{l}$ まで非交叉に取れているとして、$V'_{1}, \dots, V'_{l}$ とは交わらない $V_{k}$ たちのうちで最も半径の大きいものを $V'_{l + 1}$ とすることを新たに取れなくなるまで繰り返します。このとき得られる列 $V'_{1}, \dots, V'_{n'}$ が互いに非交叉かつ不等式を満たします。実際、非交叉であることは構成から明らかであるし、不等式についても、各 $V_{k}$ は $V'_{l}$ として選ばれていない限り半径が同じかそれより大きなある $V'_{l}$ と交わる、つまり、ある $V'_{l}$ を中心を保って $3$ 倍に拡大した開球体に含まれることから評価できます。。これらにより\[\mu(K)\leq \mu\left(\bigcup_{k = 1}^{n}V_{k}\right)\leq 3^{m}\sum_{l = 1}^{n'}\mu(V'_{l})\leq \dfrac{3^{m}}{t}\sum_{l = 1}^{n'}\int_{V'_{l}}|f(y)|dy\leq \dfrac{3^{m}}{t}\|f\|_{1}\]と評価できます。

(1) $f\in L^{1}(\R^{m})$ に対して関数 $f^{*} : \R^{m}\to [0, +\infty]$ を\[f^{*}(x) = \varlimsup_{r\to +0}\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y) - f(x)|dy\]により定めます。明らかに $f, g\in L^{1}(\R^{m})$ に対して\[(f + g)^{*}\leq f^{*} + g^{*}\]が成立し、$g\in C_{0}^{0}(\R^{m})$ に対しては\[g^{*} = 0\]が成立します。よって、任意の $f\in L^{1}(\R^{m})$, $g\in C_{0}^{0}(\R^{m})$ に対して\[f^{*}\leq (f - g)^{*} + g^{*} = (f - g)^{*}\leq f^{*} + g^{*} = f^{*}\]であり、$(f - g)^{*} = f^{*}$ が従います。

任意の $f\in L^{1}(\R^{m})$ と $t > 0$ に対して\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > t\})\leq \dfrac{2(3^{m} + 1)}{t}\|f\|_{1}\]であることを示します。まず\begin{eqnarray*}f^{*}(x) & \leq & \sup_{r > 0}\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y) - f(x)|dy \\& \leq & \sup_{r > 0}\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y)|dy + |f(x)|\leq Mf(x) + |f(x)|\end{eqnarray*}と評価できます。よって\[\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > t\}\subset \{x\in \R^{m}\mid Mf(x) > t/2\}\cup \{x\in \R^{m}\mid |f(x)| > t/2\}\]ですが、右辺前半についてはHardy-Littlewoodの定理 $($定理4.7.55$)$ から\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid Mf(x) > t/2\})\leq \dfrac{2\cdot 3^{m}}{t}\|f\|_{1}\]であり、右辺後半について\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid |f(x)| > t/2\})\leq \dfrac{2}{t}\|f\|_{1}\]は明らかです。よって\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > t\})\leq \dfrac{2(3^{m} + 1)}{t}\|f\|_{1}\]です。

ここで、任意の $g\in C_{0}^{0}(\R^{m})$ に対して\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > t\}) = \mu(\{x\in \R^{m}\mid (f - g)^{*}(x) > t\})\leq \dfrac{2(3^{m} + 1)}{t}\|f - g\|_{1}\]であることと $C_{0}^{0}(\R^{m})\subset L^{1}(\R^{m})$ の稠密性から\[\mu(\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > t\}) = 0\]ですが、これと $\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > 0\} = \bigcup_{k\in\Np}\{x\in \R^{m}\mid f^{*}(x) > 1/k\}$ であることを合わせて $f^{*}$ がほとんどいたるところ $0$ を値に取ることが従います。よって、主張が成立します。

(2) これは\[\left|\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}f(y) - f(x)dy\right|\leq \dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}|f(y) - f(x)|dy\]と評価できることから明らかです。

$\mu^{*}$ でLebesgue外測度を表すことにします。

各 $n\in \N$ に対して $N_{n} := \{x\in N\mid \|J_{\varphi}(x)\|\leq n\}$ と定めれば $N = \bigcup_{n\in \N}N_{n}$ なので、各 $n\in \N$ に対して $\varphi(N_{n})$ が零集合になることを示せばよいです。そこで、最初から $M := \underset{x\in N}{\sup}\|J_{\varphi}(x)\|$ が有界値だったとして示します。また、任意の固定した正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $\mu^{*}(\varphi(N))\leq (2(M + 1)\sqrt{m})^{m}\varepsilon$ が示されればただちに $\mu^{*}(\varphi(N)) = 0$ が分かるので、以下これを示します。

$N$ の開近傍 $W$ を $\mu(W) < \varepsilon$ であるように固定します。そして、各 $x\in N$ に対してその $W$ に含まれる開近傍 $W_{x}$ を任意の $y\in W_{x}$ に対して\[|\varphi(y) - \varphi(x)| < (M + 1)|y - x|\]を満たすように取ります。$k\in \N$ として、$\R^{m}$ に含まれる $m$ 次元閉超立方体 $Q$ であって以下の条件を満たすもの全体を $\mathcal{Q}_{k}$ とします。

次のことは容易に分かります。

各 $Q\in \mathcal{Q}_{k}$ に対し $Q\subset W_{x_{Q}}$ となる $x_{Q}\in N\cap Q$ を固定するとして、$\varphi(Q)$ は $\varphi(x_{Q})$ を中心とする半径 $(M + 1)\sqrt{m}2^{-k}$ の閉球体に含まれるので\[\mu^{*}(\varphi(Q))\leq (2(M + 1)\sqrt{m}2^{-k})^{m} = (2(M + 1)\sqrt{m}))^{m}\mu(Q)\]と評価できます。$\varphi(R_{k})\subset \bigcup_{Q\in \mathcal{Q}_{k}}\varphi(Q)$ より\[\mu^{*}(\varphi(R_{k}))\leq \sum_{Q\in\mathcal{Q}_{k}}\mu^{*}(\varphi(Q))\leq \sum_{Q\in\mathcal{Q}_{k}}(2(M + 1)\sqrt{m})^{m}\mu(Q) < (2(M + 1)\sqrt{m})^{m}\varepsilon\]です。$k\to \infty$ とする極限を考えれば目的の評価 $\mu^{*}(\varphi(N))\leq (2(M + 1)\sqrt{m})^{m}\varepsilon$ が得られます。

途中でhomotopy論の常識的な事実を使います。(が、そちらは準備できていないので、そこはいったん事実として認めることにします。)

$|\det J_{\varphi}(a)| = 0$ の場合は省略。$|\det J_{\varphi}(a)|\neq 0$ とします。まず、必要であれば命題4.7.32を念頭に適当なaffine変換を合成することで $a = \varphi(a) = 0$ かつ $J_{\varphi}(a)$ が単位行列 $E_{m}$ の場合に帰着できるのでそうします。

正実数 $0 < \varepsilon < 1$ を取ります。ある正実数 $\delta > 0$ が存在し、$|x| < \delta$ を満たす任意の $x\in U$ に対して\[|\varphi(x) - x| < \varepsilon|x|\]です。正実数 $0 < r < \delta$ を $D_{r}\subset U$ に取り、$D_{(1 - \varepsilon)r}\subset \varphi(D_{r})\subset D_{(1 + \varepsilon)r}$ であることを示します。$2$ つ目の包含関係は自明なので、$1$ つ目の包含関係を示せばよいです。homotopy $H : (\partial D_{r})\times I\to \R^{m}$ を\[H(x, t) := \left\{\begin{array}{ll}(1 - 2t)x + 2t\varphi(x) & (0\leq t\leq \tfrac{1}{2}) \\\varphi((2 - 2t)x) & (\tfrac{1}{2}\leq t\leq 1)\end{array}\right.\]により定めます。これは包含写像 $\iota : \partial D_{r}\to \R^{m}$ を定値写像につなぐhomotopyになっています。各 $b\in \Int D_{r}$ に対して包含写像 $\iota$ は $[\partial D_{r}, \R^{m}\setminus \{b\}]$ の非自明なhomotopy類を代表するので $b\in \Img H$ が分かり、$D_{r}\subset \Img H$ です。ここで、$H((\partial D_{r})\times [0, \tfrac{1}{2}])$ は $D_{(1 - \varepsilon)r}$ とは交わらないこと各 $x\in \partial D_{r}$ に対して制限 $H|_{\{x\}\times [0, 1/2]}$ は $x$ を $\varphi(x)$ につなぐ線分であり、それは $|\varphi(x) - x| < \varepsilon r$ という評価から $D_{(1 - \varepsilon)r}$ とは交わりません。に注意して $D_{(1 - \varepsilon)r}\subset H((\partial D_{r})\times [\tfrac{1}{2}, 1]) = \varphi(D_{r})$ です。

以上より、任意の $0 < \varepsilon < 1$ に対してある $r_{0} > 0$ が存在し、任意の $0 < r < r_{0}$ に対して\[(1 - \varepsilon)^{m}\leq \dfrac{\mu(\varphi(D_{r}))}{\mu(D_{r})}\leq (1 + \varepsilon)^{m}\]です。これは目的の極限を意味します。

以下の流れで示されます。

(step 1) (i)と補題4.7.59により\[\mu(\varphi(N)) = \mu(\varphi(N\cap A)\cup \varphi(N\setminus A))\leq \mu(\varphi(N\cap A)) + \mu(\varphi(N\setminus A)) = 0\]です。

(step 2) ある $\sigma$ コンパクト集合 $F\subset V$ が存在して $F\subset E$ かつ $\mu(E\setminus F) = 0$ です。$\varphi(F)$ は $\sigma$ コンパクト集合であり、よって、Borel集合です。また、$\varphi(E\setminus F)$ は(step 1)より零集合です。これらと\[\varphi(E)\ominus \varphi(F)\subset \varphi(E\setminus F)\]から $\varphi(E)$ はLebesgue可測集合です。

(step 3) 包含関係\[\varphi(E)\setminus \varphi(V\setminus B)\subset \varphi(E\cap B)\subset \varphi(E)\]と $\mu(\varphi(V\setminus B)) = 0$ より $\varPhi(E) = \mu(\varphi(E)) = \mu(\varphi(E\cap B))$ です。$f$ が $B$ 上で単射なことに注意すれば $\varPhi$ の完全加法性は明らかであり、$\varPhi$ は測度になります。$\sigma$ 有限であることは $V$ の $\sigma$ コンパクト性から容易に確かめられます。そして、ここでの絶対連続性は零集合の $\varphi$ による像が零集合であることと言い換えられますが、それは(step 1)よりよいです。

(step 4) まず、(step 3)と補足4.7.45よりRadon-Nikodym密度関数 $\tfrac{d\varPhi}{d\mu}$ は取れます。Lebesgue可測集合 $E\subset U$ の定義関数 $\chi_{E}$ に対して\begin{eqnarray*}\int_{\varphi(V)}\chi_{E}d\mu & = & \mu(E\cap \varphi(V)) = \mu(\varphi(\varphi^{-1}(E))) \\& = & \varPhi(\varphi^{-1}(E)) = \int_{\varphi^{-1}(E)}\dfrac{d\varPhi}{d\mu} d\mu = \int_{V}\dfrac{d\varPhi}{d\mu}\cdot (\chi_{E}\circ \varphi)d\mu\end{eqnarray*}です。このことから $f$ が単関数の場合は等式が成立することが分かり、$f$ が一般のLebesgue可積分関数の場合も容易に確かめられます。

(step 5) まずLebesgue微分定理 $($定理4.7.56$)$ より\[\lim_{r\to +0}\dfrac{\mu(\varphi(D_{r}(x)))}{\mu(D_{r}(x))} = \lim_{r\to +0}\dfrac{1}{\vol(D_{r}(x))}\int_{D_{r}(x)}\dfrac{d\varPhi}{d\mu}d\mu = \dfrac{d\varPhi}{d\mu}(x) \ \text{a.e.}\]であり、補題4.7.60より\[|\det J_{\varphi}(x)| = \dfrac{d\varPhi}{d\mu}(x) \ \text{a.e.}\]です。(step 4)と合わせて主張が得られます。